Comment diviser un cercle en un nombre égal de parties. Diviser un cercle en parties égales à l'aide d'un compas et d'une règle

Construire un cercle de grand diamètre La construction d'un cercle de petit diamètre se fait à l'aide d'un compas, ce qui ne pose pas de difficultés. Dans le même temps, la possibilité de construire un cercle de grand diamètre est limitée par la taille de la boussole. Vous aidera à vous sortir du pétrin

Détermination du centre d'un cercle Une façon de déterminer le centre d'un cercle est illustrée à la Fig. 14, c : sélectionnez trois points quelconques sur le cercle (A, B et C), reliez-les avec deux ou trois segments et divisez ces segments en deux à l'aide d'une perpendiculaire. Point d'intersection

Le résultat est un savon trop mou et qui se désagrège lors de la coupe. Si le savon se désagrège lors de la coupe et est également très doux et gras, mais que vous avez tout fait correctement et selon la bonne recette, votre savon ne pourra probablement pas passer. la phase gel. Pour des solutions

À l’aide d’un compas et d’une règle, vous pouvez diviser un cercle en un nombre illimité de parties. Les mathématiciens ont prouvé qu'il est possible de diviser en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,..., 257,... parties, mais qu'il ne peut pas être divisé en 7, 9, 11, 13, 14,... pièces .

Malheureusement, il n’existe pas une seule façon de diviser. Listons les plus importants.

1) Diviser le cercle en 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) parties égales.

Commençons avec diviser un cercle en 6 parties. Pour ce faire, en utilisant la même solution de boussole que celle utilisée pour dessiner le cercle, vous devez tracer un cercle à partir de n'importe quel point du cercle, comme à partir du centre. Répétez ensuite la procédure en prenant comme centre le point d’intersection des cercles initial et nouveau.

Pour diviser un cercle en 3 parties, vous devez le diviser en 6 parties et prendre des points à travers une (Fig. 5a). Pour diviser un cercle en 12 parties, vous devez le diviser en 6 parties et diviser chaque arc en deux, puis le processus de division des arcs en deux peut être poursuivi indéfiniment.

La longueur de la perpendiculaire tracée du centre du cercle au côté de l'hexagone est une bonne approximation de la longueur du côté de l'heptagone inscrit dans le cercle (représenté par des hachures sur la figure 5a). La longueur de la perpendiculaire est ≈0,866R, la longueur du côté de l'heptagone est ≈0,868R - la précision est ≈2%.

2) Diviser le cercle en 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) parties égales.

Vous pouvez diviser un cercle en 2 parties à l'aide d'une règle en traçant une ligne droite passant par le centre du cercle. Mais vous pouvez tracer le rayon du cercle 3 fois à partir de n'importe quel point du cercle. Les points de départ et d'arrivée divisent le cercle en deux (le diamètre peut être tracé à travers eux - Fig. 5a). Pour diviser un cercle en 4 parties, vous devez diviser les arcs résultants en deux. Diviser systématiquement les arcs résultants en deux garantit la division du cercle en 8, 16, etc. les pièces.

3) Diviser le cercle en 5 parties.

La méthode de construction acceptée en dessin utilise la relation entre le côté d'un décagone régulier ( un 10) et le pentagone régulier ( un 5)- une 5 2 =R 2 +une 10 2 . La construction s'effectue comme suit. Traçons 2 lignes perpendiculaires passant par le centre du cercle O. A et B sont les points de leur intersection avec le cercle. A partir du point A, comme à partir du centre, on trace un cercle de même rayon (on retrouve le milieu du segment AO - point C). A partir du milieu du segment AO du point C on trace un autre cercle de rayon NE. Le segment BE est égal au côté du pentagone, OE est égal au côté du décagone (Fig. 5b).

Vous pouvez diviser le cercle en 5 et 10 parties de la manière indiquée sur la figure 5c. Le segment BC est un côté d'un pentagone, AC est un côté d'un décagone. Nous parlerons des propriétés remarquables du pentagone et du décagone et de la raison pour laquelle la méthode de construction illustrée à la figure 5c est correcte dans le chapitre suivant.

