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Définition.

Il s'agit d'un hexagone dont les bases sont deux carrés égaux et les faces latérales sont des rectangles égaux

Côte latérale- est le côté commun de deux faces latérales adjacentes

Hauteur du prisme- c'est un segment perpendiculaire aux bases du prisme

Diagonale du prisme- un segment reliant deux sommets des bases n'appartenant pas à la même face

Plan diagonal- un plan qui passe par la diagonale du prisme et ses bords latéraux

Section diagonale- les limites de l'intersection du prisme et du plan diagonal. La section diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier est un rectangle

Section perpendiculaire (section orthogonale)- c'est l'intersection d'un prisme et d'un plan tracé perpendiculairement à ses bords latéraux

Éléments d'un prisme quadrangulaire régulier

La figure montre deux prismes quadrangulaires réguliers, qui sont indiqués par les lettres correspondantes :

• Les bases ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont égales et parallèles entre elles
• Faces latérales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C et CC 1 D 1 D, dont chacune est un rectangle
• Surface latérale - la somme des aires de toutes les faces latérales du prisme
• Surface totale - la somme des aires de toutes les bases et faces latérales (somme de l'aire de la surface latérale et des bases)
• Côtes latérales AA 1, BB 1, CC 1 et DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Diagonale de base BD
• Coupe diagonale BB 1 D 1 D
• Coupe perpendiculaire A 2 B 2 C 2 D 2.

Propriétés d'un prisme quadrangulaire régulier

• Les bases sont deux carrés égaux
• Les bases sont parallèles les unes aux autres
• Les faces latérales sont des rectangles
• Les bords latéraux sont égaux les uns aux autres
• Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases
• Les côtes latérales sont parallèles entre elles et égales
• Section perpendiculaire perpendiculaire à toutes les nervures latérales et parallèle aux bases
• Angles de section perpendiculaire - droits
• La section diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier est un rectangle
• Perpendiculaire (section orthogonale) parallèle aux bases

Formules pour un prisme quadrangulaire régulier

Instructions pour résoudre les problèmes

Lors de la résolution de problèmes sur le sujet " prisme quadrangulaire régulier" signifie que:

Prisme correct- un prisme à la base duquel se trouve un polygone régulier, et dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux plans de la base. Autrement dit, un prisme quadrangulaire régulier contient à sa base carré. (voir propriétés d'un prisme quadrangulaire régulier ci-dessus) Note. Cela fait partie d'une leçon avec des problèmes de géométrie (stéréométrie de section - prisme). Voici des problèmes difficiles à résoudre. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Pour désigner l'action d'extraire la racine carrée dans la résolution de problèmes, le symbole est utilisé√ .

Tâche.

Dans un prisme quadrangulaire régulier, l'aire de base est de 144 cm 2 et la hauteur est de 14 cm. Trouvez la diagonale du prisme et l'aire totale.

Solution.
Un quadrilatère régulier est un carré.
En conséquence, le côté de la base sera égal

√144 = 12 cm.
D'où la diagonale de la base d'un prisme rectangulaire régulier sera égale à
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonale d'un prisme régulier forme un triangle rectangle avec la diagonale de la base et la hauteur du prisme. Ainsi, selon le théorème de Pythagore, la diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier donné sera égale à :
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Répondre: 22 cm

Tâche

Déterminez la surface totale d'un prisme quadrangulaire régulier si sa diagonale est de 5 cm et la diagonale de sa face latérale est de 4 cm.

Solution.
Puisque la base d'un prisme quadrangulaire régulier est un carré, on trouve le côté de la base (noté a) à l'aide du théorème de Pythagore :

Un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
une = √12,5

La hauteur de la face latérale (notée h) sera alors égale à :

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

La surface totale sera égale à la somme de la surface latérale et du double de la surface de base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Réponse : 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

La surface latérale du prisme. Bonjour! Dans cette publication, nous analyserons un groupe de problèmes en stéréométrie. Considérons une combinaison de corps - un prisme et un cylindre. Pour le moment, cet article complète toute la série d'articles liés à la prise en compte des types de tâches en stéréométrie.

Si de nouveaux apparaissent dans la banque de tâches, il y aura bien sûr des ajouts au blog à l'avenir. Mais ce qui existe déjà est largement suffisant pour que vous appreniez à résoudre tous les problèmes avec une réponse courte dans le cadre de l'examen. Il y aura suffisamment de matériel pour les années à venir (le programme de mathématiques est statique).

Les tâches présentées consistent à calculer l'aire d'un prisme. Je note que ci-dessous nous considérons un prisme droit (et, par conséquent, un cylindre droit).

Sans connaître aucune formule, on comprend que la surface latérale d'un prisme est constituée de toutes ses faces latérales. Un prisme droit a des faces latérales rectangulaires.

