नोड गणना. महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी) - परिभाषा, उदाहरण और गुण

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्याओं a और b को बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, कहलाती है महत्तम सामान्य भाजकये नंबर. जीसीडी (ए, बी) को निरूपित करें।

आइए दो प्राकृतिक संख्याओं 18 और 60 के उदाहरण का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर विचार करें:

324 , 111 और 432

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

पहली संख्या से उन कारकों को काटने पर, जिनके गुणनखंड दूसरी और तीसरी संख्या में नहीं हैं, हमें प्राप्त होता है:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

परिणामस्वरूप, जीसीडी( 324 , 111 , 432 )=3

यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने का दूसरा तरीका का उपयोग करना है यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म. यूक्लिडियन एल्गोरिथम खोजने का सबसे कारगर तरीका है जीसीडी, इसका उपयोग करके आपको लगातार विभाजित संख्याओं के शेषफल को ढूंढना होगा और लागू करना होगा पुनरावृत्ति सूत्र.

पुनरावृत्ति सूत्रजीसीडी के लिए, जीसीडी(ए, बी)=जीसीडी(बी, ए मॉड बी), जहां a mod b, b से विभाजित a का शेषफल है।

यूक्लिड का एल्गोरिदम

उदाहरण संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें 7920 और 594

आइए जीसीडी खोजें( 7920 , 594 ) यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करके विभाजन के शेष भाग की गणना करेंगे।

• 7920 मॉड 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 मॉड 198 = 594 – 3 × 198 = 0

परिणामस्वरूप, हमें GCD( 7920 , 594 ) = 198

न्यूनतम समापवर्तक

विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय एक सामान्य हर खोजने के लिए, आपको जानने और गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है न्यूनतम समापवर्तक(NOK).

संख्या "a" का गुणज एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के "a" संख्या से विभाज्य होती है।

वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात्, ये संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य हैं): ये संख्याएँ 16, 24, 32 हैं...

9 के गुणज: 18, 27, 36, 45...

एक ही संख्या के विभाजक के विपरीत, किसी दी गई संख्या a के अनंत गुणज होते हैं। भाजक की एक सीमित संख्या होती है।

दो प्राकृतिक संख्याओं का सार्व गुणज एक ऐसी संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से विभाज्य होती है।.

न्यूनतम समापवर्तकदो या दो से अधिक प्राकृतिक संख्याओं की (LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या होती है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

एनओसी कैसे पाएं

एलसीएम को दो तरीकों से पाया और लिखा जा सकता है।

LOC खोजने का पहला तरीका

इस विधि का प्रयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।

1. हम प्रत्येक संख्या के गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखते हैं जब तक हमें ऐसा गुणज नहीं मिल जाता जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो।
2. संख्या "a" के गुणज को बड़े अक्षर "K" से दर्शाया जाता है।

उदाहरण। एलसीएम 6 और 8 खोजें।

एलओसी खोजने का दूसरा तरीका

तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

संख्याओं के अपघटन में समान कारकों की संख्या भिन्न हो सकती है।

आप निम्न प्रकार से लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) ज्ञात करने को भी औपचारिक बना सकते हैं। आइए एलओसी (12, 16, 24) खोजें।

24 = 2 2 2 3

जैसा कि हम संख्याओं के अपघटन से देखते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ी) के अपघटन में शामिल होते हैं, इसलिए हम संख्या 16 के अपघटन से एलसीएम में केवल एक 2 जोड़ते हैं।

एलसीएम (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48

एनओसी खोजने के विशेष मामले

उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
चूँकि सहअभाज्य संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

हमारी वेबसाइट पर आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए लघुत्तम समापवर्तक को ऑनलाइन खोजने के लिए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग भी कर सकते हैं।

यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।

कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, शेष अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालाँकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में आप 997 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।

लेकिन कई प्राकृतिक संख्याएँ अन्य प्राकृतिक संख्याओं से भी विभाज्य होती हैं।

• संख्या 12 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
• संख्या 36, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे कोई संख्या पूरी से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के विभाजक कहलाते हैं।

किसी प्राकृत संख्या का भाजक a वह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या "a" को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।

