Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste est appelé plus grand diviseur commun ces chiffres. Notons PGCD(a, b).
Considérons trouver GCD en utilisant l'exemple de deux nombres naturels 18 et 60 :
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Et 432
Factorisons les nombres en facteurs premiers :
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
En barrant du premier nombre dont les facteurs ne sont pas dans les deuxième et troisième nombres, on obtient :
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
En conséquence, PGCD( 324 , 111 , 432 )=3
Trouver GCD à l'aide de l'algorithme euclidien
La deuxième façon de trouver le plus grand diviseur commun consiste à utiliser Algorithme euclidien. L'algorithme euclidien est le moyen le plus efficace de trouver PGCD, en l'utilisant, vous devez constamment trouver le reste des nombres en division et appliquer formule de récidive.
Formule de récurrence pour PGCD, PGCD(a, b)=PGCD(b, a mod b), où a mod b est le reste de a divisé par b.
L'algorithme d'Euclide
Exemple Trouver le plus grand diviseur commun des nombres 7920 Et 594
Trouvons GCD( 7920 , 594 ) à l'aide de l'algorithme euclidien, nous calculerons le reste de la division à l'aide d'une calculatrice.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
En conséquence, nous obtenons GCD( 7920 , 594 ) = 198
Multiple moins commun
Afin de trouver un dénominateur commun lors de l'addition et de la soustraction de fractions avec des dénominateurs différents, vous devez savoir et être capable de calculer multiple moins commun(NOK).
Un multiple du nombre « a » est un nombre lui-même divisible par le nombre « a » sans reste.
Nombres multiples de 8 (c'est-à-dire que ces nombres sont divisibles par 8 sans reste) : ce sont les nombres 16, 24, 32...
Multiples de 9 : 18, 27, 36, 45…
Il existe une infinité de multiples d'un nombre donné a, contrairement aux diviseurs d'un même nombre. Il existe un nombre fini de diviseurs.
Un commun multiple de deux nombres naturels est un nombre divisible par ces deux nombres..
Multiple moins commun(LCM) de deux nombres naturels ou plus est le plus petit nombre naturel lui-même divisible par chacun de ces nombres.
Comment trouver un CNO
LCM peut être trouvé et écrit de deux manières.
La première façon de trouver le LOC
Cette méthode est généralement utilisée pour de petits nombres.
- Nous notons les multiples de chaque nombre sur une ligne jusqu'à ce que nous trouvions un multiple identique pour les deux nombres.
- Le multiple du nombre « a » est désigné par la lettre majuscule « K ».
Exemple. Trouvez LCM 6 et 8.
La deuxième façon de trouver le LOC
Cette méthode est pratique à utiliser pour trouver le LCM pour trois nombres ou plus.
Le nombre de facteurs identiques dans les décompositions de nombres peut être différent.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Réponse : LCM (24, 60) = 120
Vous pouvez également formaliser la recherche du plus petit commun multiple (LCM) comme suit. Trouvons le LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Comme le montre la décomposition des nombres, tous les facteurs de 12 sont inclus dans la décomposition de 24 (le plus grand des nombres), nous ajoutons donc un seul 2 de la décomposition du nombre 16 au LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Réponse : LCM (12, 16, 24) = 48
Cas particuliers de recherche d'un CNO
Par exemple, LCM (60, 15) = 60
Puisque les nombres premiers entre eux n’ont pas de facteur premier commun, leur plus petit commun multiple est égal au produit de ces nombres.
Sur notre site Web, vous pouvez également utiliser une calculatrice spéciale pour trouver le multiple le plus commun en ligne afin de vérifier vos calculs.
Si un nombre naturel n’est divisible que par 1 et par lui-même, alors il est dit premier.
Tout nombre naturel est toujours divisible par 1 et par lui-même.
Le nombre 2 est le plus petit nombre premier. C'est le seul nombre premier pair, les autres nombres premiers sont impairs.
Il existe de nombreux nombres premiers, le premier d’entre eux étant le nombre 2. Cependant, il n’existe pas de dernier nombre premier. Dans la section « Pour étudier », vous pouvez télécharger un tableau de nombres premiers jusqu'à 997.
Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.
- le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
- Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
- décomposer les diviseurs de nombres en facteurs premiers ;
Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs du nombre.
Le diviseur d'un nombre naturel a est un nombre naturel qui divise le nombre donné « a » sans reste.
Un nombre naturel qui possède plus de deux diviseurs est appelé composé.
Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12.
Le diviseur commun de deux nombres donnés « a » et « b » est le nombre par lequel les deux nombres donnés « a » et « b » sont divisés sans reste.
