Exemples de résolution d'inégalités rationnelles à l'aide de la méthode des intervalles. Méthode des intervalles : résolution des inégalités strictes les plus simples

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Méthode d'intervalle(ou comme on l'appelle parfois la méthode des intervalles) est une méthode universelle de résolution des inégalités. Il convient pour résoudre diverses inégalités, mais il est plus pratique pour résoudre inégalités rationnelles avec une variable. Par conséquent, dans le cours d'algèbre scolaire, la méthode des intervalles est étroitement liée spécifiquement aux inégalités rationnelles, et pratiquement aucune attention n'est accordée à la résolution d'autres inégalités avec son aide.

Dans cet article, nous analyserons en détail la méthode des intervalles et aborderons toutes les subtilités de la résolution des inégalités avec une variable en l'utilisant. Commençons par présenter un algorithme de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles. Ensuite, nous expliquerons sur quels aspects théoriques il repose et analyserons les étapes de l'algorithme, en particulier, nous nous attarderons en détail sur la détermination des signes sur les intervalles. Après cela, nous passerons à la pratique et montrerons des solutions à plusieurs exemples typiques. Et en conclusion, nous considérerons la méthode des intervalles sous forme générale (c'est-à-dire sans référence aux inégalités rationnelles), c'est-à-dire la méthode des intervalles généralisés.

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Algorithme

La connaissance de la méthode des intervalles à l'école commence par la résolution d'inéquations de la forme f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >ou ≥), où f(x) est soit , représenté comme un produit binômes linéaires avec 1 pour variable x et/ou trinômes carrés avec un coefficient dominant de 1 et avec un discriminant négatif et leurs degrés, ou le rapport de ces polynômes. Pour plus de clarté, nous donnons des exemples de telles inégalités : (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Pour rendre la conversation plus approfondie, écrivons immédiatement un algorithme pour résoudre les inégalités du type ci-dessus en utilisant la méthode des intervalles, puis nous découvrirons quoi, comment et pourquoi. Ainsi, en utilisant la méthode des intervalles :

Tout d’abord, les zéros du numérateur et les zéros du dénominateur sont trouvés. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur de l'expression du côté gauche de l'inégalité sont égaux à zéro et les équations résultantes sont résolues.
Après cela, les points correspondant aux zéros trouvés sont marqués de tirets. Un dessin schématique suffit, dans lequel il n'est pas nécessaire d'observer l'échelle, l'essentiel est de respecter l'emplacement des points les uns par rapport aux autres : le point avec la plus petite coordonnée est situé à gauche du point avec la coordonnée plus grande. Après cela, il devient clair comment ils doivent être représentés : réguliers ou perforés (avec un centre vide). Lors de la résolution d'une inégalité stricte (de signe< или >) tous les points sont représentés comme perforés. Lors de la résolution d'une inégalité non stricte (avec un signe ≤ ou ≥), les points correspondant aux zéros du dénominateur sont perforés et les points restants marqués de tirets sont ordinaires. Ces points divisent la ligne de coordonnées en plusieurs intervalles numériques.
Ensuite, les signes de l'expression f(x) sont déterminés à partir du côté gauche de l'inégalité à résoudre sur chaque intervalle (nous décrirons en détail comment cela se fait dans l'un des paragraphes suivants), et + ou − sont placés au-dessus conformément aux signes qui y sont définis.
Enfin, lors de la résolution de l’inégalité signée< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >ou ≥ - sur les espaces marqués d'un signe +. Le résultat est , qui est la solution souhaitée à l’inégalité.

Notez que l'algorithme ci-dessus est cohérent avec la description de la méthode des intervalles dans les manuels scolaires.

Sur quoi se base la méthode ?

L'approche qui sous-tend la méthode des intervalles s'effectue grâce à la propriété suivante d'une fonction continue : si sur l'intervalle (a, b) la fonction f est continue et ne s'annule pas, alors elle conserve un signe constant sur cet intervalle (on ajoutez qu'une propriété similaire est également vraie pour les rayons numériques (−∞, a) et (a, +∞) ). Et cette propriété, à son tour, découle du théorème de Bolzano-Cauchy (sa prise en compte dépasse le cadre du programme scolaire), dont la formulation et la preuve, si nécessaire, peuvent être trouvées, par exemple, dans le livre.

Pour les expressions f(x) ayant la forme indiquée au paragraphe précédent, la constance du signe sur les intervalles peut être justifiée d'une autre manière, à partir des propriétés des inégalités numériques et en tenant compte des règles de multiplication et de division des nombres avec le même des signes et des signes différents.

À titre d’exemple, considérons l’inégalité. Les zéros de son numérateur et de son dénominateur divisent la droite numérique en trois intervalles (−∞, −1), (−1, 5) et (5, +∞). Montrons que sur l'intervalle (−∞, −1) l'expression du côté gauche de l'inégalité a un signe constant (on peut prendre un autre intervalle, le raisonnement sera similaire). Prenons n'importe quel nombre t de cet intervalle. Cela satisfera évidemment l’inégalité t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Nous avons donc abordé en douceur la question de la détermination des signes sur les intervalles, mais nous ne sauterons pas la première étape de la méthode des intervalles, qui consiste à trouver les zéros du numérateur et du dénominateur.

Comment trouver les zéros du numérateur et du dénominateur ?

Trouver les zéros du numérateur et du dénominateur d'une fraction du type indiqué dans le premier paragraphe ne pose généralement aucun problème. Pour cela, les expressions du numérateur et du dénominateur sont définies égales à zéro et les équations résultantes sont résolues. Le principe de résolution d'équations de ce type est décrit en détail dans l'article résolution d'équations par méthode de factorisation. Ici, nous nous limiterons à un exemple.

Considérons la fraction et trouvez les zéros de son numérateur et de son dénominateur. Commençons par les zéros du numérateur. On assimile le numérateur à zéro, on obtient l'équation x·(x−0.6)=0, à partir de laquelle on passe à l'ensemble de deux équations x=0 et x−0.6=0, d'où on trouve deux racines 0 et 0.6 . Ce sont les zéros souhaités du numérateur. Nous trouvons maintenant les zéros du dénominateur. Faisons une équation x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, cela équivaut à un ensemble de trois équations x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, puis x=0, x 2 +2 x+7 =0 ,x+5=0 . La racine de la première de ces équations est évidente, elle est 0, la deuxième équation n'a pas de racine, puisque son discriminant est négatif, et la racine de la troisième équation est −5. Nous avons donc trouvé les zéros du dénominateur, il y en avait deux : 0 et −5. Notez que 0 s’est avéré être à la fois un zéro au numérateur et un zéro au dénominateur.

Pour trouver les zéros du numérateur et du dénominateur dans le cas général, lorsque le côté gauche de l'inégalité est une fraction, mais pas nécessairement rationnelle, le numérateur et le dénominateur sont également égaux à zéro et les équations correspondantes sont résolues.

Comment déterminer les signes à intervalles ?

Le moyen le plus fiable de déterminer le signe de l’expression du côté gauche de l’inégalité sur chaque intervalle consiste à calculer la valeur de cette expression en un point quelconque de chaque intervalle. Dans ce cas, le signe souhaité sur l'intervalle coïncide avec le signe de la valeur de l'expression en tout point de cet intervalle. Expliquons cela avec un exemple.

Prenons l'inégalité . L’expression sur son côté gauche n’a pas de zéros au numérateur et le zéro au dénominateur est le nombre −3. Il divise la droite numérique en deux intervalles (−∞, −3) et (−3, +∞). Déterminons les signes sur eux. Pour ce faire, prenez un point de ces intervalles et calculez les valeurs de l'expression qu'ils contiennent. Notons tout de suite qu'il convient de prendre de tels points pour qu'il soit facile d'effectuer des calculs. Par exemple, à partir du premier intervalle (−∞, −3) on peut prendre −4. Pour x=−4 on a , a reçu une valeur avec un signe moins (négatif), il y aura donc un signe moins sur cet intervalle. Passons à la détermination du signe sur le deuxième intervalle (−3, +∞). Il est pratique d'en prendre 0 (si 0 est inclus dans l'intervalle, alors il est conseillé de toujours le prendre, car à x=0 les calculs sont les plus simples). A x=0 on a . Cette valeur a un signe plus (positif), il y aura donc un signe plus sur cet intervalle.

