भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में भिन्न कोई बड़ी परेशानी नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको तर्कसंगत घातांक और लघुगणक वाली घातें नहीं मिल जातीं। और वहाँ... आप कैलकुलेटर को दबाते हैं और दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूर्ण प्रदर्शन दिखाता है। आपको तीसरी कक्षा की तरह अपने दिमाग से सोचना होगा।

आइए अंततः भिन्नों का पता लगाएं! खैर, आप इनमें कितना उलझ सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?

भिन्नों के प्रकार. परिवर्तन.

भिन्न तीन प्रकार के होते हैं.

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी क्षैतिज रेखा के बजाय वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, ठीक है, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इसी वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हरयदि आप इन नामों को लगातार भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है...), तो अपने आप से यह वाक्यांश कहें: " ज़ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़भाजक - देखो zzzzzउह!" देखो, सब कुछ याद किया जाएगा।)

डैश, या तो क्षैतिज या झुका हुआ, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे (हर) तक। बस इतना ही! डैश के बजाय, विभाजन चिह्न - दो बिंदु लगाना काफी संभव है।

जब पूर्ण विभाजन संभव हो तो ऐसा अवश्य करना चाहिए। अत: भिन्न "32/8" के स्थान पर संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात भी नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है. और यदि यह पूर्णतः विभाज्य नहीं है, तो हम इसे भिन्न के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको विपरीत ऑपरेशन भी करना पड़ता है। पूर्ण संख्या को भिन्न में बदलें. लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि आपको कार्य "बी" के उत्तर लिखने होंगे।

3. मिश्रित संख्याएँ , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से ऐसा करने में सक्षम होना चाहिए! अन्यथा आप किसी समस्या में ऐसी संख्या में आ जाएंगे और रुक जाएंगे... कहीं से भी नहीं। लेकिन हम इस प्रक्रिया को याद रखेंगे! थोड़ा नीचे.

सर्वाधिक बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनसे शुरुआत करें. वैसे, यदि किसी भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएँ सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

भिन्न का मुख्य गुण.

तो चलते हैं! सबसे पहले, मैं आपको आश्चर्यचकित करूंगा। भिन्न परिवर्तनों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलता है।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक लिखना जारी रख सकते हैं जब तक आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। मुख्य बात यह समझना है कि ये सभी विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं वही अंश . 2/3.

क्या हमें इसकी, इन सभी परिवर्तनों की आवश्यकता है? और कैसे! अब आप खुद ही देख लेंगे. आरंभ करने के लिए, आइए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें अंशों को कम करना. यह एक प्राथमिक बात प्रतीत होगी. अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करें और बस इतना ही! गलती करना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप कहीं भी गलती कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे भिन्न को नहीं, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

अतिरिक्त कार्य किए बिना भिन्नों को सही ढंग से और शीघ्रता से कैसे कम किया जाए, इसके बारे में विशेष धारा 555 में पढ़ा जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह बस उन सभी चीज़ों को काट देता है जो ऊपर और नीचे समान हैं! यदि आप चाहें तो यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती, एक भूल छिपी हुई है।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

यहां सोचने की कोई बात नहीं है, ऊपर से "a" अक्षर और नीचे से "2" अक्षर काट दें! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन सच में आपने बंटवारा कर लिया सभी अंश और सभी हर "ए" है। यदि आप केवल काट देने के आदी हैं, तो, जल्दबाजी में, आप अभिव्यक्ति में "ए" को काट सकते हैं

और इसे फिर से प्राप्त करें

जो कि सर्वथा असत्य होगा। क्योंकि यहाँ सभी"ए" पर अंश पहले से ही है सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता. वैसे, ऐसी कमी, उम्म... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती है। यह माफ़ नहीं है! तुम्हे याद है? कम करते समय, आपको विभाजित करने की आवश्यकता है सभी अंश और सभी भाजक!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। अब मैं उसके साथ कैसे काम करना जारी रख सकता हूं? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, और सावधानी से इसे पांच से कम कर देते हैं, और पांच से कम कर देते हैं, और यहां तक ​​कि... जब इसे छोटा किया जा रहा है, तो संक्षेप में। आइए 3/8 प्राप्त करें! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मुख्य गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने और इसके विपरीत करने की अनुमति देता है बिना कैलकुलेटर के! यह एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक प्रकार से दूसरे प्रकार में कैसे परिवर्तित करें।

दशमलव भिन्नों के साथ सब कुछ सरल है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25. यह शून्य दशमलव पच्चीस सौवाँ भाग है। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (हम अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य भिन्न मिलता है: 1/4। सभी। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। जैसे 0.3. यह तीन दसवाँ भाग है, अर्थात्। 3/10.

यदि पूर्णांक शून्य नहीं हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम पूर्ण अंश लिखते हैं बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन दशमलव सत्रह सौवाँ भाग है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ, इसका मतलब सब कुछ है। यह उत्तर है. प्राथमिक वाटसन! जो कुछ कहा गया है, उससे एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन कुछ लोग कैलकुलेटर के बिना सामान्य से दशमलव में उलटा रूपांतरण नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप एकीकृत राज्य परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे!? ध्यान से पढ़ें और इस प्रक्रिया में महारत हासिल करें।

दशमलव भिन्न की विशेषता क्या है? उसका भाजक है हमेशालागत 10, या 100, या 1000, या 10000 इत्यादि। यदि आपके सामान्य भिन्न का हर इस प्रकार है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4. या 7/100 = 0.07. या 12/10 = 1.2. यदि अनुभाग "बी" में कार्य का उत्तर 1/2 निकला तो क्या होगा? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक है...

चलो याद करते हैं भिन्न का मुख्य गुण ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। कुछ भी, वैसे! बेशक, शून्य को छोड़कर। तो आइए इस संपत्ति का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (बेशक, छोटा बेहतर है...)? 5 बजे, ज़ाहिर है। बेझिझक हर को गुणा करें (यह है)। हमआवश्यक) 5 से। लेकिन फिर अंश को भी 5 से गुणा करना होगा। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमाँग! हमें 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 3/16 मिल सकता है। कोशिश करें और पता लगाएं कि 100 या 1000 बनाने के लिए 16 को किससे गुणा किया जाए... काम नहीं करता? फिर आप आसानी से 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको कागज के एक टुकड़े पर एक कोने से विभाजित करना होगा, जैसा कि प्राथमिक विद्यालय में सिखाया जाता है। हमें 0.1875 मिलता है।

और बहुत ख़राब भाजक भी हैं. उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को अच्छे दशमलव में बदलने का कोई तरीका नहीं है। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश है अनुवाद नहीं करता. 1/7, 5/6 इत्यादि के समान। उनमें से कई ऐसे हैं जिनका अनुवाद नहीं किया जा सकता। यह हमें एक और उपयोगी निष्कर्ष पर लाता है। प्रत्येक भिन्न दशमलव में परिवर्तित नहीं होता !

वैसे, स्व-परीक्षण के लिए यह उपयोगी जानकारी है। अनुभाग "बी" में आपको अपने उत्तर में एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है. इसका मतलब है कि आपने रास्ते में कहीं न कहीं गलती की है! वापस जाएँ और समाधान की जाँच करें।

इसलिए, हमने साधारण और दशमलव भिन्नों का पता लगाया। जो कुछ बचा है वह मिश्रित संख्याओं से निपटना है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। इसे कैसे करना है? आप छठी कक्षा के विद्यार्थी को पकड़ कर उससे पूछ सकते हैं। लेकिन छठी कक्षा का विद्यार्थी हमेशा साथ नहीं रहेगा... आपको यह स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। आपको भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्ण भाग से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ना होगा। यह सामान्य भिन्न का अंश होगा. हर के बारे में क्या? विभाजक वही रहेगा. यह जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ सरल है। आइए एक उदाहरण देखें.