Plus grand diviseur commun(PGCD) de deux nombres donnés « a » et « b » est le plus grand nombre par lequel les deux nombres « a » et « b » sont divisibles sans reste.
En bref, le plus grand diviseur commun des nombres « a » et « b » s’écrit comme suit ::
Exemple : pgcd (12 ; 36) = 12.
Les diviseurs de nombres dans l'enregistrement de solution sont désignés par la lettre majuscule « D ».
Les nombres 7 et 9 n’ont qu’un seul diviseur commun : le chiffre 1. Ces numéros sont appelés nombres premiers entre eux.
Nombres premiers entre eux- ce sont des nombres naturels qui n'ont qu'un seul diviseur commun : le nombre 1. Leur pgcd est 1.
Comment trouver le plus grand diviseur commun
Pour trouver le pgcd de deux nombres naturels ou plus, vous avez besoin de :
Il est pratique d'écrire des calculs à l'aide d'une barre verticale. À gauche de la ligne, nous notons d'abord le dividende, à droite le diviseur. Ensuite, dans la colonne de gauche, nous notons les valeurs des quotients.
Expliquons-le tout de suite avec un exemple. Factorisons les nombres 28 et 64 en facteurs premiers.
- Nous insistons sur les mêmes facteurs premiers dans les deux nombres.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Trouvez le produit de facteurs premiers identiques et notez la réponse ;
PGCD (28 ; 64) = 2 2 = 4
Réponse : PGCD (28 ; 64) = 4
Vous pouvez formaliser l'emplacement du GCD de deux manières : en colonne (comme fait ci-dessus) ou « en ligne ».
La première façon d'écrire GCD
Trouvez les pgcd 48 et 36.
PGCD (48 ; 36) = 2 2 3 = 12
La deuxième façon d'écrire pgcd
Écrivons maintenant la solution à la recherche GCD sur une ligne. Trouvez pgcd 10 et 15.
Sur notre site d'information, vous pouvez également utiliser l'assistant en ligne du Plus grand diviseur commun pour vérifier vos calculs.
Recherche du multiple le moins courant, méthodes, exemples de recherche du LCM.
Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article intitulé LCM - moindre commun multiple, définition, exemples, lien entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), Et Attention particulière Concentrons-nous sur la résolution d'exemples. Tout d’abord, nous montrerons comment le LCM de deux nombres est calculé à l’aide du PGCD de ces nombres. Ensuite, nous verrons comment trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.
Navigation dans les pages.
Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD
Une façon de trouver le multiple le plus petit commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La connexion existante entre LCM et GCD permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via un plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante est LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). Examinons des exemples de recherche du LCM à l'aide de la formule donnée.
Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres 126 et 70.
Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la connexion entre LCM et GCD, exprimée par la formule LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Autrement dit, nous devons d’abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres à l’aide de la formule écrite.
Trouvons GCD(126, 70) en utilisant l'algorithme euclidien : 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, donc, GCD(126, 70)=14.
Nous trouvons maintenant le plus petit commun multiple requis : LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
À quoi est égal LCM(68, 34) ?
Puisque 68 est divisible par 34, alors PGCD(68, 34)=34. Calculons maintenant le plus petit commun multiple : LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si a est divisible par b, alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a.
Trouver le LCM en factorisant les nombres en facteurs premiers
Une autre façon de trouver le plus petit commun multiple consiste à factoriser les nombres en facteurs premiers. Si vous composez un produit à partir de tous les facteurs premiers de nombres donnés, puis excluez de ce produit tous les facteurs premiers communs présents dans les décompositions de nombres donnés, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple des nombres donnés. .
La règle énoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans le développement des nombres a et b. À son tour, GCD(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les développements des nombres a et b (comme décrit dans la section sur la recherche de GCD en utilisant le développement des nombres en facteurs premiers).
Donnons un exemple. Sachons que 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Composons le produit à partir de tous les facteurs de ces développements : 2·3·3·5·5·5·7 . Maintenant de ce produit nous excluons tous les facteurs présents à la fois dans le développement du nombre 75 et dans le développement du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2·3·5·5·7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple des nombres 75 et 210, soit LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Factorisez les nombres 441 et 700 en facteurs premiers et trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.
Factorisons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers : 
On obtient 441=3·3·7·7 et 700=2·2·5·5·7.
Créons maintenant un produit à partir de tous les facteurs impliqués dans le développement de ces nombres : 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'en existe qu'un seul - c'est le nombre 7) : 2·2·3·3·5·5·7·7. Ainsi, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
CNP(441, 700)= 44 100 .
