Le concept de proportionnalité directe

Imaginez que vous envisagez d'acheter vos bonbons préférés (ou tout ce que vous aimez vraiment). Les bonbons dans le magasin ont leur propre prix. Disons 300 roubles par kilogramme. Plus vous achetez de bonbons, plus vous payez d’argent. Autrement dit, si vous voulez 2 kilogrammes, payez 600 roubles et si vous voulez 3 kilogrammes, payez 900 roubles. Tout cela semble clair, n'est-ce pas ?

Si oui, alors vous comprenez maintenant ce qu'est la proportionnalité directe : il s'agit d'un concept qui décrit la relation entre deux quantités dépendant l'une de l'autre. Et le rapport de ces quantités reste inchangé et constant : de combien de parties l'une d'elles augmente ou diminue, du même nombre de parties la seconde augmente ou diminue proportionnellement.

La proportionnalité directe peut être décrite avec la formule suivante : f(x) = a*x, et a dans cette formule est une valeur constante (a = const). Dans notre exemple sur les bonbons, le prix est une valeur constante, une constante. Il n’augmente ni ne diminue, quel que soit le nombre de bonbons que vous décidez d’acheter. La variable indépendante (argument) x correspond au nombre de kilogrammes de bonbons que vous allez acheter. Et la variable dépendante f(x) (fonction) correspond au montant que vous finissez par payer pour votre achat. Nous pouvons donc substituer les nombres dans la formule et obtenir : 600 roubles. = 300 roubles. *2 kg.

La conclusion intermédiaire est la suivante : si l’argument augmente, la fonction augmente aussi, si l’argument diminue, la fonction diminue aussi

Fonction et ses propriétés

Fonction proportionnelle directe est un cas particulier de fonction linéaire. Si la fonction linéaire est y = k*x + b, alors pour la proportionnalité directe, cela ressemble à ceci : y = k*x, où k est appelé coefficient de proportionnalité, et c'est toujours un nombre non nul. Il est facile de calculer k - il se trouve comme le quotient d'une fonction et d'un argument : k = y/x.

Pour que ce soit plus clair, prenons un autre exemple. Imaginez qu'une voiture se déplace d'un point A à un point B. Sa vitesse est de 60 km/h. Si nous supposons que la vitesse de déplacement reste constante, alors elle peut être considérée comme constante. Et puis on écrit les conditions sous la forme : S = 60*t, et cette formule est similaire à la fonction de proportionnalité directe y = k *x. Faisons un parallèle plus loin : si k = y/x, alors la vitesse de la voiture peut être calculée en connaissant la distance entre A et B et le temps passé sur la route : V = S /t.

Et maintenant, à partir de l’application appliquée des connaissances sur la proportionnalité directe, revenons à sa fonction. Dont les propriétés comprennent :

son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels (ainsi que ses sous-ensembles) ;

la fonction est étrange ;

le changement de variables est directement proportionnel sur toute la longueur de la droite numérique.

La proportionnalité directe et son graphique

Le graphique d'une fonction de proportionnalité directe est une ligne droite qui coupe l'origine. Pour le construire, il suffit de marquer encore un point. Et connectez-le à l’origine des coordonnées avec une ligne droite.

Dans le cas d'un graphique, k est la pente. Si la pente est inférieure à zéro (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), le graphique et l’axe des x forment un angle aigu et la fonction est croissante.

Et une autre propriété du graphique de la fonction de proportionnalité directe est directement liée à la pente k. Supposons que nous ayons deux fonctions non identiques et, par conséquent, deux graphiques. Ainsi, si les coefficients k de ces fonctions sont égaux, leurs graphiques sont situés parallèlement à l'axe des coordonnées. Et si les coefficients k ne sont pas égaux entre eux, les graphiques se croisent.

Exemples de problèmes

Maintenant, résolvons quelques-uns problèmes de proportionnalité directs

Commençons par quelque chose de simple.

Problème 1 : Imaginez que 5 poules pondent 5 œufs en 5 jours. Et s’il y a 20 poules, combien d’œufs pondront-elles en 20 jours ?

