आप अच्छी तरह से जानते हैं कि प्रक्षेप पथ के आकार के आधार पर गति को विभाजित किया जाता है सीधाऔर वक्रीय. पिछले पाठों में हमने सीखा कि सीधीरेखीय गति के साथ कैसे काम किया जाए, अर्थात् इस प्रकार की गति के लिए यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल किया जाए।

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि वास्तविक दुनिया में हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह की गति के उदाहरण हैं क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का प्रक्षेप पथ, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, और यहां तक ​​कि आपकी आंखों की गति का प्रक्षेप पथ, जो अब इस नोट का अनुसरण कर रहे हैं।

यह पाठ इस प्रश्न के प्रति समर्पित होगा कि वक्ररेखीय गति के मामले में यांत्रिकी की मुख्य समस्या को कैसे हल किया जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए यह निर्धारित करें कि रेक्टिलिनियर मूवमेंट के सापेक्ष वक्रीय मूवमेंट (चित्र 1) में क्या मूलभूत अंतर मौजूद हैं और इन अंतरों के कारण क्या होता है।

चावल। 1. वक्ररेखीय गति का प्रक्षेपवक्र

आइए इस बारे में बात करें कि वक्रीय गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करना कितना सुविधाजनक है।

गति को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में गति को सीधा-रेखीय माना जा सकता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वक्ररेखीय गति को सरलरेखीय गति के वर्गों में विभाजित करना

हालाँकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। हम इस गति की कल्पना वृत्ताकार चापों के अनुदिश कई गतियों के संयोजन के रूप में करेंगे (चित्र 3)। कृपया ध्यान दें कि पिछले मामले की तुलना में ऐसे कम विभाजन हैं, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन घुमावदार है। इसके अलावा, एक वृत्त में गति के उदाहरण प्रकृति में बहुत आम हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वक्ररेखीय गति का वर्णन करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करना सीखना होगा, और फिर वृत्ताकार चापों के साथ गति के सेट के रूप में मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना होगा।

चावल। 3. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का विभाजन

तो, आइए एक वृत्त में एकसमान गति का अध्ययन करके वक्ररेखीय गति का अध्ययन शुरू करें। आइए जानें कि वक्ररेखीय गति और सीधीरेखीय गति के बीच मूलभूत अंतर क्या हैं। आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि नौवीं कक्षा में हमने इस तथ्य का अध्ययन किया था कि एक वृत्त में घूमते समय किसी पिंड की गति प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर निर्देशित होती है (चित्र 4)। वैसे, आप इस तथ्य को प्रयोगात्मक रूप से देख सकते हैं यदि आप देखें कि धारदार पत्थर का उपयोग करते समय चिंगारी कैसे चलती है।

आइए एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश किसी पिंड की गति पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वृत्त में घूमते समय शरीर की गति

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में एक बिंदु पर शरीर के वेग का मापांक उस बिंदु पर शरीर के वेग के मापांक के बराबर है:

हालाँकि, एक वेक्टर एक वेक्टर के बराबर नहीं है। तो, हमारे पास एक वेग अंतर वेक्टर है (चित्र 6):

चावल। 6. वेग अंतर वेक्टर

इसके अलावा, गति में बदलाव कुछ समय बाद हुआ। तो हमें परिचित संयोजन मिलता है:

यह समय के साथ गति में बदलाव या किसी पिंड के त्वरण से अधिक कुछ नहीं है। एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

घुमावदार पथ पर गति तेज हो जाती है। इस त्वरण की प्रकृति वेग वेक्टर की दिशा में निरंतर परिवर्तन है।

आइए एक बार फिर से ध्यान दें कि, भले ही यह कहा जाए कि शरीर एक चक्र में समान रूप से चलता है, इसका मतलब यह है कि शरीर के वेग का मापांक नहीं बदलता है। हालाँकि, इस तरह की गति हमेशा तेज होती है, क्योंकि गति की दिशा बदल जाती है।

नौवीं कक्षा में आपने अध्ययन किया कि यह त्वरण किसके बराबर होता है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है (चित्र 7)। अभिकेंद्रीय त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है जिसके अनुदिश पिंड घूम रहा है।

चावल। 7. अभिकेन्द्रीय त्वरण

अभिकेंद्री त्वरण मॉड्यूल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हम एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति के विवरण की ओर आगे बढ़ें। आइए सहमत हैं कि अनुवादात्मक गति का वर्णन करते समय आपने जिस गति का उपयोग किया था, उसे अब रैखिक गति कहा जाएगा। और रैखिक गति से हम एक घूमते हुए पिंड के प्रक्षेप पथ के बिंदु पर तात्कालिक गति को समझेंगे।

चावल। 8. डिस्क बिंदुओं का संचलन

एक डिस्क पर विचार करें जो निश्चितता के लिए दक्षिणावर्त घूमती है। इसकी त्रिज्या पर हम दो बिंदु अंकित करते हैं और (चित्र 8)। आइए उनके आंदोलन पर विचार करें. समय के साथ, ये बिंदु वृत्त के चाप के साथ आगे बढ़ेंगे और बिंदु बन जाएंगे। जाहिर है बात बात से ज्यादा आगे बढ़ गई है. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी

हालाँकि, यदि आप बिंदुओं को करीब से देखें, तो हम कह सकते हैं कि जिस कोण से वे घूर्णन अक्ष के सापेक्ष घूमे, वह अपरिवर्तित रहा। यह कोणीय विशेषताएँ हैं जिनका उपयोग हम एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए करेंगे। ध्यान दें कि वृत्ताकार गति का वर्णन करने के लिए हम इसका उपयोग कर सकते हैं कोनाविशेषताएँ।

आइए एक वृत्त में गति पर सबसे सरल मामले से विचार करना शुरू करें - एक वृत्त में एकसमान गति। आइए याद रखें कि एकसमान अनुवादात्मक गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान अवधि में समान गति करता है। सादृश्य द्वारा, हम एक वृत्त में एकसमान गति की परिभाषा दे सकते हैं।

एकसमान वृत्ताकार गति एक ऐसी गति है जिसमें वस्तु समय के किसी भी समान अंतराल पर समान कोणों से घूमती है।

रैखिक वेग की अवधारणा के समान, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की गई है।

एकसमान गति का कोणीय वेग (एक भौतिक मात्रा है जो उस कोण के अनुपात के बराबर होती है जिसके माध्यम से वस्तु घूमती है और उस समय के दौरान जब यह घूर्णन होता है।

भौतिकी में, कोण के रेडियन माप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोण b रेडियन के बराबर है। कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है:

आइए एक बिंदु के घूर्णन की कोणीय गति और इस बिंदु की रैखिक गति के बीच संबंध खोजें।

चावल। 9. कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

घूमते समय, एक बिंदु एक कोण पर घूमते हुए लंबाई के चाप से गुजरता है। किसी कोण की रेडियन माप की परिभाषा से हम लिख सकते हैं:

आइए समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उस समय की अवधि से विभाजित करें जिसके दौरान गति की गई थी, फिर कोणीय और रैखिक वेगों की परिभाषा का उपयोग करें:

कृपया ध्यान दें कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। तथा घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदु स्वयं गतिहीन होते हैं। इसका एक उदाहरण हिंडोला है: आप हिंडोले के केंद्र के जितना करीब होंगे, आपके लिए उस पर बने रहना उतना ही आसान होगा।

रैखिक और कोणीय वेगों की इस निर्भरता का उपयोग भूस्थैतिक उपग्रहों (उपग्रह जो हमेशा पृथ्वी की सतह पर एक ही बिंदु से ऊपर स्थित होते हैं) में किया जाता है। ऐसे उपग्रहों की बदौलत हम टेलीविजन सिग्नल प्राप्त करने में सक्षम हैं।

आइए याद रखें कि पहले हमने आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति की अवधारणाओं का परिचय दिया था।

घूर्णन अवधि एक पूर्ण क्रांति का समय है।घूर्णन अवधि को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और SI सेकंड में मापा जाता है:

घूर्णन आवृत्ति एक भौतिक मात्रा है जो किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या के बराबर होती है।

आवृत्ति को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है:

वे संबंध से संबंधित हैं:

कोणीय वेग और पिंड के घूमने की आवृत्ति के बीच एक संबंध है। यदि हम याद रखें कि एक पूर्ण क्रांति बराबर होती है, तो यह देखना आसान है कि कोणीय वेग है:

इन अभिव्यक्तियों को कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध में प्रतिस्थापित करके, हम अवधि या आवृत्ति पर रैखिक गति की निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं:

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण और इन मात्राओं के बीच संबंध भी लिखें:

इस प्रकार, हम एकसमान वृत्तीय गति की सभी विशेषताओं के बीच संबंध को जानते हैं।

आइए संक्षेप करें। इस पाठ में हमने वक्ररेखीय गति का वर्णन करना शुरू किया। हमने समझा कि हम वक्ररेखीय गति को वृत्ताकार गति से कैसे जोड़ सकते हैं। वृत्ताकार गति हमेशा त्वरित होती है, और त्वरण की उपस्थिति इस तथ्य को निर्धारित करती है कि गति हमेशा अपनी दिशा बदलती है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं। अंत में, हमने वृत्ताकार गति की कुछ विशेषताओं (रैखिक गति, कोणीय गति, अवधि और घूर्णन की आवृत्ति) को याद किया और उनके बीच संबंध पाया।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

इस पाठ की समस्याओं को हल करने के बाद, आप राज्य परीक्षा के प्रश्न 1 और एकीकृत राज्य परीक्षा के प्रश्न A1, A2 की तैयारी करने में सक्षम होंगे।

1. समस्याएँ 92, 94, 98, 106, 110 - शनि। समस्याएं ए.पी. रिमकेविच, एड. 10
2. घड़ी की मिनट, सेकंड और घंटे की सूइयों के कोणीय वेग की गणना करें। यदि प्रत्येक की त्रिज्या एक मीटर है तो इन तीरों की नोक पर अभिनय करने वाले अभिकेन्द्रीय त्वरण की गणना करें।

वक्रीय गति के दौरान वेग वेक्टर की दिशा बदल जाती है। वहीं, इसका मॉड्यूल यानी लंबाई भी बदल सकती है। इस मामले में, त्वरण वेक्टर दो घटकों में विघटित हो जाता है: प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा और प्रक्षेपवक्र के लंबवत (चित्र 10)। घटक को कहा जाता है स्पज्या का(स्पर्शरेखा) त्वरण, घटक - सामान्य(केन्द्राभिमुख त्वरण।

वक्र गति के दौरान त्वरण

स्पर्शरेखीय त्वरण रैखिक वेग में परिवर्तन की दर को दर्शाता है, और सामान्य त्वरण गति की दिशा में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

कुल त्वरण स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण के वेक्टर योग के बराबर है:

(15)

कुल त्वरण मॉड्यूल इसके बराबर है:

.