Médersa Kukeldash (XVIe siècle, Tachkent)

La figure 5d montre la méthode de solution géométrique approximative au problème de la division d'un cercle en un nombre quelconque de parties. Supposons, par exemple, que vous souhaitiez diviser un cercle donné en 7 parties égales. Construisons un triangle équilatéral ABC sur le diamètre du cercle AB et divisons le diamètre AB par le point D dans le rapport AD:AB=2:7 (dans le cas général 2:n). Pour ce faire, il faut tracer une ligne auxiliaire, y mettre n+2 segments identiques, relier le point extrême au point B et tracer une ligne parallèle à la ligne BF passant par le deuxième point. Traçons une ligne droite DC jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle. L'Arc AE sera la 7ème partie du cercle (dans le cas général la nième). Cette méthode pour n<11 дает погрешность не более 1%.

Des algorithmes permettant de diviser un cercle en parties égales peuvent être utilisés, par exemple, pour construire les points de référence des spirales - la spirale d'Archimède, du nom du grand scientifique grec Archimède (3e siècle avant JC), qui a étudié pour la première fois cette ligne, et la spirale logarithmique spirale.

Lors de rénovations, il faut souvent composer avec des cercles, surtout si l’on souhaite créer des éléments décoratifs intéressants et originaux. Il faut aussi souvent les diviser en parts égales. Il existe plusieurs méthodes pour ce faire. Par exemple, vous pouvez dessiner un polygone régulier ou utiliser des outils connus de tous depuis l'école. Ainsi, pour diviser un cercle en parties égales, vous aurez besoin du cercle lui-même avec un centre clairement défini, d'un crayon, d'un rapporteur, ainsi que d'une règle et d'un compas.

Diviser un cercle à l'aide d'un rapporteur

Diviser un cercle en parties égales à l'aide de l'outil mentionné ci-dessus est peut-être le plus simple. On sait qu’un cercle fait 360 degrés. En divisant cette valeur par le nombre de pièces requis, vous pouvez savoir combien coûtera chaque pièce (voir photo).

Ensuite, à partir de n'importe quel point, vous pouvez prendre des notes correspondant aux calculs effectués. Cette méthode est utile lorsque vous devez diviser un cercle par 5, 7, 9, etc. les pièces. Par exemple, si la forme doit être divisée en 9 parties, les repères seront à 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280 et 320 degrés.

Division en 3 et 6 parties

Pour diviser correctement un cercle en 6 parties, vous pouvez utiliser la propriété d'un hexagone régulier, c'est-à-dire sa diagonale la plus longue doit être deux fois plus longue que son côté. Pour commencer, la boussole doit être étirée sur une longueur égale au rayon de la figure. Ensuite, en laissant l'une des jambes de l'outil à n'importe quel point du cercle, la seconde doit faire une encoche, après quoi, en répétant les manipulations, vous pourrez faire six points, reliant lesquels vous pourrez obtenir un hexagone ( regarde la photo).

En reliant les sommets de la figure par un, vous pouvez obtenir un triangle régulier et, par conséquent, la figure peut être divisée en 3 parties égales, et en reliant tous les sommets et en traçant des diagonales à travers eux, vous pouvez diviser la figure en 6 parties.

Division en 4 et 8 parties

Si le cercle doit être divisé en 4 parties égales, vous devez tout d'abord dessiner le diamètre de la figure. Cela vous permettra d'obtenir deux des quatre points requis à la fois. Ensuite, il faut prendre une boussole, étirer ses pattes le long du diamètre, puis en laisser une à une extrémité du diamètre, et faire les autres encoches à l'extérieur du cercle par le bas et par le haut (voir photo).

Il faut faire de même pour l'autre extrémité du diamètre. Après cela, les points obtenus en dehors du cercle sont reliés à l'aide d'une règle et d'un crayon. La ligne résultante sera un deuxième diamètre, qui sera clairement perpendiculaire au premier, de sorte que la figure sera divisée en 4 parties. Afin d'obtenir, par exemple, 8 parties égales, les angles droits résultants peuvent être divisés en deux et des diagonales les traversent.

Lors de l'exécution de travaux graphiques, vous devez résoudre de nombreux problèmes de construction. Les tâches les plus courantes dans ce cas consistent à diviser des segments de ligne, des angles et des cercles en parties égales, en construisant diverses conjugaisons.

Diviser un cercle en parties égales à l'aide d'un compas

À l'aide du rayon, il est facile de diviser le cercle en 3, 5, 6, 7, 8, 12 sections égales.

Diviser un cercle en quatre parties égales.

Les lignes centrales en pointillés tracées perpendiculairement les unes aux autres divisent le cercle en quatre parties égales. En reliant systématiquement leurs extrémités, nous obtenons un quadrilatère régulier(Fig. 1) .

Fig. 1 Diviser un cercle en 4 parties égales.

Diviser un cercle en huit parties égales.

