Comment dessiner un axe de symétrie. Dessin symétrique d'objets de forme correcte

laissez un commentaire 6,950

je . Symétrie en mathématiques :

Concepts et définitions de base.

Symétrie axiale (définitions, plan de construction, exemples)

Symétrie centrale (définitions, plan de construction, quandmesures)

Tableau récapitulatif (toutes les propriétés, fonctionnalités)

II . Applications de la symétrie :

1) en mathématiques

2) en chimie

3) en biologie, botanique et zoologie

4) en art, littérature et architecture

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Concepts de base de la symétrie et de ses types.

Le concept de symétrie R. retrace toute l’histoire de l’humanité. On la retrouve déjà aux origines de la connaissance humaine. Elle est née dans le cadre de l'étude d'un organisme vivant, à savoir l'homme. Et il a été utilisé par les sculpteurs dès le 5ème siècle avant JC. e. Le mot « symétrie » est grec et signifie « proportionnalité, proportionnalité, uniformité dans la disposition des parties ». Il est largement utilisé dans tous les domaines de la science moderne sans exception. De nombreuses personnes formidables ont réfléchi à ce modèle. Par exemple, L.N. Tolstoï a déclaré : « Debout devant un tableau noir et dessinant différentes figures dessus avec de la craie, j'ai été soudainement frappé par la pensée : pourquoi la symétrie est-elle claire à l'œil ? Qu'est-ce que la symétrie ? C'est un sentiment inné, me suis-je répondu. Sur quoi est-il basé ? La symétrie est vraiment agréable à l’œil. Qui n’a pas admiré la symétrie des créations de la nature : feuilles, fleurs, oiseaux, animaux ; ou les créations humaines : les bâtiments, la technologie, tout ce qui nous entoure depuis l'enfance, tout ce qui aspire à la beauté et à l'harmonie. Hermann Weyl a dit : « La symétrie est l’idée par laquelle l’homme à travers les âges a essayé de comprendre et de créer l’ordre, la beauté et la perfection. » Hermann Weyl est un mathématicien allemand. Son activité s'étend sur la première moitié du XXe siècle. C'est lui qui a formulé la définition de la symétrie, établie par quels signes discerner la présence ou, au contraire, l'absence de symétrie dans un cas donné. Ainsi, un concept mathématiquement rigoureux s'est formé relativement récemment - au début du XXe siècle. C'est assez compliqué. Tournons-nous et rappelons-nous encore une fois les définitions qui nous ont été données dans le manuel.

2. Symétrie axiale.

2.1 Définitions de base

Définition. Deux points A et A 1 sont dits symétriques par rapport à la droite a si cette droite passe par le milieu du segment AA 1 et lui est perpendiculaire. Chaque point d'une droite a est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Définition. On dit que la figure est symétrique par rapport à une droite. UN, si pour chaque point de la figure il existe un point qui lui est symétrique par rapport à la droite UN appartient également à ce chiffre. Droit UN appelé axe de symétrie de la figure. On dit également que la figure a une symétrie axiale.

2.2 Plan de construction

Et ainsi, pour construire une figure symétrique par rapport à une droite, à partir de chaque point on trace une perpendiculaire à cette droite et on la prolonge à la même distance, on marque le point résultant. Nous faisons cela avec chaque point et obtenons les sommets symétriques d'une nouvelle figure. Ensuite, nous les connectons en série et obtenons une figure symétrique d'un axe relatif donné.

2.3 Exemples de figures à symétrie axiale.

3. Symétrie centrale

3.1 Définitions de base

Définition. Deux points A et A 1 sont dits symétriques par rapport au point O si O est le milieu du segment AA 1. Le point O est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Définition. Une figure est dite symétrique par rapport au point O si, pour chaque point de la figure, un point symétrique par rapport au point O appartient également à cette figure.

3.2 Plan de construction

Construction d'un triangle symétrique à celui donné par rapport au centre O.

Construire un point symétrique à un point UN par rapport au point À PROPOS, il suffit de tracer une ligne droite OA(Fig. 46 ) et de l'autre côté du sujet À PROPOS mettre de côté un segment égal au segment OA. Autrement dit , les points A et ; Dans et ; C et symétrique par rapport à un certain point O. Sur la Fig. 46 On construit un triangle symétrique à un triangle abc par rapport au point À PROPOS DE. Ces triangles sont égaux.

Construction de points symétriques par rapport au centre.

Sur la figure, les points M et M 1, N et N 1 sont symétriques par rapport au point O, mais les points P et Q ne sont pas symétriques par rapport à ce point.

En général, les figures symétriques par rapport à un certain point sont égales .

3.3 Exemples

Donnons des exemples de figures qui ont une symétrie centrale. Les figures les plus simples à symétrie centrale sont le cercle et le parallélogramme.

Le point O est appelé centre de symétrie de la figure. Dans de tels cas, la figure présente une symétrie centrale. Le centre de symétrie d'un cercle est le centre du cercle et le centre de symétrie d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales.