आइए एक वृत्त के चारों ओर एक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। जिसमें और . माना समय के विचारित क्षण t पर बिंदु स्थिति 1 (चित्र 11) में है। समय Δt के बाद, बिंदु पथ पार करते हुए स्थिति 2 में होगा Δs, चाप 1-2 के बराबर। इस स्थिति में, बिंदु v की गति बढ़ जाती है Δv, जिसके परिणामस्वरूप वेग वेक्टर, परिमाण में अपरिवर्तित रहते हुए, एक कोण से घूमेगा Δφ , लंबाई के चाप के आधार पर केंद्रीय कोण के साथ आकार में मेल खाता है Δs:

(16)

जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है जिसके अनुदिश बिंदु गति करता है। आइए वेग वेक्टर की वृद्धि ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, आइए वेक्टर को स्थानांतरित करें ताकि इसकी शुरुआत वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाए। फिर वेक्टर को वेक्टर के अंत से वेक्टर के अंत तक खींचे गए एक खंड द्वारा दर्शाया जाएगा . यह खंड भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में कार्य करता है और शीर्ष पर कोण Δφ है। यदि कोण Δφ छोटा है (जो छोटे Δt के लिए सत्य है), तो इस त्रिभुज की भुजाओं के लिए हम लगभग लिख सकते हैं:

.

यहां (16) से Δφ प्रतिस्थापित करने पर, हम वेक्टर के मापांक के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को Δt से विभाजित करने और सीमा तक जाने पर, हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान प्राप्त करते हैं:

यहाँ मात्राएँ वीऔर आरस्थिर हैं, इसलिए उन्हें सीमा चिह्न से परे ले जाया जा सकता है। अनुपात सीमा गति मापांक है इसे रैखिक गति भी कहते हैं।

वक्रता त्रिज्या

वृत्त की त्रिज्या R कहलाती है वक्रता त्रिज्याप्रक्षेप पथ R के व्युत्क्रम को प्रक्षेप पथ की वक्रता कहा जाता है:

.

जहाँ R प्रश्नाधीन वृत्त की त्रिज्या है। यदि α वृत्त s के चाप के अनुरूप केंद्रीय कोण है, तो, जैसा कि ज्ञात है, R, α और s के बीच संबंध है:

एस = आरα. (18)

वक्रता त्रिज्या की अवधारणा न केवल वृत्त पर लागू होती है, बल्कि किसी भी घुमावदार रेखा पर भी लागू होती है। वक्रता की त्रिज्या (या इसका व्युत्क्रम मान - वक्रता) रेखा की वक्रता की डिग्री को दर्शाती है। वक्रता की त्रिज्या जितनी छोटी होगी (क्रमशः, वक्रता जितनी अधिक होगी), रेखा उतनी ही अधिक मजबूती से घुमावदार होगी। आइए इस अवधारणा पर करीब से नज़र डालें।

एक निश्चित बिंदु A पर एक सपाट रेखा का वक्रता चक्र बिंदु A और दो अन्य बिंदुओं B 1 और B 2 से गुजरने वाले एक वृत्त की सीमित स्थिति है, क्योंकि वे बिंदु A पर अनंत रूप से पहुंचते हैं (चित्र 12 में वक्र एक द्वारा खींचा गया है) ठोस रेखा, और बिंदीदार रेखा द्वारा वक्रता वृत्त)। वक्रता वृत्त की त्रिज्या बिंदु A पर प्रश्न में वक्र की वक्रता की त्रिज्या देती है, और इस वृत्त का केंद्र उसी बिंदु A के लिए वक्र का वक्रता केंद्र देता है।

बिंदु B 1 और B 2 पर, बिंदु B 1, A और B 2 से गुजरने वाले एक वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ B 1 D और B 2 E खींचिए। इन स्पर्श रेखाओं B 1 C और B 2 C के अभिलंब वृत्त की त्रिज्या R को निरूपित करेंगे और इसके केंद्र C पर प्रतिच्छेद करेंगे। आइए हम अभिलंब B1 C और B 2 C के बीच कोण Δα का परिचय दें; जाहिर है, यह स्पर्शरेखा B 1 D और B 2 E के बीच के कोण के बराबर है। आइए हम बिंदु B 1 और B 2 के बीच वक्र के खंड को Δs के रूप में निरूपित करें। फिर सूत्र (18) के अनुसार:

.

एक सपाट घुमावदार रेखा का वक्रता वृत्त

विभिन्न बिंदुओं पर समतल वक्र की वक्रता का निर्धारण

चित्र में. चित्र 13 विभिन्न बिंदुओं पर एक समतल रेखा के वक्रता वृत्त दिखाता है। बिंदु A 1 पर, जहां वक्र समतल है, वक्रता की त्रिज्या क्रमशः बिंदु A 2 से अधिक है, बिंदु A 1 पर रेखा की वक्रता बिंदु A 2 से कम होगी। बिंदु A 3 पर वक्र बिंदु A 1 और A 2 की तुलना में और भी अधिक समतल है, इसलिए इस बिंदु पर वक्रता की त्रिज्या अधिक होगी और वक्रता कम होगी। इसके अलावा, बिंदु A 3 पर वक्रता वृत्त वक्र के दूसरी ओर स्थित है। इसलिए, इस बिंदु पर वक्रता का मान बिंदु A 1 और A 2 पर वक्रता के संकेत के विपरीत एक चिह्न दिया गया है: यदि बिंदु A 1 और A 2 पर वक्रता को सकारात्मक माना जाता है, तो बिंदु A 3 पर वक्रता होगी नकारात्मक।