मान लीजिए कि आप समस्या में संख्या देखकर भयभीत हो गए:

शांति से, बिना घबराहट के, हम सोचते हैं। संपूर्ण भाग 1. इकाई है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अत: भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश को गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह सामान्य भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

यह स्पष्ट है? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! साधारण भिन्नों में बदलें. आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, यदि ऐसा है... और यदि आप हाई स्कूल में नहीं हैं, तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वैसे, आप वहां अनुचित भिन्नों के बारे में भी जानेंगे।

ख़ैर, व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आपने भिन्नों के प्रकार याद किये और समझे कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में स्थानांतरित करें। प्रश्न बना हुआ है: किस लिए इसे करें? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई भी उदाहरण स्वयं ही आवश्यक कार्यवाही का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहां तक ​​कि मिश्रित संख्याओं को एक साथ मिलाया जाता है, तो हम हर चीज को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर यह 0.8 + 0.3 जैसा कुछ कहता है, तो हम इसे बिना किसी अनुवाद के उसी तरह गिनते हैं। हमें अतिरिक्त कार्य की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य सभी दशमलव भिन्नों का है, लेकिन उम... कुछ प्रकार के बुरे अंश हैं, तो सामान्य अंशों पर जाएँ, इसे आज़माएँ! देखिए, सब ठीक हो जाएगा. उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। यदि आपको कैलकुलेटर का उपयोग करने की आदत नहीं है तो यह इतना आसान नहीं है! आपको न केवल किसी कॉलम में संख्याओं को गुणा करना है, बल्कि आपको यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से आपके दिमाग में काम नहीं करेगा! यदि हम एक साधारण भिन्न की ओर बढ़ें तो क्या होगा?

0.125 = 125/1000. हम इसे 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत करने वालों के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 से हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह अभी भी सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है. हम इसे आसानी से वर्गित कर लेते हैं (अपने दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त कर लेते हैं। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार की होती हैं। सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव एवं मिश्रित संख्याएँ हमेशासाधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा स्थानांतरण हमेशा नहींउपलब्ध।

3. किसी कार्य पर काम करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव कार्य पर ही निर्भर करता है। यदि एक ही कार्य में विभिन्न प्रकार के भिन्न हों, तो सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों पर स्विच करना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं. सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह उत्तर मिलना चाहिए (अव्यवस्था में!):

चलिए यहीं ख़त्म करते हैं. इस पाठ में हमने भिन्नों के बारे में मुख्य बिंदुओं पर अपनी स्मृति ताज़ा की। हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है...) यदि कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं कर पाया है... तो आप एक विशेष धारा 555 पर जा सकते हैं। वहां सभी बुनियादी बातों को विस्तार से शामिल किया गया है। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं. और वे तुरंत भिन्नों को हल कर देते हैं)।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

मुझे स्वयं इस तथ्य का सामना करना पड़ा है कि भिन्न मेरे बच्चों के लिए एक कठिन विषय बन गया है।

एक बहुत अच्छा गेम है निकितिन फ्रैक्शंस, यह प्रीस्कूलर्स के लिए है, लेकिन स्कूल में भी यह बच्चे को यह समझने में पूरी तरह से मदद करेगा कि वे क्या हैं - भिन्न, एक-दूसरे से उनका रिश्ता..., और सब कुछ एक सुलभ, दृश्य और रोमांचक रूप.

इसमें बारह बहुरंगी वृत्त शामिल हैं। एक वृत्त पूर्ण है, और बाकी सभी समान भागों में विभाजित हैं - दो, तीन.... (बारह तक)।

बच्चे को सरल खेल कार्य पूरा करने के लिए कहा जाता है, उदाहरण के लिए:

वृत्त के भागों को क्या कहते हैं? या

कौन सा भाग बड़ा है? (छोटे वाले को बड़े वाले के ऊपर रखें।)

इस तकनीक से मुझे मदद मिली. सामान्य तौर पर, मुझे वास्तव में अफसोस है कि जब बच्चे अभी भी बच्चे थे तो निकितिन के इन सभी घटनाक्रमों पर मेरी नजर नहीं पड़ी।

आप गेम स्वयं बना सकते हैं या रेडीमेड खरीद सकते हैं, और हर चीज़ के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं -।

भिन्नों को हल करना लेगो ईंटों का उपयोग करके भी समझाया जा सकता है। यह न केवल कल्पनाशक्ति विकसित करता है, बल्कि रचनात्मक और तार्किक सोच भी विकसित करता है, जिसका अर्थ है कि इसका उपयोग शिक्षण सहायता के रूप में भी किया जा सकता है।

बच्चों को गणित की मूल बातें सिखाने के लिए प्रसिद्ध डिजाइनर के ब्लॉक का उपयोग करने का विचार एलिसिया ज़िम्मरमैन के मन में आया।

और यहां लेगो का उपयोग करके भिन्नों को समझाने का तरीका बताया गया है।





अभ्यास से पता चलता है कि विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने (घटाने) और भिन्नों को विभाजित करने पर सबसे अधिक कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

पाठ्यपुस्तक में गलत निर्देशों के कारण कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, जैसे भिन्न को भिन्न से विभाजित करना।

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आप पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं।

क्या चौथी कक्षा का बच्चा इसे समझ सकता है और भ्रमित नहीं हो सकता? नहीं!

और शिक्षक ने हमें प्राथमिक तरीके से समझाया: हमें दूसरे भिन्न को पलटना होगा और फिर उसे गुणा करना होगा!

जोड़ के साथ भी यही बात है.

दो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के हर से गुणा करना होगा, परिणामी संख्याओं को जोड़ना होगा और उन्हें अंश में लिखना होगा। और हर में आपको भिन्नों के हरों का गुणनफल लिखना होगा। इसके बाद, परिणामी अंश को कम किया जा सकता है (या किया जाना चाहिए)।

और यह सरल है: भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएं, जो हर के एलसीएम के बराबर है, और फिर अंशों को जोड़ें।

उन्हें एक स्पष्ट उदाहरण के साथ दिखाएँ. उदाहरण के लिए, एक सेब को 4 भागों में काटें, 8 भागों में काटें, 12 भागों को पूरा जोड़ें, कई भागों को जोड़ें, घटाएँ। साथ ही नियमों का प्रयोग करते हुए कागज पर समझाएं। जोड़ और घटाव के नियम. भिन्नों को विभाजित करना, साथ ही एक अनुचित भिन्न से पूर्ण को कैसे अलग करना है - यह सब एक सेब के साथ हेरफेर करते हुए सीखें। बच्चों को जल्दबाजी न करें; उन्हें अपनी मदद से सावधानीपूर्वक टुकड़ों को छांटने दें।

विशेष रूप से, बच्चों को भिन्नों को हल करना सिखाना काफी सामान्य है और इससे ज्यादा परेशानी नहीं होगी। सबसे आसान काम जो आप कर सकते हैं वह यह है कि कोई संपूर्ण चीज़ लें, उदाहरण के लिए एक कीनू, या कोई अन्य फल, इसे भागों में विभाजित करें, और इस फल के टुकड़ों के साथ घटाव, जोड़ और अन्य संचालन दिखाने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें, जो कि अंश होंगे साबुत। हर चीज़ को समझाने और दिखाने की ज़रूरत है, और अंतिम कारक गणितीय उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को एक साथ समझाना और हल करना होगा जब तक कि बच्चा इन कार्यों को स्वयं करना नहीं सीख लेता।

यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि किसी वास्तविक वस्तु पर अंश किससे मेल खाता है और कैसा दिखता है, इसे ठीक इसी तरह से समझाने की आवश्यकता है।



आपको इस मुद्दे पर गहनता से विचार करने की आवश्यकता है, क्योंकि भिन्नों को हल करना जीवन में काम आएगा। इस मामले में यह आवश्यक है, जैसा कि वे कहते हैं, बच्चों के साथ समान स्तर पर होना और सिद्धांत को उस भाषा में समझाना जिसे वे समझते हैं, उदाहरण के लिए, केक या कीनू की भाषा में। आपको केक को टुकड़ों में बांटकर दोस्तों को देना होगा, जिसके बाद बच्चा भिन्नों को हल करने का सार समझने लगेगा। भारी भिन्नों से शुरू न करें, 1/2, 1/3, 1/10 की अवधारणाओं से शुरू करें। सबसे पहले, घटाएं और जोड़ें, और फिर गुणा और भाग जैसी अधिक जटिल अवधारणाओं पर आगे बढ़ें।

भिन्नों के साथ विभिन्न प्रकार की समस्याएँ होती हैं। एक बच्चा यह नहीं समझ सकता कि एक सेकंड और पाँच दसवाँ एक ही चीज़ हैं, अन्य अलग-अलग भिन्नों को एक ही हर में लाने से भ्रमित होते हैं, और फिर भी अन्य भिन्नों के विभाजन से भ्रमित होते हैं। इसलिए, सभी अवसरों के लिए कोई एक नियम नहीं है।

भिन्नों से जुड़ी समस्याओं में मुख्य बात यह है कि उस क्षण को न चूकें जब जो समझ में आता है वह समझ में आना बंद हो जाता है। चूल्हे पर लौटें और सब कुछ दोबारा दोहराएं, भले ही यह बहुत ही आदिम लगे। उदाहरण के लिए, वापस जाएँ एक सेकंड क्या है.

बच्चे को यह समझना चाहिए कि गणितीय अवधारणाएँ अमूर्त हैं, कि एक ही घटना को अलग-अलग शब्दों में वर्णित किया जा सकता है और विभिन्न संख्याओं में व्यक्त किया जा सकता है।

मुझे मेफोडी66 द्वारा दिया गया उत्तर पसंद आया। मैं कई वर्षों के व्यक्तिगत अभ्यास से जोड़ूंगा: भिन्नों के साथ समस्याओं को हल करना सिखाना (और भिन्नों को हल करना नहीं; भिन्नों को हल करना असंभव है, जैसे संख्याओं को हल करना असंभव है) काफी सरल है, आपको बस बच्चे के करीब रहने की आवश्यकता है जब वह पहली बार ऐसी समस्याओं को हल करना शुरू करता है, और समय पर अपने समाधान को सही करता है, ताकि गलतियाँ, जो किसी भी सीखने में अपरिहार्य हैं, को बच्चे के दिमाग में जगह बनाने का समय न मिले। कुछ नया सीखने से ज्यादा कठिन है दोबारा सीखना। और ऐसी समस्याओं का यथासंभव समाधान करें। ऐसे कार्यों के समाधान को स्वचालितता में लाना एक अच्छी बात होगी। साधारण भिन्नों के साथ समस्याओं को हल करने की क्षमता स्कूली गणित पाठ्यक्रम में उतनी ही महत्वपूर्ण है जितनी गुणन सारणी का ज्ञान। इसलिए आपको यह देखने के लिए समय निकालना होगा कि आपका बच्चा ऐसी समस्याओं का समाधान कैसे करता है।

और पाठ्यपुस्तक पर बहुत अधिक भरोसा न करें: स्कूलों में शिक्षक बिल्कुल वैसा ही समझाते हैं जैसा कि मेफोडी66 ने अपने उत्तर में लिखा था। बेहतर होगा कि आप शिक्षक से बात करें, पता करें कि शिक्षक ने इस विषय को किन शब्दों में समझाया है। और यदि संभव हो तो उन्हीं शब्दों और वाक्यांशों का उपयोग करें (ताकि बच्चा बहुत अधिक भ्रमित न हो)

इसके अलावा: मैं आपको सलाह देता हूं कि स्पष्टीकरण के प्रारंभिक चरण में केवल दृश्य उदाहरणों का उपयोग करें, फिर जल्दी से सार निकालें और समाधान एल्गोरिदम पर आगे बढ़ें। अन्यथा, अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय स्पष्टता हानिकारक हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि आपको हर 29 और 121 वाली भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो किस प्रकार की दृश्य सहायता मदद करेगी? यह केवल भ्रमित करेगा.

भिन्न उन धन्य गणितीय विषयों में से एक है जहाँ ऐसे कोई अमूर्त नहीं हैं जो मामले पर लागू न हों। उत्पादों का उपयोग किया जाना चाहिए (केक पर, जैसे बेताब गृहिणियों में जुआनिता सोलिस - स्पष्टीकरण का एक बहुत अच्छा तरीका)। ये सभी अंश-हर बाद में आते हैं। तब बच्चे के लिए यह समझना आवश्यक है कि अंश से भाग देने पर अब कोई कमी नहीं है, और गुणा करना कोई वृद्धि नहीं है। यहां यह दिखाना बेहतर है कि व्युत्क्रम द्वारा गुणन के रूप में भिन्न को कैसे विभाजित किया जाए। संक्षिप्त रूप को चंचल तरीके से प्रस्तुत करें; यदि वे एक संख्या से विभाजित हैं, तो विभाजित करें, यदि आपकी रुचि हो तो यह लगभग सुडोकू बन जाता है। मुख्य बात समय रहते गलतफहमियों पर ध्यान देना है, क्योंकि आगे और भी दिलचस्प विषय होंगे जिन्हें समझना आसान नहीं है। इसलिए, भिन्नों को हल करने का अधिक अभ्यास करें और सब कुछ जल्दी से बेहतर हो जाएगा। मेरे लिए, सबसे शुद्ध मानवतावादी, अमूर्तता की थोड़ी सी भी डिग्री से दूर, अंश हमेशा अन्य विषयों की तुलना में स्पष्ट रहे हैं।

यह आलेख भिन्नों पर संक्रियाओं की जाँच करता है। A B के रूप के भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग या घातांक के नियम बनाए जाएंगे और उन्हें उचित ठहराया जाएगा, जहां A और B संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हो सकते हैं। अंत में, विस्तृत विवरण वाले समाधानों के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

Yandex.RTB R-A-339285-1

सामान्य संख्यात्मक भिन्नों के साथ संक्रियाएँ करने के नियम

सामान्य भिन्नों में एक अंश और एक हर होता है जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ होती हैं। यदि हम भिन्नों पर विचार करें जैसे 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 एलएन 3, तो यह स्पष्ट है कि अंश और हर में न केवल संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि विभिन्न प्रकार के भाव भी हो सकते हैं।

परिभाषा 1

ऐसे नियम हैं जिनके द्वारा साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं। यह सामान्य भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है:

