Théorie ver. Théorie des probabilités. Résolution de problèmes (2020). Concepts de base de la théorie des probabilités. Événements

Beaucoup, confrontés au concept de « théorie des probabilités », ont peur, pensant qu’il s’agit de quelque chose de bouleversant, de très compliqué. Mais en réalité, tout n’est pas si tragique. Aujourd'hui, nous examinerons le concept de base de la théorie des probabilités et apprendrons comment résoudre des problèmes à l'aide d'exemples spécifiques.

La science

Qu’étudie une branche des mathématiques telle que la « théorie des probabilités » ? Elle note les modèles et les quantités. Les scientifiques se sont intéressés pour la première fois à cette question au XVIIIe siècle, lorsqu’ils étudiaient les jeux de hasard. Le concept de base de la théorie des probabilités est celui d’un événement. C'est tout fait établi par l'expérience ou l'observation. Mais qu’est-ce que l’expérience ? Un autre concept de base de la théorie des probabilités. Cela signifie que cet ensemble de circonstances n’a pas été créé par hasard, mais dans un but précis. Quant à l'observation, ici le chercheur lui-même ne participe pas à l'expérience, mais est simplement témoin de ces événements, il n'influence en aucune façon ce qui se passe ;

Événements

Nous avons appris que le concept de base de la théorie des probabilités est un événement, mais nous n’avons pas considéré sa classification. Tous sont répartis dans les catégories suivantes :

• Fiable.
• Impossible.
• Aléatoire.

Quel que soit le type d’événements qu’ils sont, observés ou créés au cours de l’expérience, ils sont tous soumis à cette classification. Nous vous invitons à vous familiariser avec chaque type séparément.

Événement fiable

Il s’agit d’une circonstance pour laquelle l’ensemble des mesures nécessaires a été pris. Afin de mieux comprendre l'essence, il vaut mieux donner quelques exemples. La physique, la chimie, l’économie et les mathématiques supérieures sont soumises à cette loi. La théorie des probabilités inclut un concept aussi important qu'un événement fiable. Voici quelques exemples:

• Nous travaillons et recevons une compensation sous forme de salaire.
• Nous avons bien réussi les examens, réussi le concours et pour cela, nous recevons une récompense sous la forme d'une admission dans un établissement d'enseignement.
• Nous avons investi de l'argent à la banque et, si nécessaire, nous le récupérerons.

De tels événements sont fiables. Si nous avons rempli toutes les conditions nécessaires, nous obtiendrons certainement le résultat escompté.

Événements impossibles

Nous examinons maintenant des éléments de la théorie des probabilités. Nous proposons de passer à une explication du type d'événement suivant, à savoir l'impossible. Tout d'abord, stipulons la règle la plus importante : la probabilité d'un événement impossible est nulle.

On ne peut pas s'écarter de cette formulation lors de la résolution de problèmes. Pour plus de clarté, voici des exemples de tels événements :

• L'eau a gelé à une température de plus dix (c'est impossible).
• Le manque d’électricité n’affecte en rien la production (tout aussi impossible que dans l’exemple précédent).

Il ne vaut pas la peine de donner plus d'exemples, car ceux décrits ci-dessus reflètent très clairement l'essence de cette catégorie. Un événement impossible ne se produira jamais au cours d’une expérience, quelles que soient les circonstances.

Événements aléatoires

Lors de l’étude des éléments, une attention particulière devra être portée à ce type particulier d’événement. C'est ce que la science étudie. À la suite de l’expérience, quelque chose peut se produire ou non. De plus, le test peut être effectué un nombre illimité de fois. Des exemples frappants incluent :

• Le tirage au sort est une expérience ou un test, l'atterrissage des faces est un événement.
• Sortir aveuglément une balle d'un sac est un test ; obtenir une balle rouge est un événement, et ainsi de suite.

Il peut y avoir un nombre illimité de tels exemples, mais, en général, l’essentiel doit être clair. Pour résumer et systématiser les connaissances acquises sur les événements, un tableau est fourni. La théorie des probabilités n’étudie que le dernier type de tous ceux présentés.

Lois

La théorie des probabilités est une science qui étudie la possibilité qu’un événement se produise. Comme les autres, il a quelques règles. Les lois suivantes de la théorie des probabilités existent :

• Convergence de séquences de variables aléatoires.
• Loi des grands nombres.

Lors du calcul de la possibilité de quelque chose de complexe, vous pouvez utiliser un ensemble d’événements simples pour obtenir un résultat de manière plus simple et plus rapide. Notez que les lois de la théorie des probabilités sont facilement prouvées à l’aide de certains théorèmes. Nous vous suggérons de vous familiariser d'abord avec la première loi.

Convergence de séquences de variables aléatoires

A noter qu'il existe plusieurs types de convergence :

• La séquence de variables aléatoires converge en probabilité.
• Presque impossible.
• Convergence carrée moyenne.
• Convergence des distributions.

Donc, d’emblée, il est très difficile d’en comprendre l’essence. Voici des définitions qui vous aideront à comprendre ce sujet. Commençons par la première vue. La séquence s'appelle convergent en probabilité, si la condition suivante est remplie : n tend vers l'infini, le nombre vers lequel tend la suite est supérieur à zéro et proche de un.

Passons à la vue suivante, presque certainement. On dit que la suite converge presque certainementà une variable aléatoire avec n tendant vers l’infini et P tendant vers une valeur proche de l’unité.

Le type suivant est convergence quadratique moyenne. Lors de l'utilisation de la convergence SC, l'étude des processus aléatoires vectoriels se réduit à l'étude de leurs processus aléatoires coordonnés.

Il reste un dernier type, examinons-le brièvement afin de pouvoir passer directement à la résolution des problèmes. La convergence dans la distribution a un autre nom : « faible », et nous expliquerons pourquoi plus tard. Faible convergence est la convergence des fonctions de distribution en tous points de continuité de la fonction de distribution limite.

Nous tiendrons certainement notre promesse : la convergence faible diffère de tout ce qui précède en ce que la variable aléatoire n'est pas définie dans l'espace des probabilités. Ceci est possible car la condition est formée exclusivement à l’aide de fonctions de distribution.

Loi des grands nombres

Théorèmes de théorie des probabilités, tels que :

• L'inégalité de Chebyshev.
• Théorème de Chebyshev.
• Théorème de Chebyshev généralisé.
• Théorème de Markov.

Si l'on considère tous ces théorèmes, alors cette question peut s'éterniser sur plusieurs dizaines de feuilles. Notre tâche principale est d’appliquer la théorie des probabilités dans la pratique. Nous vous suggérons de le faire dès maintenant. Mais avant cela, regardons les axiomes de la théorie des probabilités ; ils seront les principaux assistants dans la résolution des problèmes.

Axiomes

Nous avons déjà rencontré le premier lorsque nous parlions d'un événement impossible. Rappelons-le : la probabilité d'un événement impossible est nulle. Nous avons donné un exemple très frappant et mémorable : la neige est tombée à une température de l'air de trente degrés Celsius.