Solution : Notons l'inconnue par kx. Et nous raisonnerons ainsi : combien de fois plus de poulets sont-ils devenus ? Divisez 20 par 5 et découvrez que c'est 4 fois. Combien de fois plus d’œufs 20 poules pondront-elles au cours des mêmes 5 jours ? Et 4 fois plus. On retrouve donc le nôtre ainsi : 5*4*4 = 80 œufs seront pondus par 20 poules en 20 jours.

Maintenant, l’exemple est un peu plus compliqué, paraphrasons le problème de « l’arithmétique générale » de Newton. Problème 2 : Un écrivain peut composer 14 pages d'un nouveau livre en 8 jours. S’il avait des assistants, combien de personnes faudrait-il pour écrire 420 pages en 12 jours ?

Solution : Nous pensons que le nombre de personnes (écrivain + assistants) augmente avec le volume de travail si celui-ci devait être effectué dans le même laps de temps. Mais combien de fois ? En divisant 420 par 14, on découvre qu'il augmente de 30 fois. Mais comme, selon les conditions de la tâche, plus de temps est accordé pour le travail, le nombre d'assistants n'augmente pas de 30 fois, mais de cette manière : x = 1 (écrivain) * 30 (fois) : 12/8 ( jours). Transformons-nous et découvrons que x = 20 personnes écriront 420 pages en 12 jours.

Résolvons un autre problème similaire à ceux de nos exemples.

Problème 3 : Deux voitures partent pour le même voyage. L’un se déplaçait à une vitesse de 70 km/h et parcourait la même distance en 2 heures tandis que l’autre mettait 7 heures. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture.

Solution : Comme vous vous en souvenez, le chemin est déterminé par la vitesse et le temps - S = V *t. Puisque les deux voitures ont parcouru la même distance, nous pouvons assimiler les deux expressions : 70*2 = V*7. Comment pouvons-nous déterminer que la vitesse de la deuxième voiture est V = 70*2/7 = 20 km/h.

Et quelques autres exemples de tâches avec des fonctions de proportionnalité directe. Parfois, les problèmes nécessitent de trouver le coefficient k.

Tâche 4 : Étant donné les fonctions y = - x/16 et y = 5x/2, déterminer leurs coefficients de proportionnalité.

Solution : Comme vous vous en souvenez, k = y/x. Cela signifie que pour la première fonction le coefficient est égal à -1/16, et pour la seconde k = 5/2.

Vous pouvez également rencontrer une tâche comme la tâche 5 : écrire la proportionnalité directe avec une formule. Son graphique et le graphique de la fonction y = -5x + 3 sont situés en parallèle.

Solution : La fonction qui nous est donnée dans la condition est linéaire. Nous savons que la proportionnalité directe est un cas particulier de fonction linéaire. Et on sait aussi que si les coefficients des k fonctions sont égaux, leurs graphiques sont parallèles. Cela signifie qu'il suffit de calculer le coefficient d'une fonction connue et de définir la proportionnalité directe à l'aide de la formule qui nous est familière : y = k *x. Coefficient k = -5, proportionnalité directe : y = -5*x.

Conclusion

Vous avez maintenant appris (ou vous êtes souvenu, si vous avez déjà abordé ce sujet auparavant) de ce qu'on appelle proportionnalité directe, et je l'ai regardé exemples. Nous avons également parlé de la fonction de proportionnalité directe et de son graphique, et résolu plusieurs exemples de problèmes.

Si cet article vous a été utile et vous a aidé à comprendre le sujet, parlez-nous-en dans les commentaires. Pour que nous sachions si nous pourrions vous être utiles.

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Aujourd'hui, nous examinerons quelles quantités sont appelées inversement proportionnelles, à quoi ressemble un graphique de proportionnalité inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors de l'école.

Des proportions si différentes

Proportionnalité Nommez deux quantités qui dépendent mutuellement l’une de l’autre.

La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, les relations entre les quantités sont décrites par une proportionnalité directe et inverse.

Proportionnalité directe– il s'agit d'une telle relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une d'elles entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Ceux. leur attitude ne change pas.

Par exemple, plus vous consacrez d’efforts à étudier en vue des examens, plus vos notes sont élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus votre sac à dos sera lourd à transporter. Ceux. L'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnelle à son poids.

Proportionnalité inverse– il s’agit d’une dépendance fonctionnelle dans laquelle une diminution ou une augmentation plusieurs fois d’une valeur indépendante (c’est ce qu’on appelle un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c’est-à-dire le même nombre de fois) d’une valeur dépendante (c’est ce qu’on appelle un fonction).