• समान हर वाली भिन्नों को घटाने पर, केवल अंश जोड़े जाते हैं, और हर वही रहता है, अर्थात्: a d ± c d = a ± c d, मान a, c और d ≠ 0 कुछ संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं।
• विभिन्न हर वाले भिन्न को जोड़ते या घटाते समय, इसे एक सामान्य हर में घटाना आवश्यक है, और फिर समान घातांक वाले परिणामी भिन्न को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। वस्तुतः यह इस तरह दिखता है: a b ± c d = a · p ± c · r s, जहां मान a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 वास्तविक संख्याएं हैं, और बी · पी = डी · आर = एस। जब पी = डी और आर = बी, तो ए बी ± सी डी = ए · डी ± सी · डी बी · डी।
• भिन्नों को गुणा करते समय, क्रिया अंशों के साथ की जाती है, उसके बाद हर के साथ, तब हमें a b · c d = a · c b · d प्राप्त होता है, जहाँ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 वास्तविक संख्याओं के रूप में कार्य करते हैं।
• किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करते समय, हम पहले को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात, हम अंश और हर की अदला-बदली करते हैं: a b: c d = a b · d c।

नियमों का औचित्य

परिभाषा 2

निम्नलिखित गणितीय बिंदु हैं जिन पर आपको गणना करते समय भरोसा करना चाहिए:

• दशमलव बिंदु का अर्थ है विभाजन चिह्न;
• किसी संख्या से विभाजन को उसके पारस्परिक मान से गुणा माना जाता है;
• वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं की संपत्ति का अनुप्रयोग;
• भिन्नों और संख्यात्मक असमानताओं की मूल संपत्ति का अनुप्रयोग।

उनकी सहायता से, आप प्रपत्र में परिवर्तन कर सकते हैं:

ए डी ± सी डी = ए · डी - 1 ± सी · डी - 1 = ए ± सी · डी - 1 = ए ± सी डी ; ए बी ± सी डी = ए · पी बी · पी ± सी · आर डी · आर = ए · पी एस ± सी · ई एस = ए · पी ± सी · आर एस; ए बी · सीडी = ए · डी बी · डी · बी · सी बी · डी = ए · डी · ए · डी - 1 · बी · सी · बी · डी - 1 = = ए · डी · बी · सी · बी · डी - 1 · बी · डी - 1 = ए · डी · बी · सी बी · डी · बी · डी - 1 = = (ए · सी) · (बी · डी) - 1 = ए · सी बी · डी

उदाहरण

पिछले पैराग्राफ में भिन्नों के साथ संक्रियाओं के बारे में कहा गया था। इसके बाद भिन्न को सरल बनाने की आवश्यकता है। भिन्नों को परिवर्तित करने के अनुच्छेद में इस विषय पर विस्तार से चर्चा की गई थी।

सबसे पहले, आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

भिन्न 8 2, 7 और 1 2, 7 दिए जाने पर नियम के अनुसार अंश को जोड़ना और हर को फिर से लिखना आवश्यक है।

समाधान

तब हमें 8 + 1 2, 7 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। योग करने के बाद, हमें 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। तो, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3।

उत्तर: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

एक और उपाय है. सबसे पहले, हम एक साधारण भिन्न के रूप में स्विच करते हैं, जिसके बाद हम सरलीकरण करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण 2

आइए 1 - 2 3 · लघुगणक 2 3 · लघुगणक 2 5 + 1 से 2 3 3 · लघुगणक 2 3 · लघुगणक 2 5 + 1 का अंश घटाएँ।

चूँकि समान हर दिए गए हैं, इसका मतलब है कि हम समान हर वाले भिन्न की गणना कर रहे हैं। हमें वह मिल गया

1 - 2 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की गणना के उदाहरण हैं। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक सामान्य विभाजक को कम करना है। इसके बिना, हम भिन्नों के साथ आगे की कार्रवाई नहीं कर पाएंगे।

यह प्रक्रिया अस्पष्ट रूप से एक सामान्य भाजक में कमी की याद दिलाती है। अर्थात्, हर में सबसे कम सामान्य भाजक की खोज की जाती है, जिसके बाद लुप्त कारकों को भिन्नों में जोड़ा जाता है।

यदि जोड़े जा रहे भिन्नों में उभयनिष्ठ गुणनखंड न हों तो उनका गुणनफल एक हो सकता है।

उदाहरण 3

आइए भिन्नों 2 3 5 + 1 और 1 2 को जोड़ने का उदाहरण देखें।

समाधान

इस मामले में, उभयनिष्ठ हर हरों का गुणनफल है। तब हमें वह 2 · 3 5 + 1 प्राप्त होता है। फिर, अतिरिक्त गुणनखंड निर्धारित करते समय, हमारे पास यह है कि पहले अंश के लिए यह 2 के बराबर है, और दूसरे के लिए यह 3 5 + 1 है। गुणन के बाद, भिन्नों को 4 2 · 3 5 + 1 के रूप में घटाया जाता है। 1 2 की सामान्य कमी 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 होगी। हम परिणामी भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते हैं और वह प्राप्त करते हैं

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

उत्तर: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जब हम सामान्य भिन्नों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो हम आम तौर पर सबसे कम सामान्य विभाजक के बारे में बात नहीं करते हैं। अंशों के गुणनफल को हर के रूप में लेना लाभहीन है। सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि क्या कोई ऐसी संख्या है जिसका मूल्य उनके उत्पाद से कम है।

उदाहरण 4

आइए 1 6 · 2 1 5 और 1 4 · 2 3 5 के उदाहरण पर विचार करें, जब उनका गुणनफल 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 के बराबर है। फिर हम 12 · 2 3 5 को उभयनिष्ठ हर के रूप में लेते हैं।

आइए सामान्य भिन्नों को गुणा करने के उदाहरण देखें।

उदाहरण 5

ऐसा करने के लिए, आपको 2 + 1 6 और 2 · 5 3 · 2 + 1 को गुणा करना होगा।

समाधान

नियम का पालन करते हुए अंशों के गुणनफल को हर के रूप में पुनः लिखना और लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. एक बार भिन्न को गुणा करने के बाद, आप इसे सरल बनाने के लिए कटौती कर सकते हैं। फिर 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10।

एक व्युत्क्रम भिन्न द्वारा भाग से गुणा करने के लिए संक्रमण के नियम का उपयोग करते हुए, हमें एक भिन्न प्राप्त होता है जो दिए गए अंश का व्युत्क्रम होता है। ऐसा करने के लिए, अंश और हर की अदला-बदली की जाती है। आइए एक उदाहरण देखें:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

फिर उन्हें परिणामी भिन्न को गुणा और सरल करना होगा। यदि आवश्यक हो, तो हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं। हमें वह मिल गया

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

उत्तर: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

यह अनुच्छेद तब लागू होता है जब किसी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को 1 के बराबर हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ऐसे भिन्न के साथ संक्रिया को एक अलग अनुच्छेद माना जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 1 6 · 7 4 - 1 · 3 दर्शाता है कि 3 के मूल को किसी अन्य 3 1 व्यंजक से बदला जा सकता है। तब यह प्रविष्टि 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 के रूप के दो भिन्नों को गुणा करने जैसी दिखेगी।

चर वाले भिन्नों पर संक्रियाएँ निष्पादित करना

पहले लेख में चर्चा किए गए नियम चर वाले भिन्नों वाले संचालन पर लागू होते हैं। जब हर समान हों तो घटाव नियम पर विचार करें।

यह साबित करना आवश्यक है कि ए, सी और डी (डी शून्य के बराबर नहीं) कोई भी अभिव्यक्ति हो सकता है, और समानता ए डी ± सी डी = ए ± सी डी इसके अनुमेय मूल्यों की सीमा के बराबर है।

ODZ वेरिएबल्स का एक सेट लेना आवश्यक है। फिर A, C, D को संबंधित मान a 0 , c 0 और लेना होगा डी 0. फॉर्म A D ± C D के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप फॉर्म a 0 d 0 ± c 0 d 0 का अंतर आ जाता है, जहां, जोड़ नियम का उपयोग करते हुए, हमें फॉर्म a 0 ± c 0 d 0 का एक सूत्र प्राप्त होता है। यदि हम व्यंजक A ± C D को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का वही भिन्न प्राप्त होता है। यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चयनित मान जो ODZ, A ± C D और A D ± C D को संतुष्ट करता है, बराबर माना जाता है।

