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परिभाषा.

यह एक षट्भुज है, जिसके आधार दो समान वर्ग हैं, और पार्श्व फलक समान आयत हैं

पार्श्व पसली- दो आसन्न पार्श्व फलकों का उभयनिष्ठ पक्ष है

प्रिज्म की ऊंचाई- यह प्रिज्म के आधारों के लंबवत एक खंड है

प्रिज्म विकर्ण- आधारों के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है

विकर्ण तल- एक तल जो प्रिज्म के विकर्ण और उसके पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है

विकर्ण खंड- प्रिज्म और विकर्ण तल के प्रतिच्छेदन की सीमाएँ। एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण अनुप्रस्थ काट एक आयत है

लंबवत अनुभाग (ऑर्थोगोनल अनुभाग)- यह एक प्रिज्म और उसके पार्श्व किनारों पर लंबवत खींचे गए विमान का प्रतिच्छेदन है

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के तत्व

यह आंकड़ा दो नियमित चतुर्भुज प्रिज्म दिखाता है, जो संबंधित अक्षरों द्वारा दर्शाए गए हैं:

• आधार ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं
• भुजा फलक AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C और CC 1 D 1 D, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है
• पार्श्व सतह - प्रिज्म के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग
• कुल सतह - सभी आधारों और पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग (पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल का योग)
• साइड पसलियाँ AA 1, BB 1, CC 1 और DD 1।
• विकर्ण बी 1 डी
• आधार विकर्ण बी.डी
• विकर्ण खंड बी.बी. 1 डी 1 डी
• लंबवत खंड ए 2 बी 2 सी 2 डी 2।

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के गुण

• आधार दो समान वर्ग हैं
• आधार एक दूसरे के समानांतर हैं
• पार्श्व फलक आयताकार हैं
• पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं
• पार्श्व फलक आधारों के लंबवत हैं
• पार्श्व पसलियाँ एक दूसरे के समानांतर और बराबर होती हैं
• लंबवत खंड सभी पार्श्व पसलियों के लंबवत और आधारों के समानांतर
• लम्बवत् खंड के कोण सीधे होते हैं
• एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण अनुप्रस्थ काट एक आयत है
• आधारों के समानांतर लंबवत (ऑर्थोगोनल अनुभाग)।

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के लिए सूत्र

समस्याओं के समाधान के निर्देश

सही प्रिज्म- एक प्रिज्म जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज स्थित है, और किनारे के किनारे आधार के विमानों के लंबवत हैं। अर्थात्, एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म इसके आधार पर समाहित होता है वर्ग. (ऊपर एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के गुण देखें) टिप्पणी. यह ज्यामिति समस्याओं वाले एक पाठ का हिस्सा है (अनुभाग स्टीरियोमेट्री - प्रिज्म)। यहां ऐसी समस्याएं हैं जिनका समाधान करना कठिन है। यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें. समस्याओं को हल करने में वर्गमूल निकालने की क्रिया को दर्शाने के लिए प्रतीक का उपयोग किया जाता है√ .

काम।

एक नियमित प्रिज्म का विकर्ण आधार के विकर्ण और प्रिज्म की ऊंचाई के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। तदनुसार, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण बराबर होगा:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 सेमी

उत्तर: 22 सेमी

काम

समाधान.
चूँकि एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार की भुजा (ए के रूप में दर्शाया गया) पाते हैं:

ए 2 + ए 2 = 5 2
2ए 2 = 25
ए = √12.5

पार्श्व फलक की ऊंचाई (एच के रूप में चिह्नित) तब बराबर होगी:

एच 2 + 12.5 = 4 2
एच 2 + 12.5 = 16
एच 2 = 3.5
एच = √3.5

कुल सतह क्षेत्रफल पार्श्व सतह क्षेत्रफल के योग के बराबर और आधार क्षेत्रफल का दोगुना होगा

एस = 2ए 2 + 4एएच
एस = 25 + 4√12.5 * √3.5
एस = 25 + 4√43.75
एस = 25 + 4√(175/4)
एस = 25 + 4√(7*25/4)
एस = 25 + 10√7 ≈ 51.46 सेमी 2।

