Nous savons que lors d’un mouvement rectiligne, la direction du vecteur vitesse coïncide toujours avec la direction du mouvement. Que peut-on dire de la direction de la vitesse et du déplacement lors d’un mouvement courbe ? Pour répondre à cette question, nous utiliserons la même technique que celle utilisée dans le chapitre précédent lors de l’étude de la vitesse instantanée du mouvement rectiligne.

La figure 56 montre une certaine trajectoire courbe. Supposons qu'un corps se déplace le long d'un point A jusqu'au point B.

Dans ce cas, le chemin parcouru par le corps est un arc A B, et son déplacement est un vecteur. Bien entendu, on ne peut pas supposer que la vitesse du corps pendant le mouvement est dirigée le long du vecteur de déplacement. Traçons une série de cordes entre les points A et B (Fig. 57) et imaginons que le mouvement du corps se produit précisément le long de ces cordes. Sur chacun d'eux, le corps se déplace de manière rectiligne et le vecteur vitesse est dirigé le long de la corde.

Raccourcissons maintenant nos sections droites (accords) (Fig. 58). Comme précédemment, sur chacun d'eux le vecteur vitesse est dirigé le long de la corde. Mais il est clair que la ligne brisée de la figure 58 ressemble déjà davantage à une courbe lisse.

Il est donc clair qu'en continuant à réduire la longueur des sections droites, nous les tirerons pour ainsi dire en points et la ligne brisée se transformera en une courbe douce. La vitesse en chaque point de cette courbe sera dirigée tangentiellement à la courbe en ce point (Fig. 59).

La vitesse de déplacement d'un corps en tout point sur une trajectoire curviligne est dirigée tangentiellement à la trajectoire en ce point.

Le fait que la vitesse d'un point lors d'un mouvement curviligne soit réellement dirigée le long d'une tangente est convaincu, par exemple, par l'observation du fonctionnement du gochnla (Fig. 60). Si vous appuyez les extrémités d'une tige d'acier contre une meule en rotation, les particules chaudes sortant de la pierre seront visibles sous forme d'étincelles. Ces particules volent à la vitesse à laquelle

ils possédaient au moment de la séparation de la pierre. On voit bien que la direction des étincelles coïncide toujours avec la tangente au cercle au point où la tige touche la pierre. Les éclaboussures provenant des roues d'une voiture en dérapage se déplacent également tangentiellement au cercle (Fig. 61).

Ainsi, la vitesse instantanée d'un corps en différents points d'une trajectoire curviligne a des directions différentes, comme le montre la figure 62. L'amplitude de la vitesse peut être la même en tous points de la trajectoire (voir la figure 62) ou varier d'un point à l'autre. point, d’un instant à l’autre (Fig. 63).

Les notions de vitesse et d'accélération sont naturellement généralisées au cas d'un point matériel se déplaçant trajectoire curviligne. La position du point mobile sur la trajectoire est spécifiée par le rayon vecteur r attiré vers ce point à partir d'un point fixe À PROPOS, par exemple, l'origine des coordonnées (Fig. 1.2). Laisse à un moment donné t le point matériel est en position M avec vecteur de rayon r = r (t). Après un court laps de temps D t, il se déplacera vers la position M1 avec rayon - vecteur r 1 = r (t+ D t). Rayon - le vecteur du point matériel recevra un incrément déterminé par la différence géométrique D r = r 1 - r . Vitesse moyenne dans le temps D t s'appelle la quantité

Direction de la vitesse moyenne V Épouser allumettes avec la direction vectorielle D r .

Limitation de vitesse moyenne en D t® 0, c'est-à-dire dérivée du rayon - vecteur r par heure

(1.9)

appelé vrai ou instantané vitesse d'un point matériel. Vecteur V dirigé tangentiellementà la trajectoire d'un point en mouvement.

Accélération UN est appelé un vecteur égal à la dérivée première du vecteur vitesse V ou la dérivée seconde du rayon - vecteur r par heure:

(1.10)

(1.11)

Notons l'analogie formelle suivante entre vitesse et accélération. A partir d'un point fixe arbitraire O 1 nous tracerons le vecteur vitesse V point mobile à tout moment possible (Fig. 1.3).