चरों के किसी भी मान के लिए ये व्यंजक समान होंगे, अर्थात इन्हें सर्वसम समान कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि इस अभिव्यक्ति को A D ± C D = A ± C D के रूप की एक सिद्ध समानता माना जाता है।

चरों के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण

जब आपके पास समान हर हों, तो आपको केवल अंशों को जोड़ने या घटाने की आवश्यकता होती है। इस अंश को सरल बनाया जा सकता है. कभी-कभी आपको उन भिन्नों के साथ काम करना पड़ता है जो समान रूप से समान होते हैं, लेकिन पहली नज़र में यह ध्यान देने योग्य नहीं है, क्योंकि कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए। उदाहरण के लिए, x 2 3 x 1 3 + 1 और x 1 3 + 1 2 या 1 2 पाप 2 α और पाप ए कॉस ए। अक्सर, समान हर को देखने के लिए मूल अभिव्यक्ति के सरलीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 6

गणना करें: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2), x - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 .

समाधान

1. गणना करने के लिए, आपको उन भिन्नों को घटाना होगा जिनका हर समान हो। तब हम पाते हैं कि x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2। जिसके बाद आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं और समान शब्द जोड़ सकते हैं। हम पाते हैं कि x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. चूँकि हर समान हैं, इसलिए हर को छोड़कर अंशों को जोड़ना बाकी है: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x +2)
   जोड़ने का काम पूरा हो चुका है. यह देखा जा सकता है कि अंश को कम करना संभव है। इसके अंश को योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है, तो हमें (l g x + 2) 2 मिलता है संक्षिप्त गुणन सूत्रों से. तब हमें वह मिलता है
   एल जी 2 एक्स + 4 + 2 एल जी एक्स एक्स (एल जी एक्स + 2) = (एल जी एक्स + 2) 2 एक्स (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स
3. विभिन्न हरों के साथ x - 1 x - 1 + x x + 1 के रूप में भिन्न दिए गए हैं। परिवर्तन के बाद, आप जोड़ पर आगे बढ़ सकते हैं।

आइए दोहरे समाधान पर विचार करें।

पहली विधि यह है कि पहले अंश के हर को वर्गों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जाता है, इसके बाद इसकी कमी की जाती है। हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है

एक्स - 1 एक्स - 1 = एक्स - 1 (एक्स - 1) एक्स + 1 = 1 एक्स + 1

तो x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1।

इस मामले में, हर में अतार्किकता से छुटकारा पाना आवश्यक है।

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दूसरी विधि दूसरे अंश के अंश और हर को अभिव्यक्ति x - 1 से गुणा करना है। इस प्रकार, हम अतार्किकता से छुटकारा पा लेते हैं और समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने की ओर आगे बढ़ते हैं। तब

एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स - 1 = = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1 = एक्स - 1 + एक्स · एक्स - एक्स एक्स - 1

उत्तर: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स, 3) एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 + एक्स · एक्स - एक्स एक्स - 1।

पिछले उदाहरण में हमने पाया कि एक सामान्य हर में कमी अपरिहार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को सरल बनाना होगा। जोड़ते या घटाते समय, आपको हमेशा एक सामान्य हर की तलाश करनी होगी, जो अंशों में जोड़े गए अतिरिक्त कारकों के साथ हर के उत्पाद जैसा दिखता है।

उदाहरण 7

भिन्नों के मानों की गणना करें: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - पाप x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

समाधान

1. हर को किसी भी जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको 3 x 7 + 2 · 2 के रूप में उनके उत्पाद को चुनने की आवश्यकता है, फिर अतिरिक्त कारक के रूप में पहले अंश के लिए x 7 + 2 · 2 चुनें, और दूसरे के लिए 3 चुनें। गुणा करने पर, हमें x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = = x x 7 + 2 2 + 3 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. यह देखा जा सकता है कि हर को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अतिरिक्त परिवर्तन अनावश्यक हैं। सामान्य हर को x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 के रूप का गुणनफल माना जाएगा। अत: x 4 पहले भिन्न का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, और ln(x + 1) दूसरे को. फिर हम घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - पाप x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - पाप x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - पाप x · ln (x + 1 ) x 5 · एलएन 2 (एक्स + 1) · (2 ​​एक्स - 4) = एक्स · एक्स 4 + एक्स 4 - सिन एक्स · एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 · एलएन 2 (एक्स + 1) · ( 2x - 4 )
3. भिन्न हर के साथ काम करते समय यह उदाहरण समझ में आता है। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के लिए सूत्रों को लागू करना आवश्यक है, क्योंकि वे 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) के रूप की अभिव्यक्ति पर आगे बढ़ना संभव बना देंगे। एक्स) 2. यह देखा जा सकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है। हम पाते हैं कि cos x - x · cos x + x 2।

तब हमें वह मिलता है

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos + कॉस एक्स - एक्स कॉस एक्स - एक्स कॉस एक्स + एक्स 2 = = कॉस एक्स + एक्स + कॉस एक्स - एक्स कॉस एक्स - एक्स कॉस एक्स + एक्स 2 = 2 कॉस

उत्तर:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - पाप x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2।

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है। फिर आप कमी संपत्ति लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 8

भिन्नों को x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 और 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 syn 2 · x - x से गुणा करें।

समाधान

गुणा-भाग करना होगा. हमें वह मिल गया

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

गणना की सुविधा के लिए संख्या 3 को पहले स्थान पर ले जाया जाता है, और आप अंश को x 2 से कम कर सकते हैं, फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 x - x)

उत्तर: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · पाप (2 · एक्स - एक्स) .

विभाजन

भिन्नों का विभाजन गुणन के समान है, क्योंकि पहले भिन्न को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। यदि हम उदाहरण के लिए भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 लेते हैं और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 syn 2 x - x से विभाजित करते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 पाप (2 · x - x), फिर x + 2 · x x के रूप के गुणनफल से बदलें 2 · एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 3 एक्स 2 1 3 एक्स + 1 - 2 पाप (2 एक्स - एक्स)

घातांक

आइए घातांक के साथ सामान्य भिन्नों के साथ संक्रियाओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। यदि प्राकृतिक घातांक के साथ कोई घात हो तो क्रिया को समान भिन्नों का गुणन माना जाता है। लेकिन डिग्री के गुणों के आधार पर एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। कोई भी अभिव्यक्ति ए और सी, जहां सी बिल्कुल शून्य के बराबर नहीं है, और फॉर्म ए सी आर की अभिव्यक्ति के लिए ओडीजेड पर कोई भी वास्तविक आर समानता ए सी आर = ए आर सी आर मान्य है। परिणाम एक घात तक बढ़ा हुआ अंश है। उदाहरण के लिए, विचार करें:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

भिन्नों के साथ संक्रियाएँ करने की प्रक्रिया

भिन्नों पर संक्रियाएँ कुछ नियमों के अनुसार की जाती हैं। व्यवहार में, हम देखते हैं कि एक अभिव्यक्ति में कई भिन्न या भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं। फिर सभी क्रियाओं को सख्त क्रम में करना आवश्यक है: एक घात तक बढ़ाना, गुणा करना, विभाजित करना, फिर जोड़ना और घटाना। यदि कोष्ठक हैं, तो पहली क्रिया उनमें की जाती है।