Il existe une autre approche pour déterminer les signes, qui consiste à trouver le signe à l'un des intervalles et à le maintenir ou à le modifier lors du passage à l'intervalle adjacent via zéro. Vous devez respecter la règle suivante. En passant par le zéro du numérateur, mais pas le dénominateur, ou par le zéro du dénominateur, mais pas le numérateur, le signe change si le degré de l'expression donnant ce zéro est impair, et ne change pas s'il est pair. . Et lorsqu'on passe par un point qui est à la fois le zéro du numérateur et le zéro du dénominateur, le signe change si la somme des puissances des expressions donnant ce zéro est impaire, et ne change pas si elle est paire.

À propos, si l'expression du côté droit de l'inégalité a la forme indiquée au début du premier paragraphe de cet article, alors il y aura un signe plus sur l'espace le plus à droite.

Pour que tout soit clair, regardons un exemple.

Qu'il y ait des inégalités devant nous , et nous le résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Pour ce faire, on retrouve les zéros du numérateur 2, 3, 4 et les zéros du dénominateur 1, 3, 4, on les marque d'abord sur la ligne de coordonnées avec des tirets

puis on remplace les zéros du dénominateur par des images de points perforés

et puisque nous résolvons une inégalité non stricte, nous remplaçons les tirets restants par des points ordinaires

Et puis vient le moment d’identifier les signes par intervalles. Comme nous l'avons remarqué avant cet exemple, sur l'intervalle le plus à droite (4, +∞) il y aura un signe + :

Déterminons les signes restants, en nous déplaçant d'écart en écart de droite à gauche. Passant à l'intervalle suivant (3, 4), nous passons par le point de coordonnée 4. C'est le zéro du numérateur et du dénominateur, ces zéros donnent les expressions (x−4) 2 et x−4, la somme de leurs puissances est 2+1=3, et c'est un nombre impair, ce qui signifie que en passant par ce point, vous devez changer de panneau. Par conséquent, sur l'intervalle (3, 4) il y aura un signe moins :

On va plus loin jusqu'à l'intervalle (2, 3), en passant par le point de coordonnée 3. C'est aussi le zéro du numérateur et du dénominateur, il est donné par les expressions (x−3) 3 et (x−3) 5, la somme de leurs puissances est 3+5=8, et c'est un nombre pair numéro, donc le signe restera inchangé :

On avance plus loin vers l'intervalle (1, 2). Le chemin qui y mène est bloqué par un point de coordonnée 2. C'est le zéro du numérateur, il est donné par l'expression x−2, son degré est 1, c'est-à-dire qu'il est impair, donc en passant par ce point, le signe changera :

Reste enfin à déterminer le signe sur le dernier intervalle (−∞, 1) . Pour y accéder, nous devons dépasser le point de coordonnée 1. C'est le zéro du dénominateur, il est donné par l'expression (x−1) 4, son degré est 4, c'est-à-dire qu'il est pair, donc le signe ne changera pas en passant par ce point. Nous avons donc identifié tous les signes, et le dessin prend la forme suivante :

Il est clair que l'utilisation de la méthode considérée est particulièrement justifiée lorsque le calcul de la valeur d'une expression implique un travail important. Par exemple, calculez la valeur de l'expression à tout moment dans l'intervalle .

Exemples de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

Vous pouvez désormais rassembler toutes les informations présentées, suffisantes pour résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles, et analyser les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Résoudre l'inégalité .

Solution.

Résolvons cette inégalité en utilisant la méthode des intervalles. Évidemment, les zéros du numérateur sont 1 et −5, et les zéros du dénominateur sont 1. Nous les marquons sur la droite numérique, avec les points avec les coordonnées et 1 ponctués par les zéros du dénominateur, et le zéro restant du numérateur −5 représenté comme un point ordinaire, puisque nous résolvons une inégalité non stricte :

Maintenant, nous mettons des signes sur les intervalles, en respectant la règle de maintenir ou de modifier le signe lors du passage par des zéros. Il y aura un signe + au-dessus de l'espace le plus à droite (cela peut être vérifié en calculant la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité à un moment donné de cet espace, par exemple, à x=3). En passant par le signe on change, en passant par 1 on le laisse le même, et en passant par −5 on laisse à nouveau le signe inchangé :

Puisque nous résolvons l'inégalité avec le signe ≤, il reste à tracer un ombrage sur les intervalles marqués du signe − et à écrire la réponse à partir de l'image résultante.

La solution que nous recherchons est donc : .

Répondre:

Pour être juste, attirons l'attention sur le fait que dans l'écrasante majorité des cas, lors de la résolution d'inégalités rationnelles, il faut d'abord les transformer sous la forme requise afin de permettre de les résoudre par la méthode des intervalles. Nous verrons en détail comment effectuer de telles transformations dans l'article. résoudre les inégalités rationnelles, et maintenant nous allons donner un exemple illustrant un point important concernant les trinômes carrés dans l'enregistrement des inégalités.

Exemple.

Trouver la solution à l'inégalité .

Solution.

À première vue, cette inégalité semble convenir à l'application de la méthode des intervalles. Mais cela ne fait pas de mal de vérifier si les discriminants des trinômes quadratiques dans sa notation sont vraiment négatifs. Trouvons-les pour apaiser notre conscience. Pour le trinôme x 2 +3 x+3 on a D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Cela signifie que des transformations sont nécessaires pour donner à cette inégalité la forme souhaitée. Dans ce cas, il suffit de représenter le trinôme x 2 +2 x−8 par (x+4) (x−2) , puis de résoudre l'inégalité par la méthode des intervalles .

Répondre:

Méthode d'intervalle généralisée

La méthode des intervalles généralisés permet de résoudre des inégalités de la forme f(x)<0 (≤, >, ≥), où f(x) est arbitraire avec une variable x. Écrivons-le algorithme de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles généralisés:

Vous avez d’abord besoin de f et des zéros de cette fonction.
Les points limites, y compris les points individuels, du domaine de définition sont marqués sur la droite numérique. Par exemple, si le domaine d'une fonction est l'ensemble
(−5, 1]∪(3)∪ (on ne définit pas le signe sur l'intervalle (−6, 4), puisqu'il ne fait pas partie du domaine de définition de la fonction.) Pour ce faire, prenons un point à partir de chaque intervalle, par exemple 16 , 8 , 6 et −8, et calculez la valeur de la fonction f en eux :

Si vous avez des questions sur la façon dont il a été découvert quelles sont les valeurs calculées de la fonction, positives ou négatives, étudiez le contenu de l'article. comparaison de chiffres.

Nous plaçons les signes nouvellement définis et appliquons un ombrage sur les espaces avec un signe moins :

Dans la réponse on écrit l'union de deux intervalles avec le signe −, on a (−∞, −6]∪(7, 12). A noter que −6 est inclus dans la réponse (le point correspondant est solide, non perforé) Le fait est que ce n'est pas le zéro de la fonction (que, lors de la résolution d'une inégalité stricte, nous n'inclurions pas dans la réponse), mais le point limite du domaine de définition (il est coloré, pas noir), et le la valeur de la fonction à ce stade est négative (comme en témoigne le signe moins) sur l'intervalle correspondant), c'est-à-dire qu'elle satisfait l'inégalité. Mais 4 n'a pas besoin d'être inclus dans la réponse (ainsi que l'intervalle entier). ∪(7, 12) .

Bibliographie.
1. Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.
2. Mordkovitch A.G. Algèbre. 9e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2011. - 222 p. : ill. ISBN978-5-346-01752-3.
3. Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov - 14e éd. - M. : Éducation, 2004. - 384 pp. : ill.
4. Kudryavtsev L.D. Cours d'analyse mathématique (en deux volumes) : Manuel pour étudiants universitaires et collégiaux. – M. : Plus haut. école, 1981, vol. 1. – 687 p., ill.
Notes IMPORTANTES!
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Il vous suffit de comprendre cette méthode et de la connaître comme votre poche ! Ne serait-ce que parce qu’elle est utilisée pour résoudre des inégalités rationnelles et parce que, connaissant bien cette méthode, résoudre ces inégalités est étonnamment simple. Un peu plus tard, je vous dévoilerai quelques secrets pour gagner du temps en résolvant ces inégalités. Eh bien, êtes-vous intrigué ? Alors allons-y!

L'essence de la méthode est de factoriser l'inégalité en facteurs (répéter le sujet) et de déterminer l'ODZ et le signe des facteurs, maintenant je vais tout expliquer ; Prenons l'exemple le plus simple : .

Il n'est pas nécessaire d'écrire ici la plage de valeurs acceptables () car il n'y a pas de division par variable et aucun radical (racine) n'est observé ici. Tout ici est déjà factorisé pour nous. Mais ne vous détendez pas, tout cela est pour vous rappeler les bases et en comprendre l’essence !