La règle permettant de trouver le LCM en utilisant la factorisation des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si les facteurs manquants du développement du nombre b sont ajoutés aux facteurs du développement du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b.
Par exemple, prenons les mêmes nombres 75 et 210, leurs décompositions en facteurs premiers sont les suivantes : 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Aux facteurs 3, 5 et 5 du développement du nombre 75 on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 du développement du nombre 210, on obtient le produit 2·3·5·5·7 dont la valeur est égal à LCM(75, 210).
Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.
On obtient d'abord les décompositions des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2·2·3·7 et 648=2·2·2·3·3·3·3. Aux facteurs 2, 2, 3 et 7 du développement du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2, 3, 3 et 3 du développement du nombre 648, on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7, ce qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit commun multiple souhaité de 84 et 648 est 4 536.
Trouver le LCM de trois nombres ou plus
Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant séquentiellement le LCM de deux nombres. Rappelons le théorème correspondant, qui permet de trouver le LCM de trois nombres ou plus.
Soit des nombres entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k, le plus petit commun multiple m k de ces nombres est trouvé en calculant séquentiellement m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Considérons l'application de ce théorème en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.
Trouvez le LCM de quatre nombres 140, 9, 54 et 250.
Nous trouvons d’abord m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine PGCD(140, 9), on a 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, par conséquent, PGCD(140, 9)=1, d'où LCM(140, 9)=140·9 : PGCD(140, 9)= 140·9:1=1 260. C'est-à-dire m 2 =1 260.
Nous trouvons maintenant m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Calculons-le via PGCD(1 260, 54), que nous déterminons également à l'aide de l'algorithme euclidien : 1 260=54·23+18, 54=18·3. Alors pgcd(1,260, 54)=18, d'où pgcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. C'est-à-dire m 3 =3 780.
Il reste à trouver m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Pour ce faire, on trouve GCD(3,780, 250) en utilisant l'algorithme euclidien : 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Par conséquent, PGCD(3 780, 250)=10, d'où PGCD(3 780, 250)= 3 780·250 : PGCD(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500. C'est-à-dire m 4 =94 500.
Ainsi, le plus petit commun multiple des quatre nombres originaux est 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Dans de nombreux cas, il est pratique de trouver le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus en utilisant des factorisations premières des nombres donnés. Dans ce cas, vous devez respecter la règle suivante. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre s'ajoutent à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement du premier nombre le troisième nombre est ajouté aux facteurs résultants, et ainsi de suite.
Examinons un exemple de recherche du multiple le plus petit commun à l'aide de la factorisation première.
Trouvez le plus petit commun multiple des cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.
Tout d'abord, on obtient des décompositions de ces nombres en facteurs premiers : 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 est un nombre premier, il coïncide avec sa décomposition en facteurs premiers) et 143=11.13.
Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2, 2, 3 et 7), il faut ajouter les facteurs manquants du développement du deuxième nombre 6. La décomposition du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque les 2 et 3 sont déjà présents dans la décomposition du premier nombre 84. Ensuite, aux facteurs 2, 2, 3 et 7, nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 issus du développement du troisième nombre 48, nous obtenons un ensemble de facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7. Il ne sera pas nécessaire d’ajouter des multiplicateurs à cet ensemble à l’étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 issus du développement du nombre 143. On obtient le produit 2·2·2·2·3·7·11·13, qui est égal à 48,048.
Par conséquent, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .
Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs
Parfois, il existe des tâches dans lesquelles vous devez trouver le multiple le plus petit commun de nombres, parmi lesquels un, plusieurs ou tous les nombres sont négatifs. Dans ces cas, tous les nombres négatifs doivent être remplacés par leurs nombres opposés, puis le LCM des nombres positifs doit être trouvé. C'est ainsi que l'on trouve le LCM des nombres négatifs. Par exemple, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) et LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Nous pouvons le faire parce que l’ensemble des multiples de a est le même que l’ensemble des multiples de −a (a et −a sont des nombres opposés). En effet, soit b un multiple de a, alors b est divisible par a, et le concept de divisibilité énonce l'existence d'un entier q tel que b=a·q. Mais l'égalité b=(−a)·(−q) sera également vraie, ce qui, en raison du même concept de divisibilité, signifie que b est divisible par −a, c'est-à-dire que b est un multiple de −a. L’inverse est également vrai : si b est un multiple de −a, alors b est également un multiple de a.
Trouvez le plus petit commun multiple des nombres négatifs −145 et −45.