Pour diviser un cercle en huit parties égales, des arcs égaux à un quart du cercle sont divisés en deux. Pour ce faire, à partir de deux points délimitant un quart de l'arc, comme à partir des centres des rayons d'un cercle, des encoches sont réalisées au-delà de ses limites. Les points résultants sont reliés au centre des cercles et à leur intersection avec la ligne du cercle, on obtient des points qui divisent les quarts de section en deux, c'est-à-dire que huit sections égales du cercle sont obtenues (Fig. 2 ).

Fig.2. Diviser un cercle en 8 parties égales.

Diviser un cercle en seize parties égales.

A l'aide d'un compas, divisant un arc égal à 1/8 en deux parties égales, appliquez des encoches sur le cercle. En reliant tous les empattements avec des segments droits, on obtient un hexagone régulier.

Figure 3. Diviser un cercle en 16 parties égales.

Diviser un cercle en trois parties égales.

Pour diviser un cercle de rayon R en 3 parties égales, à partir du point d'intersection de la ligne médiane avec le cercle (par exemple, à partir du point A), un arc supplémentaire de rayon R est décrit à partir du centre. Les points 2 et 3 sont. obtenus. Les points 1, 2, 3 divisent le cercle en trois parties égales.

Riz. 4. Diviser un cercle en 3 parties égales.

Diviser un cercle en six parties égales. Le côté d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon du cercle (Fig. 5.).

Pour diviser un cercle en six parties égales, il faut des points 1 Et 4 intersection de la ligne médiane avec le cercle, faire deux encoches de rayon sur le cercle R., égal au rayon du cercle. En reliant les points résultants avec des segments de droite, nous obtenons un hexagone régulier.

Riz. 5. Diviser un cercle en 6 parties égales

Diviser un cercle en douze parties égales.

Pour diviser un cercle en douze parties égales, le cercle doit être divisé en quatre parties de diamètres mutuellement perpendiculaires. Prendre les points d'intersection des diamètres avec le cercle UN , DANS, AVEC, D au-delà des centres, quatre arcs de même rayon sont tracés jusqu'à ce qu'ils croisent le cercle. Points reçus 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 et des points UN , DANS, AVEC, D divisez le cercle en douze parties égales (Fig. 6).

Riz. 6. Diviser un cercle en 12 parties égales

Diviser un cercle en cinq parties égales

De ce point UN dessinez un arc avec le même rayon que le rayon du cercle jusqu'à ce qu'il croise le cercle - nous obtenons un point DANS. En laissant tomber la perpendiculaire à partir de ce point, on obtient le point AVEC.Du point AVEC- au milieu du rayon d'un cercle, à partir du centre, un arc de rayon CD on fait une entaille sur le diamètre, on obtient un point E. Segment de ligne DEégale à la longueur du côté du pentagone régulier inscrit. En faire un rayon DE empattements sur le cercle, nous obtenons les points de division du cercle en cinq parties égales.

Riz. 7. Diviser un cercle en 5 parties égales

Diviser un cercle en dix parties égales

En divisant le cercle en cinq parties égales, vous pouvez facilement diviser le cercle en 10 parties égales. En traçant des lignes droites à partir des points résultants passant par le centre du cercle jusqu'aux côtés opposés du cercle, nous obtenons 5 points supplémentaires.

Riz. 8. Diviser un cercle en 10 parties égales

Diviser un cercle en sept parties égales

Diviser un cercle de rayon R. en 7 parties égales, à partir du point d'intersection de la ligne médiane avec le cercle (par exemple, à partir du point UN) sont décrits comme un arc supplémentaire à partir du centre le même rayon R.- obtenir un point DANS. Abandonner une perpendiculaire à partir d'un point DANS- nous marquons un point AVEC.Segment de ligne Soleilégale à la longueur d'un côté d'un heptagone régulier inscrit.

Riz. 9. Diviser un cercle en 7 parties égales

Diviser un cercle en six parties égales et construire un hexagone régulier inscrit se fait à l'aide d'un carré avec des angles de 30, 60 et 90º et/ou d'un compas. Lors de la division d'un cercle en six parties égales avec une boussole, des arcs sont tracés à partir de deux extrémités du même diamètre avec un rayon égal au rayon du cercle donné jusqu'à ce qu'ils croisent le cercle aux points 2, 6 et 3, 5 (Fig. .2.24). En connectant séquentiellement les points résultants, un hexagone inscrit régulier est obtenu.