Disons que vous ne connaissez pas la méthode des intervalles, comment résoudriez-vous cette inégalité ? Abordez logiquement et construisez sur ce que vous savez déjà. Premièrement, le côté gauche sera supérieur à zéro si les deux expressions entre parenthèses sont soit supérieures à zéro, soit inférieures à zéro, car "plus" pour "plus" donne "plus" et "moins" pour "moins" donne "plus", n'est-ce pas ? Et si les signes des expressions entre parenthèses sont différents, alors au final le côté gauche sera inférieur à zéro. De quoi avons-nous besoin pour connaître les valeurs auxquelles les expressions entre parenthèses seront négatives ou positives ?

Nous devons résoudre une équation, c'est exactement la même chose qu'une inégalité, seulement au lieu d'un signe il y aura un signe, les racines de cette équation nous permettront de déterminer ces valeurs limites, à partir desquelles les facteurs seront plus grands ou inférieur à zéro.

Et maintenant les intervalles eux-mêmes. Qu'est-ce qu'un intervalle ? Il s'agit d'un certain intervalle de la droite numérique, c'est-à-dire de tous les nombres possibles contenus entre deux nombres - les extrémités de l'intervalle. Ce n’est pas si facile d’imaginer ces intervalles dans sa tête, c’est pourquoi il est courant de dessiner des intervalles, je vais vous l’apprendre maintenant.

Nous dessinons un axe ; toute la série de nombres de et vers se trouve dessus. Les points sont tracés sur l'axe, ce qu'on appelle les zéros de la fonction, les valeurs auxquelles l'expression est égale à zéro. Ces points sont « épinglés », ce qui signifie qu'ils ne font pas partie des valeurs pour lesquelles l'inégalité est vraie. Dans ce cas, ils sont percés car signe dans l'inégalité et non, c'est-à-dire strictement supérieur à et non supérieur ou égal à.

Je tiens à dire qu'il n'est pas nécessaire de marquer zéro, c'est ici sans cercles, mais juste pour la compréhension et l'orientation le long de l'axe. D'accord, nous avons dessiné l'axe, mis les points (plus précisément, les cercles), et ensuite, en quoi cela va-t-il m'aider à résoudre ? - tu demandes. Maintenant, prenez simplement la valeur de x dans les intervalles dans l'ordre et remplacez-les dans votre inégalité et voyez quel signe donne la multiplication.

Bref, on le prend juste par exemple, on le remplace ici, ça marchera, ce qui veut dire que l'inégalité sera valable sur tout l'intervalle (sur tout l'intervalle) de à, d'où on l'a prise. En d’autres termes, si x vaut de à, alors l’inégalité est vraie.

On fait de même avec l'intervalle de à, prendre ou, par exemple, substituer, déterminer le signe, le signe sera « moins ». Et nous faisons de même avec le dernier et troisième intervalle de à, où le signe s'avère être « plus ». Il y a tellement de texte, mais pas assez de clarté, n'est-ce pas ?

Jetez un autre regard sur les inégalités.

Maintenant, nous appliquons également les signes qui en résulteront sur le même axe. Dans mon exemple, une ligne brisée désigne les sections positives et négatives de l'axe.

Regardez l'inégalité - le dessin, encore une fois l'inégalité - et encore une fois le dessin, est-ce que quelque chose est clair ? Essayez maintenant de dire sur quels intervalles X l’inégalité sera vraie. C'est vrai, de à l'inégalité sera également vraie de à, mais sur l'intervalle de à l'inégalité est nulle et cet intervalle nous intéresse peu, car nous avons un signe dans l'inégalité.

Eh bien, maintenant que vous avez compris, il ne vous reste plus qu'à écrire la réponse ! En réponse, nous écrivons les intervalles pour lesquels le côté gauche est supérieur à zéro, ce qui signifie que X appartient à l'intervalle de moins l'infini à moins un et de deux à plus l'infini. Il convient de préciser que les parenthèses signifient que les valeurs par lesquelles l'intervalle est limité ne sont pas des solutions à l'inégalité, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas incluses dans la réponse, mais indiquent seulement que jusqu'à, par exemple, n'est pas un solution.

Maintenant un exemple dans lequel vous n'aurez pas seulement à tracer l'intervalle :

Selon vous, que faut-il faire avant de mettre des points sur l’axe ? Ouais, tenez-en compte dans les facteurs :

Nous dessinons des intervalles et plaçons des signes, remarquons que nous avons des points perforés, car le signe est strictement inférieur à zéro :

Il est temps de vous confier un secret que j'ai promis au début de ce sujet ! Et si je vous disais qu'il n'est pas nécessaire de substituer les valeurs de chaque intervalle pour déterminer le signe, mais que vous pouvez déterminer le signe dans l'un des intervalles, et simplement alterner les signes dans le reste !

Ainsi, nous avons gagné un peu de temps sur la pose des pancartes - je pense que ce gain de temps à l'examen d'État unifié ne fera pas de mal !

Nous écrivons la réponse :

Considérons maintenant un exemple d'inégalité fractionnaire-rationnelle - une inégalité dont les deux parties sont des expressions rationnelles (voir).

Que pouvez-vous dire de cette inégalité ? Et si vous considérez cela comme une équation fractionnaire-rationnelle, que faisons-nous en premier ? On voit tout de suite qu’il n’y a pas de racines, ce qui veut dire que c’est bien rationnel, mais alors c’est une fraction, et même avec une inconnue au dénominateur !

C'est vrai, nous avons besoin d'ODZ !

Alors allons plus loin, ici tous les facteurs sauf un ont une variable du premier degré, mais il existe un facteur où x a un deuxième degré. Habituellement, notre signe change après avoir traversé l'un des points auxquels le côté gauche de l'inégalité prend une valeur nulle, pour laquelle nous avons déterminé à quoi x devrait être égal dans chaque facteur. Mais ici, c'est toujours positif, parce que n'importe quel nombre au carré > zéro et un terme positif.

Pensez-vous que cela affectera la signification de l’inégalité ? C'est vrai, cela n'affectera pas ! Nous pouvons diviser l’inégalité en deux parties en toute sécurité et ainsi supprimer ce facteur afin qu’il ne soit pas une nuisance visuelle.

Le moment est venu de tracer les intervalles ; pour ce faire, vous devez déterminer les valeurs limites à partir desquelles les multiplicateurs seront supérieurs et inférieurs à zéro. Mais faites attention, il y a un signe ici, cela signifie que nous ne sélectionnerons pas le point où le côté gauche de l'inégalité prend une valeur nulle, il est inclus dans le nombre de solutions, nous n'avons qu'un seul de ces points, c'est le point où x est égal à un. Devons-nous colorer le point où le dénominateur est négatif ? - Bien sûr que non!

Le dénominateur ne doit pas être nul, donc l'intervalle ressemblera à ceci :

À l'aide de ce schéma, vous pouvez facilement écrire la réponse, je dirai simplement que vous disposez désormais d'un nouveau type de support : le carré ! Voici une parenthèse [ dit que la valeur est incluse dans l'intervalle de solution, c'est-à-dire fait partie de la réponse, cette parenthèse correspond à un point rempli (non épinglé) sur l'axe.

Alors, avez-vous eu la même réponse ?

Nous le prenons en compte en facteurs et mettons tout de côté ; après tout, il suffit de laisser zéro à droite pour comparer :

J'attire votre attention sur le fait que dans la dernière transformation, afin d'obtenir au numérateur comme au dénominateur, je multiplie les deux côtés de l'inégalité par. N'oubliez pas que lorsque les deux côtés d'une inégalité sont multipliés par, le signe de l'inégalité change à l'opposé !!!

On écrit ODZ :

Sinon, le dénominateur ira à zéro et, comme vous vous en souvenez, vous ne pouvez pas diviser par zéro !

D’accord, l’inégalité qui en résulte est tentante de réduire le numérateur et le dénominateur ! Cela n'est pas possible ; vous risquez de perdre certaines décisions ou ODZ !

Essayez maintenant de placer vous-même les points sur l'axe. Je noterai seulement que lors du traçage de points, vous devez faire attention au fait qu'un point avec une valeur qui, sur la base du signe, semblerait être tracé sur l'axe comme ombré, ne sera pas ombré, il le sera arraché ! Pourquoi demandez-vous? Et tu te souviens de l'ODZ, tu ne vas pas diviser par zéro comme ça ?