Remplaçons les nombres négatifs −145 et −45 par leurs nombres opposés 145 et 45. Nous avons LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Après avoir déterminé GCD(145, 45)=5 (par exemple, en utilisant l'algorithme euclidien), nous calculons GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Ainsi, le plus petit commun multiple des entiers négatifs −145 et −45 est 1 305.
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Nous continuons à étudier la division. Dans cette leçon, nous examinerons des concepts tels que PGCD Et CNP.
PGCD est le plus grand diviseur commun.
CNP est le plus petit commun multiple.
Le sujet est assez ennuyeux, mais il faut absolument le comprendre. Sans comprendre ce sujet, vous ne pourrez pas travailler efficacement avec les fractions, qui constituent un véritable obstacle en mathématiques.
Plus grand diviseur commun
Définition. Le plus grand diviseur commun des nombres un Et b un Et b divisé sans reste.
Pour bien comprendre cette définition, substituons les variables un Et b deux nombres quelconques, par exemple, au lieu d'une variable un Remplaçons le nombre 12, et à la place de la variable b numéro 9. Essayons maintenant de lire cette définition :
Le plus grand diviseur commun des nombres 12 Et 9 est appelé le plus grand nombre par lequel 12 Et 9 divisé sans reste.
D'après la définition, il est clair que nous parlons du diviseur commun des nombres 12 et 9, et ce diviseur est le plus grand de tous les diviseurs existants. Ce plus grand diviseur commun (PGCD) doit être trouvé.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, trois méthodes sont utilisées. La première méthode demande beaucoup de travail, mais elle permet de comprendre clairement l'essence du sujet et d'en ressentir tout le sens.
Les deuxième et troisième méthodes sont assez simples et permettent de retrouver rapidement un GCD. Nous examinerons les trois méthodes. Et c'est à vous de choisir lequel utiliser dans la pratique.
La première méthode consiste à trouver tous les diviseurs possibles de deux nombres et à choisir le plus grand. Examinons cette méthode à l'aide de l'exemple suivant : trouver le plus grand diviseur commun des nombres 12 et 9.
Tout d'abord, nous trouverons tous les diviseurs possibles du nombre 12. Pour ce faire, nous diviserons 12 par tous les diviseurs compris entre 1 et 12. Si le diviseur nous permet de diviser 12 sans reste, alors nous le mettrons en évidence dans bleu et donnez une explication appropriée entre parenthèses.
12: 1 = 12
(12 est divisé par 1 sans reste, ce qui signifie que 1 est un diviseur du nombre 12)
12: 2 = 6
(12 est divisé par 2 sans reste, ce qui signifie que 2 est un diviseur du nombre 12)
12: 3 = 4
(12 est divisé par 3 sans reste, ce qui signifie que 3 est un diviseur du nombre 12)
12: 4 = 3
(12 est divisé par 4 sans reste, ce qui signifie que 4 est un diviseur du nombre 12)
12 : 5 = 2 (2 restants)
(12 n'est pas divisé par 5 sans reste, ce qui signifie que 5 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12: 6 = 2
(12 est divisé par 6 sans reste, ce qui signifie que 6 est un diviseur du nombre 12)
12 : 7 = 1 (5 restants)
(12 n'est pas divisé par 7 sans reste, ce qui signifie que 7 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12 : 8 = 1 (4 restants)
(12 n'est pas divisé par 8 sans reste, ce qui signifie que 8 n'est pas un diviseur de 12)
12 : 9 = 1 (3 restants)
(12 n'est pas divisé par 9 sans reste, ce qui signifie que 9 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12 : 10 = 1 (2 restants)
(12 n'est pas divisé par 10 sans reste, ce qui signifie que 10 n'est pas un diviseur du nombre 12)
12 : 11 = 1 (1 reste)
(12 n'est pas divisé par 11 sans reste, ce qui signifie que 11 n'est pas un diviseur de 12)
12: 12 = 1
(12 est divisé par 12 sans reste, ce qui signifie que 12 est un diviseur du nombre 12)
Trouvons maintenant les diviseurs du nombre 9. Pour cela, vérifions tous les diviseurs de 1 à 9
9: 1 = 9
(9 est divisé par 1 sans reste, ce qui signifie que 1 est un diviseur du nombre 9)
9 : 2 = 4 (1 reste)
(9 n'est pas divisé par 2 sans reste, ce qui signifie que 2 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9: 3 = 3
(9 est divisé par 3 sans reste, ce qui signifie que 3 est un diviseur du nombre 9)
9 : 4 = 2 (1 reste)
(9 n'est pas divisé par 4 sans reste, ce qui signifie que 4 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 5 = 1 (4 restants)
(9 n'est pas divisé par 5 sans reste, ce qui signifie que 5 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 6 = 1 (3 restants)
(9 n'est pas divisé par 6 sans reste, ce qui signifie que 6 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 7 = 1 (2 restants)
(9 n'est pas divisé par 7 sans reste, ce qui signifie que 7 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9 : 8 = 1 (1 reste)
(9 n'est pas divisé par 8 sans reste, ce qui signifie que 8 n'est pas un diviseur du nombre 9)
9: 9 = 1
(9 est divisé par 9 sans reste, ce qui signifie que 9 est un diviseur du nombre 9)
Écrivons maintenant les diviseurs des deux nombres. Les nombres surlignés en bleu sont des diviseurs. Écrivons-les :
En écrivant les diviseurs, vous pouvez immédiatement déterminer lequel est le plus grand et le plus courant.