उदाहरण 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x की गणना करें।

समाधान

चूँकि हमारे पास एक ही भाजक है, तो 1 - x cos x और 1 c o s x, लेकिन नियम के अनुसार घटाव नहीं किया जा सकता है, पहले कोष्ठक में क्रियाएँ की जाती हैं, फिर गुणा किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है; फिर गणना करने पर हमें वह प्राप्त होता है

1 + 1 एक्स = 1 1 + 1 एक्स = एक्स एक्स + 1 एक्स = एक्स + 1 एक्स

व्यंजक को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x। भिन्नों को गुणा करने पर हमें मिलता है: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x। सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें 1 - x cos x - x + 1 cos x · x प्राप्त होता है। अब आपको उन भिन्नों के साथ काम करने की ज़रूरत है जिनके हर अलग-अलग हैं। हम पाते हैं:

एक्स · 1 - एक्स कॉस एक्स · एक्स - एक्स + 1 कॉस एक्स · एक्स = एक्स · 1 - एक्स - 1 + एक्स कॉस एक्स · एक्स = = एक्स - एक्स - एक्स - 1 कॉस एक्स · एक्स = - एक्स + 1 कॉस एक्स एक्स

उत्तर: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x।

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यह आलेख भिन्नों के साथ संचालन पर एक सामान्य नज़र डालता है। यहां हम सामान्य रूप ए/बी के भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के नियम बनाएंगे और उनका औचित्य सिद्ध करेंगे, जहां ए और बी कुछ संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हैं। हमेशा की तरह, हम समाधानों के विस्तृत विवरण के साथ व्याख्यात्मक उदाहरणों के साथ सामग्री प्रदान करेंगे।

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सामान्य संख्यात्मक भिन्नों के साथ संक्रियाएँ करने के नियम

आइए सहमत हैं कि सामान्य संख्यात्मक भिन्नों से हमारा तात्पर्य उन भिन्नों से है जिनमें अंश और/या हर को न केवल प्राकृतिक संख्याओं द्वारा, बल्कि अन्य संख्याओं या संख्यात्मक अभिव्यक्तियों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। स्पष्टता के लिए, यहां ऐसे भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: , .

हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा उन्हें क्रियान्वित किया जाता है। समान नियमों का उपयोग करके, आप सामान्य भिन्नों के साथ संचालन कर सकते हैं:

नियमों का औचित्य

सामान्य संख्यात्मक भिन्नों के साथ संचालन करने के नियमों की वैधता को उचित ठहराने के लिए, आप निम्नलिखित बिंदुओं से शुरुआत कर सकते हैं:

• स्लैश मूलतः एक विभाजन चिह्न है,
• किसी गैर-शून्य संख्या से विभाजन को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा के रूप में माना जा सकता है (यह तुरंत भिन्नों को विभाजित करने के नियम की व्याख्या करता है),
• वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण,
• और इसकी सामान्य समझ,

वे आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की अनुमति देते हैं जो समान और असमान हर वाले भिन्नों के जोड़, घटाव के नियमों के साथ-साथ भिन्नों के गुणन के नियम को उचित ठहराते हैं:

उदाहरण

आइए हम पिछले पैराग्राफ में सीखे गए नियमों के अनुसार सामान्य भिन्नों के साथ संक्रिया करने के उदाहरण दें। आइए तुरंत कहें कि आमतौर पर भिन्नों के साथ क्रियाएं करने के बाद, परिणामी भिन्न को सरलीकरण की आवश्यकता होती है, और भिन्न को सरल बनाने की प्रक्रिया अक्सर पिछली क्रियाओं को करने की तुलना में अधिक जटिल होती है। हम भिन्नों को सरल बनाने पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे (संबंधित परिवर्तनों की चर्चा भिन्नों को रूपांतरित करने वाले लेख में की गई है), ताकि उस विषय से ध्यान न भटके जिसमें हमारी रुचि है।

आइए समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों से शुरुआत करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को जोड़ें और। जाहिर है हर बराबर हैं. संगत नियम के अनुसार, हम एक भिन्न लिखते हैं जिसका अंश मूल भिन्न के अंशों के योग के बराबर होता है, और हर को वही छोड़ देते हैं, जो हमारे पास है। जोड़ हो गया है, जो कुछ बचा है वह परिणामी भिन्न को सरल बनाना है: . इसलिए, .

समाधान को अलग तरीके से संभाला जा सकता था: पहले सामान्य भिन्नों में परिवर्तन करें, और फिर जोड़ को आगे बढ़ाएं। इस दृष्टिकोण के साथ हमारे पास है .

अब भिन्न से घटाते हैं अंश . भिन्नों के हर बराबर होते हैं, इसलिए, हम समान हर वाली भिन्नों को घटाने के नियम का पालन करते हैं:

आइए अलग-अलग हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों पर आगे बढ़ें। यहां मुख्य कठिनाई भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना है। सामान्य भिन्नों के लिए, यह एक व्यापक विषय है, हम एक अलग लेख में इसकी विस्तार से जांच करेंगे। भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना. अभी के लिए, हम स्वयं को कुछ सामान्य सिफ़ारिशों तक ही सीमित रखेंगे, क्योंकि इस समय हम भिन्नों के साथ संक्रियाएँ करने की तकनीक में अधिक रुचि रखते हैं।

सामान्य तौर पर, यह प्रक्रिया साधारण भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के समान है। अर्थात्, हरों को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, फिर पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड ले लिए जाते हैं और दूसरे भिन्न के हर से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़ दिया जाता है।

जब जोड़े या घटाए जाने वाले भिन्नों के हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होते हैं, तो उनके गुणनफल को उभयनिष्ठ हर के रूप में लेना तर्कसंगत है। चलिए एक उदाहरण देते हैं.

मान लीजिए कि हमें भिन्नों और 1/2 का योग करना है। यहां, एक सामान्य हर के रूप में, मूल भिन्नों के हरों का गुणनफल लेना तर्कसंगत है, अर्थात। इस स्थिति में, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 2 होगा। अंश और हर को इससे गुणा करने पर भिन्न का रूप प्राप्त हो जाएगा। तथा दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड व्यंजक है। इसकी सहायता से भिन्न को 1/2 के रूप में घटाया जाता है। जो कुछ बचा है वह समान हर वाले परिणामी भिन्नों को जोड़ना है। यहां संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:

सामान्य भिन्नों के मामले में, हम अब सबसे कम सामान्य हर के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जिसमें सामान्य भिन्नों को आमतौर पर घटा दिया जाता है। हालाँकि इस मामले में अभी भी कुछ अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास करना उचित है। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि आपको तुरंत मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को एक सामान्य हर के रूप में नहीं लेना चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्नों और गुणनफल का उभयनिष्ठ हर लेना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है . यहाँ हम ले सकते हैं.

आइए सामान्य भिन्नों को गुणा करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ें। आइए भिन्नों को गुणा करें और। इस क्रिया को करने का नियम हमें एक भिन्न लिखने का निर्देश देता है, जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल है, और हर, हरों का गुणनफल है। हमारे पास है . यहां, भिन्नों को गुणा करते समय कई अन्य मामलों की तरह, आप भिन्न को कम कर सकते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करने का नियम आपको व्युत्क्रम भिन्न द्वारा विभाजन से गुणा की ओर बढ़ने की अनुमति देता है। यहां आपको यह याद रखना होगा कि किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश और हर को स्वैप करना होगा। यहां सामान्य संख्यात्मक भिन्नों के विभाजन से गुणन तक संक्रमण का एक उदाहरण दिया गया है: . जो कुछ बचा है वह गुणा करना और परिणामी अंश को सरल बनाना है (यदि आवश्यक हो, तो अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन देखें):

इस पैराग्राफ में जानकारी को समाप्त करते हुए, याद रखें कि किसी भी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को हर 1 के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए, संख्याओं और अंशों के जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन को अंशों के साथ संबंधित ऑपरेशन करने के रूप में माना जा सकता है, एक जिसके हर में एक है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना तीन के मूल को एक भिन्न से गुणा करने के बाद, हम एक भिन्न को एक संख्या से गुणा करने से दो भिन्नों को गुणा करने की ओर बढ़ते हैं: .