N'oubliez pas qu'ODZ passe en premier ! Si toutes les inégalités et les signes égaux disent une chose, et que l'ODZ en dit une autre, faites confiance à l'ODZ, grande et puissante ! Eh bien, vous avez construit les intervalles, je suis sûr que vous avez compris mon allusion à l'alternance et vous l'avez obtenu comme ceci (voir photo ci-dessous). Maintenant, rayez-le et ne faites plus cette erreur ! Quelle erreur ? - tu demandes.

Le fait est que dans cette inégalité, le facteur a été répété deux fois (rappelez-vous comment vous avez essayé de le réduire ?). Ainsi, si un facteur est répété dans l'inégalité un nombre pair de fois, alors en passant par un point sur l'axe qui met ce facteur à zéro (dans ce cas, un point), le signe ne changera pas s'il est impair ; , puis le signe change !

L'axe suivant avec intervalles et signes sera correct :

Et, attention, le signe qui nous intéresse n'est pas celui qui était au début (quand on a vu pour la première fois l'inégalité, le signe était là), après les transformations, le signe a changé en, ce qui veut dire qu'on s'intéresse aux intervalles avec un signe.

Répondre:

Je dirai aussi qu'il y a des situations où il y a des racines d'inégalité qui ne sont incluses dans aucun intervalle, en réponse elles sont écrites entre accolades, comme ceci, par exemple : . Vous pouvez en savoir plus sur de telles situations dans l'article niveau moyen.

Résumons comment résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles :
1. On déplace tout vers la gauche, ne laissant que zéro à droite ;
2. On retrouve ODZ ;
3. On trace toutes les racines de l'inégalité sur l'axe ;
4. Nous en prenons un arbitraire dans l'un des intervalles et déterminons le signe dans l'intervalle auquel appartient la racine, alternons les signes, en faisant attention aux racines qui se répètent plusieurs fois dans l'inégalité, cela dépend du fait que le signe change en les traversant ; sur l'égalité ou l'impair du nombre de fois qu'ils sont répétés ou non ;
5. En réponse, nous écrivons des intervalles, en observant les points perforés et non perforés (voir ODZ), en plaçant les types de parenthèses nécessaires entre eux.
Et enfin, notre rubrique préférée, « faites-le vous-même » !

Exemples:

Réponses:

MÉTHODE D'INTERVALLE. NIVEAU MOYEN

Fonction linéaire

Une fonction de la forme est dite linéaire. Prenons une fonction comme exemple. Il est positif à et négatif à. Le point est le zéro de la fonction (). Montrons les signes de cette fonction sur l'axe des nombres :

On dit que « la fonction change de signe en passant par le point ».

On voit que les signes de la fonction correspondent à la position du graphe de la fonction : si le graphe est au dessus de l'axe, le signe est « », si en dessous il est « ».

Si l'on généralise la règle résultante à une fonction linéaire arbitraire, on obtient l'algorithme suivant :
- Trouver le zéro de la fonction ;
- Nous le marquons sur l'axe des nombres ;
- Nous déterminons le signe de la fonction sur les côtés opposés de zéro.
Fonction quadratique

J'espère que vous vous souvenez comment résoudre les inégalités quadratiques ? Sinon, lis le sujet. Je vous rappelle la forme générale d'une fonction quadratique : .

Rappelons maintenant quels signes prend la fonction quadratique. Son graphique est une parabole, et la fonction prend le signe " " pour ceux dans lesquels la parabole est au dessus de l'axe, et " " - si la parabole est en dessous de l'axe :

Si une fonction a des zéros (valeurs auxquelles), la parabole coupe l'axe en deux points - les racines de l'équation quadratique correspondante. Ainsi, l'axe est divisé en trois intervalles, et les signes de la fonction changent alternativement en passant par chaque racine.

Est-il possible d'une manière ou d'une autre de déterminer les signes sans dessiner une parabole à chaque fois ?

Rappelons qu'un trinôme carré peut être factorisé :

Par exemple: .

Marquons les racines sur l'axe :

On rappelle que le signe d'une fonction ne peut changer qu'en passant par la racine. Utilisons ce fait : pour chacun des trois intervalles dans lesquels l'axe est divisé par des racines, il suffit de déterminer le signe de la fonction en un seul point arbitrairement choisi : aux points restants de l'intervalle le signe sera le même .

Dans notre exemple : à les deux expressions entre parenthèses sont positives (remplacer, par exemple :). On met un signe « » sur l'axe :

Eh bien, lorsque (substitut, par exemple), les deux parenthèses sont négatives, ce qui signifie que le produit est positif :

C'est ce que c'est méthode d'intervalle: connaissant les signes des facteurs sur chaque intervalle, on détermine le signe du produit entier.

Considérons également les cas où la fonction n'a pas de zéros, ou un seul.

S’ils ne sont pas là, alors il n’y a pas de racines. Cela signifie qu’il n’y aura pas de « passage par la racine ». Cela signifie que la fonction ne prend qu'un seul signe sur toute la droite numérique. Il peut être facilement déterminé en le substituant à une fonction.

S'il n'y a qu'une seule racine, la parabole touche l'axe, donc le signe de la fonction ne change pas en passant par la racine. Quelle règle pouvons-nous proposer pour de telles situations ?

Si vous factorisez une telle fonction, vous obtenez deux facteurs identiques :

Et toute expression au carré est non négative ! Le signe de la fonction ne change donc pas. Dans de tels cas, nous soulignerons la racine, au passage par laquelle le signe ne change pas, en l'entourant d'un carré :

Nous appellerons une telle racine un multiple.

Méthode d'intervalle dans les inégalités

Désormais, toute inégalité quadratique peut être résolue sans dessiner de parabole. Il suffit de placer les signes de la fonction quadratique sur l'axe et de sélectionner des intervalles en fonction du signe de l'inégalité. Par exemple:

Mesurons les racines sur l'axe et plaçons les signes :

Nous avons besoin de la partie de l'axe avec le signe " ; puisque l'inégalité n'est pas stricte, les racines elles-mêmes sont également incluses dans la solution :

Considérons maintenant une inégalité rationnelle - une inégalité dont les deux côtés sont des expressions rationnelles (voir).

Exemple:

Tous les facteurs sauf un sont ici « linéaires », c’est-à-dire qu’ils contiennent une variable uniquement à la puissance première. Nous avons besoin de tels facteurs linéaires pour appliquer la méthode des intervalles - le signe change en passant par leurs racines. Mais le multiplicateur n’a aucune racine. Cela signifie qu'il est toujours positif (vérifiez cela par vous-même) et n'affecte donc pas le signe de l'ensemble de l'inégalité. Cela signifie que nous pouvons diviser les côtés gauche et droit de l'inégalité par celle-ci, et ainsi nous en débarrasser :

Maintenant, tout est comme avec les inégalités quadratiques : nous déterminons à quels points chacun des facteurs devient nul, marquons ces points sur l'axe et disposons les signes. Je voudrais attirer votre attention sur un fait très important :

Répondre: . Exemple: .

Pour appliquer la méthode des intervalles, l'une des parties de l'inégalité doit avoir. Par conséquent, déplaçons le côté droit vers la gauche :

Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur, mais ne vous précipitez pas pour le réduire ! Après tout, nous pourrions alors oublier de souligner ce point. Il est préférable de marquer cette racine comme un multiple, c'est-à-dire qu'en la traversant, le signe ne changera pas :

Répondre: .

Et encore un exemple très illustratif :

Encore une fois, nous n’annulons pas les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur, car si nous le faisons, nous devrons spécifiquement penser à percer le point.
- : fois répétées;
- : heures;
- : fois (au numérateur et un au dénominateur).
Dans le cas d'un nombre pair, on fait la même chose que précédemment : on trace un carré autour du point et on ne change pas de signe en passant par la racine. Mais dans le cas d'un nombre impair, cette règle ne s'applique pas : le signe changera quand même en passant par la racine. Par conséquent, nous ne faisons rien de plus avec une telle racine, comme s'il ne s'agissait pas d'un multiple. Les règles ci-dessus s'appliquent à toutes les puissances paires et impaires.

Que devons-nous écrire dans la réponse ?