Par définition, le plus grand diviseur commun des nombres 12 et 9 est le nombre qui divise 12 et 9 sans reste. Le plus grand et commun diviseur des nombres 12 et 9 est le nombre 3.
Le nombre 12 et le nombre 9 sont tous deux divisibles par 3 sans reste :
Donc pgcd (12 et 9) = 3
La deuxième façon de trouver GCD
Examinons maintenant la deuxième méthode pour trouver le plus grand diviseur commun. L'essence de cette méthode est de décomposer les deux nombres en facteurs premiers et de multiplier les nombres communs.
Exemple 1. Trouvez le pgcd des nombres 24 et 18
Tout d’abord, prenons en compte les deux nombres en facteurs premiers :
Multiplions maintenant leurs facteurs communs. Pour éviter toute confusion, les facteurs communs peuvent être soulignés.
On regarde le développement du nombre 24. Son premier facteur est 2. On recherche le même facteur dans le développement du nombre 18 et on voit qu'il est là aussi. Nous insistons sur les deux :
Nous regardons à nouveau le développement du nombre 24. Son deuxième facteur est également 2. Nous recherchons le même facteur dans le développement du nombre 18 et voyons qu'il n'est pas là pour la deuxième fois. Ensuite, nous ne soulignons rien.
Les deux suivants dans l’expansion du nombre 24 sont également absents dans l’expansion du nombre 18.
Passons au dernier facteur dans l'expansion du nombre 24. Il s'agit du facteur 3. Nous recherchons le même facteur dans l'expansion du nombre 18 et voyons qu'il est là aussi. Nous insistons sur les deux trois :
Ainsi, les facteurs communs aux nombres 24 et 18 sont les facteurs 2 et 3. Pour obtenir GCD, ces facteurs doivent être multipliés :
Donc pgcd (24 et 18) = 6
La troisième façon de trouver GCD
Examinons maintenant la troisième façon de trouver le plus grand diviseur commun. L'essence de cette méthode est que les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun sont décomposés en facteurs premiers. Ensuite, à partir du développement du premier nombre, les facteurs qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre sont barrés. Les nombres restants dans la première expansion sont multipliés et obtiennent GCD.
Par exemple, trouvons GCD pour les nombres 28 et 16 en utilisant cette méthode. Tout d’abord, nous décomposons ces nombres en facteurs premiers :
Nous avons obtenu deux extensions : et
Maintenant, de la décomposition du premier nombre, nous supprimerons les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. L’expansion du deuxième nombre n’inclut pas sept. Rayons-le de la première extension :
Maintenant, nous multiplions les facteurs restants et obtenons GCD :
Le nombre 4 est le plus grand diviseur commun des nombres 28 et 16. Ces deux nombres sont divisibles par 4 sans reste :
Exemple 2. Trouver le pgcd des nombres 100 et 40
Factoriser le nombre 100
Factoriser le nombre 40
Nous avons deux extensions :
Maintenant, de la décomposition du premier nombre, nous supprimerons les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre n'inclut pas un cinq (il n'y a qu'un cinq). Rayons-le de la première extension
Multiplions les nombres restants :
Nous avons reçu la réponse 20. Cela signifie que le nombre 20 est le plus grand diviseur commun des nombres 100 et 40. Ces deux nombres sont divisibles par 20 sans reste :
PGCD (100 et 40) = 20.
Exemple 3. Trouvez le pgcd des nombres 72 et 128
Factoriser le nombre 72
Factoriser le nombre 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Maintenant, de la décomposition du premier nombre, nous supprimerons les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. L'expansion du deuxième nombre n'inclut pas deux triolets (ils n'y sont pas du tout). Rayons-les de la première extension :
Nous avons reçu la réponse 8. Cela signifie que le nombre 8 est le plus grand diviseur commun des nombres 72 et 128. Ces deux nombres sont divisibles par 8 sans reste :
PGCD (72 et 128) = 8
Trouver GCD pour plusieurs nombres
Le plus grand diviseur commun peut être trouvé pour plusieurs nombres, pas seulement deux. Pour ce faire, on décompose les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun en facteurs premiers, puis on trouve le produit des facteurs premiers communs de ces nombres.
