Équations linéaires utilisant les formules de Cramer. La règle de Cramer. Méthode matricielle inverse

laissez un commentaire 6,950

Afin de maîtriser ce paragraphe, vous devez être capable de révéler les déterminants « deux par deux » et « trois par trois ». Si vous êtes mauvais avec les qualifications, veuillez étudier la leçon Comment calculer le déterminant ?

Tout d’abord, nous examinerons de plus près la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pour quoi? – Après tout, le système le plus simple peut être résolu en utilisant la méthode scolaire, la méthode de l’addition terme par terme !

Le fait est que, bien que parfois, une telle tâche se produit : résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide des formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour un cas plus complexe : un système de trois équations à trois inconnues.

De plus, il existe des systèmes d’équations linéaires à deux variables, qu’il est conseillé de résoudre en utilisant la règle de Cramer !

Considérons le système d'équations

Dans un premier temps, on calcule le déterminant, on l'appelle principal déterminant du système.

Méthode Gauss.

Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux déterminants supplémentaires :
Et

En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.

On trouve les racines de l'équation à l'aide des formules :
,

Exemple 7

Résoudre un système d'équations linéaires

Solution: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands ; sur le côté droit il y a des fractions décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans les tâches pratiques de mathématiques ; j'ai tiré ce système d'un problème économétrique.

Comment résoudre un tel système ? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en termes d'une autre, mais dans ce cas, vous vous retrouverez probablement avec des fractions fantaisistes terribles avec lesquelles il est extrêmement gênant de travailler, et la conception de la solution aura l'air tout simplement terrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et soustraire terme par terme, mais les mêmes fractions apparaîtront ici aussi.

Ce qu'il faut faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.

;

Répondre: ,

Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes d'économétrie.

Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, puisque la tâche est résolue à l'aide de formules toutes faites. Il y a cependant une mise en garde. Lorsque vous utilisez cette méthode, obligatoire Un fragment de la conception de la tâche est le fragment suivant : "Cela signifie que le système a une solution unique". Sinon, le critique pourrait vous punir pour manque de respect au théorème de Cramer.

Il ne serait pas superflu de vérifier, ce qui peut être facilement effectué sur une calculatrice : on substitue des valeurs approximatives dans le côté gauche de chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, vous devriez obtenir des nombres qui se trouvent du bon côté.

Exemple 8

Présentez la réponse sous forme de fractions impropres ordinaires. Faites une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (un exemple de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Passons maintenant à la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues :

On retrouve le déterminant principal du système :

Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n’a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer ne vous aidera pas ; vous devez utiliser la méthode de Gauss.

Si , alors le système a une solution unique et pour trouver les racines, nous devons calculer trois déterminants supplémentaires :
, ,

Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules :

Comme vous pouvez le constater, le cas « trois par trois » n'est fondamentalement pas différent du cas « deux par deux » ; la colonne de termes libres « marche » séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.

Exemple 9

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer.

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre: .

En fait, là encore, il n'y a rien de particulier à commenter, du fait que la solution suit des formules toutes faites. Mais il y a quelques commentaires.

Il arrive qu'à la suite de calculs, on obtienne de « mauvaises » fractions irréductibles, par exemple : .
Je recommande l’algorithme de « traitement » suivant. Si vous n'avez pas d'ordinateur à portée de main, procédez comme suit :

1) Il peut y avoir une erreur dans les calculs. Dès que vous rencontrez une « mauvaise » fraction, vous devez immédiatement vérifier La condition est-elle réécrite correctement ?. Si la condition est réécrite sans erreur, vous devez alors recalculer les déterminants en utilisant le développement dans une autre ligne (colonne).

2) Si aucune erreur n'est identifiée à la suite de la vérification, il y a probablement eu une faute de frappe dans les conditions de la tâche. Dans ce cas, travaillez calmement et ATTENTIVEMENT jusqu'au bout de la tâche, puis assurez-vous de vérifier et nous le dressons sur une feuille blanche après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnée est une tâche désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour l'enseignant, qui aime vraiment donner un moins à toute connerie comme . La façon de gérer les fractions est décrite en détail dans la réponse à l'exemple 8.

Si vous disposez d'un ordinateur, utilisez un programme automatisé pour vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. D'ailleurs, il est plus rentable d'utiliser le programme tout de suite (avant même de lancer la solution, vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire où vous avez commis une erreur) ; La même calculatrice calcule automatiquement la solution du système en utilisant la méthode matricielle.