उत्तर: 25 + 10√7 ≈ 51.46 सेमी 2।

प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र. नमस्ते! इस प्रकाशन में हम स्टीरियोमेट्री में समस्याओं के एक समूह का विश्लेषण करेंगे। आइए पिंडों के संयोजन पर विचार करें - एक प्रिज्म और एक सिलेंडर। फिलहाल, यह लेख स्टीरियोमेट्री में कार्यों के प्रकारों पर विचार से संबंधित लेखों की पूरी श्रृंखला को पूरा करता है।

यदि टास्क बैंक में नए लोग दिखाई देते हैं, तो निश्चित रूप से, भविष्य में ब्लॉग में कुछ जोड़ होंगे। लेकिन जो पहले से मौजूद है वह आपके लिए यह सीखने के लिए काफी है कि परीक्षा के भाग के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ सभी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। आने वाले वर्षों के लिए पर्याप्त सामग्री होगी (गणित कार्यक्रम स्थिर है)।

प्रस्तुत कार्यों में प्रिज्म के क्षेत्रफल की गणना करना शामिल है। मैं ध्यान देता हूं कि नीचे हम एक सीधे प्रिज्म (और, तदनुसार, एक सीधा सिलेंडर) पर विचार करते हैं।

बिना किसी सूत्र को जाने, हम समझते हैं कि किसी प्रिज्म की पार्श्व सतह उसके सभी पार्श्व फलक हैं। एक सीधे प्रिज्म में आयताकार पार्श्व फलक होते हैं।

ऐसे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके सभी पार्श्व फलकों (अर्थात आयतों) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। यदि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें एक सिलेंडर अंकित है, तो यह स्पष्ट है कि इस प्रिज्म के सभी फलक समान आयत हैं।

औपचारिक रूप से, एक नियमित प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र निम्नानुसार प्रतिबिंबित किया जा सकता है:

27064. एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक बेलन के चारों ओर परिचालित है जिसका आधार त्रिज्या और ऊंचाई 1 के बराबर है। प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

इस प्रिज्म की पार्श्व सतह में समान क्षेत्रफल के चार आयत होते हैं। फलक की ऊँचाई 1 है, प्रिज्म के आधार का किनारा 2 है (ये बेलन की दो त्रिज्याएँ हैं), इसलिए पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है:

पार्श्व सतह क्षेत्र:

73023. एक सिलेंडर के चारों ओर परिचालित एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें जिसका आधार त्रिज्या √0.12 और ऊंचाई 3 है।

किसी दिए गए प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन पार्श्व फलकों (आयतों) के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई और आधार किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। ऊंचाई तीन है. आइए आधार किनारे की लंबाई ज्ञात करें। प्रक्षेपण पर विचार करें (शीर्ष दृश्य):

हमारे पास एक नियमित त्रिभुज है जिसमें त्रिज्या √0.12 वाला एक वृत्त अंकित है। समकोण त्रिभुज AOC से हम AC ज्ञात कर सकते हैं। और फिर AD (AD=2AC). स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार:

इसका मतलब है कि AD = 2AC = 1.2, पार्श्व सतह क्षेत्र बराबर है:

27066. एक सिलेंडर के चारों ओर परिचालित एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें जिसका आधार त्रिज्या √75 और ऊंचाई 1 है।

आवश्यक क्षेत्रफल सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।

किसी चेहरे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसकी ऊंचाई और आधार किनारे की लंबाई जानने की आवश्यकता है। ऊंचाई ज्ञात है, यह 1 के बराबर है।

आइए आधार किनारे की लंबाई ज्ञात करें। प्रक्षेपण पर विचार करें (शीर्ष दृश्य):

हमारे पास एक नियमित षट्भुज है, जिसमें त्रिज्या √75 का एक वृत्त अंकित है।

समकोण त्रिभुज ABO पर विचार करें। हम पैर OB (यह बेलन की त्रिज्या है) जानते हैं। हम कोण AOB भी निर्धारित कर सकते हैं, यह 300 के बराबर है (त्रिकोण AOC समबाहु है, OB एक समद्विभाजक है)।

आइए एक समकोण त्रिभुज में स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करें:

AC = 2AB, चूँकि OB माध्यिका है, अर्थात यह AC को आधे में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है AC = 10.