Une droite a aussi une symétrie centrale, mais contrairement à un cercle et un parallélogramme, qui n'ont qu'un seul centre de symétrie (le point O sur la figure), une droite en a un nombre infini - tout point de la droite est son centre de symétrie.

Les images montrent un angle symétrique par rapport au sommet, un segment symétrique à un autre segment par rapport au centre UN et un quadrilatère symétrique par rapport à son sommet M.

Un exemple de figure qui n’a pas de centre de symétrie est un triangle.

4. Résumé de la leçon

Résumons les connaissances acquises. Aujourd’hui, en classe, nous avons découvert deux principaux types de symétrie : centrale et axiale. Regardons l'écran et systématisons les connaissances acquises.

Sommaire

	Symétrie axiale	Symétrie centrale
Particularité	Tous les points de la figure doivent être symétriques par rapport à une ligne droite.	Tous les points de la figure doivent être symétriques par rapport au point choisi comme centre de symétrie.
Propriétés	1. Les points symétriques se trouvent perpendiculairement à une ligne. 3. Les lignes droites se transforment en lignes droites, les angles en angles égaux. 4. Les tailles et formes des personnages sont préservées.	1. Les points symétriques se trouvent sur une ligne passant par le centre et un point donné de la figure. 2. La distance d'un point à une droite est égale à la distance d'une droite à un point symétrique. 3. Les tailles et formes des personnages sont préservées.

II. Application de la symétrie

Mathématiques

Dans les cours d'algèbre, nous avons étudié les graphiques des fonctions y=x et y=x

Les images montrent diverses images représentées à l'aide de branches de paraboles.

(a) octaèdre,

(b) dodécaèdre rhombique, (c) octaèdre hexagonal.

langue russe

Les lettres imprimées de l’alphabet russe présentent également différents types de symétries.

Il existe des mots « symétriques » dans la langue russe - palindromes, qui peut être lu également dans les deux sens.

A D L M P T F W- axe vertical

V E Z K S E Y - axe horizontal

F N O X- à la fois vertical et horizontal

B G I Y R U C CH SCHY- pas d'axe

Cabane radar Alla Anna

Littérature

Les phrases peuvent également être palindromiques. Bryusov a écrit un poème « La voix de la lune », dans lequel chaque vers est un palindrome.

Regardez les quadruples d'A.S. Pouchkine « Le Cavalier de bronze ». Si nous traçons une ligne après la deuxième ligne, nous pouvons remarquer des éléments de symétrie axiale

Et la rose tomba sur la patte d'Azor.

Je viens avec l'épée du juge. (Derjavine)

"Rechercher un taxi"

"L'Argentine fait signe au nègre"

"L'Argentin apprécie l'homme noir"

"Lesha a trouvé un bug sur l'étagère."

La Neva est habillée de granit ;

Des ponts surplombaient les eaux ;

Jardins vert foncé

Les îles le couvraient...

La biologie

Le corps humain est construit sur le principe de symétrie bilatérale. La plupart d’entre nous considèrent le cerveau comme une structure unique ; en réalité, il est divisé en deux moitiés. Ces deux parties - deux hémisphères - s'emboîtent étroitement. Conformément à la symétrie générale du corps humain, chaque hémisphère est l’image miroir presque exacte de l’autre.

Le contrôle des mouvements de base du corps humain et de ses fonctions sensorielles est réparti uniformément entre les deux hémisphères du cerveau. L'hémisphère gauche contrôle le côté droit du cerveau et l'hémisphère droit contrôle le côté gauche.

Botanique

Une fleur est considérée comme symétrique lorsque chaque périanthe est constitué d’un nombre égal de parties. Les fleurs ayant des parties appariées sont considérées comme des fleurs à double symétrie, etc. La triple symétrie est courante pour les plantes monocotylédones, quintuple - pour les plantes dicotylédones. Un trait caractéristique de la structure des plantes et de leur développement est la spirale.

Faites attention à la disposition des feuilles des pousses - c'est aussi un type particulier de spirale - une spirale. Même Goethe, qui était non seulement un grand poète, mais aussi un naturaliste, considérait la spirale comme l'un des traits caractéristiques de tous les organismes, une manifestation de l'essence la plus intime de la vie. Les vrilles des plantes se tordent en spirale, la croissance des tissus dans les troncs d'arbres se produit en spirale, les graines d'un tournesol sont disposées en spirale et des mouvements en spirale sont observés lors de la croissance des racines et des pousses.

Un trait caractéristique de la structure des plantes et de leur développement est la spirale.

Regardez la pomme de pin. Les écailles à sa surface sont disposées de manière strictement régulière - le long de deux spirales qui se coupent approximativement à angle droit. Le nombre de ces spirales dans les pommes de pin est de 8 et 13 ou 13 et 21.