Illustrons avec un exemple simple. Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d’argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Ceux. Plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d’argent.

Fonction et son graphique

La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k/x. Dans lequel X≠ 0 et k≠ 0.

Cette fonction a les propriétés suivantes :

1. Son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels sauf X = 0. D(oui): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. La plage est constituée de nombres réels sauf oui= 0. E(o) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. N'a pas de valeurs maximales ou minimales.
4. C'est étrange et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
5. Non périodique.
6. Son graphique ne coupe pas les axes de coordonnées.
7. N'a pas de zéros.
8. Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement sur chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. À mesure que l'argument augmente ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞ ; 0), et les valeurs positives sont dans l'intervalle (0 ; +∞). Lorsque l'argument diminue ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Le graphique d’une fonction de proportionnalité inverse s’appelle une hyperbole. Montré comme suit :

Problèmes de proportionnalité inverse

Pour que ce soit plus clair, examinons plusieurs tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et les résoudre vous aidera à visualiser ce qu'est la proportionnalité inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie quotidienne.

Tâche n°1. Une voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour arriver à destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s’il se déplace à une vitesse deux fois supérieure ?

Nous pouvons commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D’accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps qu’une voiture passe sur la route et la vitesse à laquelle elle se déplace sont en proportion inverse.

Pour le vérifier, trouvons V 2, qui, selon la condition, est 2 fois plus élevé : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Or, il n'est pas difficile de connaître le temps t 2 qui nous est demandé en fonction des conditions du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.

Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en effet inversement proportionnels : à une vitesse 2 fois supérieure à la vitesse d'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.

La solution à ce problème peut également s’écrire sous forme de proportion. Faisons donc d'abord ce schéma :

↓ 60 km/h – 6 heures

↓120 km/h – xh

Les flèches indiquent une relation inversement proportionnelle. Ils suggèrent également que lors de l'établissement d'une proportion, il faut retourner le côté droit de la fiche : 60/120 = x/6. Où obtenons-nous x = 60 * 6/120 = 3 heures.

Tâche n°2. L'atelier emploie 6 ouvriers capables d'effectuer une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il aux travailleurs restants pour accomplir la même quantité de travail ?

Écrivons les conditions du problème sous la forme d'un schéma visuel :

↓ 6 ouvriers – 4 heures

↓ 3 ouvriers – x h

Écrivons cela sous forme de proportion : 6/3 = x/4. Et on obtient x = 6 * 4/3 = 8 heures S'il y a 2 fois moins de travailleurs, les autres passeront 2 fois plus de temps à faire tout le travail.

Tâche n°3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Grâce à un tuyau, l'eau s'écoule à une vitesse de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Grâce à un autre tuyau, la piscine se remplira en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?

Pour commencer, réduisons toutes les grandeurs qui nous sont données selon les conditions du problème aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime la vitesse de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Puisque cette condition implique que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit d’eau est plus faible. La proportionnalité est inverse. Exprimons la vitesse inconnue par x et traçons le schéma suivant :

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Et puis on compose la proportion : 120/x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Dans le problème, le taux de remplissage de la piscine est exprimé en litres par seconde ; réduisons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.

Tâche n°4. Une petite imprimerie privée imprime des cartes de visite. Un employé d'une imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille une journée complète - 8 heures. S’il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, combien de temps plus tôt pourrait-il rentrer chez lui ?

Nous suivons le chemin éprouvé et dressons un schéma en fonction des conditions du problème, désignant la valeur souhaitée par x :

↓ 42 cartes de visite/heure – 8 heures

↓ 48 cartes de visite/h – x h

Nous avons une relation inversement proportionnelle : le nombre de fois plus de cartes de visite qu'un employé d'une imprimerie imprime par heure, le même nombre de fois moins de temps dont il aura besoin pour effectuer le même travail. Sachant cela, créons une proportion :

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 heures.

Ainsi, après avoir terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.

Conclusion

Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que maintenant vous les considérez également de cette façon. Et l'essentiel est que la connaissance de la dépendance inversement proportionnelle des quantités puisse vraiment vous être utile plus d'une fois.

Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même alors, lorsque vous vous préparez à partir en voyage, à faire du shopping, à décider de gagner un peu d'argent supplémentaire pendant les vacances, etc.