इस प्रकार, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 1∙10=10 है और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

76485. एक बेलन में अंकित नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार त्रिज्या 8√3 और ऊँचाई 6 है।

तीन समान आकार के फलकों (आयत) के निर्दिष्ट प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको प्रिज्म के आधार के किनारे की लंबाई (हम ऊंचाई जानते हैं) जानना आवश्यक है। यदि हम प्रक्षेपण (शीर्ष दृश्य) पर विचार करें, तो हमारे पास एक वृत्त में अंकित एक नियमित त्रिभुज है। इस त्रिभुज की भुजा को त्रिज्या के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

इस रिश्ते का विवरण. तो यह बराबर होगा

फिर पार्श्व फलक का क्षेत्रफल है: 24∙6=144. और आवश्यक क्षेत्र:

245354. एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक बेलन के चारों ओर परिचालित है जिसका आधार त्रिज्या 2 है। प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 48 है। बेलन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

स्थानिक ज्यामिति में, प्रिज्म के साथ समस्याओं को हल करते समय, इन वॉल्यूमेट्रिक आकृतियों को बनाने वाले पक्षों या चेहरों के क्षेत्र की गणना करने में अक्सर समस्या उत्पन्न होती है। यह आलेख प्रिज्म के आधार और इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करने के मुद्दे के लिए समर्पित है।

प्रिज्म आकृति

एक या दूसरे प्रकार के प्रिज्म के आधार क्षेत्र और सतह के सूत्रों पर विचार करने से पहले, आपको यह समझना चाहिए कि हम किस प्रकार की आकृति के बारे में बात कर रहे हैं।

ज्यामिति में प्रिज्म एक स्थानिक आकृति है जिसमें दो समानांतर बहुभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं और कई चतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज होते हैं। उत्तरार्द्ध की संख्या हमेशा एक बहुभुज के शीर्षों की संख्या के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई आकृति दो समानांतर n-गोन्स से बनी है, तो समांतर चतुर्भुजों की संख्या n होगी।

एन-गॉन को जोड़ने वाले समांतर चतुर्भुज को प्रिज्म की पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है, और उनका कुल क्षेत्रफल आकृति की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल होता है। एन-गोन्स को स्वयं आधार कहा जाता है।

ऊपर दी गई तस्वीर कागज से बने प्रिज्म का एक उदाहरण दिखाती है। पीला आयत इसका शीर्ष आधार है। यह आकृति दूसरे समान आधार पर खड़ी है। लाल और हरे आयत पार्श्व फलक हैं।

प्रिज्म कितने प्रकार के होते हैं?

प्रिज्म कई प्रकार के होते हैं. वे सभी केवल दो मापदंडों में एक दूसरे से भिन्न हैं:

• आधार बनाने वाले एन-गॉन का प्रकार;
• एन-गॉन और पार्श्व फलकों के बीच का कोण।

उदाहरण के लिए, यदि आधार त्रिभुज हैं, तो प्रिज्म को त्रिकोणीय कहा जाता है, यदि यह चतुर्भुज है, जैसा कि पिछली आकृति में है, तो आकृति को चतुर्भुज प्रिज्म कहा जाता है, इत्यादि। इसके अलावा, एक एन-गॉन उत्तल या अवतल हो सकता है, तो यह गुण प्रिज्म के नाम में भी जोड़ा जाता है।

पार्श्व फलकों और आधार के बीच का कोण या तो सीधा, न्यून या अधिक हो सकता है। पहले मामले में वे एक आयताकार प्रिज्म की बात करते हैं, दूसरे में - एक झुके हुए या तिरछे प्रिज्म की।

नियमित प्रिज्म को एक विशेष प्रकार की आकृतियों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उनमें अन्य प्रिज्मों की तुलना में सबसे अधिक समरूपता है। यह तभी नियमित होगा जब यह आयताकार हो और इसका आधार नियमित एन-गॉन हो। नीचे दिया गया चित्र नियमित प्रिज्मों का एक सेट दिखाता है जिसमें एन-गॉन की भुजाओं की संख्या तीन से आठ तक भिन्न होती है।

प्रिज्म सतह

विचाराधीन मनमाने प्रकार की आकृति की सतह को प्रिज्म के चेहरों से संबंधित सभी बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है। किसी प्रिज्म के विकास की जांच करके उसकी सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए ऐसे विकास का एक उदाहरण नीचे दिया गया है।

यह देखा जा सकता है कि पूरी सतह दो त्रिभुजों और तीन आयतों से बनी है।

एक सामान्य प्रिज्म के मामले में, इसकी सतह में दो एन-गोनल आधार और एन चतुर्भुज शामिल होंगे।