L'aire de la surface latérale d'un tel prisme est égale à la somme des aires de toutes ses faces latérales (c'est-à-dire des rectangles). Si l'on parle d'un prisme régulier dans lequel est inscrit un cylindre, alors il est clair que toutes les faces de ce prisme sont des rectangles ÉGAUX.

Formellement, la surface latérale d'un prisme régulier peut être reflétée comme suit :

27064. Un prisme quadrangulaire régulier est circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base et la hauteur sont égaux à 1. Trouvez la surface latérale du prisme.

La surface latérale de ce prisme est constituée de quatre rectangles d'égale surface. La hauteur de la face est de 1, le bord de la base du prisme est de 2 (ce sont deux rayons du cylindre), donc l'aire de la face latérale est égale à :

Surface latérale :

73023. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √0,12 et la hauteur est 3.

L'aire de la surface latérale d'un prisme donné est égale à la somme des aires des trois faces latérales (rectangles). Pour trouver l'aire de la face latérale, vous devez connaître sa hauteur et la longueur du bord de base. La hauteur est de trois. Trouvons la longueur du bord de base. Considérez la projection (vue de dessus) :

Nous avons un triangle régulier dans lequel est inscrit un cercle de rayon √0,12. A partir du triangle rectangle AOC on trouve AC. Et puis AD (AD=2AC). Par définition de tangente :

Cela signifie AD = 2AC = 1,2 Ainsi, la surface latérale est égale à :

27066. Trouvez la surface latérale d'un prisme hexagonal régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √75 et la hauteur est 1.

La surface requise est égale à la somme des surfaces de toutes les faces latérales. Un prisme hexagonal régulier a des rectangles égaux sur ses faces latérales.

Pour trouver l'aire d'un visage, vous devez connaître sa hauteur et la longueur du bord de base. La hauteur est connue, elle est égale à 1.

Trouvons la longueur du bord de base. Considérez la projection (vue de dessus) :

Nous avons un hexagone régulier dans lequel est inscrit un cercle de rayon √75.

Considérons le triangle rectangle ABO. On connaît la jambe OB (c'est le rayon du cylindre). On peut aussi déterminer l'angle AOB, il est égal à 300 (le triangle AOC est équilatéral, OB est une bissectrice).

Utilisons la définition de la tangente dans un triangle rectangle :

AC = 2AB, puisque OB est la médiane, c'est-à-dire qu'il divise AC en deux, ce qui signifie AC = 10.

Ainsi, l'aire de la face latérale est 1∙10=10 et l'aire de la surface latérale est :

76485. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier inscrit dans un cylindre dont le rayon de base est de 8√3 et la hauteur est de 6.

L'aire de la surface latérale du prisme spécifié de trois faces de taille égale (rectangles). Pour trouver l'aire, il faut connaître la longueur du bord de la base du prisme (on connaît la hauteur). Si l'on considère la projection (vue de dessus), nous avons un triangle régulier inscrit dans un cercle. Le côté de ce triangle est exprimé en termes de rayon comme suit :

Détails de cette relation. Ce sera donc égal

Alors l'aire de la face latérale est : 24∙6=144. Et la surface requise :

245354. Un prisme quadrangulaire régulier est circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est 2. La surface latérale du prisme est de 48. Trouvez la hauteur du cylindre.

En géométrie spatiale, lors de la résolution de problèmes avec des prismes, le problème se pose souvent du calcul de l'aire des côtés ou des faces qui forment ces figures volumétriques. Cet article est consacré à la question de la détermination de l'aire de la base du prisme et de sa surface latérale.

Figurine prisme

Avant de passer à l'examen des formules pour l'aire de base et la surface d'un prisme d'un type ou d'un autre, vous devez comprendre de quel type de figure nous parlons.

Un prisme en géométrie est une figure spatiale composée de deux polygones parallèles égaux entre eux et de plusieurs quadrangles ou parallélogrammes. Le nombre de ces derniers est toujours égal au nombre de sommets d'un polygone. Par exemple, si une figure est formée de deux n-gones parallèles, alors le nombre de parallélogrammes sera n.

Les parallélogrammes reliant les n-gones sont appelés côtés latéraux du prisme, et leur aire totale est l'aire de la surface latérale de la figure. Les n-gons eux-mêmes sont appelés bases.

L'image ci-dessus montre un exemple de prisme en papier. Le rectangle jaune constitue sa base supérieure. La figurine repose sur un deuxième socle similaire. Les rectangles rouges et verts sont les faces latérales.

Quels types de prismes existe-t-il ?