वह प्राकृत संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, भाज्य कहलाती है।

कृपया ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य गुणनखंड हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याओं "ए" और "बी" को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है।

महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" की सबसे बड़ी संख्या है जिससे दोनों संख्याएं "ए" और "बी" बिना किसी शेषफल के विभाज्य हैं।

संक्षेप में, संख्याओं "ए" और "बी" का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक इस प्रकार लिखा गया है::

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।

समाधान संकेतन में संख्याओं के भाजक को बड़े अक्षर "डी" द्वारा दर्शाया जाता है।

संख्या 7 और 9 में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। ऐसे नंबरों को कहा जाता है सहअभाज्य संख्याएँ.

सहअभाज्य संख्याएँ- ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनका केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। उनकी जीसीडी 1 है.

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं की gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

• संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;

ऊर्ध्वाधर पट्टी का उपयोग करके गणनाएँ लिखना सुविधाजनक है। पंक्ति के बाईं ओर हम पहले लाभांश लिखते हैं, दाईं ओर - भाजक। इसके बाद, बाएँ कॉलम में हम भागफल के मान लिखते हैं।

आइए इसे तुरंत एक उदाहरण से समझाएं। आइए संख्याओं 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

हम दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों पर जोर देते हैं।
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
समरूप अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और उत्तर लिखिए;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से औपचारिक रूप दे सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया है) या "एक पंक्ति में"।

GCD लिखने का पहला तरीका

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2 2 3 = 12

Gcd लिखने का दूसरा तरीका

आइए अब GCD खोज के समाधान को एक पंक्ति में लिखें। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

हमारी सूचना साइट पर आप अपनी गणनाओं की जांच के लिए ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर ऑनलाइन हेल्पर का भी उपयोग कर सकते हैं।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना, एलसीएम ज्ञात करने की विधियाँ, उदाहरण।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम नामक लेख के सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और विशेष ध्यानआइए उदाहरणों को हल करने पर ध्यान दें। सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि इन संख्याओं के जीसीडी का उपयोग करके दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करेंगे। इसके बाद हम तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने पर ध्यान देंगे और ऋणात्मक संख्याओं का LCM निकालने पर भी ध्यान देंगे।

पेज नेविगेशन.

जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा कनेक्शन हमें ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति देता है। तत्संबंधी सूत्र है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). आइए दिए गए सूत्र का उपयोग करके एलसीएम खोजने के उदाहरण देखें।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए LCM और GCD के बीच संबंध का उपयोग करें, जिसे सूत्र LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) द्वारा व्यक्त किया गया है। यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र का उपयोग करके इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(126, 70) खोजें: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, इसलिए, जीसीडी(126, 70)=14।

अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630।

LCM(68, 34) किसके बराबर है?

चूँकि 68, 34 से विभाज्य है, तो GCD(68, 34)=34. अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: LCM(68, 34)=68·34:जीसीडी(68, 34)= 68·34:34=68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि ए, बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि आप दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों से एक उत्पाद बनाते हैं, और फिर इस उत्पाद से दी गई संख्याओं के अपघटन में मौजूद सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं, तो परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा। .

एलसीएम खोजने के लिए बताया गया नियम समानता LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) से अनुसरण करता है। वास्तव में, संख्या a और b का गुणनफल, संख्या a और b के विस्तार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) संख्या ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है (जैसा कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के विस्तार का उपयोग करके जीसीडी खोजने के अनुभाग में वर्णित है)।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए जानते हैं 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7. आइए इन विस्तारों के सभी कारकों से उत्पाद बनाएं: 2·3·3·5·5·5·7। अब इस उत्पाद से हम संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार (ये कारक 3 और 5 हैं) दोनों में मौजूद सभी कारकों को बाहर कर देते हैं, तो उत्पाद 2·3·5·5·7 का रूप ले लेगा। . इस गुणनफल का मान संख्या 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

आइए संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

हमें 441=3·3·7·7 और 700=2·2·5·5·7 मिलते हैं।

आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों से एक उत्पाद बनाएं: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. आइए इस उत्पाद से उन सभी कारकों को हटा दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2·2·3·3·5·5·7·7. इस प्रकार, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100।