Deuxième remarque. De temps en temps, il existe des systèmes dans lesquels certaines variables manquent dans les équations, par exemple :

Ici, dans la première équation, il n'y a pas de variable, dans la seconde, il n'y a pas de variable. Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et ATTENTIVEMENT le déterminant principal :
– des zéros sont placés à la place des variables manquantes.
À propos, il est rationnel d'ouvrir les déterminants avec des zéros en fonction de la ligne (colonne) dans laquelle se trouve le zéro, car il y a sensiblement moins de calculs.

Exemple 10

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Pour le cas d’un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer s’écrivent selon des principes similaires. Vous pouvez voir un exemple réel dans la leçon Propriétés des déterminants. Réduire l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Même si la tâche rappelle déjà beaucoup la chaussure d’un professeur sur la poitrine d’un étudiant chanceux.

Résoudre le système à l'aide d'une matrice inverse

La méthode matricielle inverse est essentiellement un cas particulier équation matricielle(Voir exemple n°3 de la leçon spécifiée).

Pour étudier cette section, vous devez être capable de développer des déterminants, de trouver l'inverse d'une matrice et d'effectuer une multiplication matricielle. Des liens pertinents seront fournis au fur et à mesure de la progression des explications.

Exemple 11

Résoudre le système en utilisant la méthode matricielle

Solution: Écrivons le système sous forme matricielle :
, Où

Veuillez regarder le système d'équations et de matrices. Je pense que tout le monde comprend le principe par lequel nous écrivons des éléments dans des matrices. Seul commentaire : si certaines variables manquaient dans les équations, il faudrait alors placer des zéros aux endroits correspondants dans la matrice.

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Examinons d’abord le déterminant :

Ici, le déterminant est développé sur la première ligne.

Attention! Si , alors la matrice inverse n’existe pas et il est impossible de résoudre le système en utilisant la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss).

Nous devons maintenant calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs.

Référence: Il est utile de connaître la signification des indices doubles en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve l'élément :

Autrement dit, un double indice indique que l'élément se trouve dans la première ligne, troisième colonne et, par exemple, l'élément est dans la 3ème ligne, 2ème colonne.

Au cours de la solution, il est préférable de décrire en détail le calcul des mineurs, même si avec une certaine expérience, vous pourrez vous habituer à les calculer oralement avec des erreurs.

La méthode de Cramer est basée sur l'utilisation de déterminants dans la résolution de systèmes d'équations linéaires. Cela accélère considérablement le processus de résolution.

La méthode de Cramer peut être utilisée pour résoudre un système composé d'autant d'équations linéaires qu'il y a d'inconnues dans chaque équation. Si le déterminant du système n’est pas égal à zéro, alors la méthode de Cramer peut être utilisée dans la solution, mais s’il est égal à zéro, alors elle ne peut pas. De plus, la méthode de Cramer peut être utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires ayant une solution unique.

Définition. Un déterminant constitué de coefficients pour inconnues est appelé déterminant du système et est noté (delta).

Déterminants

sont obtenus en remplaçant les coefficients des inconnues correspondantes par des termes libres :

;

Théorème de Cramer. Si le déterminant du système est différent de zéro, alors le système d'équations linéaires a une solution unique et l'inconnue est égale au rapport des déterminants. Le dénominateur contient le déterminant du système, et le numérateur contient le déterminant obtenu à partir du déterminant du système en remplaçant les coefficients de cette inconnue par des termes libres. Ce théorème est valable pour un système d'équations linéaires de tout ordre.

Exemple 1. Résoudre un système d'équations linéaires :

Selon Théorème de Cramer nous avons:

Donc, la solution du système (2) :

calculatrice en ligne, méthode de résolution de Cramer.

Trois cas lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires

Comme cela ressort clairement de Théorème de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires, trois cas peuvent se produire :

Premier cas : un système d'équations linéaires a une solution unique

(le système est cohérent et défini)

Deuxième cas : un système d'équations linéaires a un nombre infini de solutions

(le système est cohérent et incertain)

** ,

ceux. les coefficients des inconnues et des termes libres sont proportionnels.