उन भिन्नों के साथ काम करना जिनमें चर होते हैं

इस आलेख के पहले भाग के नियम उन भिन्नों के साथ संचालन करने पर भी लागू होते हैं जिनमें चर होते हैं। आइए उनमें से पहले को उचित ठहराएं - समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने का नियम, बाकी बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होते हैं।

आइए हम साबित करें कि किसी भी अभिव्यक्ति ए, सी और डी (डी बिल्कुल शून्य के बराबर नहीं है) के लिए समानता कायम है चर के अनुमेय मूल्यों की अपनी सीमा पर।

आइए ODZ से चरों का एक निश्चित सेट लें। चरों के इन मानों के लिए अभिव्यक्ति A, C और D को a 0, c 0 और d 0 मान लेने दें। फिर चयनित सेट से चर के मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह प्रपत्र के समान हर वाले संख्यात्मक अंशों के योग (अंतर) में बदल जाता है, जो समान हर वाले संख्यात्मक अंशों के जोड़ (घटाव) के नियम के अनुसार होता है , के बराबर है । लेकिन चयनित सेट से चर के मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह उसी अंश में बदल जाता है। इसका मतलब यह है कि ODZ से चर मानों के चयनित सेट के लिए, अभिव्यक्तियों के मान समान हैं। यह स्पष्ट है कि संकेतित अभिव्यक्तियों के मान ODZ से चर के मानों के किसी भी अन्य सेट के लिए समान होंगे, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्तियाँ और समान रूप से समान हैं, अर्थात सिद्ध की जा रही समानता सत्य है .

चरों के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण

जब जोड़े या घटाए जा रहे भिन्नों के हर समान होते हैं, तो सब कुछ काफी सरल होता है - अंशों को जोड़ा या घटाया जाता है, लेकिन हर वही रहता है। स्पष्ट है कि इसके बाद प्राप्त अंश को यदि आवश्यक एवं संभव हो तो सरल बनाया जाता है।

ध्यान दें कि कभी-कभी भिन्नों के हर केवल पहली नज़र में भिन्न होते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान रूप से समान अभिव्यक्ति होते हैं, उदाहरण के लिए, और , या और . और कभी-कभी यह मूल भिन्नों को सरल बनाने के लिए पर्याप्त होता है ताकि उनके समान हर "दिखाई दें।"

उदाहरण।

, बी) , वी) .

समाधान।

a) हमें समान हर वाली भिन्नों को घटाना होगा। संबंधित नियम के अनुसार, हम हर को वही छोड़ देते हैं और अंशों को घटा देते हैं, जो हमारे पास हैं . कार्रवाई पूरी हो चुकी है. लेकिन आप अंश में कोष्ठक भी खोल सकते हैं और समान पद प्रस्तुत कर सकते हैं: .

बी) जाहिर है, जोड़े जाने वाले भिन्नों के हर समान हैं। इसलिए, हम अंशों को जोड़ते हैं और हर को वही छोड़ देते हैं:। जोड़ पूरा हुआ. लेकिन यह देखना आसान है कि परिणामी अंश को कम किया जा सकता है। वास्तव में, परिणामी भिन्न के अंश को योग के वर्ग सूत्र का उपयोग करके (lgx+2) 2 के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है (संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र देखें), इस प्रकार निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: .

ग) भिन्नों का योग अलग-अलग हर हैं। लेकिन, भिन्नों में से किसी एक को रूपांतरित करने के बाद, आप समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हम दो समाधान दिखाएंगे.

पहला तरीका. पहले भिन्न के हर को वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है, और फिर इस भिन्न को कम किया जा सकता है: . इस प्रकार, । भिन्न के हर में खुद को अतार्किकता से मुक्त करने में अभी भी कोई हर्ज नहीं है: .

दूसरा तरीका. दूसरे अंश के अंश और हर को गुणा करने पर (यह अभिव्यक्ति मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ से चर x के किसी भी मान के लिए शून्य पर नहीं जाती है) आपको एक साथ दो लक्ष्य प्राप्त करने की अनुमति देती है: अपने आप को अतार्किकता से मुक्त करें और आगे बढ़ें समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना। हमारे पास है

उत्तर:

ए) , बी) , वी) .

अंतिम उदाहरण हमें भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के मुद्दे पर ले आया। वहां हम जोड़े गए भिन्नों में से एक को सरल बनाकर लगभग गलती से समान हर पर पहुंच गए। लेकिन ज्यादातर मामलों में, विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय, आपको जानबूझकर भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा। ऐसा करने के लिए, आमतौर पर भिन्नों के हरों को उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड ले लिए जाते हैं और दूसरे भिन्न के हर से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़ दिया जाता है।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ संक्रियाएँ निष्पादित करें: a) , बी) , सी) .

समाधान।

a) भिन्नों के हर के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। एक सामान्य विभाजक के रूप में हम उत्पाद को लेते हैं . इस मामले में, पहले अंश के लिए अतिरिक्त कारक अभिव्यक्ति है, और दूसरे अंश के लिए - संख्या 3। ये अतिरिक्त कारक भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं, जो बाद में हमें वह कार्य करने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है, हमारे पास है

बी) इस उदाहरण में, हर को पहले से ही उत्पादों के रूप में दर्शाया गया है और किसी अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। जाहिर है, हर में गुणनखंड केवल घातांक में भिन्न होते हैं, इसलिए, एक सामान्य हर के रूप में हम उच्चतम घातांक वाले गुणनखंडों का गुणनफल लेते हैं, अर्थात, . तब पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड x 4 होगा, और दूसरे के लिए - ln(x+1) होगा। अब हम भिन्न घटाने के लिए तैयार हैं:

ग) और इस मामले में, पहले हम भिन्नों के हर के साथ काम करेंगे। वर्गों और योग के वर्ग के अंतर के सूत्र आपको मूल योग से अभिव्यक्ति की ओर जाने की अनुमति देते हैं . अब यह स्पष्ट है कि इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है . इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर:

ए)

बी)

वी)

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करने से एक भिन्न उत्पन्न होता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है, और हर हरों का गुणनफल होता है। यहां, जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ परिचित और सरल है, और हम केवल यह जोड़ सकते हैं कि इस क्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश अक्सर कम करने योग्य हो जाता है। इन मामलों में, इसे कम कर दिया जाता है, जब तक कि निश्चित रूप से, यह आवश्यक और उचित न हो।

पाठ सामग्री

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना

भिन्नों का योग दो प्रकार का होता है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना
2. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

सबसे पहले, आइए समान हर वाली भिन्नों का योग सीखें। यहां सब कुछ सरल है. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और। अंशों को जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.भिन्न और जोड़ें।

उत्तर अनुचित भिन्न निकला। जब कार्य का अंत आता है, तो अनुचित भिन्नों से छुटकारा पाने की प्रथा है। किसी अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसके पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरे भाग को आसानी से अलग किया जा सकता है - दो को दो से विभाजित करने पर एक बराबर होता है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक पिज्जा के बारे में याद करें जो दो भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न और जोड़ें।

फिर से, हम अंशों को जोड़ते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप एक पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 पूरा पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

आइए अब सीखें कि विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते.