Fin du vecteur V appelé point de vitesse. Le lieu géométrique des points de vitesse est une courbe appelée hodographe de vitesse. Lorsqu'un point matériel décrit une trajectoire, le point de vitesse correspondant se déplace le long de l'hodographe.

Riz. 1.2 diffère de la Fig. 1.3 par notation uniquement. Rayon – vecteur r remplacé par le vecteur vitesse V , le point matériel - au point de vitesse, la trajectoire - à l'hodographe. Opérations mathématiques sur un vecteur r lors de la recherche de la vitesse et au-dessus du vecteur V une fois trouvées, les accélérations sont complètement identiques.

Vitesse V dirigé selon une trajectoire tangentielle. C'est pourquoi accélérationun sera dirigé tangentiellement à l'hodographe rapide. On peut dire que l'accélération est la vitesse de déplacement du point de vitesse le long de l'hodographe. Ainsi,

Considérant le mouvement curviligne d'un corps, nous verrons que sa vitesse est différente à différents moments. Même dans le cas où l’amplitude de la vitesse ne change pas, il y a quand même un changement dans la direction de la vitesse. Dans le cas général, l’ampleur et la direction de la vitesse changent.

Ainsi, lors d’un mouvement curviligne, la vitesse change continuellement, de sorte que ce mouvement se produit avec une accélération. Pour déterminer cette accélération (en amplitude et en direction), il est nécessaire de trouver le changement de vitesse sous forme de vecteur, c'est-à-dire de trouver l'incrément de l'amplitude de la vitesse et le changement de sa direction.

Riz. 49. Changement de vitesse lors d'un mouvement courbe

Supposons, par exemple, qu'un point se déplaçant de manière curviligne (Fig. 49) ait à un moment donné une vitesse, et après une courte période de temps - une vitesse. L'incrément de vitesse est la différence entre les vecteurs et . Puisque ces vecteurs ont des directions différentes, vous devez prendre leur différence vectorielle. L'incrément de vitesse sera exprimé par le vecteur représenté par le côté du parallélogramme avec la diagonale et l'autre côté. L'accélération est le rapport entre l'augmentation de la vitesse et la durée pendant laquelle cette augmentation s'est produite. Cela signifie une accélération

La direction coïncide avec le vecteur.

En choisissant assez petit, on arrive à la notion d'accélération instantanée (cf. § 16) ; lorsqu'il est arbitraire, le vecteur représentera l'accélération moyenne sur une période de temps.

La direction de l'accélération lors d'un mouvement curviligne ne coïncide pas avec la direction de la vitesse, tandis que pour un mouvement rectiligne, ces directions coïncident (ou sont opposées). Pour trouver la direction de l'accélération lors d'un mouvement curviligne, il suffit de comparer les directions des vitesses en deux points proches de la trajectoire. Puisque les vitesses sont dirigées tangentiellement à la trajectoire, alors à partir de la forme de la trajectoire elle-même, on peut conclure dans quelle direction à partir de la trajectoire l'accélération est dirigée. En effet, comme la différence de vitesses en deux points proches de la trajectoire est toujours dirigée dans le sens où la trajectoire est courbée, cela signifie que l'accélération est toujours dirigée vers la concavité de la trajectoire. Par exemple, lorsqu'une balle roule le long d'une goulotte courbe (Fig. 50), son accélération par sections et est dirigée comme indiqué par les flèches, et cela ne dépend pas du fait que la balle roule de vers ou dans la direction opposée.