Troisième cas : le système d'équations linéaires n'a pas de solutions

(le système est incohérent)

Donc le système méquations linéaires avec n appelées variables non conjoint, si elle n'a pas de solution unique, et articulation, s'il a au moins une solution. Un système simultané d’équations qui n’a qu’une seule solution s’appelle certain, et plus d'un – incertain.

Exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer

Que le système soit donné

Basé sur le théorème de Cramer

………….
,

Où
-

déterminant du système. On obtient les déterminants restants en remplaçant la colonne par les coefficients de la variable correspondante (inconnue) par des termes libres :

Exemple 2.

Le système est donc définitif. Pour trouver sa solution, on calcule les déterminants

En utilisant les formules de Cramer on trouve :

Ainsi, (1 ; 0 ; -1) est la seule solution du système.

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Si dans un système d'équations linéaires il n'y a pas de variables dans une ou plusieurs équations, alors dans le déterminant les éléments correspondants sont égaux à zéro ! C'est l'exemple suivant.

Exemple 3. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Examinez attentivement le système d'équations et le déterminant du système et répétez la réponse à la question dans quels cas un ou plusieurs éléments du déterminant sont égaux à zéro. Ainsi, le déterminant n’est pas égal à zéro, donc le système est défini. Pour trouver sa solution, on calcule les déterminants des inconnues

En utilisant les formules de Cramer on trouve :

La solution du système est donc (2 ; -1 ; 1).

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Haut de page

Nous continuons à résoudre ensemble des systèmes en utilisant la méthode de Cramer

Comme déjà mentionné, si le déterminant du système est égal à zéro et que les déterminants des inconnues ne sont pas égaux à zéro, le système est incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions. Illustrons avec l’exemple suivant.

Exemple 6. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Le déterminant du système est égal à zéro, par conséquent, le système d'équations linéaires est soit incohérent et défini, soit incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions. Pour clarifier, nous calculons les déterminants pour les inconnues

Les déterminants des inconnues ne sont pas égaux à zéro, donc le système est incohérent, c’est-à-dire qu’il n’a pas de solutions.

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Dans les problèmes impliquant des systèmes d'équations linéaires, il existe également ceux où, en plus des lettres désignant des variables, il existe également d'autres lettres. Ces lettres représentent un nombre, le plus souvent réel. En pratique, de telles équations et systèmes d'équations sont conduits à des problèmes de recherche de propriétés générales de tout phénomène ou objet. Autrement dit, vous avez inventé un nouveau matériau ou dispositif, et pour décrire ses propriétés, qui sont communes quelle que soit la taille ou la quantité de l'échantillon, vous devez résoudre un système d'équations linéaires, où au lieu de certains coefficients pour les variables, il y a des lettres. Il n’est pas nécessaire de chercher bien loin des exemples.

L'exemple suivant concerne un problème similaire, seul le nombre d'équations, de variables et de lettres désignant un certain nombre réel augmente.

Exemple 8. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Trouver des déterminants pour les inconnues

Supposons que le système d'équations linéaires contienne autant d'équations que de nombre de variables indépendantes, c'est-à-dire ressemble à

De tels systèmes d'équations linéaires sont appelés quadratiques. Le déterminant, composé de coefficients pour les variables indépendantes du système (1.5), est appelé déterminant principal du système. Nous le désignerons par la lettre grecque D. Ainsi,

. (1.6)

Si le déterminant principal contient un arbitraire ( j e), remplacez-la par une colonne de termes libres du système (1.5), vous pourrez alors obtenir n qualificatifs auxiliaires :

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

La règle de Cramer la résolution de systèmes quadratiques d’équations linéaires est la suivante. Si le déterminant principal D du système (1.5) est différent de zéro, alors le système a une solution unique, qui peut être trouvée à l'aide des formules :

(1.8)

Exemple 1.5. Résoudre le système d'équations en utilisant la méthode Cramer

Calculons le déterminant principal du système :

Depuis D¹0, le système a une solution unique, qui peut être trouvée à l'aide des formules (1.8) :

Ainsi,

Actions sur les matrices

1. Multiplier une matrice par un nombre. L'opération de multiplication d'une matrice par un nombre est définie comme suit.

2. Afin de multiplier une matrice par un nombre, vous devez multiplier tous ses éléments par ce nombre. C'est

. (1.9)

Exemple 1.6. .

Ajout de matrice.

Cette opération n'est introduite que pour les matrices de même ordre.