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक को देखेंगे, क्योंकि अन्य विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस विधि का सार यह है कि सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का एलसीएम खोजा जाता है। पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करने के लिए एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्न में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1. आइए भिन्नों को जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक 6 है

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब आइए भिन्नों और पर वापस लौटें। सबसे पहले, एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त गुणक है। हम इसे पहले अंश तक लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाएं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त गुणक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। पुनः, हम दूसरे भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखते हैं:

अब हमारे पास जोड़ने के लिए सब कुछ तैयार है। भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

ध्यान से देखो कि हम क्या करने आये हैं। हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

यह उदाहरण पूरा करता है. यह जोड़ने के लिए निकलता है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर करने पर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन दो अंशों को पिज़्ज़ा के समान टुकड़ों द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना होगा कि इस बार उन्हें समान शेयरों (समान भाजक तक कम) में विभाजित किया जाएगा।

पहला चित्र एक अंश (छह में से चार टुकड़े) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) को दर्शाता है। इन टुकड़ों को जोड़ने पर हमें (छह में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न अनुचित है, इसलिए हमने इसके पूरे भाग पर प्रकाश डाला है। परिणामस्वरूप, हमें (एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा) मिला।

कृपया ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण का बहुत अधिक विस्तार से वर्णन किया है। शिक्षण संस्थानों में इतना विस्तार से लिखने का रिवाज नहीं है। आपको हर और उनके अतिरिक्त कारकों दोनों का एलसीएम तुरंत ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही पाए गए अतिरिक्त कारकों को अपने अंश और हर से तेजी से गुणा करना होगा। यदि हम स्कूल में होते तो हमें यह उदाहरण इस प्रकार लिखना होता:

लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है. यदि आप गणित के अध्ययन के पहले चरण में विस्तृत नोट्स नहीं लेते हैं, तो इस प्रकार के प्रश्न सामने आने लगते हैं। “वह संख्या कहां से आती है?”, “अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्न में क्यों बदल जाते हैं? «.

विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्नलिखित चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें;
2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
4. उन भिन्नों को जोड़ें जिनके हर समान हों;
5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला तो उसके पूर्ण भाग का चयन करें;

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात करें

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्याएँ 2, 3 और 4 हैं

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नें जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। बस इन भिन्नों को जोड़ना बाकी है। इसे जोड़े:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष अभिव्यक्ति को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है. जब कोई अभिव्यक्ति एक पंक्ति में फिट नहीं बैठती है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस अभिव्यक्ति की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर थी।

चरण 5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें

हमारा उत्तर अनुचित भिन्न निकला। हमें इसके एक पूरे हिस्से को उजागर करना होगा. हम हाइलाइट करते हैं:

हमें जवाब मिला

समान हर वाली भिन्नों को घटाना

भिन्नों का घटाव दो प्रकार का होता है:

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना
2. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

सबसे पहले, आइए सीखें कि समान हर वाली भिन्नों को कैसे घटाया जाए। यहां सब कुछ सरल है. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, लेकिन हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। आओ इसे करें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

पुनः, पहले भिन्न के अंश से, दूसरे भिन्न के अंश को घटाएँ, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से आपको शेष भिन्न के अंश को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप किसी भिन्न में से भिन्न को घटा सकते हैं क्योंकि भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सामान्य हर उसी सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है जिसका उपयोग हमने विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी प्रकार, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और एक दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, जिन भिन्नों के हर अलग-अलग होते थे, वे उन भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है।

उदाहरण 1।अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 12 है

एलसीएम (3 और 4) = 12

आइए अब भिन्नों पर लौटते हैं और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। पहली भिन्न के ऊपर चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाने के लिए तैयार हैं. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

हमें जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है. यदि हम स्कूल में होते तो हमें इस उदाहरण को संक्षेप में हल करना होता। ऐसा समाधान इस प्रकार दिखेगा:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाकर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन अंशों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (समान हर तक कम):

पहली तस्वीर एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े काटने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पाँच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए सबसे पहले आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

आइए इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 30 है।

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 30 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाने के लिए तैयार है. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर समान चिह्न (=) के बारे में न भूलें:

उत्तर सामान्य अंश निकला, और सब कुछ हमारे अनुरूप प्रतीत होता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे सरल बनाना चाहिए. क्या किया जा सकता है? आप इस भिन्न को छोटा कर सकते हैं.

किसी भिन्न को छोटा करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को संख्या 20 और 30 के (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को प्राप्त जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से।

हमें जवाब मिला

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस संख्या से गुणा करना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

उदाहरण 1. किसी भिन्न को संख्या 1 से गुणा करें.

भिन्न के अंश को संख्या 1 से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणनखंड की अदला-बदली कर दी जाए, तो उत्पाद नहीं बदलेगा। यदि अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाए, तो उत्पाद अभी भी के बराबर होगा। पुनः, पूर्ण संख्या और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस अंकन को एक का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 से गुणा करें

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

अभिव्यक्ति को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज़्ज़ा मिलेंगे

और यदि हम गुणक और गुणक की अदला-बदली करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा में से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा। यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला. इस अंश को कम करने की सलाह दी जाती है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। तब अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

इस अभिव्यक्ति को आधे पिज़्ज़ा से एक पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बाँटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हम पिज़्ज़ा बनाएंगे. याद रखें कि पिज़्ज़ा कैसा दिखता है, तीन भागों में विभाजित:

इस पिज़्ज़ा के एक टुकड़े और हमारे द्वारा लिए गए दो टुकड़ों के आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में कहें तो हम एक ही साइज के पिज्जा की बात कर रहे हैं. अतः अभिव्यक्ति का मान है

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक नियमित अंश निकला, लेकिन इसे छोटा कर दिया जाए तो अच्छा रहेगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को संख्या 105 और 450 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए संख्या 105 और 450 की जीसीडी खोजें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस जीसीडी से विभाजित करते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना," और जैसा कि हम जानते हैं, यह पाँच के बराबर है:

पारस्परिक संख्याएँ

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीतए वह संख्या है, जिसे जब गुणा किया जाता हैए एक देता है.

आइए इस परिभाषा में वेरिएबल के स्थान पर स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है, जिसे जब गुणा किया जाता है 5 एक देता है.

क्या ऐसी संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला कि यह संभव है. आइए पाँच को भिन्न के रूप में कल्पना करें:

फिर इस भिन्न को स्वयं से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उल्टा करके:

इसके परिणामस्वरूप क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 5 का व्युत्क्रम संख्या है, क्योंकि जब आप 5 को गुणा करते हैं तो आपको एक प्राप्त होता है।

किसी संख्या का व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करना

मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक व्यक्ति को कितना पिज़्ज़ा मिलेगा?

यह देखा जा सकता है कि आधे पिज़्ज़ा को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक से एक पिज़्ज़ा बनता है। तो हर किसी को पिज़्ज़ा मिलता है।

भिन्नों का विभाजन व्युत्क्रम का उपयोग करके किया जाता है। पारस्परिक संख्याएँ आपको विभाजन को गुणन से बदलने की अनुमति देती हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

इस नियम का प्रयोग करते हुए हम अपने आधे पिज़्ज़ा को दो भागों में बाँटकर लिखेंगे।

इसलिए, आपको भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करना होगा। यहां लाभांश भिन्न है और भाजक संख्या 2 है।

किसी भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक 2 के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। भाजक 2 का व्युत्क्रम भिन्न है। तो आपको गुणा करने की आवश्यकता है