एनओसी(441,700)=44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के गुणनखंडन का उपयोग करके एलसीएम खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त गुणनखंडों में जोड़ दिया जाए, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्या a और b के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, आइए समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका अपघटन इस प्रकार है: 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7। संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2·3·5·5·7 प्राप्त होता है, जिसका मान है एलसीएम(75,210) के बराबर।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में वियोजन प्राप्त करते हैं। वे 84=2·2·3·7 और 648=2·2·2·3·3·3·3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्तक 4,536 है।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। आइए संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम खोजने का तरीका देता है।

मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ a 1 , a 2 , …, a k दी गई हैं, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k क्रमिक रूप से m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) की गणना करके ज्ञात किया जाता है। 3) , … , एम के = एलसीएम(एम के−1 , ए के) .

आइए चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले हम m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) पाते हैं। ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम GCD(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, इसलिए, GCD(140, 9)=1, जिससे LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260। अर्थात्, म 2 =1 260.

अब हम m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54) पाते हैं। आइए इसकी गणना जीसीडी(1 260, 54) के माध्यम से करें, जिसे हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके भी निर्धारित करते हैं: 1 260=54·23+18, 54=18·3। फिर gcd(1,260, 54)=18, जिससे gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. अर्थात्, म 3 =3 780.

एम 4 = एलसीएम(एम 3 , ए 4) = एलसीएम(3 780, 250) खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(3,780, 250) पाते हैं: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। इसलिए, GCD(3,780, 250)=10, जिससे GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. अर्थात्, मी 4 =94,500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500।

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसे में आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है तीसरी संख्या को परिणामी कारकों में जोड़ा जाता है, इत्यादि।

आइए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण देखें।

पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 में से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह संपाती है अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ) और 143=11·13।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में, आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के अपघटन में लुप्त कारक शामिल नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के अपघटन में 2 और 3 दोनों पहले से ही मौजूद हैं। इसके बाद, गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2·2·2·2·3·7·11·13 प्राप्त होता है, जो 48,048 के बराबर है।

इसलिए, एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48,048।

एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना

कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होता है, जिनमें से एक, अनेक या सभी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। इन मामलों में, सभी नकारात्मक संख्याओं को उनके विपरीत संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर सकारात्मक संख्याओं का एलसीएम पाया जाना चाहिए। यह ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करने का तरीका है। उदाहरण के लिए, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) और LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) ।

हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि a के गुणजों का समुच्चय −a के गुणजों के समुच्चय के समान है (a और −a विपरीत संख्याएँ हैं)। वास्तव में, मान लीजिए कि b, a का कुछ गुणज है, तो b, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की अवधारणा एक पूर्णांक q के अस्तित्व को बताती है जैसे कि b=a·q। लेकिन समानता b=(−a)·(−q) भी सत्य होगी, जो विभाज्यता की समान अवधारणा के कारण, इसका मतलब है कि b, −a से विभाज्य है, अर्थात b, −a का गुणज है। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि b, −a का कोई गुणज है, तो b भी a का कोई गुणज है।

ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

आइए ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 को उनकी विपरीत संख्याओं 145 और 45 से प्रतिस्थापित करें। हमारे पास LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) है। GCD(145, 45)=5 (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके) निर्धारित करने के बाद, हम GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 की गणना करते हैं। इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांक −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्त्य 1,305 है।

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हम प्रभाग का अध्ययन जारी रखते हैं। इस पाठ में हम जैसी अवधारणाओं को देखेंगे जीसीडीऔर अनापत्ति प्रमाण पत्र.

जीसीडीसबसे बड़ा सामान्य भाजक है.

अनापत्ति प्रमाण पत्रसबसे छोटा सामान्य गुणज है.

विषय काफी उबाऊ है, लेकिन आपको इसे समझने की जरूरत जरूर है। इस विषय को समझे बिना, आप भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम नहीं कर पाएंगे, जो गणित में एक वास्तविक बाधा हैं।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी एऔर बीशेषफल के बिना विभाजित.