Pour ajouter deux matrices, il faut ajouter les éléments correspondants d'une autre matrice aux éléments d'une matrice :

(1.10)
L'opération d'addition matricielle a les propriétés d'associativité et de commutativité.

Exemple 1.7. .

Multiplication matricielle.

Si le nombre de colonnes de la matrice UN coïncide avec le nombre de lignes de la matrice DANS, alors pour de telles matrices l'opération de multiplication est introduite :

Ainsi, en multipliant une matrice UN dimensions m´ nà la matrice DANS dimensions n´ k on obtient une matrice AVEC dimensions m´ k. Dans ce cas, les éléments de la matrice AVEC sont calculés à l'aide des formules suivantes :

Problème 1.8. Trouver, si possible, le produit des matrices UN B Et B.A.:

Solution. 1) Afin de trouver un travail UN B, vous avez besoin de lignes matricielles UN multiplier par les colonnes de la matrice B:

2) Travail B.A. n'existe pas, car le nombre de colonnes de la matrice B ne correspond pas au nombre de lignes de la matrice UN.

Matrice inverse. Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

Matrice UN- 1 est appelé l’inverse d’une matrice carrée UN, si l'égalité est satisfaite :

où à travers je désigne la matrice identité du même ordre que la matrice UN:

Pour qu’une matrice carrée ait un inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro. La matrice inverse se trouve à l'aide de la formule :

, (1.13)

Où Un ij- ajouts algébriques aux éléments un ij matrices UN(notez que les ajouts algébriques aux lignes de la matrice UN sont situés dans la matrice inverse sous forme de colonnes correspondantes).

Exemple 1.9. Trouver la matrice inverse UN- 1 à la matrice

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule (1.13), qui pour le cas n= 3 a la forme :

Trouvons cela UN = | UN| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Puisque le déterminant de la matrice d'origine est différent de zéro, la matrice inverse existe.

1) Trouver des compléments algébriques Un ij:

Pour faciliter la recherche de la matrice inverse, nous avons placé les ajouts algébriques aux lignes de la matrice d'origine dans les colonnes correspondantes.

A partir des additions algébriques obtenues, nous composons une nouvelle matrice et la divisons par le déterminant det UN. On obtient ainsi la matrice inverse :

Les systèmes quadratiques d'équations linéaires avec un déterminant principal non nul peuvent être résolus à l'aide de la matrice inverse. Pour ce faire, le système (1.5) s’écrit sous forme matricielle :

Où

En multipliant les deux côtés de l'égalité (1.14) en partant de la gauche par UN- 1, on obtient la solution du système :

, où

Ainsi, pour trouver une solution à un système carré, il faut trouver la matrice inverse de la matrice principale du système et la multiplier à droite par la matrice colonne des termes libres.

Problème 1.10. Résoudre un système d'équations linéaires

en utilisant la matrice inverse.

Solution.Écrivons le système sous forme matricielle : ,

Où - la matrice principale du système, - la colonne des inconnues et - la colonne des termes libres. Puisque le principal déterminant du système , alors la matrice principale du système UN a une matrice inverse UN-1 . Pour trouver la matrice inverse UN-1 , on calcule les compléments algébriques à tous les éléments de la matrice UN:

A partir des nombres obtenus nous composerons une matrice (et des ajouts algébriques aux lignes de la matrice UNécrivez-le dans les colonnes appropriées) et divisez-le par le déterminant D. Ainsi, nous avons trouvé la matrice inverse :

On trouve la solution du système à l'aide de la formule (1.15) :

Ainsi,

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'élimination de Jordan ordinaire

Soit un système arbitraire (pas nécessairement quadratique) d'équations linéaires :

(1.16)

Il est nécessaire de trouver une solution au système, c'est-à-dire un tel ensemble de variables qui satisfait toutes les égalités du système (1.16). Dans le cas général, le système (1.16) peut avoir non seulement une solution, mais aussi une infinité de solutions. Il se peut également qu’il n’y ait aucune solution.

Lors de la résolution de tels problèmes, la méthode bien connue des cours scolaires consistant à éliminer les inconnues est utilisée, également appelée méthode d'élimination ordinaire de Jordan. L'essence de cette méthode est que dans l'une des équations du système (1.16), l'une des variables est exprimée en termes d'autres variables. Cette variable est ensuite substituée dans d'autres équations du système. Le résultat est un système contenant une équation et une variable de moins que le système d'origine. L'équation à partir de laquelle la variable a été exprimée est mémorisée.