Dites-nous dans les commentaires quels exemples de relations proportionnelles inverses et directes vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article sur les réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent également jouer.

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Proportionnalité directe et inverse

Si t est le temps de déplacement du piéton (en heures), s est la distance parcourue (en kilomètres) et qu'il se déplace uniformément à une vitesse de 4 km/h, alors la relation entre ces grandeurs peut être exprimée par la formule s = 4t. Puisque chaque valeur t correspond à une seule valeur s, on peut dire qu'une fonction est définie à l'aide de la formule s = 4t. C'est ce qu'on appelle la proportionnalité directe et elle est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité directe est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y=kx, où k est un nombre réel non nul.

Le nom de la fonction y = k x est dû au fait que dans la formule y = k x il y a des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le rapport de deux quantités est égal à un nombre différent de zéro, on les appelle directement proportionnel . Dans notre cas = k (k≠0). Ce numéro s'appelle coefficient de proportionnalité.

La fonction y = k x est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles envisagées déjà dans le cours initial de mathématiques. L'un d'eux est décrit ci-dessus. Autre exemple : si un sac de farine contient 2 kg et que x de ces sacs ont été achetés, alors la masse totale de farine achetée (notée y) peut être représentée par la formule y = 2x, c'est-à-dire le rapport entre le nombre de sacs et la masse totale de farine achetée est directement proportionnel avec le coefficient k=2.

Rappelons quelques propriétés de proportionnalité directe qui sont étudiées dans un cours de mathématiques scolaire.

1. Le domaine de définition de la fonction y = k x et la plage de ses valeurs est l'ensemble des nombres réels.

2. Le graphique de proportionnalité directe est une droite passant par l'origine. Par conséquent, pour construire un graphique de proportionnalité directe, il suffit de trouver un seul point qui lui appartient et ne coïncide pas avec l'origine des coordonnées, puis de tracer une ligne droite passant par ce point et l'origine des coordonnées.

Par exemple, pour construire un graphique de la fonction y = 2x, il suffit d'avoir un point de coordonnées (1, 2), puis de tracer une ligne droite le traversant et l'origine des coordonnées (Fig. 7).

3. Pour k > 0, la fonction y = khx augmente sur tout le domaine de définition ; à k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Si la fonction f est une proportionnalité directe et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont des paires de valeurs correspondantes des variables x et y, et x 2 ≠0 alors.

En effet, si la fonction f est de proportionnalité directe, alors elle peut être donnée par la formule y = khx, et alors y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Puisque à x 2 ≠0 et k≠0, alors y 2 ≠0. C'est pourquoi et cela veut dire .

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors la propriété prouvée de proportionnalité directe peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y augmente (diminue) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité directe et peut être utilisée lors de la résolution de problèmes écrits dans lesquels des quantités directement proportionnelles sont considérées.

Problème 1. En 8 heures, un tourneur a produit 16 pièces. Combien d’heures faudra-t-il à un opérateur de tour pour produire 48 pièces s’il travaille avec la même productivité ?

Solution. Le problème considère les grandeurs suivantes : le temps de travail du tourneur, le nombre de pièces qu'il fabrique et la productivité (c'est-à-dire le nombre de pièces produites par le tourneur en 1 heure), la dernière valeur étant constante et les deux autres prenant en charge des valeurs différentes. De plus, le nombre de pièces réalisées et le temps de travail sont des quantités directement proportionnelles, puisque leur rapport est égal à un certain nombre qui n'est pas égal à zéro, à savoir le nombre de pièces réalisées par un tourneur en 1 heure si le nombre. de pièces fabriquées est désigné par la lettre y, le temps de travail est x et la productivité est k, alors nous obtenons que = k ou y = khx, c'est-à-dire Le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité directe.

Le problème peut être résolu de deux manières arithmétiques :

1ère voie : 2ème voie :

1) 16:8 = 2 (enfants) 1) 48:16 = 3 (fois)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 2, puis, sachant que y = 2x, nous avons trouvé la valeur de x à condition que y = 48.

Pour résoudre le problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité directe : autant de fois que le nombre de pièces fabriquées par un tourneur augmente, le temps de leur production augmente d'autant.