Si l'alternance des signes est violée, il faut être très prudent, car si l'inégalité n'est pas stricte, la réponse doit inclure tous les points ombrés. Mais certains d’entre eux se démarquent souvent, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas inclus dans la zone ombrée. Dans ce cas, nous les ajoutons à la réponse sous forme de points isolés (entre accolades) :

Exemples (décidez vous-même) :

Réponses:
1. Si parmi les facteurs c'est simple, c'est une racine, car on peut la représenter comme.
  .
MÉTHODE D'INTERVALLE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La méthode des intervalles est utilisée pour résoudre des inégalités rationnelles. Elle consiste à déterminer le signe du produit à partir des signes des facteurs à différents intervalles.

Algorithme de résolution d'inégalités rationnelles à l'aide de la méthode des intervalles.
- On déplace tout vers la gauche, ne laissant que zéro à droite ;
- On retrouve ODZ ;
- On trace toutes les racines de l'inégalité sur l'axe ;
- Nous en prenons un arbitraire dans l'un des intervalles et déterminons le signe dans l'intervalle auquel appartient la racine, alternons les signes, en faisant attention aux racines qui se répètent plusieurs fois dans l'inégalité, cela dépend du fait que le signe change en les traversant ; sur l'égalité ou l'impair du nombre de fois qu'ils sont répétés ou non ;
- En réponse, nous écrivons des intervalles, en observant les points perforés et non perforés (voir ODZ), en plaçant les types de parenthèses nécessaires entre eux.
Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

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Il est nécessaire de comparer des quantités et des quantités pour résoudre des problèmes pratiques depuis l'Antiquité. Dans le même temps, des mots tels que plus et moins, plus haut et plus bas, plus léger et plus lourd, plus silencieux et plus fort, moins cher et plus cher, etc. sont apparus, désignant les résultats de la comparaison de quantités homogènes.
Les concepts de plus et de moins sont apparus en relation avec le comptage d'objets, la mesure et la comparaison de quantités. Par exemple, les mathématiciens de la Grèce antique savaient que le côté de tout triangle est inférieur à la somme des deux autres côtés et que le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle d’un triangle. Archimède, en calculant la circonférence, a établi que le périmètre de tout cercle est égal à trois fois le diamètre avec un excès inférieur au septième du diamètre, mais supérieur à dix soixante-dix fois le diamètre.
Écrivez symboliquement les relations entre les nombres et les quantités à l'aide des signes > et b. Dossiers dans lesquels deux nombres sont reliés par l'un des signes : > (supérieur à), Vous avez également rencontré des inégalités numériques dans les classes inférieures. Vous savez que les inégalités peuvent être vraies ou fausses. Par exemple, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) est une inégalité numérique correcte, 0,23 > 0,235 est une inégalité numérique incorrecte.
Les inégalités impliquant des inconnues peuvent être vraies pour certaines valeurs des inconnues et fausses pour d'autres. Par exemple, l'inégalité 2x+1>5 est vraie lorsque x = 3, mais pas vraie lorsque x = -3. Pour une inégalité à une inconnue, vous pouvez définir la tâche : résoudre l'inégalité. Dans la pratique, les problèmes de résolution d'inégalités ne sont pas moins souvent posés et résolus que les problèmes de résolution d'équations. Par exemple, de nombreux problèmes économiques se résument à l’étude et à la solution de systèmes d’inégalités linéaires. Dans de nombreuses branches des mathématiques, les inégalités sont plus courantes que les équations.
Certaines inégalités constituent le seul moyen auxiliaire de prouver ou de réfuter l'existence d'un certain objet, par exemple la racine d'une équation.
Inégalités numériques

Vous pouvez comparer des nombres entiers et des fractions décimales. Connaître les règles de comparaison de fractions ordinaires ayant les mêmes dénominateurs mais des numérateurs différents ; avec les mêmes numérateurs mais des dénominateurs différents. Ici, vous apprendrez comment comparer deux nombres en trouvant le signe de leur différence.
La comparaison de nombres est largement utilisée dans la pratique. Par exemple, un économiste compare les indicateurs prévus avec les indicateurs réels, un médecin compare la température d’un patient à la normale, un tourneur compare les dimensions d’une pièce usinée à une norme. Dans tous ces cas, certains chiffres sont comparés. À la suite de la comparaison des nombres, des inégalités numériques apparaissent.
Définition. Le nombre a est supérieur au nombre b si la différence a-b est positive. Le nombre a est inférieur au nombre b si la différence a-b est négative.
Si a est supérieur à b, alors ils écrivent : a > b ; si a est inférieur à b, alors ils écrivent : a Ainsi, l'inégalité a > b signifie que la différence a - b est positive, c'est-à-dire a - b > 0. Inégalité a Pour deux nombres a et b quelconques issus des trois relations suivantes a > b, a = b, a Comparer les nombres a et b signifie savoir lequel des signes >, = ou Théorème. Si a > b et b > c, alors a > c.
Théorème. Si vous ajoutez le même nombre aux deux côtés de l’inégalité, le signe de l’inégalité ne changera pas.
Conséquence. N'importe quel terme peut être déplacé d'une partie de l'inégalité à une autre en changeant le signe de ce terme en sens inverse.
Théorème. Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne change pas. Si les deux côtés de l'inégalité sont multipliés par le même nombre négatif, alors le signe de l'inégalité changera pour l'opposé.
Conséquence. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne changera pas. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre négatif, alors le signe de l’inégalité changera pour l’opposé.
Vous savez que les égalités numériques peuvent être additionnées et multipliées terme par terme. Ensuite, vous apprendrez comment effectuer des actions similaires avec des inégalités. La possibilité d’additionner et de multiplier les inégalités terme par terme est souvent utilisée en pratique. Ces actions aident à résoudre les problèmes d'évaluation et de comparaison du sens des expressions.
Lors de la résolution de divers problèmes, il est souvent nécessaire d'ajouter ou de multiplier terme par terme les côtés gauche et droit des inégalités. Parallèlement, on dit parfois que les inégalités s’additionnent ou se multiplient. Par exemple, si un touriste a marché plus de 20 km le premier jour et plus de 25 km le deuxième, alors on peut dire qu'en deux jours il a marché plus de 45 km. De même, si la longueur d'un rectangle est inférieure à 13 cm et la largeur est inférieure à 5 cm, alors on peut dire que l'aire de ce rectangle est inférieure à 65 cm2.
Lors de l’examen de ces exemples, les éléments suivants ont été utilisés : théorèmes d'addition et de multiplication des inégalités :
Théorème. En ajoutant des inégalités de même signe, on obtient une inégalité de même signe : si a > b et c > d, alors a + c > b + d.
Théorème. En multipliant des inégalités de même signe, dont les côtés gauche et droit sont positifs, on obtient une inégalité de même signe : si a > b, c > d et a, b, c, d sont des nombres positifs, alors ac > bd.
Inégalités de signe > (supérieur à) et 1/2, 3/4 b, c Avec les signes d'inégalités strictes > et De la même manière, l'inégalité \(a \geq b \) signifie que le nombre a est supérieur ou égal à b, c'est-à-dire .et non inférieur à b.
Les inégalités contenant le signe \(\geq \) ou le signe \(\leq \) sont dites non strictes. Par exemple, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ne sont pas des inégalités strictes.
Toutes les propriétés des inégalités strictes sont également valables pour les inégalités non strictes. De plus, si pour des inégalités strictes les signes > étaient considérés comme opposés et que vous savez que pour résoudre un certain nombre de problèmes appliqués, vous devez créer un modèle mathématique sous la forme d'une équation ou d'un système d'équations. Ensuite, vous apprendrez que les modèles mathématiques permettant de résoudre de nombreux problèmes sont des inégalités avec des inconnues. Nous présenterons le concept de résolution d'une inégalité et montrerons comment tester si un nombre donné est une solution à une inégalité particulière.
Inégalités de forme
\(ax > b, \quad ax dans lesquels a et b reçoivent des nombres et x est une inconnue, sont appelés inégalités linéaires à une inconnue.
Définition. La solution d’une inégalité à une inconnue est la valeur de l’inconnue à laquelle cette inégalité devient une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou établir qu’il n’y en a pas.
Vous avez résolu les équations en les réduisant aux équations les plus simples. De même, lorsqu’on résout des inégalités, on essaie de les réduire, à l’aide de propriétés, à la forme d’inégalités simples.
Résoudre les inégalités du deuxième degré avec une seule variable