La seconde est la suivante : un événement fiable se produit avec une probabilité égale à un. Nous allons maintenant montrer comment écrire cela en langage mathématique : P(B)=1.

Troisièmement : un événement aléatoire peut se produire ou non, mais la possibilité varie toujours de zéro à un. Plus la valeur est proche de un, plus les chances sont grandes ; si la valeur s'approche de zéro, la probabilité est très faible. Écrivons ceci en langage mathématique : 0<Р(С)<1.

Considérons le dernier, quatrième axiome, qui ressemble à ceci : la probabilité de la somme de deux événements est égale à la somme de leurs probabilités. Nous l’écrivons en langage mathématique : P(A+B)=P(A)+P(B).

Les axiomes de la théorie des probabilités sont les règles les plus simples et faciles à retenir. Essayons de résoudre quelques problèmes sur la base des connaissances que nous avons déjà acquises.

Billet de loterie

Tout d’abord, regardons l’exemple le plus simple : une loterie. Imaginez que vous ayez acheté un billet de loterie pour vous porter chance. Quelle est la probabilité que vous gagniez au moins vingt roubles ? Au total, mille billets sont en circulation, dont un avec un prix de cinq cents roubles, dix avec un prix de cent roubles chacun, cinquante avec un prix de vingt roubles et cent avec un prix de cinq. Les problèmes de probabilité sont basés sur la recherche d’une possibilité de chance. Nous allons maintenant analyser ensemble la solution à la tâche ci-dessus.

Si nous utilisons la lettre A pour désigner un gain de cinq cents roubles, alors la probabilité d'obtenir A sera égale à 0,001. Comment avons-nous obtenu cela ? Il suffit de diviser le nombre de tickets « chanceux » par leur nombre total (dans ce cas : 1/1000).

B est un gain de cent roubles, la probabilité sera de 0,01. Maintenant nous avons agi selon le même principe que dans l'action précédente (10/1000)

C - les gains sont de vingt roubles. On retrouve la probabilité, elle est égale à 0,05.

Nous ne sommes pas intéressés par les billets restants, car leur dotation est inférieure à celle spécifiée dans la condition. Appliquons le quatrième axiome : la probabilité de gagner au moins vingt roubles est P(A)+P(B)+P(C). La lettre P désigne la probabilité d'occurrence d'un événement donné ; nous les avons déjà rencontrés dans des actions précédentes. Il ne reste plus qu'à additionner les données nécessaires, et la réponse que nous obtenons est 0,061. Ce numéro sera la réponse à la question de la tâche.

Jeu de cartes

Les problèmes de théorie des probabilités peuvent être plus complexes ; par exemple, prenons la tâche suivante. Devant vous se trouve un jeu de trente-six cartes. Votre tâche est de tirer deux cartes d'affilée sans mélanger la pile, les première et deuxième cartes doivent être des as, la couleur n'a pas d'importance.

Tout d'abord, trouvons la probabilité que la première carte soit un as, pour cela nous divisons quatre par trente-six. Ils l'ont mis de côté. On sort la deuxième carte, ce sera un as avec une probabilité de trois trente-cinquièmes. La probabilité du deuxième événement dépend de la carte que l'on a tirée en premier, on se demande si c'était un as ou non. Il s'ensuit que l'événement B dépend de l'événement A.

L'étape suivante consiste à trouver la probabilité d'occurrence simultanée, c'est-à-dire que l'on multiplie A et B. Leur produit est obtenu comme suit : on multiplie la probabilité d'un événement par la probabilité conditionnelle d'un autre, que l'on calcule en supposant que le premier L'événement s'est produit, c'est-à-dire que nous avons tiré un as avec la première carte.

Pour que tout soit clair, donnons une désignation à un élément tel que les événements. Il est calculé en supposant que l'événement A s'est produit. Il est calculé comme suit : P(B/A).

Continuons à résoudre notre problème : P(A * B) = P(A) * P(B/A) ou P(A * B) = P(B) * P(A/B). La probabilité est égale à (4/36) * ((3/35)/(4/36). On calcule en arrondissant au centième le plus proche. On a : 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 La probabilité que nous tirions deux as d'affilée est de neuf centièmes. La valeur est très faible, ce qui signifie que la probabilité que l'événement se produise est extrêmement faible.

Numéro oublié

Nous proposons d'analyser plusieurs autres variantes de tâches étudiées par la théorie des probabilités. Vous avez déjà vu des exemples de résolution de certains d'entre eux dans cet article. Essayons de résoudre le problème suivant : le garçon a oublié le dernier chiffre du numéro de téléphone de son ami, mais comme l'appel était très important, il a commencé à tout composer un par un. . Nous devons calculer la probabilité qu'il n'appelle pas plus de trois fois. La solution au problème est plus simple si les règles, lois et axiomes de la théorie des probabilités sont connus.

Avant de chercher la solution, essayez de la résoudre vous-même. On sait que le dernier chiffre peut aller de zéro à neuf, soit dix valeurs au total. La probabilité d’obtenir le bon est de 1/10.

Ensuite, nous devons considérer les options pour l'origine de l'événement, supposons que le garçon ait bien deviné et ait immédiatement tapé le bon, la probabilité d'un tel événement est de 1/10. Deuxième option : le premier appel manque, et le second est cadré. Calculons la probabilité d'un tel événement : multipliez 9/10 par 1/9, et nous obtenons également 1/10. La troisième option : les premier et deuxième appels se sont avérés être à la mauvaise adresse, ce n'est qu'avec le troisième que le garçon est arrivé là où il voulait. Nous calculons la probabilité d'un tel événement : 9/10 multiplié par 8/9 et 1/8, ce qui donne 1/10. Nous ne sommes pas intéressés par d'autres options selon les conditions du problème, il suffit donc d'additionner les résultats obtenus, au final nous avons 3/10. Réponse : la probabilité que le garçon n'appelle pas plus de trois fois est de 0,3.

Cartes avec des chiffres

Il y a neuf cartes devant vous, sur chacune desquelles est inscrit un chiffre de un à neuf, les chiffres ne sont pas répétés. Ils ont été mis dans une boîte et soigneusement mélangés. Il faut calculer la probabilité que

• un nombre pair apparaîtra ;
• à deux chiffres.

Avant de passer à la solution, stipulons que m est le nombre de cas réussis et n est le nombre total d'options. Trouvons la probabilité que le nombre soit pair. Il ne sera pas difficile de calculer qu’il y a quatre nombres pairs, ce sera notre m, il y a neuf options possibles au total, c’est-à-dire m=9. Alors la probabilité est de 0,44 ou 4/9.

Considérons le deuxième cas : le nombre d'options est de neuf, et il ne peut y avoir aucun résultat positif, c'est-à-dire que m est égal à zéro. La probabilité que la carte tirée contienne un numéro à deux chiffres est également nulle.