Ce processus est répété jusqu'à ce qu'une dernière équation reste dans le système. Grâce au processus d'élimination des inconnues, certaines équations peuvent devenir de véritables identités, par ex. De telles équations sont exclues du système, car elles sont satisfaites pour toutes les valeurs des variables et n'affectent donc pas la solution du système. Si, lors du processus d'élimination des inconnues, au moins une équation devient une égalité qui ne peut être satisfaite pour aucune valeur des variables (par exemple), alors nous concluons que le système n'a pas de solution.

Si aucune équation contradictoire ne se produit lors de la solution, alors l'une des variables restantes est trouvée à partir de la dernière équation. S’il ne reste qu’une seule variable dans la dernière équation, elle est alors exprimée sous forme de nombre. Si d'autres variables restent dans la dernière équation, alors elles sont considérées comme des paramètres, et la variable exprimée à travers elles sera fonction de ces paramètres. Ensuite, ce que l'on appelle le « mouvement inverse » a lieu. La variable trouvée est remplacée dans la dernière équation mémorisée et la deuxième variable est trouvée. Ensuite les deux variables trouvées sont substituées dans l'avant-dernière équation mémorisée et la troisième variable est trouvée, et ainsi de suite, jusqu'à la première équation mémorisée.

En conséquence, nous obtenons une solution au système. Cette solution sera unique si les variables trouvées sont des nombres. Si la première variable trouvée, puis toutes les autres dépendent des paramètres, alors le système aura un nombre infini de solutions (à chaque ensemble de paramètres correspond une nouvelle solution). Les formules qui permettent de trouver une solution à un système en fonction d'un ensemble particulier de paramètres sont appelées solution générale du système.

Exemple 1.11.

Après avoir mémorisé la première équation et en apportant des termes similaires dans les deuxième et troisième équations, nous arrivons au système :

Exprimons oui de la deuxième équation et remplacez-la dans la première équation :

Rappelons la deuxième équation, et de la première on trouve z:

En travaillant à rebours, nous trouvons systématiquement oui Et z. Pour ce faire, nous substituons d'abord la dernière équation mémorisée, d'où nous trouvons oui:

Ensuite, nous le substituerons dans la première équation mémorisée où on peut le trouver X:

Problème 1.12. Résolvez un système d'équations linéaires en éliminant les inconnues :

. (1.17)

Solution. Exprimons la variable de la première équation X et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations :

Rappelons la première équation

Dans ce système, les première et deuxième équations se contredisent. En effet, exprimant oui , on obtient que 14 = 17. Cette égalité ne vaut pour aucune valeur des variables X, oui, Et z. Par conséquent, le système (1.17) est incohérent, c'est-à-dire n'a pas de solution.

Nous invitons les lecteurs à vérifier par eux-mêmes que le déterminant principal du système original (1.17) est égal à zéro.

Considérons un système qui diffère du système (1.17) par un seul terme libre.

Problème 1.13. Résolvez un système d'équations linéaires en éliminant les inconnues :

. (1.18)

Solution. Comme précédemment, nous exprimons la variable de la première équation X et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations :

Rappelons la première équation et présentent des termes similaires dans les deuxième et troisième équations. On arrive au système :

Exprimer oui de la première équation et en le remplaçant dans la deuxième équation , nous obtenons l'identité 14 = 14, ce qui n'affecte pas la solution du système et, par conséquent, elle peut être exclue du système.

Dans la dernière égalité mémorisée, la variable z nous le considérerons comme un paramètre. Nous croyons. Alors

Remplaçons oui Et z dans la première égalité mémorisée et trouver X:

Ainsi, le système (1.18) a un nombre infini de solutions, et toute solution peut être trouvée à l'aide des formules (1.19), en choisissant une valeur arbitraire du paramètre t:

(1.19)
Ainsi, les solutions du système, par exemple, sont les ensembles de variables suivants (1 ; 2 ; 0), (2 ; 26 ; 14), etc. Les formules (1.19) expriment la solution générale (n'importe quelle) du système (1.18 ).