आइए विभिन्न प्रकार के प्रिज्मों के सतह क्षेत्र की गणना के मुद्दे पर अधिक विस्तार से विचार करें।

एक नियमित प्रिज्म का आधार क्षेत्र

प्रिज्म के साथ काम करते समय शायद सबसे सरल समस्या नियमित आकृति के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या है। चूँकि यह एक एन-गॉन द्वारा बनता है जिसमें सभी कोण और भुजाओं की लंबाई समान होती है, इसे हमेशा समान त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जिनके कोण और भुजाएँ ज्ञात होती हैं। त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल n-गोन का क्षेत्रफल होगा।

प्रिज्म (आधार) के सतह क्षेत्र के हिस्से को निर्धारित करने का दूसरा तरीका एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करना है। यह इस तरह दिख रहा है:

एस एन = एन/4*ए 2 *सीटीजी(पीआई/एन)

अर्थात्, किसी एन-गॉन का क्षेत्रफल एस एन उसके किनारे ए की लंबाई के ज्ञान के आधार पर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सूत्र का उपयोग करके गणना करते समय कुछ कठिनाई कोटैंजेंट की गणना हो सकती है, खासकर जब n>4 (n≤4 के लिए कोटैंजेंट मान सारणीबद्ध डेटा हैं)। इस त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

ज्यामितीय समस्या प्रस्तुत करते समय, आपको सावधान रहना चाहिए, क्योंकि आपको प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता हो सकती है। फिर सूत्र से प्राप्त मान को दो से गुणा कर देना चाहिए।

त्रिकोणीय प्रिज्म का आधार क्षेत्र

त्रिकोणीय प्रिज्म के उदाहरण का उपयोग करके, आइए देखें कि आप इस आकृति के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात कर सकते हैं।

आइए पहले एक साधारण मामले पर विचार करें - एक नियमित प्रिज्म। आधार के क्षेत्रफल की गणना उपरोक्त पैराग्राफ में दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जाती है; आपको इसमें n=3 को प्रतिस्थापित करना होगा। हम पाते हैं:

एस 3 = 3/4*ए 2 *सीटीजी(पीआई/3) = 3/4*ए 2 *1/√3 = √3/4*ए 2

एक आधार का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए एक समबाहु त्रिभुज की भुजा a की लंबाई के विशिष्ट मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना बाकी है।

अब मान लीजिए कि एक प्रिज्म है जिसका आधार एक मनमाना त्रिभुज है। इसकी दो भुजाएँ a और b तथा उनके बीच का कोण α ज्ञात है। यह आंकड़ा नीचे दिखाया गया है.

इस मामले में त्रिकोणीय प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह याद रखना आवश्यक है कि किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल भुजा के आधे गुणनफल और इस भुजा से नीचे की ऊँचाई के बराबर होता है। चित्र में, ऊँचाई h को भुजा b की ओर खींचा गया है। लंबाई h कोण अल्फा की ज्या और भुजा a की लंबाई के गुणनफल से मेल खाती है। तो सम्पूर्ण त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

एस = 1/2*बी*एच = 1/2*बी*ए*पाप(α)

यह दिखाए गए त्रिकोणीय प्रिज्म का आधार क्षेत्र है।

पार्श्व सतह

हमने देखा कि प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। इस आकृति की पार्श्व सतह हमेशा समांतर चतुर्भुज से बनी होती है। सीधे प्रिज्म के लिए, समांतर चतुर्भुज आयत बन जाते हैं, इसलिए उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करना आसान होता है:

एस = ∑ मैं=1 एन (ए मैं *बी)

यहां b पार्श्व किनारे की लंबाई है, a i i-वें आयत के किनारे की लंबाई है, जो n-गॉन के किनारे की लंबाई से मेल खाता है। नियमित एन-गोनल प्रिज्म के मामले में, हमें एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

यदि प्रिज्म झुका हुआ है, तो इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, एक लंबवत कट बनाना चाहिए, इसकी परिधि P sr की गणना करें और इसे पार्श्व किनारे की लंबाई से गुणा करें।

ऊपर दी गई तस्वीर दिखाती है कि झुके हुए पंचकोणीय प्रिज्म के लिए यह कट कैसे बनाया जाना चाहिए।