La doctrine des lois qui régissent ce qu'on appelle. phénomènes aléatoires. Dictionnaire de mots étrangers inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe

théorie des probabilités- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Thèmes technologies de l'information en général EN théorie des probabilités théorie des chancescalcul de probabilité... Guide du traducteur technique

Théorie des probabilités- fait partie des mathématiques qui étudie les relations entre les probabilités (voir Probabilités et statistiques) de divers événements. Listons les théorèmes les plus importants liés à cette science. La probabilité d'apparition d'un événement incompatible parmi plusieurs événements incompatibles est égale à... ... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron

THÉORIE DES PROBABILITÉS- mathématique une science qui permet, à partir des probabilités de certains événements aléatoires (voir), de trouver les probabilités d'événements aléatoires associés à k.l. façon avec les premiers. Télévision moderne basé sur l'axiomatique (voir Méthode axiomatique) par A. N. Kolmogorov. Sur le… … Encyclopédie sociologique russe

Théorie des probabilités- une branche des mathématiques dans laquelle, sur la base des probabilités données de certains événements aléatoires, on trouve les probabilités d'autres événements liés d'une manière ou d'une autre au premier. La théorie des probabilités étudie également les variables aléatoires et les processus aléatoires. Un des principaux... ... Concepts des sciences naturelles modernes. Glossaire des termes de base

théorie des probabilités- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. théorie des probabilités vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. théorie des probabilités, f pran. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Théorie des probabilités- ... Wikipédia

Théorie des probabilités- une discipline mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires... Les débuts des sciences naturelles modernes

THÉORIE DES PROBABILITÉS- (théorie des probabilités) voir Probabilité... Grand dictionnaire sociologique explicatif

Théorie des probabilités et ses applications- (« Théorie des probabilités et ses applications ») revue scientifique du Département de mathématiques de l'Académie des sciences de l'URSS. Publie des articles originaux et de courtes communications sur la théorie des probabilités, les questions générales de statistiques mathématiques et leurs applications dans les sciences naturelles et... ... Grande Encyclopédie Soviétique

Livres

• Théorie des probabilités. , Ventzel E.S.. Le livre est un manuel destiné aux personnes familiarisées avec les mathématiques dans le cadre d'un cours universitaire régulier et intéressées par les applications techniques de la théorie des probabilités, en... Acheter pour 2056 UAH (Ukraine uniquement)
• Théorie des probabilités. , Ventzel E.S.. L'ouvrage est un manuel destiné aux personnes familiarisées avec les mathématiques dans le cadre d'un cours collégial régulier et intéressées par les applications techniques de la théorie des probabilités, en...

« Les accidents ne sont pas accidentels »… Cela ressemble à ce que disait un philosophe, mais en fait, étudier le hasard est le destin de la grande science des mathématiques. En mathématiques, le hasard est traité par la théorie des probabilités. Des formules et des exemples de tâches, ainsi que les principales définitions de cette science seront présentés dans l'article.

Qu’est-ce que la théorie des probabilités ?

La théorie des probabilités est l'une des disciplines mathématiques qui étudient les événements aléatoires.

Pour que ce soit un peu plus clair, donnons un petit exemple : si vous lancez une pièce en l'air, elle peut atterrir sur pile ou sur face. Tant que la pièce est en l’air, ces deux probabilités sont possibles. Autrement dit, la probabilité de conséquences possibles est de 1 : 1. Si l'on en tire une dans un jeu de 36 cartes, alors la probabilité sera indiquée comme 1:36. Il semblerait qu'il n'y ait rien à explorer et à prédire ici, notamment à l'aide de formules mathématiques. Cependant, si vous répétez une certaine action plusieurs fois, vous pouvez identifier un certain modèle et, sur cette base, prédire l'issue des événements dans d'autres conditions.

Pour résumer tout ce qui précède, la théorie des probabilités au sens classique étudie la possibilité de l'apparition de l'un des événements possibles dans une valeur numérique.

Des pages de l'histoire

La théorie des probabilités, les formules et les exemples des premières tâches sont apparus au Moyen Âge lointain, lorsque les premières tentatives de prédire le résultat des jeux de cartes sont apparues.

Au départ, la théorie des probabilités n’avait rien à voir avec les mathématiques. Elle était justifiée par des faits empiriques ou des propriétés d'un événement pouvant être reproduites dans la pratique. Les premiers travaux dans ce domaine en tant que discipline mathématique sont apparus au XVIIe siècle. Les fondateurs étaient Blaise Pascal et Pierre Fermat. Ils ont étudié le jeu pendant longtemps et ont découvert certains modèles dont ils ont décidé de parler au public.

La même technique a été inventée par Christiaan Huygens, bien qu'il ne connaisse pas les résultats des recherches de Pascal et Fermat. Il a introduit le concept de « théorie des probabilités », des formules et des exemples, considérés comme les premiers dans l'histoire de la discipline.

Les travaux de Jacob Bernoulli, les théorèmes de Laplace et de Poisson ne sont pas non plus négligeables. Ils ont fait de la théorie des probabilités une discipline mathématique. La théorie des probabilités, les formules et les exemples de tâches de base ont reçu leur forme actuelle grâce aux axiomes de Kolmogorov. À la suite de tous ces changements, la théorie des probabilités est devenue l’une des branches mathématiques.

Concepts de base de la théorie des probabilités. Événements

Le concept principal de cette discipline est « l'événement ». Il existe trois types d'événements :

• Fiable. Ceux qui arriveront de toute façon (la pièce tombera).
• Impossible. Des événements qui ne se produiront en aucun cas (la pièce restera suspendue en l'air).
• Aléatoire. Ceux qui arriveront ou n’arriveront pas. Ils peuvent être influencés par divers facteurs très difficiles à prévoir. Si nous parlons d'une pièce, alors il existe des facteurs aléatoires qui peuvent affecter le résultat : les caractéristiques physiques de la pièce, sa forme, sa position d'origine, la force du lancer, etc.

Tous les événements dans les exemples sont indiqués par des lettres majuscules latines, à l'exception de P, qui a un rôle différent. Par exemple:

• A = « les étudiants sont venus donner un cours ».
• Â = « les étudiants ne sont pas venus au cours. »

Dans les tâches pratiques, les événements sont généralement écrits avec des mots.

L’une des caractéristiques les plus importantes des événements est leur égalité de possibilité. Autrement dit, si vous lancez une pièce de monnaie, toutes les options pour la chute initiale sont possibles jusqu'à ce qu'elle tombe. Mais les événements ne sont pas non plus également possibles. Cela se produit lorsque quelqu’un influence délibérément un résultat. Par exemple, des cartes à jouer ou des dés « marqués », dans lesquels le centre de gravité est déplacé.

Les événements peuvent également être compatibles et incompatibles. Les événements compatibles n’excluent pas leur occurrence. Par exemple:

• A = "l'étudiant est venu au cours."
• B = "l'étudiant est venu au cours."