Passons maintenant à une fonction appelée proportionnalité inverse.

Si t est le temps de déplacement du piéton (en heures), v est sa vitesse (en km/h) et qu'il a parcouru 12 km, alors la relation entre ces quantités peut être exprimée par la formule v∙t = 20 ou v = .

Puisque chaque valeur t (t ≠ 0) correspond à une seule valeur de vitesse v, on peut dire qu'une fonction est spécifiée à l'aide de la formule v =. C'est ce qu'on appelle la proportionnalité inverse et est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité inverse est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y =, où k est un nombre réel différent de zéro.

Le nom de cette fonction vient du fait que y = il existe des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le produit de deux quantités est égal à un nombre différent de zéro, alors elles sont appelées inversement proportionnelles. Dans notre cas xy = k(k ≠0). Ce nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

Fonction y = est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles envisagées déjà dans le cours initial de mathématiques. L'un d'eux est décrit avant la définition de la proportionnalité inverse. Autre exemple : si vous avez acheté 12 kg de farine et que vous les mettez dans des boîtes de l : y kg chacune, alors la relation entre ces quantités peut être représentée par x-y = 12, c'est-à-dire elle est inversement proportionnelle avec le coefficient k=12.

Rappelons quelques propriétés de proportionnalité inverse, connues du cours de mathématiques scolaire.

1.Domaine de définition de la fonction y = et la plage de ses valeurs x est l'ensemble des nombres réels autres que zéro.

2. Le graphique de proportionnalité inverse est une hyperbole.

3. Pour k > 0, les branches de l'hyperbole sont situées dans les 1er et 3ème quartiers et la fonction y = est décroissante sur tout le domaine de définition de x (Fig. 8).

Riz. 8 Fig.9

À k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = est croissante sur tout le domaine de définition de x (Fig. 9).

4. Si la fonction f est une proportionnalité inverse et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont des paires de valeurs correspondantes des variables x et y, alors.

En effet, si la fonction f est de proportionnalité inverse, alors elle peut être donnée par la formule y = ,et puis . Puisque x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, alors

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors cette propriété de proportionnalité inverse peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y diminue (augmente) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité inverse et peut être utilisée lors de la résolution de problèmes écrits dans lesquels des quantités inversement proportionnelles sont considérées.

Problème 2. Un cycliste, se déplaçant à une vitesse de 10 km/h, a parcouru la distance de A à B en 6 heures. Combien de temps le cycliste passera-t-il sur le chemin du retour s'il roule à une vitesse de 20 km/h ?

Solution. Le problème considère les grandeurs suivantes : la vitesse du cycliste, le temps de déplacement et la distance de A à B, la dernière grandeur étant constante, tandis que les deux autres prennent des valeurs différentes. De plus, la vitesse et le temps de déplacement sont des quantités inversement proportionnelles, puisque leur produit est égal à un certain nombre, à savoir la distance parcourue. Si le temps de déplacement du cycliste est noté par la lettre y, la vitesse par x et la distance AB par k, alors on obtient que xy = k ou y =, c'est-à-dire Le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité inverse.

Il existe deux manières de résoudre le problème :

1ère voie : 2ème voie :

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (fois)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 60, puis, sachant que y =, nous avons trouvé la valeur de y à condition que x = 20.

Pour résoudre le problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité inverse : le nombre de fois que la vitesse de déplacement augmente, le temps pour parcourir la même distance diminue du même nombre.

Notez que lors de la résolution de problèmes spécifiques avec des quantités inversement proportionnelles ou directement proportionnelles, certaines restrictions sont imposées sur x et y en particulier, elles peuvent être considérées non pas sur l'ensemble des nombres réels, mais sur ses sous-ensembles ;

Problème 3. Lena a acheté x crayons et Katya en a acheté 2 fois plus. Notons le nombre de crayons achetés par Katya par y, exprimez y par x et construisez un graphique de la correspondance établie à condition que x≤5. Cette correspondance est-elle une fonction ? Quel est son domaine de définition et sa gamme de valeurs ?