Par exemple, trouvons GCD pour les nombres 18, 24 et 36
Factorisons le nombre 18
Factorisons le nombre 24
Factorisons le nombre 36
Nous avons trois extensions :
Soulignons et soulignons maintenant les facteurs communs à ces chiffres. Des facteurs communs doivent apparaître dans les trois nombres :
On voit que les facteurs communs aux nombres 18, 24 et 36 sont les facteurs 2 et 3. En multipliant ces facteurs, on obtient le pgcd que l'on recherche :
Nous avons reçu la réponse 6. Cela signifie que le nombre 6 est le plus grand diviseur commun des nombres 18, 24 et 36. Ces trois nombres sont divisibles par 6 sans reste :
PGCD (18, 24 et 36) = 6
Exemple 2. Trouvez GCD pour les nombres 12, 24, 36 et 42
Factorisons chaque nombre en facteurs premiers. On trouve ensuite le produit des facteurs communs de ces nombres.
Factoriser le nombre 12
Factorisons le nombre 42
Nous avons quatre extensions :
Soulignons et soulignons maintenant les facteurs communs à ces chiffres. Des facteurs communs doivent apparaître dans les quatre nombres :
Nous voyons que les facteurs communs aux nombres 12, 24, 36 et 42 sont les facteurs de 2 et 3. En multipliant ces facteurs ensemble, nous obtenons le pgcd que nous recherchons :
Nous avons reçu la réponse 6. Cela signifie que le nombre 6 est le plus grand diviseur commun des nombres 12, 24, 36 et 42. Ces nombres sont divisibles par 6 sans reste :
PGCD (12, 24, 36 et 42) = 6
De la leçon précédente, nous savons que si un nombre est divisé par un autre sans reste, on l'appelle un multiple de ce nombre.
Il s’avère que les multiples peuvent être communs à plusieurs nombres. Et maintenant nous allons nous intéresser au multiple de deux nombres, et il doit être le plus petit possible.
Définition. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres un Et b- un Et b un et numéro b.
La définition contient deux variables un Et b. Remplaçons ces variables par deux nombres quelconques. Par exemple, au lieu d'une variable un Remplaçons le chiffre 9, et à la place de la variable b Remplaçons le nombre 12. Essayons maintenant de lire la définition :
Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 9 Et 12 - est le plus petit nombre multiple de 9 Et 12 . En d’autres termes, il s’agit d’un si petit nombre divisible sans reste par le nombre 9 et par numéro 12 .
D'après la définition, il ressort clairement que le LCM est le plus petit nombre divisible par 9 et 12 sans reste. Ce LCM doit être trouvé.
Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM), vous pouvez utiliser deux méthodes. La première façon est que vous puissiez écrire les premiers multiples de deux nombres, puis choisir parmi ces multiples un nombre qui sera commun aux nombres et petit. Utilisons cette méthode.
Tout d'abord, trouvons les premiers multiples du nombre 9. Pour trouver les multiples de 9, vous devez multiplier ce neuf un par un par des nombres de 1 à 9. Les réponses obtenues seront des multiples du nombre 9. Donc, Commençons. Nous soulignerons les multiples en rouge :
On trouve maintenant les multiples du nombre 12. Pour ce faire, on multiplie 12 un par un par tous les nombres de 1 à 12.
Résolvons le problème. Nous avons deux types de cookies. Certains sont au chocolat et d'autres sont nature. Il y en a 48 au chocolat et 36 nature. Vous devez faire le maximum de cadeaux possible avec ces cookies, et vous devez tous les utiliser.
Tout d'abord, notons tous les diviseurs de chacun de ces deux nombres, puisque ces deux nombres doivent être divisibles par le nombre de cadeaux.
On a,
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Trouvons parmi les diviseurs communs que possèdent le premier et le deuxième nombres.
Les facteurs communs seront : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Le plus grand commun diviseur de tous est le nombre 12. Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur des nombres 36 et 48.
Sur la base des résultats obtenus, nous pouvons conclure que 12 cadeaux peuvent être faits à partir de tous les cookies. Un de ces cadeaux contiendra 4 biscuits au chocolat et 3 biscuits ordinaires.