Riz. 50. Les accélérations lors d'un mouvement curviligne sont toujours dirigées vers la concavité de la trajectoire

Riz. 51. Pour dériver la formule de l'accélération centripète

Considérons le mouvement uniforme d'un point le long d'une trajectoire curviligne. Nous savons déjà qu’il s’agit d’un mouvement accéléré. Trouvons l'accélération. Pour ce faire, il suffit de considérer l’accélération pour le cas particulier du mouvement uniforme dans un cercle. Prenons deux positions rapprochées et un point mobile, séparés par une courte période de temps (Fig. 51, a). Les vitesses d'un point en mouvement dans et sont égales en amplitude, mais différentes en direction. Trouvons la différence entre ces vitesses à l'aide de la règle du triangle (Fig. 51, b). Les triangles et sont similaires, comme les triangles isocèles avec des angles au sommet égaux. La longueur du côté représentant l'augmentation de la vitesse sur une période de temps peut être fixée à , où est le module de l'accélération souhaitée. Le côté qui lui ressemble est la corde de l'arc ; En raison de la petitesse de l'arc, la longueur de sa corde peut être approximativement égale à la longueur de l'arc, c'est-à-dire . Plus loin, ; , où est le rayon de la trajectoire. De la similitude des triangles, il s'ensuit que les rapports des côtés similaires sont égaux :

d'où l'on retrouve le module de l'accélération recherchée :

La direction de l'accélération est perpendiculaire à la corde. Pour des intervalles de temps suffisamment courts, on peut supposer que la tangente à l'arc coïncide pratiquement avec sa corde. Cela signifie que l'accélération peut être considérée comme dirigée perpendiculairement (normalement) à la tangente à la trajectoire, c'est-à-dire le long du rayon jusqu'au centre du cercle. Par conséquent, une telle accélération est appelée accélération normale ou centripète.

Si la trajectoire n'est pas un cercle, mais une ligne courbe arbitraire, alors dans la formule (27.1), il faut prendre le rayon du cercle le plus proche de la courbe en un point donné. La direction de l'accélération normale dans ce cas sera également perpendiculaire à la tangente à la trajectoire en un point donné. Si, au cours d'un mouvement curviligne, l'accélération est constante en ampleur et en direction, elle peut être trouvée comme le rapport de l'incrément de vitesse à la période de temps pendant laquelle cet incrément s'est produit, quelle que soit cette période de temps. Cela signifie que dans ce cas, l'accélération peut être trouvée à l'aide de la formule

similaire à la formule (17.1) pour un mouvement rectiligne avec une accélération constante. Voici la vitesse du corps à l'instant initial, a est la vitesse à l'instant.

Nous savons que tout mouvement curviligne se produit sous l’influence d’une force dirigée selon un angle par rapport à la vitesse. Dans le cas d'un mouvement uniforme autour d'un cercle, cet angle sera droit. En fait, si, par exemple, vous faites tourner une balle attachée à une corde, alors la direction de la vitesse de la balle à tout moment est perpendiculaire à la corde.

La force de tension de la corde, qui maintient la balle sur le cercle, est dirigée le long de la corde vers le centre de rotation.

Selon la deuxième loi de Newton, cette force fera accélérer le corps dans la même direction. L'accélération dirigée radialement vers le centre de rotation est appelée accélération centripète .

Dérivons une formule pour déterminer l'ampleur de l'accélération centripète.

Tout d’abord, sachez que le mouvement circulaire est un mouvement complexe. Sous l'influence de la force centripète, le corps se déplace vers le centre de rotation et en même temps, par inertie, s'éloigne de ce centre tangentiellement au cercle.

Supposons que pendant le temps t un corps, se déplaçant uniformément avec une vitesse v, se soit déplacé de D à E. Supposons qu'au moment où le corps était au point D, la force centripète cesserait d'agir sur lui. Puis au temps t il se déplacerait vers le point K situé sur la tangente DL. Si au moment initial le corps était sous l'influence d'une seule force centripète (ne se déplaçant pas par inertie), alors au temps t, se déplaçant uniformément accéléré, il se déplacerait vers le point F situé sur la droite DC. De l'addition de ces deux mouvements au cours du temps t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc DE.

Force centripète

La force qui maintient un corps en rotation sur un cercle et est dirigée vers le centre de rotation est appelée force centripète .

Pour obtenir une formule permettant de calculer l'ampleur de la force centripète, vous devez utiliser la deuxième loi de Newton, qui s'applique à tout mouvement curviligne.

En substituant la valeur de l'accélération centripète a = v 2 / R dans la formule F = ma, nous obtenons la formule de la force centripète :

F = mv2 / R

L'ampleur de la force centripète est égale au produit de la masse du corps par le carré de la vitesse linéaire divisé par le rayon..