Inégalités de forme
\(ax^2+bx+c >0 \) et \(ax^2+bx+c où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \), appelés inégalités du deuxième degré à une variable.
Solution aux inégalités
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c peut être considéré comme trouvant des intervalles dans lesquels la fonction \(y= ax^2+bx+c \) prend du positif ou du négatif valeurs Pour ce faire, il suffit d'analyser comment se situe le graphique de la fonction \(y= ax^2+bx+c\) dans le plan de coordonnées : où sont dirigées les branches de la parabole - vers le haut ou vers le bas, que ce soit la parabole coupe l'axe des x et si c'est le cas, à quels points.
Algorithme de résolution des inégalités du deuxième degré à une variable :
1) trouver le discriminant du trinôme carré \(ax^2+bx+c\) et découvrir si le trinôme a des racines ;
2) si le trinôme a des racines, alors marquez-les sur l'axe des x et tracez à travers les points marqués une parabole schématique dont les branches sont dirigées vers le haut pour un > 0 ou vers le bas pour un 0 ou vers le bas pour un 3) trouver les intervalles sur l'axe des x pour lesquels les points paraboles sont situés au-dessus de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) ou en dessous de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) inégalité
\(ax^2+bx+c Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles
Considérez la fonction
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Le domaine de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres. Les zéros de la fonction sont les nombres -2, 3, 5. Ils divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) et \( (5; +\infty)\)
Voyons quels sont les signes de cette fonction dans chacun des intervalles indiqués.
L'expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) est le produit de trois facteurs. Le signe de chacun de ces facteurs dans les intervalles considérés est indiqué dans le tableau :

En général, soit la fonction donnée par la formule
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
où x est une variable et x 1, x 2, ..., x n sont des nombres qui ne sont pas égaux les uns aux autres. Les nombres x 1 , x 2 , ..., x n sont les zéros de la fonction. Dans chacun des intervalles dans lesquels le domaine de définition est divisé par les zéros de la fonction, le signe de la fonction est conservé, et lors du passage par zéro, son signe change.
Cette propriété est utilisée pour résoudre des inégalités de la forme
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) où x 1, x 2, ..., x n sont des nombres non égaux les uns aux autres
Méthode considérée la résolution des inégalités est appelée la méthode des intervalles.

Donnons des exemples de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles.
Résoudre les inégalités :
\(x(0.5-x)(x+4) Évidemment, les zéros de la fonction f(x) = x(0.5-x)(x+4) sont les points \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)
Nous traçons les zéros de la fonction sur l'axe des nombres et calculons le signe sur chaque intervalle :

Nous sélectionnons les intervalles auxquels la fonction est inférieure ou égale à zéro et notons la réponse.
Répondre:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Méthode d'intervalle– un moyen simple de résoudre des inégalités rationnelles fractionnaires. C'est le nom des inégalités contenant des expressions rationnelles (ou fractionnaires-rationnelles) qui dépendent d'une variable.

1. Considérons, par exemple, l'inégalité suivante

La méthode des intervalles vous permet de le résoudre en quelques minutes.

Du côté gauche de cette inégalité se trouve une fonction rationnelle fractionnaire. Rationnel car il ne contient pas de racines, de sinus ou de logarithmes – seulement des expressions rationnelles. A droite, c'est zéro.

La méthode des intervalles est basée sur la propriété suivante d’une fonction rationnelle fractionnaire.

Une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas.

Rappelons comment est factorisé un trinôme quadratique, c'est-à-dire une expression de la forme .

Où et sont les racines de l'équation quadratique.

Nous dessinons un axe et plaçons les points auxquels le numérateur et le dénominateur vont à zéro.

Les zéros du dénominateur et sont des points perforés, car en ces points la fonction du côté gauche de l'inégalité n'est pas définie (vous ne pouvez pas diviser par zéro). Les zéros du numérateur et - sont ombrés, car l'inégalité n'est pas stricte. Quand et notre inégalité est satisfaite, puisque ses deux côtés sont égaux à zéro.

Ces points divisent l'axe en intervalles.

Déterminons le signe de la fonction rationnelle fractionnaire du côté gauche de notre inégalité sur chacun de ces intervalles. Nous rappelons qu'une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas. Cela signifie qu'à chacun des intervalles entre les points où le numérateur ou le dénominateur va à zéro, le signe de l'expression à gauche de l'inégalité sera constant - soit « plus » soit « moins ».

Et donc, pour déterminer le signe de la fonction sur chacun de ces intervalles, nous prenons n'importe quel point appartenant à cet intervalle. Celui qui nous convient.
. Prenons, par exemple, et vérifiez le signe de l'expression à gauche de l'inégalité. Chacune des « parenthèses » est négative. Le côté gauche a un panneau.

Intervalle suivant : . Vérifions le panneau . Nous constatons que le côté gauche a changé son signe en .

Prenons-le. Lorsque l'expression est positive, elle est donc positive sur tout l'intervalle de à.

Lorsque le côté gauche de l’inégalité est négatif.

Et enfin, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Nous avons trouvé à quels intervalles l'expression est positive. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse :

Répondre: .

Attention : les panneaux alternent selon les intervalles. Cela s'est produit parce que en passant par chaque point, exactement un des facteurs linéaires a changé de signe, tandis que les autres l'ont gardé inchangé.

On voit que la méthode des intervalles est très simple. Pour résoudre l'inégalité fractionnaire-rationnelle à l'aide de la méthode des intervalles, nous la réduisons sous la forme :

Ou class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ou ou .

(sur le côté gauche se trouve une fonction rationnelle fractionnaire, sur le côté droit se trouve zéro).

Ensuite, nous marquons sur la droite numérique les points auxquels le numérateur ou le dénominateur passe à zéro.
Ces points divisent toute la droite numérique en intervalles, sur chacun desquels la fonction fractionnaire-rationnelle conserve son signe.
Il ne reste plus qu'à connaître son signe à chaque intervalle.
Nous faisons cela en vérifiant le signe de l’expression en tout point appartenant à un intervalle donné. Après cela, nous écrivons la réponse. C'est tout.

Mais la question se pose : les signes alternent-ils toujours ? Non, pas toujours ! Vous devez être prudent et ne pas placer de panneaux de manière mécanique et irréfléchie.

2. Considérons une autre inégalité.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ gauche(x-3 \droite))>0"> !}

Placez à nouveau les points sur l'axe. Les points et sont perforés car ce sont des zéros du dénominateur. Le point est également coupé, puisque l’inégalité est stricte.

Lorsque le numérateur est positif, les deux facteurs du dénominateur sont négatifs. Cela peut être facilement vérifié en prenant n'importe quel nombre dans un intervalle donné, par exemple . Le côté gauche porte le signe :

Lorsque le numérateur est positif ; Le premier facteur du dénominateur est positif, le deuxième facteur est négatif. Le côté gauche porte le signe :

La situation est la même ! Le numérateur est positif, le premier facteur du dénominateur est positif, le second est négatif. Le côté gauche porte le signe :

Enfin, avec class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Répondre: .

Pourquoi l’alternance des panneaux a-t-elle été perturbée ? Parce que lorsqu'on passe par un point, le multiplicateur en est « responsable » n'a pas changé de signe. Par conséquent, tout le côté gauche de notre inégalité n’a pas changé de signe.

Conclusion: si le multiplicateur linéaire est une puissance paire (par exemple, au carré), alors en passant par un point, le signe de l'expression sur le côté gauche ne change pas. Dans le cas d'un degré impair, le signe change bien sûr.

3. Considérons un cas plus complexe. Elle diffère de la précédente en ce que l'inégalité n'est pas stricte :

Le côté gauche est le même que dans le problème précédent. L'image des signes sera la même :

Peut-être que la réponse sera la même ? Non! Une solution est ajoutée. Cela se produit parce que les côtés gauche et droit de l’inégalité sont égaux à zéro – ce point est donc une solution.

Répondre: .

Cette situation se produit souvent dans les problèmes de l'examen d'État unifié en mathématiques. C'est là que les candidats tombent dans un piège et perdent des points. Sois prudent!

4. Que faire si le numérateur ou le dénominateur ne peut pas être pris en compte dans des facteurs linéaires ? Considérons cette inégalité :

Un trinôme carré n'est pas factorisable : le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. Mais c'est bien ! Cela signifie que le signe de l’expression pour tous est le même, et spécifiquement positif. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans l'article sur les propriétés des fonctions quadratiques.

Et maintenant, nous pouvons diviser les deux côtés de nos inégalités par une valeur positive pour tous. Arrivons à une inégalité équivalente :

Ce qui est facilement résolu en utilisant la méthode des intervalles.

Veuillez noter que nous avons divisé les deux côtés de l’inégalité par une valeur dont nous savions avec certitude qu’elle était positive. Bien entendu, en général, il ne faut pas multiplier ou diviser une inégalité par une variable dont le signe est inconnu.