Dans le cas où le système original (1.16) comporte un nombre suffisamment grand d'équations et d'inconnues, la méthode indiquée d'élimination de Jordan ordinaire semble lourde. Cependant, ce n’est pas le cas. Il suffit de dériver l'algorithme de recalcul des coefficients du système en une étape sous forme générale et de formaliser la solution au problème sous la forme de tableaux de Jordan spéciaux.

Soit un système de formes linéaires (équations) :

, (1.20)
Où xj- variables indépendantes (recherchées), un ij- coefficients constants
(je = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Parties droites du système et je (je = 1, 2,…, m) peut être soit des variables (dépendantes), soit des constantes. Il faut trouver des solutions à ce système en éliminant les inconnues.

Considérons l'opération suivante, désormais appelée « une étape des éliminations ordinaires de Jordan ». De l'arbitraire ( r e) égalité nous exprimons une variable arbitraire ( xs) et remplacer par toutes les autres égalités. Bien entendu, cela n'est possible que si un rs¹ 0. Coefficient un rs appelé élément de résolution (parfois directeur ou principal).

Nous obtiendrons le système suivant :

. (1.21)

Depuis s- égalité du système (1.21), on retrouve par la suite la variable xs(une fois que les variables restantes ont été trouvées). S La -ème ligne est mémorisée et ensuite exclue du système. Le système restant contiendra une équation et une variable indépendante de moins que le système d'origine.

Calculons les coefficients du système résultant (1.21) à travers les coefficients du système d'origine (1.20). Commençons avec rème équation, qui après avoir exprimé la variable xsà travers les variables restantes, cela ressemblera à ceci :

Ainsi, les nouveaux coefficients r Les équations sont calculées à l'aide des formules suivantes :

(1.23)
Calculons maintenant les nouveaux coefficients b je(je¹ r) d'une équation arbitraire. Pour ce faire, substituons la variable exprimée en (1.22) xs V jeème équation du système (1.20) :

Après avoir ramené des termes similaires, on obtient :

(1.24)
De l'égalité (1.24) nous obtenons des formules par lesquelles les coefficients restants du système (1.21) sont calculés (à l'exception rème équation):

(1.25)
La transformation de systèmes d'équations linéaires par la méthode d'élimination de Jordan ordinaire est présentée sous forme de tableaux (matrices). Ces tables sont appelées « tables Jordan ».

Ainsi, le problème (1.20) est associé à la table de Jordan suivante :

Tableau 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	xs	…	xn
oui 1 =	un 11	un 12		un 1j		un 1s		un 1n
…………………………………………………………………..
et je=	un je 1	un je 2		un ij		un est		un dans
…………………………………………………………………..
et r=	un r 1	un r 2		un RJ		un rs		arn
………………………………………………………………….
o n=	suis 1	suis 2		un mj		une mme		une minute

Le tableau Jordan 1.1 contient une colonne d'en-tête de gauche dans laquelle sont écrites les parties de droite du système (1.20) et une ligne d'en-tête supérieure dans laquelle sont écrites les variables indépendantes.

Les éléments restants du tableau forment la matrice principale des coefficients du système (1.20). Si on multiplie la matrice UNà la matrice constituée des éléments de la ligne de titre supérieure, vous obtenez une matrice constituée des éléments de la colonne de titre de gauche. Autrement dit, la table de Jordan est essentiellement une forme matricielle d'écriture d'un système d'équations linéaires : . Le système (1.21) correspond au tableau de Jordan suivant :

Tableau 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	et r	…	xn
oui 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
oui je =	b je 1	b je 2		b je		b est		poubelle
…………………………………………………………………..
xs =	b r 1	b r 2		b rj		brs		Brn
………………………………………………………………….
oui n =	bm 1	bm 2		b mj		bms		bmn

Élément permissif un rs Nous les soulignerons en gras. Rappelons que pour mettre en œuvre une étape de l’élimination de Jordan, l’élément de résolution doit être non nul. La ligne du tableau contenant l'élément d'activation est appelée ligne d'activation. La colonne contenant l'élément d'activation est appelée colonne d'activation. Lors du passage d'une table donnée à la table suivante, une variable ( xs) de la ligne d'en-tête supérieure du tableau est déplacé vers la colonne d'en-tête de gauche et, à l'inverse, l'un des membres libres du système ( et r) se déplace de la colonne d'en-tête de gauche du tableau vers la ligne d'en-tête supérieure.

Décrivons l'algorithme de recalcul des coefficients lors du passage du tableau de Jordan (1.1) au tableau (1.2), qui découle des formules (1.23) et (1.25).