इस परिभाषा को अच्छी तरह से समझने के लिए, आइए चरों को प्रतिस्थापित करें एऔर बीउदाहरण के लिए, किसी चर के स्थान पर कोई दो संख्याएँ एआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें, और चर के स्थान पर बीसंख्या 9। अब आइए इस परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 12 और 9 जिससे सबसे बड़ी संख्या कहलाती है 12 और 9 शेषफल के बिना विभाजित.

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि हम संख्या 12 और 9 के सामान्य भाजक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह भाजक सभी मौजूदा भाजक में सबसे बड़ा है। इस सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) को खोजने की जरूरत है।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। पहली विधि काफी श्रमसाध्य है, लेकिन यह आपको विषय के सार को स्पष्ट रूप से समझने और उसका पूरा अर्थ महसूस करने की अनुमति देती है।

दूसरी और तीसरी विधियाँ काफी सरल हैं और जीसीडी को तुरंत ढूंढना संभव बनाती हैं। हम तीनों तरीकों पर गौर करेंगे. और अभ्यास में किसका उपयोग करना है यह आप पर निर्भर है।

पहली विधि दो संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और सबसे बड़ा भाजक चुनना है। आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इस विधि को देखें: संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए.

सबसे पहले, हम संख्या 12 के सभी संभावित भाजक ढूंढेंगे। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सीमा के सभी भाजक से विभाजित करेंगे। यदि भाजक हमें 12 को बिना किसी शेषफल के विभाजित करने की अनुमति देता है, तो हम इसे हाइलाइट करेंगे। नीला और कोष्ठक में उचित स्पष्टीकरण दें।

12: 1 = 12
(12 को बिना किसी शेषफल के 1 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 1 संख्या 12 का भाजक है)

12: 2 = 6
(12 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 2 संख्या 12 का भाजक है)

12: 3 = 4
(12 को बिना किसी शेषफल के 3 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 3 संख्या 12 का भाजक है)

12: 4 = 3
(12 को बिना किसी शेषफल के 4 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 4 संख्या 12 का भाजक है)

12:5 = 2 (2 बचे)
(12 को शेषफल के बिना 5 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 5 संख्या 12 का भाजक नहीं है)

12: 6 = 2
(12 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 6 संख्या 12 का भाजक है)

12:7 = 1 (5 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 7 संख्या 12 का भाजक नहीं है)

12: 8 = 1 (4 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 8 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 8, 12 का भाजक नहीं है)

12:9 = 1 (3 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 9 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 9 संख्या 12 का भाजक नहीं है)

12:10 = 1 (2 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 10 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 10 संख्या 12 का भाजक नहीं है)

12:11 = 1 (1 बचा हुआ)
(12 को शेषफल के बिना 11 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 11, 12 का भाजक नहीं है)

12: 12 = 1
(12 को बिना किसी शेषफल के 12 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 12 संख्या 12 का भाजक है)

आइए अब संख्या 9 के भाजक खोजें। ऐसा करने के लिए, 1 से 9 तक के सभी भाजक की जाँच करें

9: 1 = 9
(9 को बिना किसी शेषफल के 1 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 1 संख्या 9 का भाजक है)

9: 2 = 4 (1 बचा हुआ)
(9 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 2 संख्या 9 का भाजक नहीं है)

9: 3 = 3
(9 को बिना किसी शेषफल के 3 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 3 संख्या 9 का भाजक है)

9:4 = 2 (1 बचा हुआ)
(9 को शेषफल के बिना 4 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 4 संख्या 9 का भाजक नहीं है)

9:5 = 1 (4 बचे हुए)
(9 को शेषफल के बिना 5 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 5 संख्या 9 का भाजक नहीं है)

9: 6 = 1 (3 बचे हुए)
(9 को शेषफल के बिना 6 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 6 संख्या 9 का भाजक नहीं है)

9: 7 = 1 (2 बचे हुए)
(9 को बिना किसी शेषफल के 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 7 संख्या 9 का भाजक नहीं है)

9: 8 = 1 (1 बचा हुआ)
(9 को शेषफल के बिना 8 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 8 संख्या 9 का भाजक नहीं है)

9: 9 = 1
(9 को बिना किसी शेषफल के 9 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 9 संख्या 9 का भाजक है)