Si la vitesse angulaire du corps est donnée, alors il est plus pratique de calculer la force centripète en utilisant la formule : F = m ? 2R, où ? 2 R – accélération centripète.

De la première formule, il ressort clairement qu'à vitesse égale, plus le rayon du cercle est petit, plus la force centripète est grande. Ainsi, lors des virages sur route, un corps en mouvement (train, voiture, vélo) doit agir vers le centre de la courbe, plus la force est grande, plus le virage est serré, c'est-à-dire plus le rayon de la courbe est petit.

La force centripète dépend de la vitesse linéaire : à mesure que la vitesse augmente, elle augmente. Tous les patineurs, skieurs et cyclistes le savent bien : plus on avance vite, plus il est difficile d'effectuer un virage. Les conducteurs savent très bien à quel point il est dangereux de faire tourner brusquement une voiture à grande vitesse.

Vitesse linéaire

Mécanismes centrifuges

Mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizontale

Jetons un corps en biais par rapport à l'horizon. En observant son mouvement, nous remarquerons que le corps s'élève d'abord en se déplaçant le long d'une courbe, puis retombe également le long d'une courbe.

Si vous dirigez un jet d'eau selon différents angles par rapport à l'horizon, vous pouvez voir qu'au début, à mesure que l'angle augmente, le jet frappe de plus en plus loin. À un angle de 45° par rapport à l'horizon (si l'on ne tient pas compte de la résistance de l'air), la portée est la plus grande. À mesure que l’angle augmente, la portée diminue.

Pour construire la trajectoire d'un corps projeté selon un angle par rapport à l'horizon, on trace une droite horizontale OA et on lui trace une droite OS selon un angle donné.

Sur la ligne OS à l'échelle sélectionnée, nous disposons des segments numériquement égaux aux chemins parcourus dans la direction du lancer (0-1, 1-2, 2-3, 3-4). À partir des points 1, 2, 3, etc., nous abaissons les perpendiculaires à OA et y disposons des segments numériquement égaux aux chemins parcourus par un corps en chute libre pendant 1 seconde (1-I), 2 secondes (2-II ), 3 sec (3-III), etc. Nous connectons les points 0, I, II, III, IV, etc. avec une courbe lisse.

La trajectoire du corps est symétrique par rapport à la ligne verticale passant par le point IV.

La résistance de l'air réduit à la fois la portée de vol et l'altitude maximale de vol, et la trajectoire devient asymétrique. Ce sont par exemple les trajectoires des obus et des balles. Sur la figure, la courbe pleine montre schématiquement la trajectoire d'un projectile dans les airs, et la courbe en pointillés la montre dans un espace sans air. L’exemple suivant montre à quel point la résistance de l’air modifie la plage de vol. En l'absence de résistance aérienne, un obus de canon de 76 mm tiré à un angle de 20° par rapport à l'horizontale parcourrait 24 km. Dans les airs, ce projectile parcourt environ 7 km.

Troisième loi de Newton

Mouvement d'un corps projeté horizontalement

Indépendance des mouvements

Tout mouvement curviligne est un mouvement complexe constitué d'un mouvement par inertie et d'un mouvement sous l'influence d'une force dirigée selon un angle par rapport à la vitesse du corps. Cela peut être montré dans l’exemple suivant.

Supposons que la balle se déplace le long de la table de manière uniforme et en ligne droite. Lorsque la balle sort de la table, son poids n'est plus équilibré par la force de pression de la table et, par inertie, en maintenant un mouvement uniforme et linéaire, elle commence simultanément à tomber. Grâce à l'addition de mouvements - rectilignes uniformes par inertie et uniformément accélérés sous l'influence de la gravité - la balle se déplace le long d'une ligne courbe.

On peut montrer expérimentalement que ces mouvements sont indépendants les uns des autres.