Il existe plusieurs types de prismes. Ils diffèrent tous les uns des autres par seulement deux paramètres :

• le type de n-gon formant la base ;
• l'angle entre le n-gon et les faces latérales.

Par exemple, si les bases sont des triangles, alors le prisme est dit triangulaire, s'il est quadrilatère, comme dans la figure précédente, alors la figure est appelée prisme quadrangulaire, et ainsi de suite. De plus, un n-gon peut être convexe ou concave, alors cette propriété s'ajoute également au nom du prisme.

L'angle entre les faces latérales et la base peut être droit, aigu ou obtus. Dans le premier cas, ils parlent d'un prisme rectangulaire, dans le second, d'un prisme incliné ou oblique.

Les prismes réguliers sont classés comme un type spécial de figures. Ils ont la symétrie la plus élevée parmi les autres prismes. Il ne sera régulier que s'il est rectangulaire et que sa base est un n-gon régulier. La figure ci-dessous montre un ensemble de prismes réguliers dans lesquels le nombre de côtés d'un n-gon varie de trois à huit.

Surface du prisme

La surface de la figure d'un type arbitraire considérée s'entend comme l'ensemble de tous les points qui appartiennent aux faces du prisme. Il est pratique d’étudier la surface d’un prisme en examinant son évolution. Vous trouverez ci-dessous un exemple d'un tel développement pour un prisme triangulaire.

On voit que toute la surface est formée de deux triangles et de trois rectangles.

Dans le cas d'un prisme général, sa surface sera constituée de deux bases n-gonales et de n quadrangles.

Examinons plus en détail la question du calcul de la surface des prismes de différents types.

L'aire de base d'un prisme régulier

Le problème le plus simple lorsque l'on travaille avec des prismes est peut-être le problème de trouver l'aire de la base de la figure régulière. Puisqu’il est formé d’un n-gone dont les angles et les longueurs des côtés sont tous identiques, il peut toujours être divisé en triangles identiques dont les angles et les côtés sont connus. L'aire totale des triangles sera l'aire du n-gon.

Une autre façon de déterminer la partie de la surface d'un prisme (base) consiste à utiliser une formule bien connue. Cela ressemble à ceci :

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Autrement dit, l'aire S n d'un n-gone est déterminée de manière unique sur la base de la connaissance de la longueur de son côté a. Une difficulté lors du calcul à l'aide de la formule peut être le calcul de la cotangente, en particulier lorsque n>4 (pour n≤4, les valeurs de la cotangente sont des données tabulaires). Il est recommandé d'utiliser une calculatrice pour déterminer cette fonction trigonométrique.

Lorsque vous posez un problème géométrique, vous devez être prudent, car vous devrez peut-être trouver l'aire de la base du prisme. Ensuite, la valeur obtenue à partir de la formule doit être multipliée par deux.

Aire de base d'un prisme triangulaire

En utilisant l'exemple d'un prisme triangulaire, voyons comment trouver l'aire de la base de cette figure.

Considérons d'abord un cas simple : un prisme régulier. L'aire de la base est calculée à l'aide de la formule donnée dans le paragraphe ci-dessus ; vous devez y substituer n=3. On a:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Il reste à substituer les valeurs spécifiques de la longueur du côté a d'un triangle équilatéral dans l'expression pour obtenir l'aire d'une base.

Supposons maintenant qu’il existe un prisme dont la base est un triangle arbitraire. Ses deux côtés a et b et l'angle qu'ils forment α sont connus. Ce chiffre est présenté ci-dessous.

Comment trouver l'aire de la base d'un prisme triangulaire dans ce cas ? Il faut se rappeler que l'aire de tout triangle est égale à la moitié du produit du côté et de la hauteur abaissée jusqu'à ce côté. Sur la figure, la hauteur h est tracée du côté b. La longueur h correspond au produit du sinus de l'angle alpha et de la longueur du côté a. Alors l’aire du triangle entier est :

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Il s'agit de la surface de base du prisme triangulaire illustré.

Surface latérale

Nous avons examiné comment trouver l'aire de la base d'un prisme. La surface latérale de cette figure est toujours constituée de parallélogrammes. Pour les prismes droits, les parallélogrammes deviennent des rectangles, leur aire totale est donc facile à calculer :

S = ∑ je=1 n (une je *b)

Ici b est la longueur du bord latéral, a i est la longueur du côté du i-ème rectangle, qui coïncide avec la longueur du côté du n-gon. Dans le cas d'un prisme n-gonal régulier, on obtient une expression simple :

Si le prisme est incliné, alors pour déterminer l'aire de sa surface latérale, il faut faire une coupe perpendiculaire, calculer son périmètre P sr et le multiplier par la longueur du bord latéral.

L'image ci-dessus montre comment cette coupe doit être réalisée pour un prisme pentagonal incliné.