Ces événements sont indépendants les uns des autres et la survenance de l’un d’eux n’affecte pas la survenance de l’autre. Les événements incompatibles sont définis par le fait que la survenance de l’un exclut la survenance d’un autre. Si nous parlons de la même pièce, alors la perte de « queues » rend impossible l'apparition de « têtes » dans la même expérience.

Actions sur les événements

Les événements peuvent être multipliés et ajoutés ; en conséquence, les connecteurs logiques « ET » et « OU » sont introduits dans la discipline.

Le montant est déterminé par le fait que l'un ou l'autre des événements A ou B, ou deux, peut se produire en même temps. S'ils sont incompatibles, la dernière option est impossible ; soit A, soit B sera lancé.

La multiplication des événements consiste en l'apparition simultanée de A et de B.

Nous pouvons maintenant donner plusieurs exemples pour mieux mémoriser les bases, la théorie des probabilités et les formules. Exemples de résolution de problèmes ci-dessous.

Exercice 1: L'entreprise participe à un concours pour obtenir des contrats pour trois types de travaux. Événements possibles pouvant survenir :

• A = « l’entreprise recevra le premier contrat ».
• Et 1 = « l’entreprise ne recevra pas le premier contrat ».
• B = « l'entreprise recevra un deuxième contrat ».
• B 1 = « l'entreprise ne recevra pas de deuxième contrat »
• C = « l'entreprise recevra un troisième contrat ».
• C 1 = « l'entreprise ne recevra pas de troisième contrat ».

A l’aide d’actions sur des événements, nous tenterons d’exprimer les situations suivantes :

• K = « l'entreprise recevra tous les contrats ».

Sous forme mathématique, l'équation aura la forme suivante : K = ABC.

• M = « l’entreprise ne recevra pas un seul contrat ».

M = UNE 1 B 1 C 1.

Compliquons la tâche : H = « l’entreprise recevra un seul contrat ». Puisqu'on ne sait pas quel contrat l'entreprise recevra (premier, deuxième ou troisième), il est nécessaire d'enregistrer toute la série d'événements possibles :

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Et 1 BC 1 est une série d'événements où l'entreprise ne reçoit pas le premier et le troisième contrat, mais reçoit le deuxième. D'autres événements possibles ont été enregistrés en utilisant la méthode appropriée. Le symbole υ dans la discipline désigne le connecteur « OU ». Si nous traduisons l'exemple ci-dessus en langage humain, l'entreprise recevra soit le troisième contrat, soit le deuxième, soit le premier. De la même manière, vous pouvez écrire d’autres conditions dans la discipline « Théorie des probabilités ». Les formules et exemples de résolution de problèmes présentés ci-dessus vous aideront à le faire vous-même.

En fait, la probabilité

Peut-être que dans cette discipline mathématique, la probabilité d’un événement est le concept central. Il existe 3 définitions de la probabilité :

• classique;
• statistique;
• géométrique.

Chacun a sa place dans l’étude des probabilités. La théorie des probabilités, les formules et les exemples (9e année) utilisent principalement la définition classique, qui ressemble à ceci :

• La probabilité d’une situation A est égale au rapport entre le nombre d’issues favorisant sa survenance et le nombre de toutes les issues possibles.

La formule ressemble à ceci : P(A)=m/n.

A est en fait un événement. Si un cas opposé à A apparaît, il peut s'écrire  ou A 1 .

m est le nombre de cas favorables possibles.

n - tous les événements qui peuvent survenir.

Par exemple, A = « piochez une carte de la couleur cœur ». Il y a 36 cartes dans un jeu standard, dont 9 sont des cœurs. En conséquence, la formule pour résoudre le problème ressemblera à :

P(A)=9/36=0,25.

En conséquence, la probabilité qu'une carte de la couleur cœur soit tirée du jeu sera de 0,25.

Vers des mathématiques supérieures

On sait désormais peu ce qu'est la théorie des probabilités, les formules et les exemples de résolution de problèmes qui apparaissent dans les programmes scolaires. Cependant, la théorie des probabilités se retrouve également dans les mathématiques supérieures, enseignées dans les universités. Le plus souvent, ils opèrent avec des définitions géométriques et statistiques de la théorie et des formules complexes.

La théorie des probabilités est très intéressante. Il est préférable de commencer à étudier des formules et des exemples (mathématiques supérieures) de petite taille - avec la définition statistique (ou fréquentielle) de la probabilité.

L'approche statistique ne contredit pas l'approche classique, mais l'étend légèrement. Si dans le premier cas, il était nécessaire de déterminer avec quelle probabilité un événement se produirait, alors dans cette méthode, il est nécessaire d'indiquer à quelle fréquence il se produira. Ici, un nouveau concept de « fréquence relative » est introduit, qui peut être noté W n (A). La formule n'est pas différente de la formule classique :

Si la formule classique est calculée pour la prédiction, alors la formule statistique est calculée en fonction des résultats de l'expérience. Prenons par exemple une petite tâche.

Le service de contrôle technologique vérifie la qualité des produits. Parmi 100 produits, 3 se sont révélés de mauvaise qualité. Comment trouver la probabilité de fréquence d’un produit de qualité ?

A = « l’apparence d’un produit de qualité ».

W n (A)=97/100=0,97

Ainsi, la fréquence d'un produit de qualité est de 0,97. D'où as-tu eu le 97 ? Sur 100 produits contrôlés, 3 se sont révélés de mauvaise qualité. On soustrait 3 à 100, on obtient 97, c'est la quantité de biens de qualité.

Un peu de combinatoire

Une autre méthode de théorie des probabilités est appelée combinatoire. Son principe de base est que si un certain choix A peut être fait de m manières différentes et qu'un choix B peut être fait de n manières différentes, alors le choix de A et B peut être fait par multiplication.

Par exemple, il y a 5 routes menant de la ville A à la ville B. Il existe 4 chemins de la ville B à la ville C. De combien de façons pouvez-vous vous rendre de la ville A à la ville C ?

C'est simple : 5x4=20, c'est-à-dire qu'il existe vingt manières différentes d'aller du point A au point C.

Compliquons la tâche. Combien y a-t-il de façons de disposer les cartes en solitaire ? Il y a 36 cartes dans le jeu - c'est le point de départ. Pour connaître le nombre de façons, vous devez « soustraire » une carte à la fois du point de départ et multiplier.

Autrement dit, 36x35x34x33x32...x2x1= le résultat ne tient pas sur l'écran de la calculatrice, il peut donc simplement être désigné par 36 !. Signe "!" à côté du nombre indique que toute la série de nombres est multipliée ensemble.

En combinatoire, il existe des concepts tels que la permutation, le placement et la combinaison. Chacun d'eux a sa propre formule.

Un ensemble ordonné d’éléments d’un ensemble est appelé un arrangement. Les emplacements peuvent être répétés, c'est-à-dire qu'un élément peut être utilisé plusieurs fois. Et sans répétition, lorsque les éléments ne se répètent pas. n sont tous des éléments, m sont des éléments qui participent au placement. La formule de placement sans répétition ressemblera à :

A n m = n!/(n-m)!

Les connexions de n éléments qui diffèrent uniquement par l'ordre de placement sont appelées permutations. En mathématiques, cela ressemble à : P n = n !

Les combinaisons de n éléments de m sont les composés dans lesquels il est important de savoir quels éléments ils étaient et quel est leur nombre total. La formule ressemblera à :

A n m = n!/m!(n-m)!

La formule de Bernoulli

En théorie des probabilités, comme dans toutes les disciplines, il existe des travaux de chercheurs exceptionnels dans leur domaine qui l'ont porté à un nouveau niveau. L'un de ces travaux est la formule de Bernoulli, qui vous permet de déterminer la probabilité qu'un certain événement se produise dans des conditions indépendantes. Cela suggère que l’occurrence de A dans une expérience ne dépend pas de l’occurrence ou de la non-occurrence du même événement dans des essais antérieurs ou ultérieurs.

L'équation de Bernoulli :

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

La probabilité (p) d'occurrence de l'événement (A) est constante pour chaque essai. La probabilité que la situation se produise exactement m fois dans n nombre d'expériences sera calculée par la formule présentée ci-dessus. En conséquence, la question se pose de savoir comment connaître le nombre q.

Si l’événement A se produit p nombre de fois, il se peut donc qu’il ne se produise pas. L'unité est un nombre utilisé pour désigner tous les résultats d'une situation dans une discipline. Par conséquent, q est un nombre qui indique la possibilité qu’un événement ne se produise pas.

Vous connaissez maintenant la formule de Bernoulli (théorie des probabilités). Nous examinerons ci-dessous des exemples de résolution de problèmes (premier niveau).

Tâche 2 : Un visiteur du magasin effectuera un achat avec une probabilité de 0,2. 6 visiteurs sont entrés indépendamment dans le magasin. Quelle est la probabilité qu’un visiteur effectue un achat ?

Solution : Puisqu'on ne sait pas combien de visiteurs devraient effectuer un achat, un ou les six, il est nécessaire de calculer toutes les probabilités possibles à l'aide de la formule de Bernoulli.

A = « le visiteur effectuera un achat ».

Dans ce cas : p = 0,2 (comme indiqué dans la tâche). En conséquence, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (puisqu'il y a 6 clients dans le magasin). Le nombre m variera de 0 (pas un seul client n'effectuera d'achat) à 6 (tous les visiteurs du magasin achèteront quelque chose). En conséquence, nous obtenons la solution :

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Aucun des acheteurs n'effectuera d'achat avec une probabilité de 0,2621.

Sinon, comment la formule de Bernoulli (théorie des probabilités) est-elle utilisée ? Exemples de résolution de problèmes (deuxième niveau) ci-dessous.

Après l’exemple ci-dessus, des questions se posent quant à la destination de C et r. Par rapport à p, un nombre à la puissance 0 sera égal à un. Quant à C, il peut être trouvé par la formule :

C n m = n ! /m!(nm)!

Puisque dans le premier exemple m = 0, respectivement, C = 1, ce qui en principe n'affecte pas le résultat. En utilisant la nouvelle formule, essayons de déterminer quelle est la probabilité que deux visiteurs achètent des biens.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La théorie des probabilités n’est pas si compliquée. La formule de Bernoulli, dont des exemples sont présentés ci-dessus, en est une preuve directe.

La formule de Poisson

L'équation de Poisson est utilisée pour calculer des situations aléatoires à faible probabilité.

Formule de base :

P n (m) = λ m /m! × e (-λ) .

Dans ce cas λ = n x p. Voici une formule de Poisson simple (théorie des probabilités). Nous examinerons ci-dessous des exemples de résolution de problèmes.

Tâche 3: L'usine a produit 100 000 pièces. Occurrence d'une pièce défectueuse = 0,0001. Quelle est la probabilité qu’il y ait 5 pièces défectueuses dans un lot ?

Comme vous pouvez le constater, le mariage est un événement improbable et c'est pourquoi la formule de Poisson (théorie des probabilités) est utilisée pour le calcul. Les exemples de résolution de problèmes de ce type ne sont pas différents des autres tâches de la discipline ; nous substituons les données nécessaires dans la formule donnée :

A = « une pièce sélectionnée au hasard sera défectueuse ».

p = 0,0001 (selon les conditions de la tâche).

n = 100 000 (nombre de pièces).

m = 5 (pièces défectueuses). Nous substituons les données dans la formule et obtenons :

100 000 R (5) = 10 5 /5 ! X e -10 = 0,0375.

Tout comme la formule de Bernoulli (théorie des probabilités), dont des exemples de solutions sont écrits ci-dessus, l'équation de Poisson a un e inconnu. En fait, elle peut être trouvée par la formule :

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Cependant, il existe des tableaux spéciaux qui contiennent presque toutes les valeurs de e.

Théorème de De Moivre-Laplace

Si dans le schéma de Bernoulli le nombre d'essais est suffisamment grand et que la probabilité d'apparition de l'événement A dans tous les schémas est la même, alors la probabilité d'apparition de l'événement A un certain nombre de fois dans une série de tests peut être trouvée par La formule de Laplace :

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Pour mieux mémoriser la formule de Laplace (théorie des probabilités), des exemples de problèmes sont ci-dessous pour vous aider.

Tout d'abord, trouvons X m, remplaçons les données (elles sont toutes répertoriées ci-dessus) dans la formule et obtenons 0,025. A l'aide de tableaux, on retrouve le nombre ϕ(0,025), dont la valeur est 0,3988. Vous pouvez maintenant remplacer toutes les données dans la formule :

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Ainsi, la probabilité que le dépliant fonctionne exactement 267 fois est de 0,03.

Formule de Bayes

La formule de Bayes (théorie des probabilités), dont des exemples de résolution de problèmes seront donnés ci-dessous, est une équation qui décrit la probabilité d'un événement en fonction des circonstances qui pourraient y être associées. La formule de base est la suivante :

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A et B sont des événements définis.

P(A|B) est une probabilité conditionnelle, c'est-à-dire que l'événement A peut se produire à condition que l'événement B soit vrai.

P (B|A) - probabilité conditionnelle de l'événement B.

Ainsi, la dernière partie du cours abrégé « Théorie des probabilités » est la formule de Bayes, dont vous trouverez ci-dessous des exemples de solutions aux problèmes.

Tâche 5: Des téléphones de trois sociétés ont été amenés à l'entrepôt. Dans le même temps, la part des téléphones fabriqués dans la première usine est de 25 %, dans la deuxième de 60 %, dans la troisième de 15 %. On sait également que le pourcentage moyen de produits défectueux dans la première usine est de 2 %, dans la deuxième de 4 % et dans la troisième de 1 %. Vous devez trouver la probabilité qu'un téléphone sélectionné au hasard soit défectueux.

A = « téléphone choisi au hasard ».

B 1 - le téléphone produit par la première usine. En conséquence, les introductions B 2 et B 3 (pour les deuxième et troisième usines) apparaîtront.

En conséquence nous obtenons :

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25 ; P(B2) = 0,6 ; P (B 3) = 0,15 - nous avons ainsi trouvé la probabilité de chaque option.

Il faut maintenant trouver les probabilités conditionnelles de l'événement souhaité, c'est-à-dire la probabilité de produits défectueux dans les entreprises :

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02 ;

P(A/B2) = 0,04 ;

P (A/B 3) = 0,01.

Remplaçons maintenant les données dans la formule de Bayes et obtenons :

P(A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

L'article présente la théorie des probabilités, des formules et des exemples de résolution de problèmes, mais ce n'est que la pointe de l'iceberg d'une vaste discipline. Et après tout ce qui a été écrit, il sera logique de se poser la question de savoir si la théorie des probabilités est nécessaire dans la vie. Il est difficile pour une personne ordinaire de répondre ; il vaut mieux demander à quelqu'un qui l'a utilisé de gagner le jackpot plus d'une fois.

La définition classique de la probabilité est basée sur le concept expérience probabiliste, ou une expérience de probabilité. Son résultat est l’un des nombreux résultats possibles, appelé résultats élémentaires, et il n'y a aucune raison de s'attendre à ce qu'un résultat élémentaire apparaisse plus souvent que d'autres lors de la répétition d'une expérience probabiliste. Par exemple, considérons une expérience probabiliste consistant à lancer un dé. Le résultat de cette expérience est la perte d'un des 6 points dessinés sur les côtés du cube.

Ainsi, dans cette expérience il y a 6 résultats élémentaires :

et chacun d’eux est également attendu.

Événement dans une expérience probabiliste classique, il s’agit d’un sous-ensemble arbitraire de l’ensemble des résultats élémentaires. Dans l’exemple considéré du lancement d’un dé, l’événement est, par exemple, la perte d’un nombre pair de points, constitués de résultats élémentaires.

La probabilité d'un événement est le nombre :

où est le nombre de résultats élémentaires qui composent l'événement (on dit parfois qu'il s'agit du nombre de résultats élémentaires qui favorisent la survenance de l'événement), et est le nombre de tous les résultats élémentaires.

Dans notre exemple :

Éléments de combinatoire.

Lors de la description de nombreuses expériences probabilistes, les résultats élémentaires peuvent être identifiés avec l'un des objets combinatoires suivants (la science des ensembles finis).

Réarrangement de nombres est une représentation ordonnée arbitrairement de ces nombres sans répétition. Par exemple, pour un ensemble de trois nombres, il existe 6 permutations différentes :

, , , , , .

Pour un nombre arbitraire de permutations est égal

(le produit de nombres consécutifs dans la série naturelle, à partir de 1).

Une combinaison de est un ensemble arbitraire non ordonné de tous les éléments de l'ensemble. Par exemple, pour un ensemble de trois nombres, il existe 3 combinaisons différentes de 3 par 2 :

Pour une paire arbitraire , , le nombre de combinaisons de est égal à

Par exemple,

Distribution hypergéométrique.

Considérons l'expérience probabiliste suivante. Il y a une boîte noire contenant des boules blanches et noires. Les boules sont de la même taille et impossibles à distinguer au toucher. L'expérience consiste à tirer des boules au hasard. L'événement dont il faut trouver la probabilité est que certaines de ces boules soient blanches et les autres noires.

Renumérotons toutes les boules portant des numéros de 1 à . Soit les nombres 1, ¼ correspondant aux boules blanches, et les nombres , ¼ aux boules noires. Le résultat élémentaire de cette expérience est un ensemble non ordonné d'éléments de l'ensemble, c'est-à-dire une combinaison de par. Par conséquent, il existe tous des résultats élémentaires.

Trouvons le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement. Les ensembles correspondants sont constitués de nombres « blancs » et « noirs ». Vous pouvez choisir des nombres parmi les nombres « blancs » de trois manières et des nombres parmi les nombres « noirs » de 3/4 manières. Les ensembles blancs et noirs peuvent être connectés arbitrairement, il n'y a donc que des résultats élémentaires favorables à l'événement.

La probabilité de l'événement est

La formule résultante est appelée distribution hypergéométrique.

Problème 5.1. La boîte contient 55 pièces standards et 6 pièces défectueuses du même type. Quelle est la probabilité que parmi trois pièces sélectionnées au hasard, au moins une soit défectueuse ?

Solution. Il y a 61 parties au total, on en prend 3. Un résultat élémentaire est une combinaison de 61 par 3. Le nombre de tous les résultats élémentaires est égal à . Les résultats favorables sont divisés en trois groupes : 1) ce sont les résultats dans lesquels 1 partie est défectueuse et 2 sont bonnes ; 2) 2 pièces sont défectueuses et 1 est bonne ; 3) les 3 pièces sont défectueuses. Le nombre d'ensembles du premier type est égal à , le nombre d'ensembles du deuxième type est égal à et le nombre d'ensembles du troisième type est égal à . Par conséquent, la survenance d’un événement est favorisée par des issues élémentaires. La probabilité de l'événement est

Algèbre des événements

L'espace des événements élémentaires est l’ensemble de tous les résultats élémentaires liés à une expérience donnée.

Montant deux événements sont appelés un événement constitué de résultats élémentaires appartenant à l'événement ou à l'événement.

Le travail deux événements est appelé un événement constitué d'issues élémentaires qui appartiennent simultanément aux événements et .

Les événements et sont dits incompatibles si .

L'événement s'appelle opposéévénement, si l'événement est favorisé par tous les résultats élémentaires qui n'appartiennent pas à l'événement. En particulier, , .

THÉORÈME DE LA SOMME.

En particulier, .

Probabilite conditionnelle l'événement, à condition que l'événement se soit produit, est appelé le rapport du nombre de résultats élémentaires appartenant à l'intersection au nombre de résultats élémentaires appartenant à . En d’autres termes, la probabilité conditionnelle d’un événement est déterminée par la formule de probabilité classique, dans laquelle le nouvel espace de probabilité est . La probabilité conditionnelle d'un événement est notée .

THÉORÈME DU PRODUIT. .

Les événements sont appelés indépendant, Si . Pour les événements indépendants, le théorème du produit donne la relation .

Une conséquence des théorèmes de somme et de produit sont les deux formules suivantes.

Formule de probabilité totale. Un groupe complet d'hypothèses est un ensemble arbitraire d'événements incompatibles , , ¼, , qui constituent ensemble l'ensemble de l'espace de probabilité :

Dans cette situation, pour un événement arbitraire, une formule appelée formule de probabilité totale est valable,

où est la fonction de Laplace , , . La fonction de Laplace est tabulée et ses valeurs, pour une valeur donnée, peuvent être trouvées dans n'importe quel manuel de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques.

Problème 5.3. On sait que dans un grand lot de pièces, 11 % sont défectueux. 100 pièces sont sélectionnées pour les tests. Quelle est la probabilité que parmi eux il n’y en ait pas plus de 14 défectueux ? Estimez la réponse à l’aide du théorème de Moivre-Laplace.

Solution. Nous avons affaire à un test de Bernoulli, où , , . Un succès est considéré comme la découverte d'une pièce défectueuse, et le nombre de succès satisfait l'inégalité. Ainsi,

Le calcul direct donne :

, , , , , , , , , , , , , , .

Ainsi, . Appliquons maintenant le théorème intégral de Moivre-Laplace. On a:

En utilisant le tableau des valeurs de fonction, en tenant compte de l'impairité de la fonction, on obtient

L'erreur du calcul approximatif ne dépasse pas .

Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une caractéristique numérique d’une expérience probabiliste, qui est fonction de résultats élémentaires. Si , , ¼, est un ensemble de résultats élémentaires, alors la variable aléatoire est fonction de . Il est cependant plus pratique de caractériser une variable aléatoire en listant toutes ses valeurs possibles et les probabilités avec lesquelles elle prend cette valeur.

Un tel tableau est appelé loi de distribution d’une variable aléatoire. Puisque les événements forment un groupe complet, la loi de normalisation probabiliste est satisfaite

L'espérance mathématique, ou valeur moyenne, d'une variable aléatoire est un nombre égal à la somme des produits des valeurs de la variable aléatoire et des probabilités correspondantes.

La dispersion (le degré de propagation des valeurs autour de l'espérance mathématique) d'une variable aléatoire est l'espérance mathématique de la variable aléatoire,

On peut montrer que

Ordre de grandeur

est appelé l’écart carré moyen de la variable aléatoire.

La fonction de distribution d'une variable aléatoire est la probabilité d'entrer dans l'ensemble, c'est-à-dire

Il s'agit d'une fonction non négative et non décroissante prenant des valeurs de 0 à 1. Pour une variable aléatoire qui a un ensemble fini de valeurs, il s'agit d'une fonction constante par morceaux qui présente des discontinuités du deuxième type aux points d'état. De plus, et est continu à gauche.

Problème 5.4. Deux dés sont lancés successivement. Si un, trois ou cinq points apparaissent sur un dé, le joueur perd 5 roubles. Si deux ou quatre points sont obtenus, le joueur reçoit 7 roubles. Si six points sont obtenus, le joueur perd 12 roubles. Valeur aléatoire X est le gain du joueur pour deux lancers de dés. Trouver la loi de distribution X, tracez la fonction de distribution, trouvez l'espérance mathématique et la variance X.

Solution. Considérons d'abord à quoi correspondent les gains du joueur lorsqu'il lance un dé. Que l'événement soit que 1, 3 ou 5 points soient obtenus. Ensuite, les gains seront des roubles. Supposons que 2 ou 4 points soient obtenus. Ensuite, les gains seront des roubles. Enfin, que l'événement signifie lancer un 6. Ensuite, les gains sont égaux à des roubles.

Considérons maintenant toutes les combinaisons possibles d'événements, et avec deux lancers de dés, et déterminons les valeurs gagnantes pour chacune de ces combinaisons.

Si un événement s'est produit, alors, au même moment.

Si un événement s'est produit, alors, au même moment.

De même, lorsque nous obtenons , .

Nous écrivons tous les états trouvés et les probabilités totales de ces états dans le tableau :

Nous vérifions le respect de la loi de normalisation probabiliste : sur la ligne réelle, vous devez être capable de déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans cet intervalle 1) et diminue rapidement à, ¼,

Il y aura également des problèmes que vous devrez résoudre vous-même, dont vous pourrez voir les réponses.

Théorie des probabilités sur les types d'événements et la probabilité de leur apparition

La théorie des probabilités étudie les types d'événements et les probabilités de leur occurrence. L’émergence de la théorie des probabilités remonte au milieu du XVIIe siècle, lorsque les mathématiciens s’intéressèrent aux problèmes posés par les joueurs et commencèrent à étudier des événements tels que l’apparition d’un gain. Dans le processus de résolution de ces problèmes, des concepts tels que la probabilité et l’espérance mathématique se sont cristallisés. Les scientifiques de l'époque - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) et Bernoulli (1654-1705) étaient convaincus que des modèles clairs pouvaient apparaître sur la base d'événements aléatoires massifs. Dans le même temps, les opérations élémentaires arithmétiques et combinatoires suffisaient à la recherche.

Ainsi, la théorie des probabilités explique et explore les différents modèles auxquels sont soumis les événements aléatoires et les variables aléatoires. Événement est tout fait qui peut être énoncé à la suite d’une observation ou d’une expérience. L'observation ou l'expérience est la réalisation de certaines conditions dans lesquelles un événement peut se produire.

Ce qu'il faut savoir pour déterminer la probabilité qu'un événement se produise

Tous les événements que les gens observent ou créent eux-mêmes sont divisés en :

• événements fiables;
• événements impossibles;
• événements aléatoires.

Des événements fiables se produisent toujours lorsqu’un certain ensemble de circonstances est créé. Par exemple, si nous travaillons, nous recevons une récompense ; si nous réussissons les examens et les concours, nous pouvons compter de manière fiable sur le nombre d'étudiants. Des événements fiables peuvent être observés en physique et en chimie. En économie, les événements fiables sont associés à l’ordre social et à la législation existants. Par exemple, si nous déposons de l’argent dans une banque et exprimons le désir de le recevoir dans un certain délai, alors nous recevrons l’argent. Cela peut être considéré comme un événement fiable.

Événements impossibles ne se produira certainement pas si un certain ensemble de conditions a été créé. Par exemple, l'eau ne gèle pas si la température est de plus de 15 degrés Celsius, la production ne se fait pas sans électricité.

Événements aléatoires Lorsqu’un certain ensemble de conditions est réalisé, elles peuvent se produire ou non. Par exemple, si nous jetons une pièce de monnaie une fois, les armoiries peuvent tomber ou non, un billet de loterie peut être gagné ou non, un produit manufacturé peut ou non être défectueux. L’apparition d’un produit défectueux est un événement aléatoire, plus rare que la fabrication de produits adaptés.

La fréquence attendue d’occurrence d’événements aléatoires est étroitement liée au concept de probabilité. Les modèles d'occurrence et de non-occurrence d'événements aléatoires sont étudiés par la théorie des probabilités.

Si un ensemble de conditions nécessaires n’est réalisé qu’une seule fois, nous recevons alors des informations insuffisantes sur un événement aléatoire, puisqu’il peut se produire ou non. Si un ensemble de conditions est mis en œuvre plusieurs fois, des modèles connus apparaissent. Par exemple, il n'est jamais possible de savoir de quelle machine à café dans un magasin le prochain client aura besoin, mais si les marques de machines à café les plus demandées depuis longtemps sont connues, alors sur la base de ces données, il est possible de organiser la production ou l’offre pour répondre à la demande.