Graphique 2.24

Lors de la division d'un cercle avec une boussole, à partir des quatre extrémités de deux diamètres mutuellement perpendiculaires du cercle, un arc de rayon égal au rayon du cercle donné est tracé jusqu'à ce qu'il coupe le cercle (Fig. 2.25). En reliant les points résultants, un dodécagone est obtenu.

Graphique 2.25

2.2.5 Diviser un cercle en cinq et dix parties égales
et construction d'un pentagone et d'un décagone inscrits réguliers

La division d'un cercle en cinq et dix parties égales et la construction d'un pentagone et d'un décagone inscrits réguliers sont illustrées à la Fig. 2.26.

Graphique 2.26

La moitié de n'importe quel diamètre (rayon) est divisée en deux (Fig. 2.26 a), le point A est obtenu À partir du point A, à partir du centre, tracez un arc de rayon égal à la distance du point A au point 1 jusqu'au point A. intersection avec la seconde moitié de ce diamètre, au point B( Fig. 2.26 b ). Le segment 1 est égal à une corde sous-tendant un arc dont la longueur est égale à 1/5 de la circonférence. Faire des encoches sur le cercle (Fig. 2.26, en ) rayon Àégal au segment 1B, divisez le cercle en cinq parties égales. Le point de départ 1 est choisi en fonction de l'emplacement du pentagone. A partir du point 1, construisez les points 2 et 5 (Fig. 2.26, c), puis à partir du point 2, construisez le point 3 et à partir du point 5, construisez le point 4. La distance du point 3 au point 4 est vérifiée avec une boussole. Si la distance entre les points 3 et 4 est égale au segment 1B, alors la construction a été réalisée avec précision. Il est impossible de créer des empattements de manière séquentielle, dans une direction, car des erreurs se produisent et le dernier côté du pentagone s'avère de travers. En connectant séquentiellement les points trouvés, un pentagone est obtenu (Fig. 2.26, d).

La division d'un cercle en dix parties égales s'effectue de la même manière que la division d'un cercle en cinq parties égales (Fig. 2.26), mais divisez d'abord le cercle en cinq parties, en commençant la construction à partir du point 1, puis à partir du point 6, situé à l'opposé. extrémité du diamètre (Fig. 2.27, A). En connectant tous les points en série, ils obtiennent un décagone inscrit régulier (Fig. 2.27, b).

Graphique 2.27

2.2.6 Diviser un cercle en sept et quatorze parties égales
parties et construction d'un heptagone inscrit régulier et
quadragon

La division d'un cercle en sept et quatorze parties égales et la construction d'un heptagone inscrit régulier et d'un triangle à quatorze côtés sont illustrées à la Fig. 2.28 et 2.29.

Depuis n'importe quel point du cercle, par exemple le point A , tracer un arc de rayon d'un cercle donné (Fig. 2.28, un ) jusqu'à ce qu'il coupe le cercle aux points B et D . Relions les points Vi D par une ligne droite. La moitié du segment résultant (dans ce cas le segment BC) sera égale à la corde qui sous-tend un arc constituant 1/7 de la circonférence. Avec un rayon égal au segment BC, des encoches sont réalisées sur le cercle dans l'ordre indiqué sur la Fig. 2.28,b . En connectant tous les points en série, ils obtiennent un heptagone inscrit régulièrement (Fig. 2.28, c).

La division du cercle en quatorze parties égales se fait en divisant le cercle en sept parties égales deux fois à partir de deux points (Fig. 2.29, a).

Graphique 2.28

Tout d'abord, le cercle est divisé en sept parties égales à partir du point 1, puis la même construction est réalisée à partir du point 8. . Les points construits sont reliés séquentiellement par des lignes droites et un quadrilatère inscrit régulier est obtenu (Fig. 2.29, b).

Graphique 2.29

Construction d'une ellipse

L'image d'un cercle dans une projection isométrique rectangulaire dans les trois plans de projection est une ellipse de même forme.

La direction du petit axe de l'ellipse coïncide avec la direction de l'axe axonométrique, perpendiculaire au plan de projection dans lequel se trouve le cercle représenté.

Lors de la construction d'une ellipse représentant un cercle de petit diamètre, il suffit de construire huit points appartenant à l'ellipse (Fig. 2.30). Quatre d'entre eux sont les extrémités des axes de l'ellipse (A, B, C, D), et les quatre autres (N 1, N 2, N 3, N 4) sont situés sur des droites parallèles aux axes axonométriques, à un distance égale au rayon du cercle représenté à partir de l'ellipse centrale.