5 . Considérons une autre inégalité, apparemment assez simple :

Je veux juste le multiplier par . Mais nous sommes déjà intelligents et nous ne ferons pas cela. Après tout, cela peut être à la fois positif et négatif. Et nous savons que si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par une valeur négative, le signe de l’inégalité change.

Nous le ferons différemment - nous rassemblerons tout en une seule partie et le ramènerons à un dénominateur commun. Le côté droit restera nul :

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Et après cela, postulez méthode d'intervalle.

La méthode des intervalles est considérée comme universelle pour résoudre les inégalités. Parfois, cette méthode est également appelée méthode des écarts. Il peut être utilisé à la fois pour résoudre des inégalités rationnelles avec une variable et pour des inégalités d'autres types. Dans notre matériel, nous avons essayé de prêter attention à tous les aspects de la question.

Qu'est-ce qui vous attend dans cette rubrique ? Nous analyserons la méthode des intervalles et considérerons les algorithmes pour résoudre les inégalités en l'utilisant. Abordons les aspects théoriques sur lesquels repose l'application de la méthode.

Nous accordons une attention particulière aux nuances du sujet qui ne sont généralement pas abordées dans le programme scolaire. Par exemple, considérons les règles de disposition des signes sur les intervalles et la méthode des intervalles elle-même sous forme générale, sans son lien avec les inégalités rationnelles.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algorithme

Qui se souvient de la façon dont la méthode des intervalles a été introduite dans un cours d’algèbre scolaire ? Habituellement, tout commence par la résolution d'inégalités de la forme f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ou ≥). Ici, f(x) peut être un polynôme ou un rapport de polynômes. Le polynôme, à son tour, peut être représenté comme suit :
- produit de binômes linéaires de coefficient 1 pour la variable x ;
- le produit de trinômes quadratiques de coefficient dominant 1 et du discriminant négatif de leurs racines.
Voici quelques exemples de telles inégalités :

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Écrivons un algorithme pour résoudre des inégalités de ce type, comme nous l'avons donné dans les exemples, en utilisant la méthode des intervalles :
- nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur, pour cela nous assimilons le numérateur et le dénominateur de l'expression du côté gauche de l'inégalité à zéro et résolvons les équations résultantes ;
- nous déterminons les points qui correspondent aux zéros trouvés et les marquons avec des tirets sur l'axe des coordonnées ;
- définir les signes d'expression f(x) du côté gauche de l'inégalité résolue sur chaque intervalle et placez-les sur le graphique ;
- nous appliquons un ombrage sur les sections requises du graphique, guidés par la règle suivante : si l'inégalité a des signes< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ou ≥ , puis on met en évidence en ombrant les zones marquées du signe « + ».
Le modèle avec lequel nous allons travailler peut avoir une vue schématique. Des détails excessifs peuvent surcharger le dessin et rendre sa résolution difficile. L'échelle nous intéressera peu. Il suffira de respecter l'emplacement correct des points à mesure que les valeurs de leurs coordonnées augmentent.

Lorsque nous travaillons avec des inégalités strictes, nous utiliserons la notation d'un point sous la forme d'un cercle avec un centre non rempli (vide). Dans le cas d'inégalités non strictes, nous représenterons les points qui correspondent aux zéros du dénominateur comme vides, et tout le reste comme du noir ordinaire.

Les points marqués divisent la ligne de coordonnées en plusieurs intervalles numériques. Cela nous permet d’obtenir une représentation géométrique d’un ensemble numérique, qui est en fait une solution à cette inégalité.

La méthode scientifique de l’écart

L'approche qui sous-tend la méthode des intervalles repose sur la propriété suivante d'une fonction continue : la fonction maintient un signe constant sur l'intervalle (a, b) sur lequel cette fonction est continue et ne s'annule pas. La même propriété est caractéristique des rayons numériques (− ∞ , a) et (une, + ∞).

Cette propriété de la fonction est confirmée par le théorème de Bolzano-Cauchy, donné dans de nombreux manuels de préparation aux concours d'entrée.

La constance du signe sur les intervalles peut également être justifiée sur la base des propriétés des inégalités numériques. Par exemple, prenons l'inégalité x - 5 x + 1 > 0. Si nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur et les traçons sur la droite numérique, nous obtiendrons une série d'intervalles : (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) et (5 , + ∞) .

Prenons n'importe lequel des intervalles et montrons dessus que pendant tout l'intervalle, l'expression du côté gauche de l'inégalité aura un signe constant. Soit ceci l'intervalle (− ∞ , − 1) . Prenons n'importe quel nombre t de cet intervalle. Il satisfera aux conditions t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

En utilisant à la fois les inégalités résultantes et la propriété des inégalités numériques, nous pouvons supposer que t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t sur l'intervalle (− ∞ , − 1) .

En utilisant la règle de division des nombres négatifs, on peut affirmer que la valeur de l'expression t - 5 t + 1 sera positive. Cela signifie que la valeur de l'expression x - 5 x + 1 sera positive pour toute valeur X entre (− ∞ , − 1) . Tout cela permet d'affirmer que sur l'intervalle pris comme exemple, l'expression a un signe constant. Dans notre cas, il s'agit du signe « + ».

Trouver les zéros du numérateur et du dénominateur

L'algorithme pour trouver les zéros est simple : nous assimilons les expressions du numérateur et du dénominateur à zéro et résolvons les équations résultantes. Si vous rencontrez des difficultés, vous pouvez vous référer au sujet « Résolution d'équations par factorisation ». Dans cette section, nous nous limiterons à un simple exemple.

Considérons la fraction x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Afin de trouver les zéros du numérateur et du dénominateur, on les assimile à zéro afin d'obtenir et de résoudre les équations : x (x − 0, 6) = 0 et x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Dans le premier cas, on peut passer à l'ensemble des deux équations x = 0 et x − 0, 6 = 0, ce qui nous donne deux racines 0 et 0, 6. Ce sont les zéros du numérateur.

La deuxième équation est équivalente à l'ensemble des trois équations x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Nous effectuons une série de transformations et obtenons x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. La racine de la première équation est 0, la deuxième équation n'a pas de racine, puisqu'elle a un discriminant négatif, la racine de la troisième équation est 5. Ce sont les zéros du dénominateur.

0 dans ce cas est à la fois le zéro du numérateur et le zéro du dénominateur.

En général, lorsque le membre gauche d’une inégalité contient une fraction qui n’est pas nécessairement rationnelle, le numérateur et le dénominateur sont également égaux à zéro pour obtenir les équations. Résoudre les équations permet de trouver les zéros du numérateur et du dénominateur.

Déterminer le signe d’un intervalle est simple. Pour ce faire, vous pouvez trouver la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité pour tout point arbitrairement sélectionné dans un intervalle donné. Le signe résultant de la valeur de l'expression en un point arbitrairement choisi dans l'intervalle coïncidera avec le signe de l'intervalle entier.

Regardons cette déclaration avec un exemple.

Prenons l'inégalité x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. L’expression du côté gauche de l’inégalité n’a pas de zéros au numérateur. Le zéro du dénominateur sera le nombre - 3. Nous obtenons deux intervalles sur la droite numérique (− ∞ , − 3) et (− 3 , + ∞) .

Afin de déterminer les signes des intervalles, on calcule la valeur de l'expression x 2 - x + 4 x + 3 pour des points pris arbitrairement sur chacun des intervalles.

Dès le premier écart (− ∞ , − 3) prenons − 4. À x = − 4 nous avons (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Nous avons reçu une valeur négative, ce qui signifie que tout l'intervalle aura le signe « - ».

Pour l'écart (− 3 , + ∞) Effectuons des calculs avec un point ayant une coordonnée nulle. À x = 0 nous avons 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Nous avons reçu une valeur positive, ce qui signifie que tout l'intervalle aura un signe « + ».

Vous pouvez utiliser une autre façon de déterminer les signes. Pour ce faire, on peut retrouver le signe sur l'un des intervalles et le sauvegarder ou le modifier lors du passage par zéro. Pour tout faire correctement, il faut suivre la règle : en passant par zéro le dénominateur, mais pas le numérateur, ou le numérateur, mais pas le dénominateur, on peut changer le signe par le signe opposé, si le degré de l'expression donnant ce zéro est impaire, et on ne peut pas changer le signe, si le degré est pair. Si nous avons reçu un point qui est à la fois le zéro du numérateur et du dénominateur, alors nous ne pouvons changer le signe en celui opposé que si la somme des puissances des expressions donnant ce zéro est impaire.