हम जानते हैं कि कोई भी वक्ररेखीय गति गति के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में होती है। किसी वृत्त के चारों ओर एकसमान गति की स्थिति में यह कोण समकोण होगा। वास्तव में, उदाहरण के लिए, यदि आप एक गेंद को रस्सी से बांधकर घुमाते हैं, तो किसी भी समय गेंद की गति की दिशा रस्सी के लंबवत होती है।

रस्सी का तनाव बल, जो गेंद को वृत्त पर रखता है, रस्सी के साथ-साथ घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, यह बल शरीर को उसी दिशा में गति करने का कारण बनेगा। घूर्णन के केंद्र की ओर रेडियल रूप से निर्देशित त्वरण कहलाता है केन्द्राभिमुख त्वरण .

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का परिमाण निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

सबसे पहले, ध्यान दें कि वृत्ताकार गति एक जटिल गति है। अभिकेन्द्रीय बल के प्रभाव में, पिंड घूर्णन के केंद्र की ओर बढ़ता है और साथ ही, जड़ता द्वारा, इस केंद्र से स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ता है।

मान लीजिए कि समय t के दौरान एक पिंड, गति v के साथ समान रूप से चलते हुए, D से E की ओर चला गया है। आइए मान लें कि जिस समय शरीर बिंदु D पर था, अभिकेन्द्रीय बल उस पर कार्य करना बंद कर देगा। फिर समय t में यह स्पर्श रेखा DL पर स्थित बिंदु K पर पहुँच जाएगी। यदि शुरुआती क्षण में शरीर केवल एक सेंट्रिपेटल बल (जड़ता से नहीं चल रहा) के प्रभाव में था, तो समय टी में, समान रूप से त्वरित गति से चलते हुए, यह सीधी रेखा डीसी पर स्थित बिंदु एफ पर चला जाएगा। समय t के साथ इन दो गतियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, चाप DE के अनुदिश परिणामी गति प्राप्त होती है।

सेंट्ररपेटल फ़ोर्स

वह बल जो एक घूमते हुए पिंड को एक वृत्त पर रखता है और घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, कहलाता है सेंट्ररपेटल फ़ोर्स .

अभिकेन्द्रीय बल के परिमाण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो किसी भी वक्ररेखीय गति पर लागू होता है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान a = v 2 / R को सूत्र F = ma में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अभिकेन्द्रीय बल का सूत्र प्राप्त होता है:

एफ = एमवी 2 / आर

अभिकेंद्री बल का परिमाण पिंड के द्रव्यमान गुणा रैखिक वेग के वर्ग को त्रिज्या से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर होता है.

यदि शरीर का कोणीय वेग दिया गया है, तो सूत्र का उपयोग करके अभिकेन्द्रीय बल की गणना करना अधिक सुविधाजनक है: F = m? 2 आर, कहाँ? 2 आर - अभिकेन्द्रीय त्वरण।

पहले सूत्र से यह स्पष्ट है कि समान गति से, वृत्त की त्रिज्या जितनी छोटी होगी, अभिकेन्द्रीय बल उतना ही अधिक होगा। इसलिए, सड़क के मोड़ पर, एक गतिशील वस्तु (ट्रेन, कार, साइकिल) को वक्र के केंद्र की ओर कार्य करना चाहिए, जितना अधिक बल होगा, मोड़ उतना ही तेज होगा, अर्थात, वक्र की त्रिज्या उतनी ही छोटी होगी।

अभिकेंद्री बल रैखिक गति पर निर्भर करता है: जैसे-जैसे गति बढ़ती है, यह भी बढ़ता है। यह सभी स्केटर्स, स्कीयर और साइकिल चालकों को अच्छी तरह से पता है: आप जितनी तेज़ी से आगे बढ़ेंगे, मोड़ लेना उतना ही कठिन होगा। ड्राइवर अच्छी तरह जानते हैं कि तेज रफ्तार में कार को तेजी से मोड़ना कितना खतरनाक है।

रेखीय गति

केन्द्रापसारक तंत्र

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति

आइए किसी पिंड को क्षितिज के एक कोण पर फेंकें। इसकी गति को देखते हुए, हम देखेंगे कि शरीर पहले ऊपर उठता है, एक वक्र के साथ चलता है, फिर एक वक्र के साथ नीचे भी गिरता है।

यदि आप पानी की एक धारा को क्षितिज के विभिन्न कोणों पर निर्देशित करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि सबसे पहले, जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, धारा आगे और आगे टकराती है। क्षितिज से 45° के कोण पर (यदि आप वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखते हैं), तो सीमा सबसे बड़ी होती है। जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, सीमा घटती जाती है।

क्षितिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड के प्रक्षेप पथ का निर्माण करने के लिए, हम एक क्षैतिज सीधी रेखा OA खींचते हैं और एक दिए गए कोण पर एक सीधी रेखा OS खींचते हैं।