1. L'élément résolvant est remplacé par le nombre inverse :

2. Les éléments restants de la chaîne de résolution sont divisés en éléments de résolution et changent le signe en l'opposé :

3. Les éléments restants de la colonne de résolution sont divisés en élément de résolution :

4. Les éléments qui ne sont pas inclus dans la ligne d'autorisation et la colonne d'autorisation sont recalculés à l'aide des formules :

La dernière formule est facile à retenir si l'on remarque que les éléments qui composent la fraction , sont à l'intersection je-Oh et r-ième lignes et j e et s colonnes (ligne de résolution, colonne de résolution et ligne et colonne à l'intersection desquelles se trouve l'élément recalculé). Plus précisément, lors de la mémorisation de la formule vous pouvez utiliser le schéma suivant :

-21 -26 -13 -37

Lors de l'exécution de la première étape des exceptions Jordan, vous pouvez sélectionner n'importe quel élément du tableau 1.3 situé dans les colonnes comme élément de résolution. X 1 ,…, X 5 (tous les éléments spécifiés ne sont pas nuls). Vous ne devez pas simplement sélectionner l'élément d'activation dans la dernière colonne, car vous devez trouver des variables indépendantes X 1 ,…, X 5 . Par exemple, on choisit le coefficient 1 avec variable X 3 dans la troisième ligne du tableau 1.3 (l'élément habilitant est indiqué en gras). En passant au tableau 1.4, la variable X Le 3 de la ligne d’en-tête supérieure est remplacé par la constante 0 de la colonne d’en-tête de gauche (troisième ligne). Dans ce cas, la variable X 3 est exprimé à travers les variables restantes.

Chaîne X 3 (tableau 1.4) peut, après mémorisation préalable, être exclu du tableau 1.4. La troisième colonne avec un zéro dans la ligne de titre supérieure est également exclue du tableau 1.4. Le fait est que quels que soient les coefficients d'une colonne donnée b je 3 tous les termes correspondants de chaque équation 0 b je 3 systèmes seront égaux à zéro. Il n’est donc pas nécessaire de calculer ces coefficients. Éliminer une variable X 3 et en nous souvenant d'une des équations, on arrive à un système correspondant au tableau 1.4 (avec la ligne barrée X 3). Sélection dans le tableau 1.4 comme élément de résolution b 14 = -5, passez au tableau 1.5. Dans le tableau 1.5, mémorisez la première ligne et excluez-la du tableau ainsi que la quatrième colonne (avec un zéro en haut).

Tableau 1.5 Tableau 1.6

Du dernier tableau 1.7 on trouve : X 1 = - 3 + 2X 5 .

En remplaçant systématiquement les variables déjà trouvées dans les lignes mémorisées, nous trouvons les variables restantes :

Le système propose donc une infinité de solutions. Variable X 5, des valeurs arbitraires peuvent être attribuées. Cette variable fait office de paramètre X 5 = t. Nous avons prouvé la compatibilité du système et trouvé sa solution générale :

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Donner le paramètre t valeurs différentes, nous obtenons un nombre infini de solutions au système d’origine. Ainsi, par exemple, la solution du système est l'ensemble de variables suivant (- 3 ; - 1 ; - 2 ; 4 ; 0).

Méthodes Kramer Et Gauss- l'une des méthodes de résolution les plus populaires SLAU. De plus, dans certains cas, il est conseillé d’utiliser des méthodes spécifiques. La session est terminée et il est maintenant temps de les répéter ou de les maîtriser à partir de zéro. Aujourd’hui, nous allons examiner la solution en utilisant la méthode de Cramer. Après tout, résoudre un système d’équations linéaires à l’aide de la méthode Cramer est une compétence très utile.

Systèmes d'équations algébriques linéaires

Un système d'équations algébriques linéaires est un système d'équations de la forme :

Ensemble de valeurs X , dans laquelle les équations du système se transforment en identités, est appelée une solution du système, un Et b sont de vrais coefficients. Un système simple composé de deux équations à deux inconnues peut être résolu mentalement ou en exprimant une variable par rapport à l’autre. Mais il peut y avoir bien plus de deux variables (x) dans un SLAE, et ici de simples manipulations scolaires ne suffisent pas. Ce qu'il faut faire? Par exemple, résolvez les SLAE en utilisant la méthode de Cramer !