आइए अब दोनों संख्याओं के विभाजक लिखें। नीले रंग में हाइलाइट की गई संख्याएँ विभाजक हैं। आइए उन्हें लिखें:

भाजक को लिखने के बाद, आप तुरंत यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा सबसे बड़ा और सबसे आम है।

परिभाषा के अनुसार, संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह संख्या है जो 12 और 9 को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है। संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा और सामान्य भाजक संख्या 3 है

संख्या 12 और संख्या 9 दोनों बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य हैं:

तो जीसीडी (12 और 9) = 3

जीसीडी खोजने का दूसरा तरीका

आइए अब सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने की दूसरी विधि देखें। इस पद्धति का सार दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करना है।

उदाहरण 1. संख्या 24 और 18 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें:

आइए अब उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करें। भ्रम से बचने के लिए सामान्य कारकों पर जोर दिया जा सकता है।

हम संख्या 24 के विस्तार को देखते हैं। इसका पहला कारक 2 है। हम संख्या 18 के विस्तार में भी वही कारक देखते हैं और देखते हैं कि वह वहाँ भी है। हम दोनों दो पर जोर देते हैं:

हम संख्या 24 के विस्तार को फिर से देखते हैं। इसका दूसरा कारक भी 2 है। हम संख्या 18 के विस्तार में उसी कारक को देखते हैं और देखते हैं कि यह दूसरी बार नहीं है। फिर हम किसी बात पर जोर नहीं देते.

संख्या 24 के विस्तार में अगले दो भी संख्या 18 के विस्तार में अनुपस्थित हैं।

आइए संख्या 24 के विस्तार में अंतिम कारक की ओर बढ़ते हैं। यह कारक 3 है। हम संख्या 18 के विस्तार में उसी कारक की तलाश करते हैं और देखते हैं कि वह वहां भी है। हम दोनों तीन बातों पर जोर देते हैं:

तो, संख्या 24 और 18 के सामान्य गुणनखंड गुणनखंड 2 और 3 हैं। जीसीडी प्राप्त करने के लिए, इन गुणनखंडों को गुणा करना होगा:

तो जीसीडी (24 और 18) = 6

जीसीडी खोजने का तीसरा तरीका

आइए अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने का तीसरा तरीका देखें। इस पद्धति का सार यह है कि सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है। फिर, पहले नंबर के विस्तार से, दूसरे नंबर के विस्तार में शामिल नहीं होने वाले कारकों को काट दिया जाता है। पहले विस्तार में शेष संख्याओं को गुणा किया जाता है और जीसीडी प्राप्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, आइए इस पद्धति का उपयोग करके संख्या 28 और 16 के लिए जीसीडी खोजें। सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

हमें दो विस्तार मिले: और

अब हम पहले नंबर के अपघटन से उन कारकों को हटा देंगे जो दूसरे नंबर के अपघटन में शामिल नहीं हैं। दूसरे अंक के विस्तार में सात शामिल नहीं है। आइए इसे पहले विस्तार से हटा दें:

अब हम शेष कारकों को गुणा करते हैं और जीसीडी प्राप्त करते हैं:

संख्या 4, संख्या 28 और 16 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 4 से विभाज्य हैं:

उदाहरण 2.संख्या 100 और 40 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

संख्या 100 का गुणनखंडन

संख्या 40 का गुणनखंडन

हमें दो विस्तार मिले:

अब हम पहले नंबर के अपघटन से उन कारकों को हटा देंगे जो दूसरे नंबर के अपघटन में शामिल नहीं हैं। दूसरे अंक के विस्तार में एक पाँच शामिल नहीं है (केवल एक पाँच है)। आइए इसे पहले विस्तार से हटा दें

आइए शेष संख्याओं को गुणा करें:

हमें उत्तर 20 प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि संख्या 20, संख्या 100 और 40 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 20 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (100 और 40) = 20.

उदाहरण 3.संख्या 72 और 128 की जीसीडी ज्ञात कीजिए

संख्या 72 का गुणनखंडन

संख्या 128 का गुणनखंडन

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

अब हम पहले नंबर के अपघटन से उन कारकों को हटा देंगे जो दूसरे नंबर के अपघटन में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में दो त्रिक सम्मिलित नहीं हैं (वे हैं ही नहीं)। आइए उन्हें पहले विस्तार से हटा दें:

हमें उत्तर 8 प्राप्त हुआ। इसका मतलब यह है कि संख्या 8, संख्या 72 और 128 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (72 और 128) = 8

कई नंबरों के लिए जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 18, 24 और 36 के लिए जीसीडी खोजें

आइए संख्या 18 का गुणनखंड करें

आइए संख्या 24 का गुणनखंड करें

आइए संख्या 36 का गुणनखंड करें

हमें तीन विस्तार मिले:

आइए अब इन संख्याओं में सामान्य कारकों पर प्रकाश डालें और रेखांकित करें। तीनों संख्याओं में सामान्य कारक अवश्य दिखने चाहिए:

हम देखते हैं कि संख्या 18, 24 और 36 के लिए सामान्य गुणनखंड गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन गुणनखंडों को गुणा करने पर, हमें वह जीसीडी मिलती है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें उत्तर 6 मिला। इसका मतलब है कि संख्या 6, संख्या 18, 24 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये तीन संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (18, 24 और 36) = 6

उदाहरण 2.संख्या 12, 24, 36 और 42 के लिए जीसीडी खोजें

आइए प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें। फिर हम इन संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

संख्या 12 का गुणनखंड करें

आइए संख्या 42 का गुणनखंड करें

हमें चार विस्तार मिले:

आइए अब इन संख्याओं में सामान्य कारकों पर प्रकाश डालें और रेखांकित करें। सामान्य गुणनखंड सभी चार संख्याओं में प्रकट होने चाहिए:

हम देखते हैं कि संख्याओं 12, 24, 36, और 42 के लिए सामान्य गुणनखंड 2 और 3 के गुणनखंड हैं। इन कारकों को एक साथ गुणा करने से हमें वह जीसीडी मिलती है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें उत्तर 6 मिला। इसका मतलब यह है कि संख्या 6, संख्या 12, 24, 36 और 42 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (12, 24, 36 और 42) = 6

पिछले पाठ से हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या को बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाजित किया जाए तो वह उस संख्या का गुणज कहलाती है।

इससे पता चलता है कि कई संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज हो सकता है। और अब हमें दो संख्याओं के गुणज में रुचि होगी, और यह यथासंभव छोटा होना चाहिए।

परिभाषा। संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM)। एऔर बी- एऔर बी एऔर संख्या बी.

परिभाषा में दो चर होते हैं एऔर बी. आइए इन चरों के स्थान पर किन्हीं दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, एक वेरिएबल के बजाय एआइए संख्या 9 को प्रतिस्थापित करें, और चर के स्थान पर बीआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें। अब परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM)। 9 और 12 - वह सबसे छोटी संख्या है जिसका गुणज है 9 और 12 . दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी छोटी संख्या है जो उस संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है 9 और संख्या से 12 .

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एलसीएम सबसे छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के 9 और 12 से विभाज्य है। इस एलसीएम को खोजने की आवश्यकता है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए आप दो विधियों का उपयोग कर सकते हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर इन गुणजों में से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो संख्याओं के लिए सामान्य और छोटी दोनों होगी। आइये इस विधि का प्रयोग करें.

सबसे पहले, आइए संख्या 9 का पहला गुणज ज्ञात करें। 9 का गुणज ज्ञात करने के लिए, आपको इस नौ को 1 से 9 तक की संख्याओं से एक-एक करके गुणा करना होगा। परिणामी उत्तर संख्या 9 के गुणज होंगे। इसलिए, चलो शुरू करें। हम गुणकों को लाल रंग में हाइलाइट करेंगे:

अब हम संख्या 12 के गुणज ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सभी संख्याओं से एक-एक करके गुणा करते हैं।

आइए समस्या का समाधान करें. हमारे पास दो प्रकार की कुकीज़ हैं. कुछ चॉकलेट हैं और अन्य सादे हैं। 48 चॉकलेट हैं, और 36 सादे हैं। आपको इन कुकीज़ से अधिकतम संभव संख्या में उपहार बनाने की आवश्यकता है, और आपको उन सभी का उपयोग करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आइए इन दो संख्याओं में से प्रत्येक के सभी भाजक लिखें, क्योंकि ये दोनों संख्याएँ उपहारों की संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।

हम पाते हैं,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

आइए हम उन सामान्य विभाजकों में से खोजें जो पहली और दूसरी दोनों संख्याओं में हैं।

सामान्य गुणनखंड होंगे: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

सभी का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड संख्या 12 है। इस संख्या को संख्या 36 और 48 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड कहा जाता है।

प्राप्त परिणामों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी कुकीज़ से 12 उपहार बनाए जा सकते हैं। ऐसे एक उपहार में 4 चॉकलेट कुकीज़ और 3 नियमित कुकीज़ होंगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना

• वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जो दो संख्याओं a और b को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है, इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहलाती है।

कभी-कभी प्रविष्टि को छोटा करने के लिए संक्षिप्त नाम GCD का उपयोग किया जाता है।

संख्याओं के कुछ युग्मों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक होता है। ऐसे नंबरों को कहा जाता है परस्पर अभाज्य संख्याएँ।उदाहरण के लिए, संख्या 24 और 35 में GCD =1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए, दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखना आवश्यक नहीं है।

आप इसे अलग ढंग से कर सकते हैं. सबसे पहले, दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

अब हम उन सभी कारकों को काट देंगे जो पहली संख्या के विस्तार में शामिल हैं, उन सभी को हटा देंगे जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। हमारे मामले में, ये दो ड्यूस हैं।

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

शेष गुणनखंड 2, 2 और 3 हैं। उनका गुणनफल 12 है। यह संख्या संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

इस नियम को तीन, चार आदि के मामले में बढ़ाया जा सकता है। नंबर.

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।
• 2. इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से उन कारकों को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
• 3. शेष कारकों के उत्पाद की गणना करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक तुरंत खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एलसीएम खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एलओसी खोजें

जीसीडी और एलओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट फ़ील्ड में नंबर दर्ज करें
• यदि आप गलत वर्ण दर्ज करते हैं, तो इनपुट फ़ील्ड लाल रंग में हाइलाइट हो जाएगी
• "जीसीडी और एलसीएम ढूंढें" बटन पर क्लिक करें

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, अवधि या अल्पविराम से अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का GCD और LCM ज्ञात करना कठिन नहीं है

जीसीडी और एनओसी क्या हैं?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याएँ सबसे बड़ा प्राकृतिक पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़े सामान्य भाजक को संक्षिप्त रूप में कहा जाता है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तकअनेक संख्याएँ वह सबसे छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के प्रत्येक मूल संख्या से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य को इस प्रकार संक्षिप्त किया जाता है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

यह कैसे जांचें कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें संयोजित करके, आप उनमें से कुछ की विभाज्यता और उनके संयोजन की जांच कर सकते हैं।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या के लिए 2 से विभाज्यता परीक्षण
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखना पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 2 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या का 3 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य हो। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को दोबारा दोहरा सकते हैं।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 3 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या का 5 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच हो।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 5 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पाँच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या का 9 से विभाज्यता परीक्षण
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 9 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो नंबरों की जीसीडी कैसे पता करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे आसान तरीका उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और सबसे बड़ा भाजक चुनना है।

आइए जीसीडी(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. हम सामान्य गुणनखंड ढूंढते हैं, अर्थात्, वे जो दोनों संख्याओं में हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 = 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहली विधि यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की gcd ज्ञात करना है। आइए इस पर ही विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के उत्पाद की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले पाए गए जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28·36 = 1008
2. जीसीडी(28, 36), जैसा कि पहले से ज्ञात है, 4 के बराबर है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

कई संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है। आप कई संख्याओं की gcd ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का भी उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी(ए, बी, सी) = जीसीडी(जीसीडी(ए, बी), सी).

एक समान संबंध लघुत्तम समापवर्त्य पर लागू होता है: एलसीएम(ए, बी, सी) = एलसीएम(एलसीएम(ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद GCD देगा: 1·2·2 = 4
4. आइए अब एलसीएम ढूंढें: ऐसा करने के लिए, आइए पहले एलसीएम(12, 32): 12·32 / 4 = 96 ढूंढें।
5. तीनों संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको GCD(96, 36) ज्ञात करना होगा: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्याओं a और b को बिना शेषफल के विभाजित किया जाए, कहलाती है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर.

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
24 की भाजक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 हैं और 35 की भाजक संख्याएँ 1, 5, 7, 35 हैं।
हम देखते हैं कि संख्या 24 और 35 में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है परस्पर प्रधान.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं परस्पर प्रधान, यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) 1 है।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंड करने पर, हमें प्राप्त होता है:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन कारकों को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं (यानी, दो दो)।
शेष गुणनखंड 2*2*3 हैं। उनका गुणनफल 12 के बराबर है। यह संख्या संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से उन कारकों को हटा दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का उत्पाद ज्ञात करें।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर.
उदाहरण के लिए, संख्या 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या 15 है, क्योंकि अन्य सभी संख्याएँ इससे विभाज्य हैं: 45, 75 और 180।

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)

परिभाषा। लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)प्राकृतिक संख्या a और b सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। संख्या 75 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आइए 75 और 60 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 75 = 3 * 5 * 5, और 60 = 2 * 2 * 3 * 5।
आइए इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखें, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से गायब कारक 2 और 2 जोड़ें (यानी, हम कारकों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिनका गुणनफल 300 है। यह संख्या संख्या 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

वे तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात करते हैं।

को लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिएकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें;
2) किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) शेष संख्याओं के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़ें;
4) परिणामी कारकों का उत्पाद ज्ञात करें।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, संख्या 12, 15, 20 और 60 का लघुत्तम समापवर्तक 60 है क्योंकि यह उन सभी संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के प्रश्न का अध्ययन किया। उन्होंने एक संख्या को उसके सभी विभाजकों के योग के बराबर (संख्या के बिना) एक पूर्ण संख्या कहा। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पाँचवाँ - 33,550,336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन वैज्ञानिक अभी भी यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं या क्या कोई सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे बाकी प्राकृतिक संख्याएँ निर्मित होती हैं।
आपने शायद देखा होगा कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से होती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनकी संख्या अधिक होती है, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला में जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही कम सामान्य होती जाती हैं। प्रश्न उठता है: क्या कोई अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने अपनी पुस्तक "एलिमेंट्स", जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, में साबित किया कि अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक और भी बड़ा अभाज्य होता है। संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने यह विधि निकाली। उन्होंने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिखा, और फिर एक को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद आने वाली सभी संख्याओं को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, यानी 4, 6 , 8, आदि). 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद आने वाली सभी संख्याएँ (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज थीं, यानी 6, 9, 12, आदि) काट दी गईं। अंत में केवल अभाज्य संख्याएँ ही अचिह्नित रहीं।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना होगा।

A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य है, इस प्रकार, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं उन्हें 15, 20, 25, इत्यादि माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन गुणजों की संख्या अनंत होती है।

प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य गुणज वह संख्या होती है जो बिना कोई शेष छोड़े उनसे विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें

संख्याओं (दो, तीन या अधिक) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इन सभी संख्याओं से विभाज्य होती है।

एलओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि आपको उनमें कुछ सामान्य न मिल जाए। गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

के (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के (6) = (12, 18, 24, ...)

इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह अंकन इस प्रकार किया जाता है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सामान्य गुणज ज्ञात करें, फिर एलसीएम की गणना के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्या का अपघटन लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के अपघटन में अलग-अलग संख्या में कारक शामिल हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्याओं 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में, आपको उन कारकों को उजागर करना चाहिए जो पहली सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में गायब हैं, और फिर उन्हें इसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक दो लुप्त है।

अब आप 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों और दूसरी संख्या के गुणनखंडों का गुणनफल जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे, सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, आपको उन सभी को पिछले मामले की तरह अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना चाहिए।

उदाहरण के तौर पर, आप संख्याओं 16, 24, 36 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के विस्तार में से केवल दो दो को बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं किया गया (एक चौबीस के विस्तार में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि किसी एक संख्या को बिना किसी शेषफल के दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस का एलसीएम चौबीस है।

यदि उन सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (10, 11) = 110।