Solution. Katya a acheté = 2 crayons. Lors du tracé de la fonction y=2x, il faut tenir compte du fait que la variable x désigne le nombre de crayons et x≤5, ce qui signifie qu'elle ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ce sera le domaine de définition de cette fonction. Pour obtenir la plage de valeurs de cette fonction, vous devez multiplier chaque valeur x de la plage de définition par 2, c'est-à-dire ce sera l'ensemble (0, 2, 4, 6, 8, 10). Par conséquent, le graphique de la fonction y = 2x avec le domaine de définition (0, 1, 2, 3, 4, 5) sera l'ensemble des points représentés sur la figure 10. Tous ces points appartiennent à la droite y = 2x .

La proportionnalité est une relation entre deux quantités, dans laquelle une modification de l'une d'elles entraîne une modification de l'autre du même montant.

La proportionnalité peut être directe ou inverse. Dans cette leçon, nous examinerons chacun d’eux.

Proportionnalité directe

Supposons que la voiture roule à une vitesse de 50 km/h. On rappelle que la vitesse est la distance parcourue par unité de temps (1 heure, 1 minute ou 1 seconde). Dans notre exemple, la voiture roule à une vitesse de 50 km/h, c'est-à-dire qu'en une heure elle parcourra une distance de cinquante kilomètres.

Représentons sur la figure la distance parcourue par la voiture en 1 heure.

Laissez la voiture rouler encore une heure à la même vitesse de cinquante kilomètres par heure. Ensuite, il s'avère que la voiture parcourra 100 km

Comme le montre l'exemple, doubler le temps entraîne une augmentation de la distance parcourue du même montant, c'est-à-dire deux fois.

Des quantités telles que le temps et la distance sont dites directement proportionnelles. Et la relation entre ces quantités s'appelle proportionnalité directe.

La proportionnalité directe est le rapport entre deux quantités dans lequel une augmentation de l'une d'elles entraîne une augmentation de l'autre du même montant.

et vice versa, si une quantité diminue d'un certain nombre de fois, alors l'autre diminue du même nombre de fois.

Supposons que le plan initial était de conduire une voiture sur 100 km en 2 heures, mais qu'après avoir parcouru 50 km, le conducteur a décidé de se reposer. Il s'avère ensuite qu'en réduisant la distance de moitié, le temps diminuera du même montant. En d’autres termes, réduire la distance parcourue entraînera une diminution du temps d’autant.

Une caractéristique intéressante des quantités directement proportionnelles est que leur rapport est toujours constant. Autrement dit, lorsque les valeurs de quantités directement proportionnelles changent, leur rapport reste inchangé.

Dans l'exemple considéré, la distance était initialement de 50 km et le temps était d'une heure. Le rapport distance/temps est le nombre 50.

Mais nous avons doublé le temps de trajet, le faisant passer à deux heures. En conséquence, la distance parcourue a augmenté du même montant, c'est-à-dire qu'elle est devenue égale à 100 km. Le rapport de cent kilomètres à deux heures est à nouveau le nombre 50

Le nombre 50 s'appelle coefficient de proportionnalité directe. Il montre la distance qu'il y a par heure de mouvement. Dans ce cas, le coefficient joue le rôle de vitesse de déplacement, puisque la vitesse est le rapport de la distance parcourue au temps.

Les proportions peuvent être faites à partir de quantités directement proportionnelles. Par exemple, les ratios constituent la proportion :

Cinquante kilomètres correspondent à une heure, ce que cent kilomètres correspondent à deux heures.

Exemple 2. Le coût et la quantité des biens achetés sont directement proportionnels. Si 1 kg de bonbons coûte 30 roubles, alors 2 kg des mêmes bonbons coûteront 60 roubles, 3 kg 90 roubles. À mesure que le coût d'un produit acheté augmente, sa quantité augmente du même montant.

Puisque le coût d'un produit et sa quantité sont des quantités directement proportionnelles, leur rapport est toujours constant.

Écrivons quel est le rapport de trente roubles pour un kilogramme

Écrivons maintenant quel est le rapport entre soixante roubles et deux kilogrammes. Ce rapport sera à nouveau égal à trente :

Ici, le coefficient de proportionnalité directe est le nombre 30. Ce coefficient indique le nombre de roubles par kilogramme de bonbons. Dans cet exemple, le coefficient joue le rôle du prix d'un kilogramme de marchandise, puisque le prix est le rapport du coût de la marchandise à sa quantité.