Alors, laissez le système consister en n équations avec n inconnu.

Un tel système peut être réécrit sous forme matricielle

Ici UN – la matrice principale du système, X Et B , respectivement, les matrices de colonnes de variables inconnues et de termes libres.

Résolution des SLAE à l'aide de la méthode de Cramer

Si le déterminant de la matrice principale n'est pas égal à zéro (la matrice est non singulière), le système peut être résolu par la méthode de Cramer.

Selon la méthode de Cramer, la solution se trouve à l'aide des formules :

Ici delta est le déterminant de la matrice principale, et deltax nième – déterminant obtenu à partir du déterminant de la matrice principale en remplaçant la nième colonne par une colonne de termes libres.

C'est toute l'essence de la méthode Cramer. Remplacement des valeurs trouvées à l'aide des formules ci-dessus X dans le système souhaité, nous sommes convaincus de la justesse (ou vice versa) de notre solution. Pour vous aider à comprendre rapidement l’essentiel, nous donnons ci-dessous un exemple de solution détaillée de SLAE utilisant la méthode de Cramer :

Même si vous ne réussissez pas du premier coup, ne vous découragez pas ! Avec un peu de pratique, vous commencerez à casser des SLAU comme des noix. De plus, il n'est désormais absolument plus nécessaire de se pencher sur un cahier, de résoudre des calculs fastidieux et de remplir le noyau. Vous pouvez facilement résoudre les SLAE en utilisant la méthode de Cramer en ligne, simplement en remplaçant les coefficients dans le formulaire final. Vous pouvez essayer un calculateur de solution en ligne utilisant la méthode de Cramer, par exemple, sur ce site Web.

Et si le système s'avère têtu et n'abandonne pas, vous pouvez toujours vous tourner vers nos auteurs pour obtenir de l'aide, par exemple. S'il y a au moins 100 inconnues dans le système, nous le résoudrons certainement correctement et à temps !

Dans la première partie, nous avons examiné du matériel théorique, la méthode de substitution, ainsi que la méthode d'addition terme par terme des équations système. Je recommande à tous ceux qui ont accédé au site via cette page de lire la première partie. Peut-être que certains visiteurs trouveront le matériel trop simple, mais en train de résoudre des systèmes d'équations linéaires, j'ai fait un certain nombre de commentaires et de conclusions très importants concernant la solution de problèmes mathématiques en général.

Nous allons maintenant analyser la règle de Cramer, ainsi que résoudre un système d'équations linéaires à l'aide d'une matrice inverse (méthode matricielle). Tous les documents sont présentés simplement, en détail et clairement ; presque tous les lecteurs pourront apprendre à résoudre des systèmes en utilisant les méthodes ci-dessus.

De plus, il existe des systèmes d’équations linéaires à deux variables, qu’il est conseillé de résoudre en utilisant la règle de Cramer !

Considérons le système d'équations

Dans un premier temps, on calcule le déterminant, on l'appelle principal déterminant du système.

Méthode Gauss.

Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux déterminants supplémentaires :
Et

En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.

On trouve les racines de l'équation à l'aide des formules :
,

Exemple 7

Résoudre un système d'équations linéaires

Ce qu'il faut faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.

;

Répondre: ,

Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes d'économétrie.

Exemple 8

Présentez la réponse sous forme de fractions impropres ordinaires. Faites une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (un exemple de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Passons maintenant à la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues :

On retrouve le déterminant principal du système :

Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n’a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer ne vous aidera pas ; vous devez utiliser la méthode de Gauss.

Si , alors le système a une solution unique et pour trouver les racines, nous devons calculer trois déterminants supplémentaires :
, ,

Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules :

Exemple 9

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer.

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre: .

En fait, là encore, il n'y a rien de particulier à commenter, du fait que la solution suit des formules toutes faites. Mais il y a quelques commentaires.

Exemple 10

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Résoudre le système à l'aide d'une matrice inverse

La méthode matricielle inverse est essentiellement un cas particulier équation matricielle(Voir exemple n°3 de la leçon spécifiée).

Exemple 11

Résoudre le système en utilisant la méthode matricielle

Solution: Écrivons le système sous forme matricielle :
, Où

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Examinons d’abord le déterminant :

Ici, le déterminant est développé sur la première ligne.

Nous devons maintenant calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs.