Solution graphique d'inégalités, systèmes d'ensembles d'inégalités à deux variables. Solution graphique d'équations, inégalités

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Laisser f(x,y) Et g(x,y)- deux expressions avec des variables X Et à et portée X. Alors les inégalités de la forme f(x,y) > g(x,y) ou f(x,y) < g(x,y) appelé inégalité à deux variables .

Signification des variables x, y de beaucoup X, auquel l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique, on l'appelle décision et est désigné (x, y). Résoudre les inégalités - cela signifie trouver beaucoup de ces paires.

Si chaque paire de nombres (x, y)à partir de l'ensemble des solutions à l'inégalité, faites correspondre le point M(x,y), on obtient l'ensemble des points sur le plan défini par cette inégalité. Il est appelé graphique de cette inégalité . Le graphique d’une inégalité est généralement une aire sur un plan.

Décrire l’ensemble des solutions à l’inégalité f(x,y) > g(x,y), procédez comme suit. Tout d’abord, remplacez le signe d’inégalité par un signe égal et trouvez une droite qui a l’équation f(x,y) = g(x,y). Cette ligne divise l'avion en plusieurs parties. Après cela, il suffit de prendre un point dans chaque partie et de vérifier si l'inégalité est satisfaite à ce stade. f(x,y) > g(x,y). S'il est exécuté à ce stade, alors il sera exécuté dans toute la partie où se trouve ce point. En combinant de telles pièces, nous obtenons de nombreuses solutions.

Tâche. oui > X.

Solution. Tout d’abord, nous remplaçons le signe d’inégalité par un signe égal et construisons une ligne dans un système de coordonnées rectangulaires qui a l’équation oui = X.

Cette ligne divise le plan en deux parties. Après cela, prenez un point dans chaque partie et vérifiez si l'inégalité est satisfaite à ce stade. oui > X.

Tâche. Résoudre graphiquement l'inégalité
X 2 + à 2 25 £.

Riz. 18.

Solution. Tout d’abord, remplacez le signe d’inégalité par un signe égal et tracez une ligne X 2 + à 2 = 25. Il s'agit d'un cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 5. Le cercle résultant divise le plan en deux parties. Vérification de la satisfiabilité de l'inégalité X 2 + à 2 £ 25 dans chaque partie, nous constatons que le graphique est un ensemble de points sur un cercle et de parties d'un plan à l'intérieur du cercle.

Soit deux inégalités F 1(x, y) > g 1(x, y) Et F 2(x, y) > g 2(x, y).

Systèmes d'ensembles d'inégalités à deux variables

Système d'inégalités est toi-même conjonction de ces inégalités. Solution système est-ce que chaque sens (x, y), ce qui transforme chacune des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions systèmes Les inégalités sont l’intersection d’ensembles de solutions aux inégalités qui forment un système donné.

Ensemble d'inégalités est toi-même disjonction de ces inégalités Définir la solution est-ce que chaque sens (x, y), qui convertit au moins une des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions totalité est une union d’ensembles de solutions aux inégalités qui forment un ensemble.

Tâche. Résoudre graphiquement le système d'inégalités

Solution. y = x Et X 2 + à 2 = 25. Nous résolvons chaque inégalité du système.

Le graphique du système sera l'ensemble des points sur le plan qui sont l'intersection (double hachure) des ensembles de solutions aux première et deuxième inégalités.

Tâche. Résoudre graphiquement un ensemble d'inégalités

Solution. Tout d'abord, nous remplaçons le signe d'inégalité par un signe égal et traçons des lignes dans le même système de coordonnées y = x+ 4 et X 2 + à 2 = 16. Résolvez chaque inégalité dans la population. Le graphique de la population sera un ensemble de points sur le plan, qui sont l'union des ensembles de solutions aux première et deuxième inégalités.

Exercices pour le travail indépendant

1. Résolvez graphiquement les inégalités : a) à> 2X; b) à< 2X + 3;

V) X 2+ oui 2 > 9 ; G) X 2+ oui 2 £4.

2. Résoudre graphiquement des systèmes d'inégalités :

un B)

Ministère de l'Éducation et de la Politique de la jeunesse du territoire de Stavropol

Établissement d'enseignement professionnel budgétaire de l'État

Collège régional de Georgievsk "Intégral"

PROJET INDIVIDUEL

Dans la discipline « Mathématiques : algèbre, principes d'analyse mathématique, géométrie »

Sur le thème : « Solution graphique d'équations et d'inégalités »

Complété par un étudiant du groupe PK-61, étudiant dans la spécialité

"Programmation dans les systèmes informatiques"

Zeller Timur Vitalievich

Responsable : enseignante Serkova N.A.

La date de livraison:" " 2017

Date de soutenance :" " 2017

Georgievsk 2017

NOTE EXPLICATIVE

OBJECTIF DU PROJET :

Cible: Découvrez les avantages de la méthode graphique de résolution d'équations et d'inégalités.

Tâches:

Comparez les méthodes analytiques et graphiques de résolution d'équations et d'inégalités.

Découvrez dans quels cas la méthode graphique présente des avantages.

Envisagez de résoudre des équations avec module et paramètre.

La pertinence de la recherche : Analyse du matériel consacré à la solution graphique des équations et des inégalités dans les manuels « Algèbre et débuts de l'analyse mathématique » par divers auteurs, en tenant compte des objectifs de l'étude de ce sujet. Ainsi que les acquis d'apprentissage obligatoires liés au sujet considéré.

Contenu

Introduction

1. Équations avec paramètres

1.1. Définitions

1.2. Algorithme de solution

1.3. Exemples

2. Inégalités avec paramètres

2.1. Définitions

2.2. Algorithme de solution

2.3. Exemples

3. Utiliser des graphiques pour résoudre des équations

3.1. Solution graphique d'une équation quadratique

3.2. Systèmes d'équations

3.3. Équations trigonométriques

4. Application des graphiques à la résolution des inégalités

5. Conclusion

6. Références

Introduction

L'étude de nombreux processus physiques et motifs géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes liés aux paramètres. Certaines universités incluent également des équations, des inégalités et leurs systèmes dans les épreuves d'examen, qui sont souvent très complexes et nécessitent une approche de solution non standard. À l’école, cette section, l’une des plus difficiles du cours de mathématiques scolaire, n’est abordée que dans quelques cours au choix.

En préparant ce travail, je me suis fixé pour objectif une étude plus approfondie de ce sujet, en identifiant la solution la plus rationnelle qui mène rapidement à une réponse. À mon avis, la méthode graphique est un moyen pratique et rapide de résoudre des équations et des inégalités avec paramètres.

Mon projet examine les types d'équations, les inégalités et leurs systèmes fréquemment rencontrés.

1. Équations avec paramètres

Considérons l'équation

(une, b, c, …, k, x)=(une, b, c, …, k, x), (1)

où a, b, c, …, k, x sont des quantités variables.

Tout système de valeurs variables

une = une 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

dans lequel les côtés gauche et droit de cette équation prennent des valeurs réelles, on appelle un système de valeurs admissibles des variables a, b, c, ..., k, x. Soit A l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de a, B l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de b, etc., X l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de x, c'est-à-dire aA, bB, …, xX. Si pour chacun des ensembles A, B, C, …, K nous sélectionnons et fixons, respectivement, une valeur a, b, c, …, k et les substituons dans l'équation (1), alors nous obtenons une équation pour x, c'est à dire. équation à une inconnue.

Les variables a, b, c, ..., k, qui sont considérées comme constantes lors de la résolution d'une équation, sont appelées paramètres, et l'équation elle-même est appelée une équation contenant des paramètres.

Les paramètres sont désignés par les premières lettres de l'alphabet latin : a, b, c, d, ..., k, l, m, n, et les inconnues sont désignées par les lettres x, y, z.

Résoudre une équation avec des paramètres signifie indiquer à quelles valeurs des paramètres des solutions existent et quelles sont elles.

Deux équations contenant les mêmes paramètres sont dites équivalentes si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation est une solution de la seconde et vice versa.

Trouvez le domaine de définition de l'équation.

On exprime a en fonction de x.

Dans le système de coordonnées xOa, nous construisons un graphique de la fonction a=(x) pour les valeurs de x qui sont incluses dans le domaine de définition de cette équation.

On trouve les points d'intersection de la droite a=c, où c(-;+) avec le graphique de la fonction a=(x). Si la droite a=c coupe le graphique a=(). x), puis on détermine les abscisses des points d'intersection. Pour ce faire, il suffit de résoudre l'équation a=(x) pour x.

Nous écrivons la réponse.

I. Résoudre l'équation

(1)

Solution.

Puisque x=0 n’est pas une racine de l’équation, l’équation peut être résolue pour a :

Le graphique d’une fonction est constitué de deux hyperboles « collées ». Le nombre de solutions à l'équation originale est déterminé par le nombre de points d'intersection de la ligne construite et de la droite y=a.

Si a  (-;-1](1;+) , alors la droite y=a coupe le graphique de l'équation (1) en un point. Nous trouverons l'abscisse de ce point lors de la résolution de l'équation pour x.

Ainsi, sur cet intervalle, l'équation (1) a une solution.

Si a , alors la droite y=a coupe le graphique de l’équation (1) en deux points. Les abscisses de ces points peuvent être trouvées à partir des équations et nous obtenons

Et.

Si a , alors la droite y=a ne coupe pas le graphique de l’équation (1), donc il n’y a pas de solutions.

Répondre:

Si un  (-;-1](1;+), alors ;

Si un  , alors ;

Si un  , alors il n’y a pas de solutions.

II. Trouvez toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles l'équation a trois racines différentes.

Solution.

Après avoir réécrit l'équation sous la forme et considéré une paire de fonctions, vous remarquerez que les valeurs souhaitées du paramètre a et elles seules correspondront aux positions du graphe de fonction auxquelles il a exactement trois points d'intersection avec le graphique de fonction.

Dans le système de coordonnées xOy, nous allons construire un graphique de la fonction). Pour ce faire, nous pouvons la représenter sous la forme et, après avoir considéré quatre cas qui se présentent, nous écrivons cette fonction sous la forme

Puisque le graphique d'une fonction est une ligne droite qui a un angle d'inclinaison par rapport à l'axe Ox égal et coupe l'axe Oy en un point de coordonnées (0, a), nous concluons que les trois points d'intersection indiqués ne peuvent être obtenus que dans le cas où cette ligne touche le graphique de la fonction. On trouve donc la dérivée

Répondre: .

III. Trouver toutes les valeurs du paramètre a, pour chacune desquelles le système d'équations

a des solutions.

Solution.

À partir de la première équation du système que nous obtenons à Par conséquent, cette équation définit une famille de « semi-paraboles » - les branches droites de la parabole « glissent » avec leurs sommets le long de l'axe des abscisses.

Sélectionnons les carrés complets du côté gauche de la deuxième équation et factorisons-la

L'ensemble des points du plan satisfaisant la deuxième équation sont deux droites

Voyons à quelles valeurs du paramètre a une courbe de la famille des « semi-paraboles » a au moins un point commun avec l'une des droites résultantes.

Si les sommets des semi-paraboles sont à droite du point A, mais à gauche du point B (le point B correspond au sommet de la « semi-parabole » qui touche

ligne droite), alors les graphiques considérés n'ont pas de points communs. Si le sommet de la « semi-parabole » coïncide avec le point A, alors.

On détermine le cas d'une « semi-parabole » touchant une droite à partir de la condition d'existence d'une solution unique du système

Dans ce cas, l'équation

a une racine, d'où on trouve :

Par conséquent, le système d'origine n'a pas de solutions à, mais à ou a au moins une solution.

Réponse : a  (-;-3] (;+).

IV. Résous l'équation

Solution.

En utilisant l'égalité, nous réécrivons l'équation donnée sous la forme

Cette équation est équivalente au système

On réécrit l'équation sous la forme

. (*)

La dernière équation est la plus simple à résoudre à l’aide de considérations géométriques. Construisons des graphiques des fonctions et Du graphique, il s'ensuit que les graphiques ne se coupent pas et, par conséquent, l'équation n'a pas de solutions.

Si, alors quand les graphiques des fonctions coïncident et, par conséquent, toutes les valeurs sont des solutions à l'équation (*).

Lorsque les graphiques se croisent en un point dont l'abscisse est. Ainsi, lorsque l'équation (*) a une solution unique - .

Examinons maintenant à quelles valeurs de a les solutions trouvées à l'équation (*) satisferont aux conditions

Qu'il en soit ainsi. Le système prendra la forme

Sa solution sera l'intervalle x (1;5). Considérant cela, nous pouvons conclure que si l'équation d'origine est satisfaite par toutes les valeurs de x de l'intervalle, l'inégalité d'origine est équivalente à l'inégalité numérique correcte 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Sur l'intégrale (1;+∞) on obtient à nouveau l'inégalité linéaire 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Cependant, le même résultat peut être obtenu à partir de considérations visuelles et en même temps géométriques strictes. La figure 7 montre les graphiques de fonctions :oui= F( X)=| X-1|+| X+1| Etoui=4.

Graphique 7.

Sur le graphique intégral (-2;2) de la fonctionoui= F(X) est situé sous le graphe de la fonction y=4, ce qui signifie que l'inégalitéF(X)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Inégalités avec paramètres.

Résoudre des inégalités avec un ou plusieurs paramètres est, en règle générale, une tâche plus complexe qu'un problème dans lequel il n'y a pas de paramètres.

Par exemple, l’inégalité √a+x+√a-x>4, qui contient le paramètre a, nécessite naturellement beaucoup plus d’efforts à résoudre que l’inégalité √1+x + √1-x>1.

Que signifie résoudre la première de ces inégalités ? Cela signifie essentiellement résoudre non pas une seule inégalité, mais toute une classe, tout un ensemble d’inégalités qui sont obtenues si nous donnons au paramètre des valeurs numériques spécifiques. La seconde des inégalités écrites est un cas particulier de la première, puisqu'elle en est obtenue avec la valeur a = 1.

Ainsi, résoudre une inégalité contenant des paramètres signifie déterminer à quelles valeurs des paramètres l'inégalité a des solutions et pour toutes ces valeurs de paramètres trouver toutes les solutions.

Exemple 1:

Résoudre l'inégalité |x-a|+|x+a|< b, un<>0.

Pour résoudre cette inégalité à deux paramètresun toi bUtilisons des considérations géométriques. Les figures 8 et 9 montrent les graphiques de fonctions.

Oui= F(X)=| X- un|+| X+ un| toi oui= b.

Il est évident que lorsqueb<=2| un| droitoui= bne passe pas au-dessus du segment horizontal de la courbeoui=| X- un|+| X+ un| et, par conséquent, l’inégalité dans ce cas n’a pas de solution (Figure 8). Sib>2| un|, puis la ligneoui= bcoupe le graphique d'une fonctionoui= F(X) en deux points (-b/2; b) toi (b/2; b)(Figure 6) et l’inégalité dans ce cas est valable pour –b/2< X< b/2, puisque pour ces valeurs de la variable la courbeoui=| X+ un|+| X- un| situé sous la ligne droiteoui= b.

Réponse : Sib<=2| un| , alors il n'y a pas de solutions,

Sib>2| un|, alorsX €(- b/2; b/2).

III) Inégalités trigonométriques :

Lors de la résolution d'inégalités avec des fonctions trigonométriques, on utilise essentiellement la périodicité de ces fonctions et leur monotonie sur les intervalles correspondants. Les inégalités trigonométriques les plus simples. Fonctionpéché Xa une période positive de 2π. Donc des inégalités de la forme :péché x>a, péché x>=a,

péché x

Il suffit de résoudre d'abord sur un segment de longueur 2π . On obtient l'ensemble de toutes les solutions en ajoutant à chacune des solutions trouvées sur ce segment des nombres de la forme 2π p, pЄZ.

Exemple 1 : Résoudre l'inégalitépéché X>-1/2.(Figure 10)

Tout d'abord, résolvons cette inégalité sur l'intervalle [-π/2;3π/2]. Considérons son côté gauche - le segment [-π/2;3π/2]. Voici l'équation.péché X=-1/2 a une solution x=-π/6 ; et la fonctionpéché Xaugmente de façon monotone. Cela signifie que si –π/2<= X<= -π/6, то péché X<= péché(- π /6)=-1/2, soit ces valeurs de x ne sont pas des solutions à l'inégalité. Si –π/6<х<=π/2 то péché X> péché(-π/6) = –1/2. Toutes ces valeurs de x ne sont pas des solutions à l'inégalité.

Sur le segment restant [π/2;3π/2] la fonctionpéché Xl'équation diminue également de façon monotonepéché X= -1/2 a une solution x=7π/6. Par conséquent, si π/2<= X<7π/, то péché X> péché(7π/6)=-1/2, soit toutes ces valeurs de x sont des solutions à l'inégalité. PourXNous avonspéché X<= péché(7π/6)=-1/2, ces valeurs de x ne sont pas des solutions. Ainsi, l'ensemble de toutes les solutions de cette inégalité sur l'intervalle [-π/2;3π/2] est l'intégrale (-π/6;7π/6).

En raison de la périodicité de la fonctionpéché Xavec une période de 2π valeurs de x à partir de toute intégrale de la forme : (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, sont aussi des solutions aux inégalités. Aucune autre valeur de x n'est une solution à cette inégalité.

Réponse : -π/6+2πn< X<7π/6+2π n, OùnЄ Z.

Conclusion

Nous avons examiné la méthode graphique de résolution d'équations et d'inégalités ; Nous avons examiné des exemples spécifiques dont la solution utilisait des propriétés de fonctions telles que la monotonie et la parité.L'analyse de la littérature scientifique et des manuels de mathématiques a permis de structurer le matériel sélectionné en fonction des objectifs de l'étude, de sélectionner et de développer des méthodes efficaces de résolution d'équations et d'inégalités. L'article présente une méthode graphique pour résoudre des équations et des inégalités et des exemples dans lesquels ces méthodes sont utilisées. Le résultat du projet peut être considéré comme des tâches créatives, comme matériel auxiliaire pour développer la compétence de résolution d'équations et d'inégalités à l'aide de la méthode graphique.

Liste de la littérature utilisée

Dalinger V. A. «La géométrie aide l'algèbre.» Maison d'édition « Ecole - Presse ». Moscou 1996

Dalinger V. A. « Tout pour assurer la réussite aux examens finaux et d'entrée en mathématiques. » Maison d'édition de l'Université pédagogique d'Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. «Solution graphique d'équations avec paramètres». Maison d'édition « Ecole - Presse ». Moscou 1986

Pismensky D. T. « Mathématiques pour les lycéens ». Maison d'édition "Iris". Moscou 1996

Yastribinetsky G. A. « Équations et inégalités contenant des paramètres ». Maison d'édition «Prosveshcheniye». Moscou 1972

G. Korn et T. Korn « Manuel de mathématiques ». Maison d'édition « Science » de littérature physique et mathématique. Moscou 1977

Amelkin V.V. et Rabtsevich V.L. « Problèmes avec les paramètres ». Maison d'édition "Asar". Minsk 1996

Ressources Internet

Solution graphique des équations

Apogée, 2009

Introduction

La nécessité de résoudre des équations quadratiques dans les temps anciens était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones terrestres et aux travaux de fouilles militaires, ainsi qu'au développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les Babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques vers 2000 avant JC. La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec les règles modernes, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle.

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens.

Mais la règle générale pour résoudre les équations quadratiques, avec toutes les combinaisons possibles de coefficients b et c, n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

En 1591 François Viet introduit des formules pour résoudre des équations quadratiques.

Dans l’ancienne Babylone, ils pouvaient résoudre certains types d’équations quadratiques.

Diophante d'Alexandrie Et Euclide, Al-Khwarizmi Et Omar Khayam résoudre des équations à l'aide de méthodes géométriques et graphiques.

En 7e année, nous avons étudié les fonctions y = C, y =kx, y =kx+ m, y =X 2,y = –X 2, en 8e année - y = √X, y =|X|, y =hache2 + bx+ c, y =k/ X. Dans le manuel d'algèbre de 9e, j'ai vu des fonctions qui ne m'étaient pas encore connues : y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– un) 2 + (oui –b) 2 = r 2 et autres. Il existe des règles pour construire des graphiques de ces fonctions. Je me demandais s'il existait d'autres fonctions qui obéissaient à ces règles.

Mon travail consiste à étudier les graphiques de fonctions et à résoudre graphiquement des équations.

1. Quelles sont les fonctions ?

Le graphique d'une fonction est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs des arguments, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction.

La fonction linéaire est donnée par l'équation y =kx+ b, Où k Et b- quelques chiffres. Le graphique de cette fonction est une ligne droite.

Fonction proportionnelle inverse y =k/ X, où k ¹ 0. Le graphique de cette fonction est appelé une hyperbole.

Fonction (X– un) 2 + (o –b) 2 = r2 , Où UN, b Et r- quelques chiffres. Le graphique de cette fonction est un cercle de rayon r de centre au point A ( UN, b).

Fonction quadratique oui= hache2 + bx+ c Où UN,b, Avec– quelques chiffres et UN¹ 0. Le graphique de cette fonction est une parabole.

L'équation à2 (un– X) = X2 (un+ X) . Le graphique de cette équation sera une courbe appelée strophoïde.

/>Équation (X2 + oui2 ) 2 = un(X2 – oui2 ) . Le graphique de cette équation est appelé lemniscate de Bernoulli.

L'équation. Le graphique de cette équation s’appelle un astéroïde.

Courbe (X2 oui2 – 2 haches)2 =4 une2 (X2 + oui2 ) . Cette courbe est appelée cardioïde.

Les fonctions: y =X 3 – parabole cubique, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Le concept d'équation et sa solution graphique

L'équation– une expression contenant une variable.

Résous l'équation- cela signifie retrouver toutes ses racines, ou prouver qu'elles n'existent pas.

Racine de l'équation est un nombre qui, lorsqu'il est substitué dans une équation, produit une égalité numérique correcte.

Résoudre des équations graphiquement permet de trouver la valeur exacte ou approximative des racines, permet de trouver le nombre de racines de l'équation.

Lors de la construction de graphiques et de la résolution d'équations, les propriétés d'une fonction sont utilisées, c'est pourquoi la méthode est souvent appelée fonctionnelle-graphique.

Pour résoudre l'équation, nous la « divisons » en deux parties, introduisons deux fonctions, construisons leurs graphiques et trouvons les coordonnées des points d'intersection des graphiques. Les abscisses de ces points sont les racines de l'équation.

3. Algorithme pour tracer un graphe de fonctions

Connaître le graphique d'une fonction y =F(X) , vous pouvez construire des graphiques de fonctions y =F(X+ m) ,y =F(X)+ je Et y =F(X+ m)+ je. Tous ces graphiques sont obtenus à partir du graphique de la fonction y =F(X) en utilisant la transformation de report parallèle : pour │ m│ unités d'échelle à droite ou à gauche le long de l'axe des x et sur │ je│ unités d'échelle vers le haut ou vers le bas le long d'un axe oui.

4. Solution graphique de l'équation quadratique

En utilisant une fonction quadratique comme exemple, nous considérerons la solution graphique d'une équation quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole.

Que savaient les anciens Grecs de la parabole ?

Le symbolisme mathématique moderne est né au XVIe siècle.

Les mathématiciens grecs anciens n’avaient ni la méthode des coordonnées ni le concept de fonction. Néanmoins, les propriétés de la parabole ont été étudiées en détail par eux. L'ingéniosité des mathématiciens anciens est tout simplement incroyable - après tout, ils ne pouvaient utiliser que des dessins et des descriptions verbales des dépendances.

La plus complète exploration de la parabole, de l'hyperbole et de l'ellipse Apollonius de Perge, qui vécut au 3ème siècle avant JC. Il a donné des noms à ces courbes et indiqué à quelles conditions satisfont les points situés sur telle ou telle courbe (après tout, il n'y avait pas de formules !).

Il existe un algorithme pour construire une parabole :

Trouver les coordonnées du sommet de la parabole A (x0 ; y0) : X=- b/2 un;

y0=axo2+in0+s;

Trouver l'axe de symétrie de la parabole (droite x=x0) ;

SAUT DE PAGE--

Nous compilons un tableau de valeurs pour construire des points de contrôle ;

Nous construisons les points résultants et construisons des points qui leur sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie.

1. À l'aide de l'algorithme, nous allons construire une parabole oui= X2 – 2 X– 3 . Abscisses des points d'intersection avec l'axe X et il y a des racines de l'équation quadratique X2 – 2 X– 3 = 0.

Il existe cinq façons de résoudre graphiquement cette équation.

2. Divisons l'équation en deux fonctions : oui= X2 Et oui= 2 X+ 3

3. Divisons l'équation en deux fonctions : oui= X2 –3 Et oui=2 X. Les racines de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

4. Transformez l'équation X2 – 2 X– 3 = 0 en isolant un carré complet en fonctions : oui= (X–1) 2 Et oui=4. Les racines de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

5. Divisez les deux côtés de l’équation terme par terme X2 – 2 X– 3 = 0 sur X, on a X– 2 – 3/ X= 0 , divisons cette équation en deux fonctions : oui= X– 2, oui= 3/ X. Les racines de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la droite et de l'hyperbole.

5. Solution graphique des équations de degrén

Exemple 1. Résous l'équation X5 = 3 – 2 X.

oui= X5 , oui= 3 – 2 X.

Répondre: x = 1.

Exemple 2. Résous l'équation 3 √ X= 10 – X.

Les racines de cette équation sont l'abscisse du point d'intersection des graphiques de deux fonctions : oui= 3 √ X, oui= 10 – X.

Répondre: x = 8.

Conclusion

Après avoir regardé les graphiques des fonctions : y =hache2 + bx+ c, y =k/ X, у = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, J'ai remarqué que tous ces graphiques sont construits selon la règle de translation parallèle par rapport aux axes X Et oui.

En utilisant l'exemple de résolution d'une équation quadratique, nous pouvons conclure que la méthode graphique est également applicable aux équations de degré n.

Les méthodes graphiques de résolution d'équations sont belles et compréhensibles, mais ne fournissent pas une garantie à 100 % de résolution d'une équation. Les abscisses des points d'intersection des graphiques peuvent être approximatives.

En 9ème et au lycée, je continuerai à me familiariser avec d'autres fonctions. Je souhaite savoir si ces fonctions obéissent aux règles de transfert parallèle lors de la construction de leurs graphiques.

L'année prochaine, j'aimerais également examiner les problèmes de résolution graphique de systèmes d'équations et d'inégalités.

Littérature

1. Algèbre. 7e année. Partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. M. : Mnémosyne, 2007.

2. Algèbre. 8e année. Partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. M. : Mnémosyne, 2007.

3. Algèbre. 9e année. Partie 1. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. M. : Mnémosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Niveaux VII-VIII. – M. : Éducation, 1982.

5. Revue Mathématiques n° 5 2009 ; n° 8 2007 ; N° 23 2008.

6. Solution graphique d'équations sur Internet : Tol VIKI ; stimul.biz/ru ; wiki.iot.ru/images ; berdsk.edu ; pages 3–6.htm.

La représentation graphique des fonctions permet environ résoudre des inégalités à une inconnue et des systèmes d'inégalités à une et deux inconnues. Résoudre graphiquement une inégalité à une inconnue, il est nécessaire de transférer tous ses membres en une seule partie, c'est-à-dire mener à:

F(X) > 0 ,

et tracez la fonction y = f(X). Après cela, en utilisant le graphique construit, vous pouvez trouver fonction zéros, qui divisera l'axe X pendant plusieurs intervalles. Maintenant, sur cette base, nous déterminons les intervalles X, à l'intérieur duquel le signe de la fonction correspond au signe de l'inégalité. Par exemple, les zéros de notre fonction : un Et b(Fig. 30). Il ressort alors clairement du graphique que les intervalles dans lesquels F(X) > 0: X < un Et X> b(ils sont mis en évidence par des flèches en gras). Il est clair que le signe > est ici conditionnel ; à la place, il peut y en avoir un autre :< , .

Pour résoudre graphiquement un système d'inégalités à une inconnue, vous devez transférer tous les termes de chacun d'eux dans une seule partie, c'est-à-dire ramener les inégalités sous la forme :

et tracez les fonctions y = f(X), oui = g(X) , ... , oui = h(X). Chacune de ces inégalités est résolue par la méthode graphique décrite ci-dessus. Après cela, vous devez trouver croisement de solutions toutes les inégalités, c'est-à-dire leur partie commune.

EXEMPLE Résolvez graphiquement le système d’inégalités :

Solution. Tout d’abord, traçons les fonctions. oui = - 2 / 3 X+ 2 et

oui = X 2 -1 (Fig. 31) :

La solution de la première inégalité est l'intervalle X> 3, indiqué sur la Fig. 31 par une flèche noire ; la solution de la deuxième inégalité se compose de deux intervalles : X < -1 и X> 1, indiqué sur la Fig. 31 par des flèches grises.

Le graphique montre que l'intersection de ces deux solutions est l'intervalle X> 3. C'est la solution au système d'inégalités donné.

Pour résoudre graphiquement un système de deux inégalités à deux inconnues, il faut :

1) dans chacun d'eux, déplacez tous les termes en une seule partie, c'est-à-dire apporter

inégalités à la forme :

2) construire des graphiques de fonctions spécifiées implicitement : f(x, y) = 0 et g(x, y) = 0;

3) chacun de ces graphiques divise le plan de coordonnées en deux parties :

dans l'un d'eux, l'inégalité juste, dans un autre - non ;résoudre

graphiquement chacune de ces inégalités, il suffit de vérifier

validité de l'inégalité en un point arbitraire à l'intérieur de tout

parties de l'avion; si l'inégalité se produit à ce stade, alors

cette partie du plan de coordonnées est sa solution, sinon, alors

la solution est la partie opposée du plan;

4) la solution d'un système d'inégalités donné est l'intersection

(zone générale) parties du plan de coordonnées.

EXEMPLE Résoudre le système d’inégalités :

Solution. Tout d’abord, nous construisons des graphiques de fonctions linéaires : 5 X - 7oui= -11 et

2X + 3oui= 10 (Fig. 32). Pour chacun d'eux on trouve un demi-plan,

Dans lequel l'inégalité donnée correspondante

Équitable. Nous savons qu'il suffit de vérifier l'équité

Inégalités en un point arbitraire de la région ; dans ce

Le moyen le plus simple de procéder est d'utiliser l'origine des coordonnées Ô (0, 0).

Remplacer ses coordonnées par nos inégalités X Et oui,

On obtient : 5 0 - 7 0 = 0 > -11, donc plus le

Le demi-plan (jaune) est une solution au premier

Inégalités ; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

Sa solution possède également le demi-plan inférieur (bleu

Couleurs). L'intersection de ces demi-plans (zone colorée en turquoise)

Est la solution à notre système d’inégalités.