La figure montre un ressort qui, se pliant sous le coup d'un marteau, peut mettre l'une des billes en mouvement dans une direction horizontale et en même temps libérer l'autre bille, de sorte que les deux commencent à bouger en même temps. : le premier selon une courbe, le second selon une verticale descendante. Les deux balles toucheront le sol en même temps ; par conséquent, le temps de chute des deux balles est le même. De là, nous pouvons conclure que le mouvement de la balle sous l'influence de la gravité ne dépend pas du fait que la balle était au repos au moment initial ou qu'elle se déplaçait dans la direction horizontale.

Cette expérience illustre un point très important en mécanique, appelé principe d'indépendance des mouvements.

Mouvement uniforme autour d'un cercle

L’un des types de mouvement curviligne les plus simples et les plus courants est le mouvement uniforme d’un corps en cercle. Par exemple, des parties de volants d’inertie, des points à la surface de la Terre se déplacent le long d’un cercle pendant la rotation quotidienne de la Terre, etc.

Introduisons les grandeurs qui caractérisent ce mouvement. Regardons le dessin. Supposons que lorsqu'un corps tourne, l'un de ses points se déplace de A à B pendant le temps t. Le rayon reliant le point A au centre du cercle tourne d'un angle ? (grec « phi »). La vitesse de rotation d'un point peut-elle être caractérisée par la grandeur du rapport angulaire ? au temps t, c'est-à-dire ? /t.

Vitesse angulaire

Le rapport de l'angle de rotation du rayon reliant le point mobile au centre de rotation à la période de temps pendant laquelle cette rotation se produit est appelé vitesse angulaire.

Désignant la vitesse angulaire avec une lettre grecque ? (« oméga »), vous pouvez écrire :

? = ? /t

La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation par unité de temps.

Avec un mouvement uniforme dans un cercle, la vitesse angulaire est une quantité constante.

Lors du calcul de la vitesse angulaire, l'angle de rotation est généralement mesuré en radians. Un radian est un angle au centre dont la longueur de l'arc est égale au rayon de cet arc.

Le mouvement des corps sous l'action d'une force dirigée selon un angle par rapport à la vitesse

En considérant le mouvement rectiligne, il est devenu connu que si une force agit sur un corps dans la direction du mouvement, alors le mouvement du corps restera rectiligne. Seule la vitesse changera. De plus, si la direction de la force coïncide avec la direction de la vitesse, le mouvement sera rectiligne et accéléré. Dans le cas d’une force de direction opposée, le mouvement sera droit et lent. Il s’agit par exemple du mouvement d’un corps projeté verticalement vers le bas et du mouvement d’un corps projeté verticalement vers le haut.

Considérons maintenant comment un corps se déplacera sous l'influence d'une force dirigée selon un angle par rapport à la direction de la vitesse.

Regardons d'abord l'expérience. Créons une trajectoire de mouvement d'une bille d'acier à proximité d'un aimant. Nous remarquons immédiatement que loin de l'aimant, la balle s'est déplacée en ligne droite, mais à l'approche de l'aimant, la trajectoire de la balle était pliée et la balle s'est déplacée le long d'une courbe. La direction de sa vitesse changeait constamment. La raison en était l’action de l’aimant sur la balle.

Nous pouvons faire bouger un corps en mouvement rectiligne le long d'une courbe si nous le poussons, si nous tirons un fil qui y est attaché, etc., à condition que la force soit dirigée selon un angle par rapport à la vitesse de mouvement du corps.

Ainsi, le mouvement curviligne d’un corps se produit sous l’action d’une force dirigée selon un angle par rapport à la direction de la vitesse du corps.

Selon la direction et l'ampleur de la force agissant sur le corps, les mouvements curvilignes peuvent être très divers. Les types de mouvements curvilignes les plus simples sont les mouvements en cercle, en parabole et en ellipse.

Exemples d'action de la force centripète

Dans certains cas, la force centripète est la résultante de deux forces agissant sur un corps se déplaçant en cercle.

Examinons quelques exemples de ce type.

1. Une voiture se déplace le long d'un pont concave avec une vitesse v, la masse de la voiture est t et le rayon de courbure du pont est R. Quelle est la force de pression exercée par la voiture sur le pont à son point le plus bas ?