चयनित पैमाने पर ओएस लाइन पर हम ऐसे खंड बनाते हैं जो संख्यात्मक रूप से फेंकने की दिशा (0-1, 1-2, 2-3, 3-4) में तय किए गए पथ के बराबर होते हैं। बिंदु 1, 2, 3, आदि से, हम OA पर लंबवत डालते हैं और उन पर खंड बनाते हैं जो संख्यात्मक रूप से 1 सेकंड (1-I), 2 सेकंड (2-II) के लिए स्वतंत्र रूप से गिरने वाले शरीर द्वारा तय किए गए पथ के बराबर होते हैं। ), 3 सेकंड (3-III), आदि। हम बिंदु 0, I, II, III, IV, आदि को एक चिकने वक्र से जोड़ते हैं।

पिंड का प्रक्षेपवक्र बिंदु IV से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के सापेक्ष सममित है।

वायु प्रतिरोध उड़ान सीमा और अधिकतम उड़ान ऊंचाई दोनों को कम कर देता है, और प्रक्षेप पथ असममित हो जाता है। उदाहरण के लिए, ये गोले और गोलियों के प्रक्षेप पथ हैं। चित्र में, ठोस वक्र योजनाबद्ध रूप से हवा में एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है, और बिंदीदार वक्र वायुहीन अंतरिक्ष में दिखाता है। वायु प्रतिरोध से उड़ान सीमा में कितना परिवर्तन होता है, इसे निम्नलिखित उदाहरण से देखा जा सकता है। वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, क्षैतिज से 20° के कोण पर दागा गया 76-मिमी तोप का गोला 24 किमी तक उड़ान भरेगा। हवा में यह प्रक्षेप्य लगभग 7 कि.मी. तक उड़ान भरता है।

न्यूटन का तीसरा नियम

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति

आंदोलनों की स्वतंत्रता

कोई भी वक्रीय गति एक जटिल गति है जिसमें जड़ता द्वारा गति और शरीर की गति के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में गति शामिल होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया जा सकता है।

आइए मान लें कि गेंद मेज के चारों ओर समान रूप से और सीधी रेखा में चलती है। जब गेंद मेज से लुढ़कती है, तो उसका वजन मेज के दबाव बल से संतुलित नहीं होता है और जड़ता द्वारा, एक समान और रैखिक गति बनाए रखते हुए, एक साथ गिरना शुरू हो जाता है। गतिविधियों के योग के परिणामस्वरूप - जड़ता द्वारा एकसमान सीधा और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में समान रूप से त्वरित - गेंद एक घुमावदार रेखा के साथ चलती है।

यह प्रयोगात्मक रूप से दिखाया जा सकता है कि ये आंदोलन एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

चित्र में एक स्प्रिंग दिखाया गया है, जो हथौड़े के प्रहार के नीचे झुककर, एक गेंद को क्षैतिज दिशा में गति में सेट कर सकता है और साथ ही दूसरी गेंद को छोड़ सकता है, ताकि वे दोनों एक ही क्षण में चलना शुरू कर सकें : पहला वक्र के अनुदिश, दूसरा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर। दोनों गेंदें एक ही समय में फर्श पर गिरेंगी; इसलिए, दोनों गेंदों का गिरने का समय समान है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गेंद की गति इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि गेंद शुरुआती क्षण में आराम की स्थिति में थी या क्षैतिज दिशा में घूम रही थी।

यह प्रयोग यांत्रिकी में एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु को दर्शाता है, जिसे कहा जाता है आंदोलनों की स्वतंत्रता का सिद्धांत.

एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति

वक्रीय गति के सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकारों में से एक एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति है। उदाहरण के लिए, उड़ने वाले पहियों के हिस्से, पृथ्वी की सतह पर बिंदु पृथ्वी के दैनिक घूर्णन के दौरान एक वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, आदि।

आइए हम उन मात्राओं का परिचय दें जो इस आंदोलन की विशेषता बताती हैं। आइए ड्राइंग को देखें. मान लीजिए कि जब कोई पिंड घूमता है, तो समय t के दौरान उसका एक बिंदु A से B की ओर गति करता है। बिंदु A को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या एक कोण से घूमती है? (ग्रीक "फी")। किसी बिंदु के घूमने की गति को कोण अनुपात के परिमाण द्वारा दर्शाया जा सकता है? समय t के अनुसार, अर्थात ? /टी।

कोणीय वेग

गतिमान बिंदु को घूर्णन के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या के घूर्णन कोण और उस समयावधि का अनुपात, जिसके दौरान यह घूर्णन होता है, कहलाता है कोणीय वेग.

कोणीय वेग को ग्रीक अक्षर से निरूपित करें? ("ओमेगा"), आप लिख सकते हैं:

? = ? /टी

कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में घूर्णन के कोण के बराबर है।

एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, कोणीय वेग एक स्थिर मात्रा है।

कोणीय वेग की गणना करते समय, घूर्णन का कोण आमतौर पर रेडियन में मापा जाता है। रेडियन एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई उस चाप की त्रिज्या के बराबर होती है।

गति के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत पिंडों की गति

सीधीरेखीय गति पर विचार करने पर ज्ञात हुआ कि यदि किसी पिंड पर गति की दिशा में कोई बल कार्य करता है तो पिंड की गति सीधीरेखीय ही रहेगी। सिर्फ गति बदलेगी. इसके अलावा, यदि बल की दिशा गति की दिशा से मेल खाती है, तो गति सीधी और त्वरित होगी। बल की विपरीत दिशा की स्थिति में गति सीधी और धीमी होगी। ये हैं, उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर फेंके गए पिंड की गति और ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर फेंके गए शरीर की गति।

आइए अब विचार करें कि वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में कोई पिंड कैसे गति करेगा।

आइए पहले अनुभव को देखें। आइए एक चुंबक के पास स्टील की गेंद की गति का एक प्रक्षेप पथ बनाएं। हमने तुरंत देखा कि चुंबक से दूर गेंद एक सीधी रेखा में चली गई, लेकिन चुंबक के पास आने पर, गेंद का प्रक्षेप पथ मुड़ गया और गेंद एक वक्र के साथ चली गई। उसकी गति की दिशा लगातार बदल रही थी. इसका कारण गेंद पर चुम्बक की क्रिया थी।

यदि हम एक सीधी रेखा में गतिमान वस्तु को धक्का देते हैं, उससे बंधे धागे को खींचते हैं, इत्यादि, तब तक हम एक सीधी रेखा में गतिमान पिंड को घुमा सकते हैं, जब तक कि बल को पिंड की गति की गति के कोण पर निर्देशित किया जाता है।

तो, किसी पिंड की वक्ररेखीय गति पिंड के वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत होती है।

शरीर पर लगने वाले बल की दिशा और परिमाण के आधार पर, वक्रीय गतियाँ बहुत विविध हो सकती हैं। वक्ररेखीय गतियों का सबसे सरल प्रकार एक वृत्त, परवलय और दीर्घवृत्त में गतियाँ हैं।

अभिकेन्द्रीय बल की क्रिया के उदाहरण

कुछ मामलों में, अभिकेन्द्रीय बल एक वृत्त में घूम रहे किसी पिंड पर कार्य करने वाले दो बलों का परिणाम होता है।

आइए ऐसे कुछ उदाहरण देखें.

1. एक कार अवतल पुल पर v गति से चल रही है, कार का द्रव्यमान t है, पुल की वक्रता त्रिज्या R है। पुल के निम्नतम बिंदु पर कार द्वारा लगाए गए दबाव का बल क्या है?

आइए सबसे पहले यह स्थापित करें कि कार पर कौन सी ताकतें कार्य करती हैं। ऐसे दो बल हैं: कार का वजन और कार पर पुल का दबाव बल। (हम इसमें घर्षण बल और इसके बाद के सभी विजेताओं को विचार से बाहर रखते हैं)।

जब कार स्थिर होती है, तो ये बल, परिमाण में समान और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होने के कारण, एक दूसरे को संतुलित करते हैं।

जब एक कार किसी पुल पर चलती है, तो, एक वृत्त में घूमने वाले किसी भी पिंड की तरह, उस पर एक अभिकेन्द्रीय बल कार्य करता है। इस शक्ति का स्रोत क्या है? इस बल का स्रोत केवल कार पर पुल की क्रिया ही हो सकती है। वह बल Q जिसके साथ पुल चलती कार पर दबाव डालता है, उसे न केवल कार P के वजन को संतुलित करना चाहिए, बल्कि उसे एक सर्कल में चलने के लिए भी मजबूर करना चाहिए, जिसके लिए आवश्यक सेंट्रिपेटल बल F का निर्माण हो सकता है बल P और Q, क्योंकि यह एक गतिशील वाहन और एक पुल के बीच परस्पर क्रिया का परिणाम है।

इस पाठ की सहायता से आप स्वतंत्र रूप से “सरलरेखीय और वक्ररेखीय गति” विषय का अध्ययन कर सकते हैं। किसी पिंड की एक वृत्त में निरंतर पूर्ण गति से गति करना।" सबसे पहले, हम इस बात पर विचार करके सरलरेखीय और वक्ररेखीय गति का वर्णन करेंगे कि इस प्रकार की गति में वेग वेक्टर और शरीर पर लागू बल कैसे संबंधित हैं। इसके बाद, हम एक विशेष मामले पर विचार करते हैं जब कोई पिंड निरपेक्ष मान में स्थिर वेग के साथ एक वृत्त में घूमता है।

पिछले पाठ में हमने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से संबंधित मुद्दों को देखा। आज के पाठ का विषय इस नियम से निकटता से संबंधित है, हम एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति की ओर मुड़ेंगे।

ऐसा हमने पहले कहा था आंदोलन -यह समय के साथ अन्य पिंडों के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक पिंड की स्थिति में बदलाव है। गति और गति की दिशा भी गति की विशेषता है। गति में परिवर्तन और गति का प्रकार स्वयं बल की कार्रवाई से जुड़ा हुआ है। यदि किसी पिंड पर कोई बल कार्य करता है तो पिंड अपनी गति बदल देता है।

यदि बल को शरीर की गति के समानांतर निर्देशित किया जाए, तो ऐसी गति होगी सीधा(चित्र .1)।

चावल। 1. सीधी-रेखा गति

वक्रीयऐसी गति तब होगी जब पिंड की गति और इस पिंड पर लगाया गया बल एक दूसरे के सापेक्ष एक निश्चित कोण पर निर्देशित होंगे (चित्र 2)। इस स्थिति में, गति अपनी दिशा बदल देगी।

चावल। 2. वक्ररेखीय गति

तो कब सीधी गतिवेग वेक्टर को उसी दिशा में निर्देशित किया जाता है जिस दिशा में शरीर पर लगाया गया बल होता है। ए वक्ररेखीय गतियह एक ऐसी गति है जब वेग वेक्टर और शरीर पर लगाया गया बल एक दूसरे से एक निश्चित कोण पर स्थित होते हैं।

आइए वक्ररेखीय गति के एक विशेष मामले पर विचार करें, जब कोई पिंड निरपेक्ष मान में स्थिर वेग के साथ एक वृत्त में घूमता है। जब कोई पिंड एक वृत्त में स्थिर गति से घूमता है, तो केवल गति की दिशा बदलती है। निरपेक्ष मान में यह स्थिर रहता है, लेकिन वेग की दिशा बदल जाती है। गति में इस परिवर्तन से शरीर में त्वरण की उपस्थिति होती है, जिसे कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला.

चावल। 6. घुमावदार पथ पर गति

यदि किसी पिंड की गति का प्रक्षेपवक्र एक वक्र है, तो इसे गोलाकार चाप के साथ गति के एक सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 6.

चित्र में. चित्र 7 दिखाता है कि वेग वेक्टर की दिशा कैसे बदलती है। इस तरह की गति के दौरान गति स्पर्शरेखीय रूप से उस वृत्त की ओर निर्देशित होती है जिसके चाप के अनुदिश शरीर गति करता है। इस प्रकार इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है। भले ही पूर्ण गति स्थिर रहे, गति में परिवर्तन से त्वरण होता है:

इस मामले में त्वरणवृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाएगा। इसीलिए इसे सेंट्रिपेटल कहा जाता है।

अभिकेंद्रीय त्वरण केंद्र की ओर क्यों निर्देशित होता है?

याद रखें कि यदि कोई पिंड घुमावदार पथ पर चलता है, तो उसकी गति स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है। वेग एक सदिश राशि है. एक वेक्टर का एक संख्यात्मक मान और एक दिशा होती है। जैसे-जैसे शरीर चलता है गति लगातार अपनी दिशा बदलती रहती है। अर्थात्, सीधीरेखीय एकसमान गति के विपरीत, समय के विभिन्न क्षणों में गति में अंतर शून्य () के बराबर नहीं होगा।

इसलिए, एक निश्चित अवधि में हमारी गति में बदलाव होता है। का अनुपात त्वरण है. हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि, भले ही गति निरपेक्ष मान में नहीं बदलती है, एक वृत्त में एकसमान गति करने वाले शरीर में त्वरण होता है।

यह त्वरण कहाँ निर्देशित है? आइए चित्र देखें। 3. कुछ पिंड वक्ररेखीय (चाप के अनुदिश) गति करते हैं। बिंदु 1 और 2 पर शरीर की गति स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है। शरीर समान रूप से चलता है, अर्थात, वेग मॉड्यूल बराबर हैं:, लेकिन वेग की दिशाएं मेल नहीं खाती हैं।

चावल। 3. शरीर का एक वृत्त में घूमना

इसमें से गति घटाएं और वेक्टर प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों वैक्टर की शुरुआत को जोड़ना होगा। समानांतर में, वेक्टर को वेक्टर की शुरुआत में ले जाएं। हम एक त्रिभुज बनाते हैं। त्रिभुज की तीसरी भुजा वेग अंतर सदिश होगी (चित्र 4)।

चावल। 4. वेग अंतर वेक्टर

वेक्टर वृत्त की ओर निर्देशित है।

आइए वेग सदिशों और अंतर सदिशों द्वारा निर्मित एक त्रिभुज पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वेग सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज

यह त्रिभुज समद्विबाहु है (वेग मापांक बराबर हैं)। इसका मतलब यह है कि आधार पर कोण बराबर हैं। आइए हम एक त्रिभुज के कोणों के योग के लिए समानता लिखें:

आइए जानें कि प्रक्षेप पथ के किसी दिए गए बिंदु पर त्वरण कहाँ निर्देशित होता है। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु 2 को बिंदु 1 के करीब लाना शुरू करेंगे। ऐसे असीमित परिश्रम के साथ, कोण 0 की ओर प्रवृत्त होगा, और कोण की ओर प्रवृत्त होगा। वेग परिवर्तन वेक्टर और स्वयं वेग वेक्टर के बीच का कोण है। गति को स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है, और गति परिवर्तन वेक्टर को वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है। इसका मतलब यह है कि त्वरण भी वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित है। इसीलिए यह त्वरण कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला.

अभिकेन्द्रीय त्वरण कैसे ज्ञात करें?

आइए उस प्रक्षेप पथ पर विचार करें जिसके साथ शरीर चलता है। इस स्थिति में यह एक गोलाकार चाप है (चित्र 8)।

चावल। 8. शरीर का एक वृत्त में घूमना

चित्र दो त्रिभुज दिखाता है: एक त्रिभुज जो वेग से बनता है, और एक त्रिभुज जो त्रिज्या और विस्थापन वेक्टर से बनता है। यदि बिंदु 1 और 2 बहुत करीब हैं, तो विस्थापन वेक्टर पथ वेक्टर के साथ मेल खाएगा। दोनों त्रिभुज समान शीर्ष कोण वाले समद्विबाहु हैं। इस प्रकार, त्रिभुज समरूप हैं। इसका मतलब यह है कि त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान रूप से संबंधित हैं:

विस्थापन गति और समय के गुणनफल के बराबर है:। इस सूत्र को प्रतिस्थापित करके, हम अभिकेन्द्रीय त्वरण के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं:

कोणीय वेगग्रीक अक्षर ओमेगा (ω) द्वारा निरूपित, यह उस कोण को इंगित करता है जिसके माध्यम से शरीर प्रति इकाई समय में घूमता है (चित्र 9)। यह कुछ समय में शरीर द्वारा पारित डिग्री में चाप का परिमाण है।