Proportionnalité inverse

Considérez l'exemple suivant. La distance entre les deux villes est de 80 km. Le motocycliste a quitté la première ville et, à une vitesse de 20 km/h, a atteint la deuxième ville en 4 heures.

Si la vitesse d'un motocycliste était de 20 km/h, cela signifie qu'il parcourait chaque heure une distance de vingt kilomètres. Représentons sur la figure la distance parcourue par le motocycliste et le temps de son déplacement :

Au retour, la vitesse du motocycliste était de 40 km/h et il a effectué 2 heures sur le même trajet.

Il est facile de remarquer que lorsque la vitesse change, le temps de déplacement change du même montant. De plus, cela a changé dans la direction opposée - c'est-à-dire que la vitesse a augmenté, mais le temps, au contraire, a diminué.

Des quantités telles que la vitesse et le temps sont dites inversement proportionnelles. Et la relation entre ces quantités s'appelle proportionnalité inverse.

La proportionnalité inverse est la relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation de l'une d'elles entraîne une diminution de l'autre du même montant.

et vice versa, si une quantité diminue d'un certain nombre de fois, alors l'autre augmente du même nombre de fois.

Par exemple, si au retour la vitesse du motocycliste était de 10 km/h, alors il parcourrait les mêmes 80 km en 8 heures :

Comme le montre l'exemple, une diminution de la vitesse a entraîné une augmentation du temps de déplacement du même montant.

La particularité des quantités inversement proportionnelles est que leur produit est toujours constant. Autrement dit, lorsque les valeurs de quantités inversement proportionnelles changent, leur produit reste inchangé.

Dans l'exemple considéré, la distance entre les villes était de 80 km. Lorsque la vitesse et le temps de déplacement du motocycliste changeaient, cette distance restait toujours inchangée

Un motocycliste pourrait parcourir cette distance à une vitesse de 20 km/h en 4 heures, et à une vitesse de 40 km/h en 2 heures, et à une vitesse de 10 km/h en 8 heures. Dans tous les cas, le produit de la vitesse et du temps était égal à 80 km

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Les deux quantités sont appelées directement proportionnel, si lorsque l'un d'eux augmente plusieurs fois, l'autre augmente du même montant. Ainsi, lorsque l'un d'eux diminue plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.

La relation entre ces quantités est une relation proportionnelle directe. Exemples de dépendance proportionnelle directe :

1) à vitesse constante, la distance parcourue est directement proportionnelle au temps ;

2) le périmètre d'un carré et son côté sont des quantités directement proportionnelles ;

3) le coût d'un produit acheté à un prix est directement proportionnel à sa quantité.

Pour distinguer une relation proportionnelle directe d’une relation inverse, vous pouvez utiliser le proverbe : « Plus on s’enfonce dans la forêt, plus il y a de bois de chauffage ».

Il est pratique de résoudre des problèmes impliquant des quantités directement proportionnelles à l’aide de proportions.

1) Pour fabriquer 10 pièces, il vous faut 3,5 kg de métal. Quelle quantité de métal faudra-t-il pour fabriquer 12 de ces pièces ?

(On raisonne ainsi :

1. Dans la colonne remplie, placez une flèche dans le sens du plus grand nombre vers le plus petit.

2. Plus il y a de pièces, plus il faut de métal pour les fabriquer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.

Supposons que x kg de métal soient nécessaires pour fabriquer 12 pièces. On compose la proportion (dans le sens du début de la flèche vers sa fin) :

12:10=x:3,5

Pour trouver , vous devez diviser le produit des termes extrêmes par le terme moyen connu :

Cela signifie qu'il faudra 4,2 kg de métal.

Réponse : 4,2 kg.

2) Pour 15 mètres de tissu, ils ont payé 1 680 roubles. Combien coûtent 12 mètres d’un tel tissu ?

(1. Dans la colonne remplie, placez une flèche dans le sens du plus grand nombre vers le plus petit.

2. Moins vous achetez de tissu, moins vous devez le payer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.

3. Par conséquent, la deuxième flèche va dans la même direction que la première).

Supposons que x roubles coûtent 12 mètres de tissu. On fait une proportion (du début de la flèche jusqu'à sa fin) :

15:12=1680:x

Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, divisez le produit des termes médians par le terme extrême connu de la proportion :

Cela signifie que 12 mètres coûtent 1 344 roubles.

Réponse : 1344 roubles.