Déterminons d'abord quelles forces agissent sur la voiture. Il existe deux forces de ce type : le poids de la voiture et la force de pression du pont sur la voiture. (Nous excluons de la considération la force de friction dans ce cas et dans tous les gagnants suivants).

Lorsque la voiture est à l’arrêt, ces forces, de même ampleur et dirigées dans des directions opposées, s’équilibrent.

Lorsqu’une voiture se déplace le long d’un pont, comme tout corps se déplaçant en cercle, elle est soumise à l’action d’une force centripète. Quelle est la source de ce pouvoir ? La source de cette force ne peut être que l’action du pont sur la voiture. La force Q avec laquelle le pont appuie sur une voiture en mouvement doit non seulement équilibrer le poids de la voiture P, mais aussi la forcer à se déplacer en cercle, créant la force centripète F nécessaire à cela. La force F ne peut être que la résultante de. les forces P et Q, puisqu'elles sont le résultat de l'interaction entre un véhicule en mouvement et un pont.

La cinématique étudie le mouvement sans identifier les causes qui provoquent ce mouvement. La cinématique est une branche de la mécanique. La tâche principale de la cinématique est la détermination mathématique de la position et des caractéristiques du mouvement de points ou de corps dans le temps.

Grandeurs cinématiques de base :

- Se déplacer() - un vecteur reliant les points de début et de fin.

r – rayon vecteur, détermine la position du MT dans l'espace.

- Vitesse– rapport chemin/temps .

- Chemin- l'ensemble des points par lesquels passe le corps.

- Accélération – le taux de changement de vitesse, c'est-à-dire la dérivée première de la vitesse.

2. Accélération lors d'un mouvement courbe : accélération normale et tangentielle. Rotation à plat. Vitesse angulaire, accélération.

Mouvement curviligne est un mouvement dont la trajectoire est une ligne courbe. Un exemple de mouvement curviligne est le mouvement des planètes, l’extrémité d’une aiguille d’horloge le long d’un cadran, etc.

Mouvement curviligne– c’est toujours un mouvement accéléré. Autrement dit, l'accélération lors d'un mouvement curviligne est toujours présente, même si le module de vitesse ne change pas, mais uniquement la direction de la vitesse.

Changement de vitesse par unité de temps – c'est l'accélération tangentielle:

Où 𝛖 τ , 𝛖 0 sont les valeurs de vitesse au temps t 0 + Δt et t 0, respectivement. Accélération tangentielle en un point donné de la trajectoire, la direction coïncide avec la direction de la vitesse de déplacement du corps ou lui est opposée.

Accélération normale est le changement de vitesse en direction par unité de temps :

Accélération normale dirigé selon le rayon de courbure de la trajectoire (vers l'axe de rotation). L'accélération normale est perpendiculaire à la direction de la vitesse.

Pleine accélération avec un mouvement curviligne du corps uniformément variable, il est égal à :

-vitesse angulaire montre l'angle selon lequel un point tourne pendant un mouvement uniforme dans un cercle par unité de temps. L'unité SI est le rad/s.

Rotation à plat est la rotation de tous les vecteurs vitesse des points du corps dans un plan.

3. Relation entre les vecteurs vitesse et vitesse angulaire d'un point matériel. Accélération normale, tangentielle et complète.

Accélération tangentielle (tangentielle)– c'est la composante du vecteur accélération dirigée le long de la tangente à la trajectoire en un point donné de la trajectoire du mouvement. L'accélération tangentielle caractérise le changement de vitesse modulo lors d'un mouvement curviligne.

Accélération normale (centripète) est la composante du vecteur accélération dirigée le long de la normale à la trajectoire du mouvement en un point donné de la trajectoire du corps. C'est-à-dire que le vecteur d'accélération normal est perpendiculaire à la vitesse linéaire du mouvement (voir Fig. 1.10). L'accélération normale caractérise le changement de vitesse en direction et est désignée par la lettre n. Le vecteur accélération normale est dirigé le long du rayon de courbure de la trajectoire.

Pleine accélération en mouvement curviligne, il se compose d'accélérations tangentielles et normales selon la règle de l'addition vectorielle et est déterminé par la formule.