Trouver le plus grand diviseur commun
- Le plus grand nombre naturel qui divise deux nombres a et b sans reste est appelé le plus grand commun diviseur de ces nombres.
Parfois, l'abréviation GCD est utilisée pour raccourcir l'entrée.
Certaines paires de nombres ont un comme plus grand diviseur commun. Ces numéros sont appelés nombres premiers entre eux. Par exemple, les nombres 24 et 35 ont GCD =1.
Comment trouver le plus grand diviseur commun
Pour trouver le plus grand diviseur commun, il n’est pas nécessaire d’écrire tous les diviseurs des nombres donnés.
Vous pouvez le faire différemment. Tout d’abord, factorisez les deux nombres en facteurs premiers.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Maintenant, parmi les facteurs inclus dans le développement du premier nombre, nous allons rayer tous ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre. Dans notre cas, ce sont deux deux.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Les facteurs restants sont 2, 2 et 3. Leur produit est 12. Ce nombre sera le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36.
Cette règle peut être étendue au cas de trois, quatre, etc. Nombres.
Schéma général pour trouver le plus grand diviseur commun
- 1. Divisez les nombres en facteurs premiers.
- 2. Parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayez ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres.
- 3. Calculez le produit des facteurs restants.
Le calculateur en ligne vous permet de trouver rapidement le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou de tout autre nombre de nombres.
Calculatrice pour trouver GCD et LCM
Trouver GCD et LOC
GCD et LOC trouvés : 5806
Comment utiliser la calculatrice
- Entrez des chiffres dans le champ de saisie
- Si vous saisissez des caractères incorrects, le champ de saisie sera surligné en rouge
- cliquez sur le bouton "Rechercher GCD et LCM"
Comment saisir des chiffres
- Les nombres sont saisis séparés par un espace, un point ou une virgule
- La longueur des numéros saisis n'est pas limitée, donc trouver GCD et LCM de nombres longs n'est pas difficile
Que sont GCD et NOC ?
Plus grand diviseur commun plusieurs nombres est le plus grand entier naturel par lequel tous les nombres originaux sont divisibles sans reste. Le plus grand diviseur commun s'abrège en PGCD.
Multiple moins commun plusieurs nombres est le plus petit nombre divisible par chacun des nombres d'origine sans reste. Le plus petit commun multiple est abrégé en CNP.
Comment vérifier qu'un nombre est divisible par un autre nombre sans reste ?
Pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans reste, vous pouvez utiliser certaines propriétés de divisibilité des nombres. Ensuite, en les combinant, vous pourrez vérifier la divisibilité de certains d’entre eux et leurs combinaisons.
Quelques signes de divisibilité des nombres
1. Test de divisibilité d'un nombre par 2
Pour déterminer si un nombre est divisible par deux (s'il est pair), il suffit de regarder le dernier chiffre de ce nombre : s'il est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, alors le nombre est pair, ce qui veut dire qu'il est divisible par 2.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 2.
Solution: Nous regardons le dernier chiffre : 8 - cela signifie que le nombre est divisible par deux.
2. Test de divisibilité d'un nombre par 3
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par trois. Ainsi, pour déterminer si un nombre est divisible par 3, vous devez calculer la somme des chiffres et vérifier s'il est divisible par 3. Même si la somme des chiffres est très grande, vous pouvez répéter le même processus.
Exemple: Déterminez si le nombre 34938 est divisible par 3.
Solution: On compte la somme des nombres : 3+4+9+3+8 = 27. 27 est divisible par 3, ce qui signifie que le nombre est divisible par trois.
3. Test de divisibilité d'un nombre par 5
Un nombre est divisible par 5 lorsque son dernier chiffre est zéro ou cinq.
Exemple: déterminez si le nombre 34938 est divisible par 5.
Solution: regardez le dernier chiffre : 8 signifie que le nombre n’est PAS divisible par cinq.
4. Test de divisibilité d'un nombre par 9
Ce signe est très similaire au signe de divisibilité par trois : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple: déterminez si le nombre 34938 est divisible par 9.
Solution: On compte la somme des nombres : 3+4+9+3+8 = 27. 27 est divisible par 9, ce qui signifie que le nombre est divisible par neuf.
Comment trouver GCD et LCM de deux nombres
Comment trouver le pgcd de deux nombres
La façon la plus simple de calculer le plus grand diviseur commun de deux nombres est de trouver tous les diviseurs possibles de ces nombres et de choisir le plus grand.
Considérons cette méthode en utilisant l'exemple de recherche de GCD(28, 36) :
- Nous factorisons les deux nombres : 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- On trouve des facteurs communs, c'est-à-dire ceux que les deux nombres ont : 1, 2 et 2.