La connaissance des modèles qui régissent les événements aléatoires de masse nous permet de prédire quand ces événements se produiront. Par exemple, comme indiqué précédemment, il est impossible de prédire à l'avance le résultat du lancer d'une pièce de monnaie, mais si la pièce est lancée plusieurs fois, il est alors possible de prédire que les armoiries tomberont. L'erreur peut être minime.

Les méthodes de théorie des probabilités sont largement utilisées dans diverses branches des sciences naturelles, de la physique théorique, de la géodésie, de l'astronomie, de la théorie du contrôle automatisé, de la théorie de l'observation des erreurs et dans de nombreuses autres sciences théoriques et pratiques. La théorie des probabilités est largement utilisée dans la planification et l'organisation de la production, l'analyse de la qualité des produits, l'analyse des processus technologiques, les assurances, les statistiques démographiques, la biologie, la balistique et d'autres industries.

Les événements aléatoires sont généralement désignés par les lettres majuscules de l'alphabet latin A, B, C, etc.

Les événements aléatoires peuvent être :

• incompatible;
• articulation.

Les événements A, B, C... sont appelés incompatible , si à la suite d'un test, un de ces événements peut se produire, mais que deux événements ou plus ne peuvent pas se produire.

Si la survenance d'un événement aléatoire n'exclut pas la survenance d'un autre événement, alors ces événements sont appelés articulation . Par exemple, si une autre pièce est retirée d'un tapis roulant et que l'événement A signifie « la pièce est conforme à la norme » et que l'événement B signifie « la pièce ne répond pas à la norme », alors A et B sont des événements incompatibles. Si l’événement C signifie « une partie du grade II a été suivie », alors cet événement est conjoint à l’événement A, mais incompatible avec l’événement B.

Si dans chaque observation (test) un et un seul des événements aléatoires incompatibles devait se produire, alors ces événements constituent ensemble complet (système) d'événements .

Un événement fiable est l’occurrence d’au moins un événement parmi un ensemble complet d’événements.

Si les événements qui forment l'ensemble complet des événements incohérent par paire , alors à la suite de l'observation, un seul de ces événements peut se produire. Par exemple, un étudiant doit résoudre deux problèmes de test. Un et un seul des événements suivants se produira certainement :

• le premier problème sera résolu et le deuxième problème ne sera pas résolu ;
• le deuxième problème sera résolu et le premier problème ne sera pas résolu ;
• les deux problèmes seront résolus ;
• aucun des problèmes ne sera résolu.

Ces événements forment un ensemble complet d'événements incompatibles .

Si l’ensemble complet des événements ne comprend que deux événements incompatibles, alors ils sont appelés mutuellement opposés ou alternative événements.

L'événement opposé à l'événement est noté . Par exemple, dans le cas d'un tirage au sort, la dénomination () ou les armoiries () peuvent apparaître.

Les événements sont appelés tout aussi possible , si aucun d’entre eux ne présente d’avantages objectifs. De tels événements constituent également l'ensemble complet des événements. Cela signifie qu'à la suite d'une observation ou d'un test, au moins un des événements également possibles doit se produire de manière certaine.

Par exemple, un groupe complet d'événements est formé par la perte de la dénomination et de l'emblème lors d'un tirage au sort, la présence de 0, 1, 2, 3 et plus de 3 erreurs sur une page de texte imprimée.

Probabilité classique et statistique. Formules de probabilité : classiques et statistiques

Définition classique de la probabilité. Une opportunité ou un cas favorable est un cas où, lors de la mise en œuvre d'un certain ensemble de circonstances, un événement UN arriver. La définition classique de la probabilité consiste à calculer directement le nombre de cas ou d’opportunités favorables.

Probabilité de l'événement UN appeler le rapport du nombre d'opportunités favorables à cet événement au nombre de tous les événements incompatibles également possibles N qui peut survenir à la suite d’un seul essai ou d’une seule observation. Formule de probabilité événements UN:

S'il est tout à fait clair de quelle probabilité d'un événement nous parlons, alors la probabilité est indiquée par une petite lettre p, sans préciser la désignation de l'événement.

Pour calculer la probabilité selon la définition classique, il faut trouver le nombre de tous les événements incompatibles également possibles et déterminer combien d'entre eux sont favorables à la définition de l'événement. UN.

Exemple 1. Trouvez la probabilité d’obtenir le chiffre 5 en lançant un dé.

Solution. On sait que les six visages ont les mêmes chances de finir au sommet. Le chiffre 5 est marqué sur un seul côté. Le nombre de tous les événements incompatibles également possibles est 6, dont une seule possibilité favorable est le chiffre 5 ( M= 1). Cela signifie que la probabilité souhaitée d'obtenir le chiffre 5

Exemple 2. Une boîte contient 3 boules rouges et 12 boules blanches de même taille. Une balle a été prise sans regarder. Trouvez la probabilité que la boule rouge soit prise.

Solution. Probabilité requise

Trouvez vous-même les probabilités et voyez ensuite la solution

Exemple 3. Les dés sont lancés. Événement B- rouler un nombre pair. Calculez la probabilité de cet événement.

Exemple 5. Il y a 5 boules blanches et 7 boules noires dans une urne. 1 boule est tirée au hasard. Événement UN- une boule blanche est tirée. Événement B- une boule noire est tirée. Calculez les probabilités de ces événements.

La probabilité classique est également appelée probabilité a priori car elle est calculée avant de commencer un test ou une observation. De la nature a priori de la probabilité classique découle son principal inconvénient : ce n'est que dans de rares cas, avant le début de l'observation, que l'on peut calculer tous les événements incompatibles également possibles, y compris les événements favorables. De telles opportunités se présentent généralement dans des situations proches des jeux.

Combinaisons. Si la séquence d'événements n'est pas importante, le nombre d'événements possibles est calculé comme le nombre de combinaisons :

Exemple 6. Il y a 30 étudiants dans le groupe. Trois étudiants doivent se rendre au département d'informatique pour récupérer et apporter un ordinateur et un projecteur. Calculez la probabilité que trois élèves spécifiques fassent cela.

Solution. Nous calculons le nombre d'événements possibles à l'aide de la formule (2) :

La probabilité que trois étudiants spécifiques entrent dans le département :

Exemple 7. 10 téléphones portables à vendre. 3 d'entre eux présentent des défauts. L'acheteur a choisi 2 téléphones. Calculez la probabilité que les deux téléphones sélectionnés présentent des défauts.

Solution. Le nombre de tous les événements également possibles est trouvé à l'aide de la formule (2) :

En utilisant la même formule, on trouve le nombre d'opportunités favorables à un événement :

La probabilité souhaitée que les deux téléphones sélectionnés présentent des défauts :

Trouvez vous-même la probabilité, puis regardez la solution

Exemple 8. Les copies d'examen contiennent 40 questions qui ne sont pas répétées. L'élève a préparé des réponses à 30 d'entre elles. Chaque ticket contient 2 questions. Quelle est la probabilité que l’étudiant connaisse les réponses aux deux questions figurant sur le ticket ?