चावल। 9. कोणीय वेग

आइए ध्यान दें कि यदि कोई कठोर पिंड घूमता है, तो इस पिंड पर किसी भी बिंदु के लिए कोणीय वेग एक स्थिर मान होगा। यह महत्वपूर्ण नहीं है कि बिंदु घूर्णन के केंद्र के करीब स्थित है या उससे दूर, अर्थात यह त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।

इस मामले में माप की इकाई या तो डिग्री प्रति सेकंड () या रेडियन प्रति सेकंड () होगी। अक्सर "रेडियन" शब्द नहीं लिखा जाता है, बल्कि बस लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि पृथ्वी का कोणीय वेग क्या है। पृथ्वी एक घंटे में पूरा चक्कर लगाती है, और इस स्थिति में हम कह सकते हैं कि कोणीय वेग बराबर है:

कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध पर भी ध्यान दें:

रैखिक गति त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है। त्रिज्या जितनी बड़ी होगी, रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। इस प्रकार, घूर्णन के केंद्र से दूर जाकर, हम अपनी रैखिक गति बढ़ाते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्थिर गति पर गोलाकार गति गति का एक विशेष मामला है। हालाँकि, वृत्त के चारों ओर गति असमान हो सकती है। गति न केवल दिशा में बदल सकती है और परिमाण में समान रह सकती है, बल्कि उसके मान में भी परिवर्तन हो सकता है, अर्थात दिशा में परिवर्तन के अलावा, वेग के परिमाण में भी परिवर्तन होता है। इस मामले में हम एक वृत्त में तथाकथित त्वरित गति के बारे में बात कर रहे हैं।

रेडियन क्या है?

कोण मापने की दो इकाइयाँ हैं: डिग्री और रेडियन। भौतिकी में, एक नियम के रूप में, कोण का रेडियन माप मुख्य है।

आइए एक केंद्रीय कोण बनाएं जो लंबाई के चाप पर टिका हो।

किनेमेटिक्स इस गति का कारण बनने वाले कारणों की पहचान किए बिना गति का अध्ययन करता है। किनेमेटिक्स यांत्रिकी की एक शाखा है। किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य समय में बिंदुओं या पिंडों की गति की स्थिति और विशेषताओं का गणितीय निर्धारण है।

मूल गतिक मात्राएँ:

- कदम() -आरंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाला एक वेक्टर।

आर - त्रिज्या वेक्टर, अंतरिक्ष में एमटी की स्थिति निर्धारित करता है।

- रफ़्तार- पथ और समय का अनुपात .

- पथ- बिंदुओं का समूह जिससे होकर शरीर गुजरा।

- त्वरण -गति के परिवर्तन की दर, यानी गति का पहला व्युत्पन्न।

2. घुमावदार गति के दौरान त्वरण: सामान्य और स्पर्शरेखीय त्वरण। सपाट घुमाव. कोणीय वेग, त्वरण.

वक्ररेखीय गतिएक गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है। वक्ररेखीय गति का एक उदाहरण ग्रहों की गति, डायल के साथ घड़ी की सुई का अंत आदि है।

वक्ररेखीय गति- यह सदैव त्वरित गति है। अर्थात्, वक्रीय गति के दौरान त्वरण हमेशा मौजूद रहता है, भले ही वेग मॉड्यूल नहीं बदलता है, लेकिन केवल वेग की दिशा बदलती है।

प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन - यह स्पर्शरेखा त्वरण है:

जहां 𝛖 τ , 𝛖 0 क्रमशः समय t 0 + Δt और t 0 पर गति मान हैं। स्पर्शरेखीय त्वरणप्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर, दिशा शरीर की गति की गति की दिशा से मेल खाती है या इसके विपरीत है।

सामान्य त्वरणप्रति इकाई समय दिशा में गति में परिवर्तन है:

सामान्य त्वरणप्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश (घूर्णन अक्ष की ओर) निर्देशित। सामान्य त्वरण वेग की दिशा के लंबवत होता है।

पूर्ण त्वरणशरीर की समान रूप से परिवर्तनशील वक्रीय गति के साथ यह बराबर है:

-कोणीय वेगवह कोण दर्शाता है जिससे एक बिंदु प्रति इकाई समय में एक वृत्त में एकसमान गति के दौरान घूमता है। एसआई इकाई रेड/एस है।

सपाट घुमावएक तल में शरीर बिंदुओं के सभी वेग सदिशों का घूमना है।

3. किसी भौतिक बिंदु के वेग सदिशों और कोणीय वेग के बीच संबंध। सामान्य, स्पर्शरेखा और पूर्ण त्वरण।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण- यह गति प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। स्पर्शरेखीय त्वरण वक्ररेखीय गति के दौरान गति मापांक में परिवर्तन की विशेषता बताता है।

सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरणशरीर के प्रक्षेप पथ पर किसी दिए गए बिंदु पर गति के प्रक्षेप पथ के सामान्य के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। अर्थात्, सामान्य त्वरण वेक्टर गति की रैखिक गति के लंबवत है (चित्र 1.10 देखें)। सामान्य त्वरण दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है और इसे अक्षर n द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य त्वरण वेक्टर प्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है।

पूर्ण त्वरणवक्रीय गति में, इसमें वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण होते हैं और यह सूत्र द्वारा निर्धारित होता है।