Si nous rappelons l'inégalité que nous avons examinée au début du premier paragraphe de ce document, alors sur l'intervalle le plus à droite, nous pouvons mettre un signe « + ».

Regardons maintenant des exemples.

Prenez l'inégalité (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 et résolvez-la en utilisant la méthode des intervalles . Pour ce faire, nous devons trouver les zéros du numérateur et du dénominateur et les marquer sur la ligne de coordonnées. Les zéros du numérateur seront des points 2 , 3 , 4 , point dénominateur 1 , 3 , 4 . Marquons-les sur l'axe des coordonnées avec des tirets.

Nous marquons les zéros du dénominateur avec des points vides.

Puisqu’il s’agit d’une inégalité non stricte, nous remplaçons les tirets restants par des points ordinaires.

Plaçons maintenant des points sur les intervalles. L'espace le plus à droite (4 , + ∞) sera le signe +.

En allant de droite à gauche, nous poserons des panneaux pour les intervalles restants. Nous passons par le point de coordonnée 4. C'est à la fois le zéro du numérateur et du dénominateur. En somme, ces zéros donnent les expressions (x-4) 2 Et x−4. Additionnons leurs puissances 2 + 1 = 3 et obtenons un nombre impair. Cela signifie que le signe pendant la transition change dans ce cas à l'opposé. L'intervalle (3, 4) aura un signe moins.

On passe à l'intervalle (2, 3) passant par le point de coordonnée 3. C'est également un zéro pour le numérateur et le dénominateur. Nous l’avons obtenu grâce à deux expressions (x − 3) 3 et (x-3) 5, dont la somme des puissances est 3 + 5 = 8. Obtenir un nombre pair nous permet de laisser le signe de l’intervalle inchangé.

Le point de coordonnée 2 est le zéro du numérateur. La puissance de l'expression x - 2 est 1 (impair). Cela signifie qu'en passant par ce point, le signe doit être remplacé par le signe opposé.

Il nous reste le dernier intervalle (− ∞ , 1) . Le point de coordonnée 1 est le zéro du dénominateur. Il est dérivé de l'expression (x-1) 4, avec un degré pair 4 . Le signe reste donc le même. Le dessin final ressemblera à ceci :

La méthode des intervalles est particulièrement efficace lorsque le calcul de la valeur d’une expression implique beaucoup de travail. Un exemple serait la nécessité de calculer la valeur d'une expression

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

à tout moment dans l'intervalle 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Commençons maintenant à mettre en pratique les connaissances et les compétences acquises.
Exemple 1
Résolvez l'inégalité (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Solution

Il est conseillé d'utiliser la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité. Trouvez les zéros du numérateur et du dénominateur. Les zéros du numérateur sont 1 et - 5, les zéros du dénominateur sont 7 et 1. Marquons-les sur la droite numérique. Nous avons affaire à une inégalité non stricte, nous marquerons donc les zéros du dénominateur avec des points vides, et le zéro du numérateur - 5 - sera marqué d'un point plein régulier.

Mettons les signes des intervalles en utilisant les règles de changement de signe lors du passage par zéro. Commençons par l'intervalle le plus à droite, pour lequel nous calculons la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité en un point arbitrairement pris dans l'intervalle. Nous obtenons le signe « + ». Parcourons séquentiellement tous les points de la ligne de coordonnées, en organisant les signes, et nous obtenons :

On travaille avec une inégalité non stricte de signe ≤. Cela signifie que nous devons marquer en ombrant les espaces marqués du signe « - ».

Répondre: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

La résolution des inégalités rationnelles nécessite dans la plupart des cas leur transformation préalable vers la forme souhaitée. Ce n'est qu'après cela qu'il est possible d'utiliser la méthode des intervalles. Les algorithmes permettant de réaliser de telles transformations sont discutés dans le document «Résoudre les inégalités rationnelles».

Regardons un exemple de conversion de trinômes quadratiques en inégalités.
Exemple 2
Trouvez la solution de l'inégalité (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

Solution

Voyons si les discriminants des trinômes quadratiques dans la notation d'inégalité sont réellement négatifs. Cela nous permettra de déterminer si la forme de cette inégalité nous permet d'utiliser la méthode des intervalles pour la solution.

Calculons le discriminant du trinôme x 2 + 3 x + 3 : D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Calculons maintenant le discriminant pour le trinôme x 2 + 2 · x − 8 : D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Comme vous pouvez le constater, l’inégalité nécessite une transformation préalable. Pour ce faire, nous représentons le trinôme x 2 + 2 x − 8 comme (x + 4) · (x − 2), puis appliquez la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

Répondre: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

La méthode des intervalles généralisés est utilisée pour résoudre des inégalités de la forme f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , où f (x) est une expression arbitraire avec une variable X.

Toutes les actions sont effectuées selon un certain algorithme. Dans ce cas, l'algorithme de résolution des inégalités à l'aide de la méthode des intervalles généralisés sera légèrement différent de ce dont nous avons discuté précédemment :
- on retrouve le domaine de définition de la fonction f et les zéros de cette fonction ;
- marquer les points limites sur l'axe des coordonnées ;
- tracer les zéros de la fonction sur la droite numérique ;
- déterminer les signes des intervalles ;
- appliquer un ombrage ;
- écrivez la réponse.
Sur la droite numérique, il est nécessaire de marquer, entre autres, les points individuels du domaine de définition. Par exemple, le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Cela signifie que nous devons marquer les points avec des coordonnées − 5, 1, 3, 4 , 7 Et 10 . Points − 5 et 7 seront représentés comme vides, le reste pourra être souligné avec un crayon de couleur afin de les distinguer ensuite des zéros de la fonction.

Dans le cas d'inégalités non strictes, les zéros de la fonction sont tracés sous forme de points ordinaires (ombrés), et dans le cas d'inégalités strictes, sous forme de points vides. Si les zéros coïncident avec les points limites ou les points individuels du domaine de définition, ils peuvent alors être repeints en noir, les rendant vides ou ombrés, selon le type d'inégalité.

L'enregistrement de réponse est un ensemble numérique qui comprend :
- espaces ombragés;
- points individuels du domaine de définition avec un signe plus, s'il s'agit d'une inégalité dont le signe est > ou ≥, ou avec un signe moins, si l'inégalité a des signes< или ≤ .
Il est maintenant clair que l'algorithme que nous avons présenté au tout début du sujet est un cas particulier de l'algorithme utilisant la méthode des intervalles généralisés.

Considérons un exemple d'utilisation de la méthode des intervalles généralisés.
Exemple 3
Résoudre l'inégalité x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Solution

Nous introduisons une fonction f telle que f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Trouvons le domaine de définition de la fonction F:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Trouvons maintenant les zéros de la fonction. Pour ce faire, nous allons résoudre l’équation irrationnelle :

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

On obtient la racine x = 12.

Pour indiquer les points limites sur l'axe des coordonnées, nous utilisons la couleur orange. Points - 6, 4 seront remplis et 7 resteront vides. On a:

Marquons le zéro de la fonction avec un point noir vide, puisque nous travaillons avec une inégalité stricte.

Nous déterminons les signes à intervalles individuels. Pour ce faire, prenez un point de chaque intervalle, par exemple, 16 , 8 , 6 Et − 8 , et calculez la valeur de la fonction qu'ils contiennent F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Nous plaçons les signes nouvellement définis et appliquons un ombrage sur les espaces avec un signe moins :

La réponse sera l'union de deux intervalles avec le signe « - » : (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

En réponse, nous avons inclus un point de coordonnée - 6. Ce n'est pas le zéro de la fonction, que nous n'inclurions pas dans la réponse lors de la résolution d'une inégalité stricte, mais le point limite du domaine de définition, qui est inclus dans le domaine de définition. La valeur de la fonction à ce stade est négative, ce qui signifie qu’elle satisfait l’inégalité.

Nous n'avons pas inclus le point 4 dans la réponse, tout comme nous n'avons pas inclus l'intégralité de l'intervalle [4, 7). À ce stade, comme dans tout l’intervalle indiqué, la valeur de la fonction est positive, ce qui ne satisfait pas l’inégalité à résoudre.

Récrivons cela pour plus de clarté : des points de couleur doivent être inclus dans la réponse dans les cas suivants :
- ces points font partie de l'espace hachuré,
- ces points sont des points individuels dans le domaine de définition de la fonction, les valeurs de la fonction pour lesquelles satisfont l'inégalité en cours de résolution.
Répondre: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

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