- Nous calculons le produit de ces facteurs : 1 2 2 = 4 - c'est le plus grand diviseur commun des nombres 28 et 36.
Comment trouver le LCM de deux nombres
Il existe deux manières les plus courantes de trouver le plus petit multiple de deux nombres. La première méthode consiste à écrire les premiers multiples de deux nombres, puis à choisir parmi eux un nombre qui sera commun aux deux nombres et en même temps le plus petit. Et la seconde est de trouver le pgcd de ces nombres. Considérons seulement cela.
Pour calculer le LCM, vous devez calculer le produit des nombres d'origine, puis le diviser par le GCD précédemment trouvé. Trouvons le LCM pour les mêmes nombres 28 et 36 :
- Trouver le produit des nombres 28 et 36 : 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), comme déjà connu, est égal à 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Trouver GCD et LCM pour plusieurs nombres
Le plus grand diviseur commun peut être trouvé pour plusieurs nombres, pas seulement deux. Pour ce faire, on décompose les nombres à trouver pour le plus grand diviseur commun en facteurs premiers, puis on trouve le produit des facteurs premiers communs de ces nombres. Vous pouvez également utiliser la relation suivante pour trouver le pgcd de plusieurs nombres : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c).
Une relation similaire s'applique au plus petit commun multiple : LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Exemple: trouvez GCD et LCM pour les nombres 12, 32 et 36.
- Tout d'abord, factorisons les nombres : 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Trouvons les facteurs communs : 1, 2 et 2.
- Leur produit donnera GCD : 1·2·2 = 4
- Trouvons maintenant le LCM : pour ce faire, trouvons d'abord le LCM(12, 32) : 12·32 / 4 = 96 .
- Pour trouver le LCM des trois nombres, vous devez trouver GCD(96, 36) : 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
Définition. Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisés sans reste est appelé plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.
Trouvons le plus grand diviseur commun des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.
Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.
En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est égal à 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.
Trouver plus grand diviseur commun
2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.
Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.
Plus petit commun multiple (LCM)
Définition. Plus petit commun multiple (LCM) Les nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs premiers : 75 = 3 * 5 * 5 et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.
Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.
À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.
Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.
Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Ils appelaient un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers est dû au fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit de nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance dans la série de nombres, moins les nombres premiers sont courants. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (IIIe siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier il y a un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a noté tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis a barré d'un un tous les nombres venant après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) étaient barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.
Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d’abord déterminer la signification du terme « multiple ».
Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A sans reste. Ainsi, les nombres multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, etc.
Il peut y avoir un nombre limité de diviseurs d’un nombre particulier, mais il existe un nombre infini de multiples.
Un multiple commun de nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans laisser de reste.
Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres
Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.
Pour trouver le LOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.
Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce que vous trouviez quelque chose de commun entre eux. Les multiples sont désignés par la lettre majuscule K.
Par exemple, les multiples de 4 peuvent s’écrire ainsi :
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Ainsi, vous voyez que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette notation se fait comme suit :
LCM(4, 6) = 24
Si les nombres sont grands, trouvez le commun multiple de trois nombres ou plus, il est alors préférable d'utiliser une autre méthode de calcul du LCM.
Pour terminer la tâche, vous devez factoriser les nombres donnés en facteurs premiers.
Vous devez d'abord écrire la décomposition du plus grand nombre sur une ligne, et en dessous - le reste.
La décomposition de chaque nombre peut contenir un nombre différent de facteurs.
Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.
Dans l'expansion du plus petit nombre, vous devez mettre en évidence les facteurs qui manquent dans l'expansion du premier plus grand nombre, puis les y ajouter. Dans l’exemple présenté, il manque un deux.
Vous pouvez maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Ainsi, le produit des facteurs premiers du plus grand nombre et des facteurs du deuxième nombre qui n'ont pas été inclus dans le développement du plus grand nombre sera le plus petit commun multiple.
Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, vous devez tous les factoriser en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.
A titre d'exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Ainsi, seuls deux deux du développement de seize n'ont pas été inclus dans la factorisation d'un plus grand nombre (un est dans le développement de vingt-quatre).
Il faut donc les ajouter à l’expansion d’un plus grand nombre.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Il existe des cas particuliers pour déterminer le plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit commun multiple.
Par exemple, le LCM de douze et vingt-quatre est vingt-quatre.
S'il est nécessaire de trouver le plus petit commun multiple de nombres premiers qui n'ont pas de diviseurs identiques, alors leur LCM sera égal à leur produit.
Par exemple, LCM (10, 11) = 110.