Zoologie

La symétrie chez les animaux signifie la correspondance de taille, de forme et de contour, ainsi que la disposition relative des parties du corps situées de part et d'autre de la ligne de démarcation. Avec une symétrie radiale ou radiale, le corps a la forme d'un cylindre ou d'un récipient court ou long avec un axe central, à partir duquel des parties du corps s'étendent radialement. Ce sont les coelentérés, les échinodermes et les étoiles de mer. Avec la symétrie bilatérale, il existe trois axes de symétrie, mais une seule paire de côtés symétriques. Parce que les deux autres côtés – abdominal et dorsal – ne sont pas semblables. Ce type de symétrie est caractéristique de la plupart des animaux, notamment les insectes, les poissons, les amphibiens, les reptiles, les oiseaux et les mammifères.

Symétrie axiale

Différents types de symétrie des phénomènes physiques : symétrie des champs électriques et magnétiques (Fig. 1)

Dans des plans perpendiculaires entre eux, la propagation des ondes électromagnétiques est symétrique (Fig. 2)

Figure 1 Figure 2

Art

La symétrie miroir peut souvent être observée dans les œuvres d’art. La symétrie "miroir" est largement présente dans les œuvres d'art des civilisations primitives et dans les peintures anciennes. Les peintures religieuses médiévales se caractérisent également par ce type de symétrie.

L’une des meilleures œuvres de Raphaël, « Les Fiançailles de Marie », a été créée en 1504. Sous un ciel bleu ensoleillé s'étend une vallée surmontée d'un temple de pierre blanche. Au premier plan se trouve la cérémonie des fiançailles. Le Grand Prêtre rapproche les mains de Marie et de Joseph. Derrière Marie se trouve un groupe de filles, derrière Joseph se trouve un groupe de jeunes hommes. Les deux parties de la composition symétrique sont maintenues ensemble par le contre-mouvement des personnages. Pour les goûts modernes, la composition d’un tel tableau est ennuyeuse, car la symétrie est trop évidente.

Chimie

Une molécule d'eau possède un plan de symétrie (ligne verticale droite). Les molécules d'ADN (acide désoxyribonucléique) jouent un rôle extrêmement important dans le monde de la nature vivante. Il s'agit d'un polymère de haut poids moléculaire à double chaîne dont le monomère est constitué de nucléotides. Les molécules d'ADN ont une structure en double hélice construite sur le principe de complémentarité.

Architéculture

L’homme utilise depuis longtemps la symétrie en architecture. Les architectes anciens utilisaient particulièrement brillamment la symétrie dans les structures architecturales. De plus, les anciens architectes grecs étaient convaincus que dans leurs travaux, ils étaient guidés par les lois qui régissent la nature. En choisissant des formes symétriques, l'artiste exprime ainsi sa compréhension de l'harmonie naturelle comme stabilité et équilibre.

La ville d'Oslo, la capitale de la Norvège, possède un ensemble expressif de nature et d'art. Il s'agit du parc Frogner, un complexe de sculptures paysagères créé au cours de 40 ans.

Maison Pachkov Louvre (Paris)

La vie des gens est remplie de symétrie. C’est pratique, beau et il n’est pas nécessaire d’inventer de nouvelles normes. Mais qu’est-ce que c’est vraiment et est-ce aussi beau dans la nature qu’on le croit généralement ?

Symétrie

Depuis l’Antiquité, les hommes cherchent à organiser le monde qui les entoure. Par conséquent, certaines choses sont considérées comme belles et d’autres ne le sont pas vraiment. D'un point de vue esthétique, les proportions d'or et d'argent, ainsi que bien sûr la symétrie, sont considérées comme attrayantes. Ce terme est d’origine grecque et signifie littéralement « proportionnalité ». Bien sûr, nous ne parlons pas seulement de coïncidence sur cette base, mais aussi sur d'autres. D'une manière générale, la symétrie est une propriété d'un objet lorsque, du fait de certaines formations, le résultat est égal aux données originales. On le trouve aussi bien dans la nature vivante qu'inanimée, ainsi que dans les objets fabriqués par l'homme.

Tout d'abord, le terme « symétrie » est utilisé en géométrie, mais trouve des applications dans de nombreux domaines scientifiques, et sa signification reste généralement inchangée. Ce phénomène se produit assez souvent et est considéré comme intéressant, car plusieurs de ses types, ainsi que de ses éléments, diffèrent. L’utilisation de la symétrie est également intéressante, car on la retrouve non seulement dans la nature, mais aussi dans les motifs des tissus, les bordures des bâtiments et de nombreux autres objets fabriqués par l’homme. Il vaut la peine d’examiner ce phénomène plus en détail, car il est extrêmement fascinant.

Utilisation du terme dans d'autres domaines scientifiques

Dans ce qui suit, la symétrie sera considérée du point de vue de la géométrie, mais il convient de mentionner que ce mot n'est pas utilisé seulement ici. Biologie, virologie, chimie, physique, cristallographie, tout cela constitue une liste incomplète des domaines dans lesquels ce phénomène est étudié sous différents angles et dans différentes conditions. Par exemple, la classification dépend de la science à laquelle ce terme fait référence. Ainsi, la division en types varie considérablement, même si certains types fondamentaux restent peut-être inchangés.

Classification

Il existe plusieurs principaux types de symétrie, parmi lesquels trois sont les plus courants :

De plus, on distingue également en géométrie les types suivants ; ils sont beaucoup moins courants, mais non moins intéressants :

glissement;
rotation;
indiquer;
progressive;
vis;
fractale;
etc.

En biologie, toutes les espèces sont appelées légèrement différemment, même si elles peuvent être essentiellement identiques. La division en certains groupes se fait sur la base de la présence ou de l'absence, ainsi que de la quantité de certains éléments, tels que les centres, les plans et les axes de symétrie. Ils doivent être considérés séparément et plus en détail.

Éléments basiques

Le phénomène présente certaines caractéristiques, dont l'une est nécessairement présente. Les éléments dits de base comprennent les plans, les centres et les axes de symétrie. C'est en fonction de leur présence, de leur absence et de leur quantité que le type est déterminé.

Le centre de symétrie est le point à l'intérieur d'une figure ou d'un cristal où convergent les lignes reliant par paires tous les côtés parallèles les uns aux autres. Bien entendu, cela n’existe pas toujours. S'il y a des côtés pour lesquels il n'y a pas de paire parallèle, alors un tel point ne peut pas être trouvé, puisqu'il n'existe pas. D’après la définition, il est évident que le centre de symétrie est celui par lequel une figure peut se réfléchir sur elle-même. Un exemple serait, par exemple, un cercle et un point en son milieu. Cet élément est généralement désigné par C.

Le plan de symétrie, bien sûr, est imaginaire, mais c'est précisément lui qui divise la figure en deux parties égales l'une à l'autre. Il peut traverser un ou plusieurs côtés, lui être parallèle ou les diviser. Pour une même figure, plusieurs plans peuvent exister à la fois. Ces éléments sont généralement désignés par P.

Mais le plus courant est peut-être ce qu’on appelle « l’axe de symétrie ». Il s’agit d’un phénomène courant que l’on peut observer aussi bien en géométrie que dans la nature. Et cela mérite une considération séparée.

Essieux

Souvent, l'élément par rapport auquel une figure peut être qualifiée de symétrique est

une ligne droite ou un segment apparaît. En tout cas, nous ne parlons pas d’un point ou d’un plan. Ensuite, les chiffres sont considérés. Il peut y en avoir beaucoup, et ils peuvent être localisés de n'importe quelle manière : en divisant les côtés ou en étant parallèles à eux, ainsi qu'en se coupant ou non des coins. Les axes de symétrie sont généralement désignés par L.

Les exemples incluent les isocèles et Dans le premier cas, il y aura un axe de symétrie vertical, des deux côtés duquel se trouvent des faces égales, et dans le second, les lignes couperont chaque angle et coïncideront avec toutes les bissectrices, médianes et altitudes. Les triangles ordinaires n'ont pas cela.

À propos, la totalité de tous les éléments ci-dessus en cristallographie et en stéréométrie est appelée degré de symétrie. Cet indicateur dépend du nombre d'axes, de plans et de centres.

Exemples en géométrie

Classiquement, nous pouvons diviser l'ensemble des objets d'étude des mathématiciens en figures qui ont un axe de symétrie et celles qui n'en ont pas. Tous les cercles, ovales, ainsi que certains cas particuliers entrent automatiquement dans la première catégorie, tandis que le reste entre dans le deuxième groupe.

Comme dans le cas où l'on parlait de l'axe de symétrie d'un triangle, cet élément n'existe pas toujours pour un quadrilatère. Pour un carré, un rectangle, un losange ou un parallélogramme, c'est le cas, mais pour une figure irrégulière, ce n'est donc pas le cas. Pour un cercle, l’axe de symétrie est l’ensemble des droites qui passent par son centre.

De plus, il est intéressant d’envisager les figures tridimensionnelles de ce point de vue. En plus de tous les polygones réguliers et de la boule, certains cônes, ainsi que les pyramides, parallélogrammes et quelques autres, auront au moins un axe de symétrie. Chaque cas doit être considéré séparément.

Exemples dans la nature

Dans la vie, cela s'appelle bilatéral, cela se produit le plus souvent
souvent. N'importe quelle personne et de nombreux animaux en sont un exemple. L'axial est appelé radial et se trouve, en règle générale, beaucoup moins fréquemment dans le monde végétal. Et pourtant ils existent. Par exemple, cela vaut la peine de réfléchir au nombre d’axes de symétrie qu’une étoile possède, et en a-t-elle du tout ? Bien sûr, nous parlons de la vie marine, et non du sujet d'étude des astronomes. Et la bonne réponse serait : cela dépend du nombre de rayons de l'étoile, par exemple cinq, si elle est à cinq branches.

De plus, la symétrie radiale est observée dans de nombreuses fleurs : marguerites, bleuets, tournesols, etc. Il existe un grand nombre d'exemples, ils sont littéralement partout.

Arythmie

Ce terme rappelle avant tout la médecine et la cardiologie, mais il a au départ un sens légèrement différent. Dans ce cas, le synonyme sera « asymétrie », c'est-à-dire l'absence ou la violation de la régularité sous une forme ou une autre. Cela peut être considéré comme un accident, et parfois cela peut devenir une technique merveilleuse, par exemple dans l'habillement ou l'architecture. Après tout, il existe de nombreux bâtiments symétriques, mais le célèbre est légèrement incliné, et bien qu'il ne soit pas le seul, c'est l'exemple le plus célèbre. On sait que cela s'est produit par accident, mais cela a son propre charme.

De plus, il est évident que les visages et les corps des personnes et des animaux ne sont pas non plus complètement symétriques. Certaines études montrent même que les visages « corrects » sont jugés sans vie ou tout simplement peu attrayants. Pourtant, la perception de la symétrie et ce phénomène en soi sont étonnants et n'ont pas encore été entièrement étudiés, et sont donc extrêmement intéressants.

TRIANGLES.

§ 17. SYMÉTRIE PAR RAPPORT À LA DROITE DROITE.

1. Des figures symétriques les unes par rapport aux autres.

Dessinons une figure sur une feuille de papier avec de l'encre et avec un crayon à l'extérieur - une ligne droite arbitraire. Ensuite, sans laisser sécher l'encre, on plie la feuille de papier le long de cette ligne droite de manière à ce qu'une partie de la feuille chevauche l'autre. Cette autre partie de la feuille produira ainsi une empreinte de cette figure.

Si vous redressez ensuite à nouveau la feuille de papier, elle comportera deux figures appelées symétrique par rapport à une ligne donnée (Fig. 128).

Deux figures sont dites symétriques par rapport à une certaine ligne droite si, lors de la flexion du plan de dessin le long de cette ligne droite, elles sont alignées.

La droite par rapport à laquelle ces figures sont symétriques est appelée leur axe de symétrie.

De la définition des figures symétriques, il résulte que toutes les figures symétriques sont égales.

Vous pouvez obtenir des figures symétriques sans utiliser de flexion du plan, mais à l'aide d'une construction géométrique. Supposons qu'il soit nécessaire de construire un point C" symétrique à un point C donné par rapport à la droite AB. Déposons une perpendiculaire du point C
CD à la droite AB et comme continuation nous tracerons le segment DC" = DC. Si nous plions le plan de dessin le long de AB, alors le point C s'alignera avec le point C": les points C et C" sont symétriques (Fig. 129 ).

Supposons maintenant que nous devions construire un segment C "D", symétrique à un segment CD donné par rapport à la droite AB. Construisons les points C" et D", symétriques aux points C et D. Si nous plions le plan de dessin le long de AB, alors les points C et D coïncideront respectivement avec les points C" et D" (Dessin 130). CD et C "D" coïncideront, ils seront symétriques.

Construisons maintenant une figure symétrique du polygone donné ABCDE par rapport à l'axe de symétrie donné MN (Fig. 131).

Pour résoudre ce problème, supprimons les perpendiculaires A UN, DANS b, AVEC Avec, D d et E eà l'axe de symétrie MN. Puis, sur les extensions de ces perpendiculaires, on trace les segments
UN UNE" = UNE UN, b B" = B b, Avec C" = Cs ; d D"" =D d Et e E" = E e.

Le polygone A"B"C"D"E" sera symétrique au polygone ABCDE. En effet, si vous pliez le dessin le long d'une droite MN, alors les sommets correspondants des deux polygones s'aligneront, et donc les polygones eux-mêmes s'aligneront ; cela prouve que les polygones ABCDE et A" B"C"D"E" sont symétriques par rapport à la droite MN.

2. Chiffres constitués de parties symétriques.

Il existe souvent des figures géométriques divisées par une ligne droite en deux parties symétriques. De tels chiffres sont appelés symétrique.

Ainsi, par exemple, un angle est une figure symétrique et la bissectrice de l'angle est son axe de symétrie, car lorsqu'elle est pliée le long de celle-ci, une partie de l'angle se combine avec l'autre (Fig. 132).

Dans un cercle, l'axe de symétrie est son diamètre, car lorsqu'on le longe, un demi-cercle se combine avec un autre (Fig. 133). Les figures des dessins 134, a, b sont exactement symétriques.

Les figures symétriques se retrouvent souvent dans la nature, la construction et les bijoux. Les images placées sur les dessins 135 et 136 sont symétriques.

Il convient de noter que les figures symétriques ne peuvent être combinées simplement en se déplaçant le long d'un plan que dans certains cas. En règle générale, pour combiner des figures symétriques, il est nécessaire de tourner l'une d'elles du côté opposé,

Retour avant

Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.

Type de cours : combiné.

Objectifs de la leçon:

Considérez les symétries axiales, centrales et miroir comme propriétés de certaines figures géométriques.
Apprenez à construire des points symétriques et à reconnaître des figures à symétrie axiale et à symétrie centrale.
Améliorer les compétences en résolution de problèmes.

Objectifs de la leçon:

Formation de représentations spatiales des étudiants.
Développer la capacité d’observer et de raisonner ; développer l’intérêt pour le sujet grâce à l’utilisation des technologies de l’information.
Élever une personne qui sait apprécier la beauté.

Matériel de cours :

Utilisation des technologies de l'information (présentation).
Dessins.
Cartes de devoirs.

Pendant les cours

I. Moment organisationnel.

Informez le sujet de la leçon, formulez les objectifs de la leçon.

II. Introduction.

Qu'est-ce que la symétrie ?

L'éminent mathématicien Hermann Weyl a hautement apprécié le rôle de la symétrie dans la science moderne : « La symétrie, peu importe la façon dont nous comprenons ce mot au sens large ou étroit, est une idée à l'aide de laquelle l'homme a essayé d'expliquer et de créer l'ordre, la beauté et la perfection.

Nous vivons dans un monde très beau et harmonieux. Nous sommes entourés d’objets qui plaisent à l’œil. Par exemple, un papillon, une feuille d'érable, un flocon de neige. Regardez comme ils sont beaux. Y avez-vous prêté attention ? Aujourd'hui, nous aborderons ce merveilleux phénomène mathématique : la symétrie. Faisons connaissance avec le concept d'axial, symétries centrales et miroir. Nous apprendrons à construire et à identifier des figures symétriques par rapport à l'axe, au centre et au plan.

Le mot « symétrie » traduit du grec sonne comme « harmonie », signifiant beauté, proportionnalité, proportionnalité, uniformité dans la disposition des pièces. L’homme utilise depuis longtemps la symétrie en architecture. Il donne harmonie et intégralité aux temples anciens, aux tours des châteaux médiévaux et aux bâtiments modernes.

Dans sa forme la plus générale, la « symétrie » en mathématiques est comprise comme une transformation de l'espace (plan), dans laquelle chaque point M va vers un autre point M" par rapport à un plan (ou une ligne) a, lorsque le segment MM" est perpendiculaire au plan (ou ligne) a et le divise en deux. Le plan (droite) a est appelé plan (ou axe) de symétrie. Les concepts fondamentaux de la symétrie comprennent le plan de symétrie, l'axe de symétrie et le centre de symétrie. Un plan de symétrie P est un plan qui divise une figure en deux parties égales semblables à un miroir, situées l'une par rapport à l'autre de la même manière qu'un objet et son image miroir.

III. Partie principale. Types de symétrie.

Symétrie centrale

La symétrie autour d'un point ou symétrie centrale est une propriété d'une figure géométrique lorsqu'un point situé d'un côté du centre de symétrie correspond à un autre point situé de l'autre côté du centre. Dans ce cas, les points sont situés sur un segment de droite passant par le centre, divisant le segment en deux.

Tâche pratique.

Points attribués UN, DANS Et M M par rapport au milieu du segment UN B.
Laquelle des lettres suivantes a un centre de symétrie : A, O, M, X, K ?
Ont-ils un centre de symétrie : a) un segment ; b) poutre ; c) une paire de lignes qui se croisent ; d) carré ?

Symétrie axiale

La symétrie autour d'une ligne (ou symétrie axiale) est une propriété d'une figure géométrique lorsque tout point situé d'un côté de la ligne correspondra toujours à un point situé de l'autre côté de la ligne, et les segments reliant ces points seront perpendiculaires à l'axe de symétrie et divisé par celui-ci en deux.

Tâche pratique.

Compte tenu de deux points UN Et DANS, symétrique par rapport à une ligne, et un point M. Construire un point symétrique au point M par rapport à la même ligne.
Laquelle des lettres suivantes a un axe de symétrie : A, B, D, E, O ?
Combien d’axes de symétrie : a) un segment possède-t-il ? b) droit ; c) poutre ?
Combien d’axes de symétrie le dessin possède-t-il ? (voir fig. 1)

Symétrie miroir

Points UN Et DANS sont dits symétriques par rapport au plan α (plan de symétrie) si le plan α passe par le milieu du segment UN B et perpendiculaire à ce segment. Chaque point du plan α est considéré symétrique par rapport à lui-même.

Tâche pratique.

Trouver les coordonnées des points auxquels vont les points A (0 ; 1 ; 2), B (3 ; -1 ; 4), C (1 ; 0 ; -2) avec : a) symétrie centrale par rapport à l'origine ; b) symétrie axiale par rapport aux axes de coordonnées ; c) symétrie miroir par rapport aux plans de coordonnées.
Le gant droit va-t-il dans le gant droit ou gauche avec une symétrie miroir ? symétrie axiale ? symétrie centrale ?
La figure montre comment le chiffre 4 se reflète dans deux miroirs. Qu'est-ce qui sera visible à la place du point d'interrogation si l'on fait de même avec le chiffre 5 ? (voir fig. 2)
L'image montre comment le mot KANGOUROU se reflète dans deux miroirs. Que se passe-t-il si vous faites la même chose avec le nombre 2011 ? (voir fig. 3)

Riz. 2

C'est intéressant.

Symétrie dans la nature vivante.

Presque tous les êtres vivants sont construits selon les lois de la symétrie ; ce n'est pas pour rien que le mot « symétrie » signifie « proportionnalité » lorsqu'il est traduit du grec.

Parmi les fleurs, par exemple, il existe une symétrie de rotation. De nombreuses fleurs peuvent être tournées pour que chaque pétale prenne la position de son voisin, la fleur s'aligne sur elle-même. L'angle minimum d'une telle rotation n'est pas le même pour différentes couleurs. Pour l’iris c’est 120°, pour la campanule – 72°, pour le narcisse – 60°.

Il existe une symétrie hélicoïdale dans la disposition des feuilles sur les tiges des plantes. Positionnées comme une vis le long de la tige, les feuilles semblent s'étaler dans des directions différentes et ne s'obscurcissent pas à la lumière, bien que les feuilles elles-mêmes aient également un axe de symétrie. Considérant le plan général de la structure de tout animal, on remarque généralement une certaine régularité dans la disposition des parties du corps ou des organes, qui se répètent autour d'un certain axe ou occupent la même position par rapport à un certain plan. Cette régularité est appelée symétrie du corps. Les phénomènes de symétrie sont si répandus dans le monde animal qu'il est très difficile d'indiquer un groupe dans lequel aucune symétrie du corps ne peut être remarquée. Les petits insectes et les grands animaux ont une symétrie.

Symétrie dans la nature inanimée.

Parmi l'infinie variété des formes de la nature inanimée, on trouve en abondance de telles images parfaites, dont l'apparence attire invariablement notre attention. En observant la beauté de la nature, vous remarquerez que lorsque les objets se reflètent dans les flaques d'eau et les lacs, une symétrie miroir apparaît (voir Fig. 4).

Les cristaux apportent le charme de la symétrie au monde de la nature inanimée. Chaque flocon de neige est un petit cristal d'eau gelée. La forme des flocons de neige peut être très diverse, mais ils ont tous une symétrie de rotation et, en plus, une symétrie miroir.

On ne peut s’empêcher de voir la symétrie dans les pierres précieuses à facettes. De nombreux tailleurs tentent de donner aux diamants la forme d'un tétraèdre, d'un cube, d'un octaèdre ou d'un icosaèdre. Le grenat contenant les mêmes éléments que le cube, il est très prisé des connaisseurs de pierres précieuses. Des objets artistiques fabriqués à partir de grenats ont été découverts dans les tombes de l’Égypte ancienne datant de la période prédynastique (plus de deux millénaires avant JC) (voir fig. 5).

Dans les collections de l'Ermitage, les bijoux en or des anciens Scythes font l'objet d'une attention particulière. Le travail artistique des couronnes d'or, des diadèmes, du bois et décoré de précieux grenats rouge-violet est d'une rare finesse.

L’une des utilisations les plus évidentes des lois de symétrie dans la vie concerne les structures architecturales. C'est ce que l'on voit le plus souvent. En architecture, les axes de symétrie sont utilisés comme moyen d'exprimer la conception architecturale (voir Fig. 6). Dans la plupart des cas, les motifs sur les tapis, les tissus et les papiers peints d'intérieur sont symétriques par rapport à l'axe ou au centre.

Un autre exemple de personne utilisant la symétrie dans sa pratique est la technologie. En ingénierie, les axes de symétrie sont plus clairement désignés là où il est nécessaire d'estimer l'écart par rapport à la position zéro, par exemple sur le volant d'un camion ou sur le volant d'un navire. Ou bien l’une des inventions les plus importantes de l’humanité qui possède un centre de symétrie est la roue ; l’hélice et d’autres moyens techniques ont également un centre de symétrie.

"Regarde dans le mirroir!"

Devons-nous penser que nous ne nous voyons que dans une « image miroir » ? Ou, au mieux, pouvons-nous découvrir uniquement par des photographies et des films à quoi nous ressemblons « réellement » ? Bien sûr que non : il suffit de refléter une seconde fois l’image miroir dans le miroir pour voir votre vrai visage. Les treillis viennent à la rescousse. Ils ont un grand miroir principal au centre et deux petits miroirs sur les côtés. Si vous placez un tel miroir latéral perpendiculairement à celui du milieu, vous pourrez alors vous voir exactement sous la forme sous laquelle les autres vous voient. Fermez votre œil gauche et votre reflet dans le deuxième miroir répétera votre mouvement avec votre œil gauche. Devant le treillis, vous pouvez choisir si vous souhaitez vous voir dans une image miroir ou dans une image directe.

Il est facile d’imaginer quel genre de confusion régnerait sur Terre si la symétrie de la nature était brisée !


Riz. 4	Riz. 5	Riz. 6

IV. Minute d'éducation physique.

« Huit paresseux» – activer les structures qui assurent la mémorisation, augmenter la stabilité de l'attention.
Dessinez trois fois le chiffre huit dans les airs dans un plan horizontal, d'abord avec une main, puis avec les deux mains à la fois.
« Dessins symétriques » – améliore la coordination œil-main et facilite le processus d’écriture.
Dessinez des motifs symétriques dans les airs avec les deux mains.

V. Travaux de tests indépendants.

Ι option

ΙΙ option

Dans le rectangle MPKH O est le point d'intersection des diagonales, RA et BH sont des perpendiculaires tirées des sommets P et H à la droite MK. On sait que MA = OB. Trouvez l'angle POM.
Dans le losange MPKH les diagonales se coupent au point À PROPOS DE. Sur les côtés MK, KH, PH les points A, B, C sont pris respectivement, AK = KV = RS. Montrer que OA = OB et trouver la somme des angles POC et MOA.
Construisez un carré le long de la diagonale donnée de sorte que les deux sommets opposés de ce carré se trouvent sur des côtés opposés de l'angle aigu donné.

VI. Résumer la leçon. Évaluation.

Quels types de symétrie avez-vous appris en classe ?
Quels sont les deux points dits symétriques par rapport à une droite donnée ?
Quelle figure est dite symétrique par rapport à une droite donnée ?
Quels sont les deux points dits symétriques par rapport à un point donné ?
Quelle figure est dite symétrique par rapport à un point donné ?
Qu'est-ce que la symétrie miroir ?
Donnez des exemples de figures qui ont : a) une symétrie axiale ; b) symétrie centrale ; c) symétrie à la fois axiale et centrale.
Donnez des exemples de symétrie dans la nature vivante et inanimée.

VII. Devoirs.

1. Individuel : compléter la structure en utilisant la symétrie axiale (voir Fig. 7).

Riz. 7

2. Construire une figure symétrique à celle donnée par rapport à : a) un point ; b) droit (voir Fig. 8, 9).


Riz. 8	Riz. 9

3. Tâche créative : « Dans le monde animal ». Dessinez un représentant du monde animal et montrez l’axe de symétrie.

VIII. Réflexion.

Qu’avez-vous aimé dans la leçon ?
Quel matériau était le plus intéressant ?
Quelles difficultés avez-vous rencontrées pour réaliser telle ou telle tâche ?
Que changeriez-vous pendant le cours ?

Symétrie centrale
Symétrie axiale
Conclusion

Définition

La symétrie (du grec Symmetria - proportionnalité), au sens large, est l'immuabilité de la structure d'un objet matériel par rapport à ses transformations. La symétrie joue un rôle énorme dans l'art et l'architecture. Mais cela se voit aussi bien dans la musique que dans la poésie. La symétrie est largement présente dans la nature, notamment dans les cristaux, les plantes et les animaux. La symétrie peut également être trouvée dans d'autres domaines des mathématiques, par exemple lors de la construction de graphiques de fonctions.

Symétrie centrale

Deux points UN Et UN 1 sont dits symétriques par rapport au point À PROPOS, Si À PROPOS - point médian AA 1. point À PROPOS est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Construire un point de symétrie centrale par rapport à un point donné

Construire un faisceau AO
Mesurer la longueur du segment AO
Le point A1 est symétrique du point A par rapport au centre O.

UN 1

Construction d'un segment à symétrie centrale par rapport à un segment donné

Construire un faisceau AO
Mesurer la longueur du segment AO
Placer un segment OA 1 sur le rayon AO de l'autre côté du point O, égal au segment OA.
Construire un faisceau VO
Mesurer la longueur du segment BO
Placez un segment OB 1 sur le rayon BO de l'autre côté du point O, égal au segment OB.
Reliez les points A 1 et B 1 avec un segment

UN 1

DANS 1

UN 1

AVEC 1

DANS 1

Les figures à symétrie centrale sont égales

Construction d'une figure à symétrie centrale par rapport à une figure donnée

Rotation du point A autour du centre de rotation O de 90 °

UN 1

90 °

Rotation des points sous différents angles

UN 1

135 °

45 °

UN 2

90 °

UN 3

Symétrie axiale

Transformation de forme F en forme F 1, dans laquelle chacun de ses points va vers un point symétrique par rapport à une droite donnée, est appelée transformation de symétrie par rapport à une droite UN. Droit UN appelé axe de symétrie.

Construire un point symétrique à un point donné

2. AO = OA '

Construction d'un segment symétrique à un segment donné