L’une des méthodes les plus pratiques pour résoudre les inégalités quadratiques est la méthode graphique. Dans cet article, nous verrons comment les inégalités quadratiques sont résolues graphiquement. Tout d’abord, discutons de l’essence de cette méthode. Ensuite, nous présenterons l'algorithme et considérerons des exemples de résolution graphique d'inégalités quadratiques.

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L'essence de la méthode graphique

Du tout méthode graphique pour résoudre les inégalités avec une variable est utilisé non seulement pour résoudre des inégalités quadratiques, mais également d'autres types d'inégalités. L'essence de la méthode graphique pour résoudre les inégalités ensuite : considérons les fonctions y=f(x) et y=g(x), qui correspondent aux côtés gauche et droit de l'inégalité, construisons leurs graphiques dans un système de coordonnées rectangulaires et découvrez à quels intervalles le graphique de l'un des eux est inférieur ou supérieur à l'autre. Ces intervalles où

le graphe de la fonction f au-dessus du graphe de la fonction g sont des solutions à l'inégalité f(x)>g(x) ;
le graphe de la fonction f n'est pas inférieur au graphe de la fonction g sont des solutions à l'inégalité f(x)≥g(x) ;
le graphique de f sous le graphique de g sont des solutions à l'inégalité f(x)
le graphique d'une fonction f non supérieur au graphique d'une fonction g sont des solutions à l'inégalité f(x)≤g(x) .

Disons aussi que les abscisses des points d'intersection des graphiques des fonctions f et g sont des solutions de l'équation f(x)=g(x) .

Transférons ces résultats à notre cas - pour résoudre l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

On introduit deux fonctions : la première y=a x 2 +b x+c (avec f(x)=a x 2 +b x+c) correspondant au côté gauche de l'inégalité quadratique, la seconde y=0 (avec g ( x)=0 ) correspond au côté droit de l’inégalité. Calendrier fonction quadratique f est une parabole et le graphique fonction constante g – ligne droite coïncidant avec l'axe des abscisses Ox.

Ensuite, selon la méthode graphique de résolution des inégalités, il est nécessaire d'analyser à quels intervalles le graphique d'une fonction se situe au-dessus ou en dessous d'une autre, ce qui nous permettra d'écrire la solution souhaitée à l'inégalité quadratique. Dans notre cas, il faut analyser la position de la parabole par rapport à l'axe Ox.

En fonction des valeurs des coefficients a, b et c, les six options suivantes sont possibles (pour nos besoins, une représentation schématique suffit, et nous n'avons pas besoin de représenter l'axe Oy, puisque sa position n'affecte pas le solutions aux inégalités) :

Sur ce dessin on voit une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, et qui coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont x 1 et x 2. Ce dessin correspond à l'option lorsque le coefficient a est positif (il est responsable du sens ascendant des branches de la parabole), et lorsque la valeur est positive discriminant d'un trinôme quadratique a x 2 +b x+c (dans ce cas, le trinôme a deux racines, que nous avons notées x 1 et x 2, et nous avons supposé que x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, X 1 =−2 , X 2 =3 .

Pour plus de clarté, représentons en rouge les parties de la parabole situées au-dessus de l’axe des x, et en bleu celles situées en dessous de l’axe des x.

Voyons maintenant à quels intervalles correspondent ces parties. Le dessin suivant vous aidera à les identifier (à l'avenir, nous ferons mentalement des sélections similaires sous forme de rectangles) :

Ainsi sur l'axe des abscisses deux intervalles (−∞, x 1) et (x 2 , +∞) ont été surlignés en rouge, sur eux la parabole est au dessus de l'axe Ox, ils constituent une solution de l'inégalité quadratique a x 2 +b x +c>0 , et l'intervalle (x 1 , x 2) est surligné en bleu, il y a une parabole sous l'axe Ox, elle représente la solution de l'inégalité a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Et maintenant brièvement : pour a>0 et D=b 2 −4 a c>0 (ou D"=D/4>0 pour un coefficient pair b)

la solution de l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c>0 est (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ou dans une autre notation x x2 ;
la solution de l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c≥0 est (−∞, x 1 ]∪ ou dans une autre notation x 1 ≤x≤x 2 ,

où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme quadratique a x 2 +b x+c, et x 1

Nous voyons ici une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et qui touche l'axe des abscisses, c'est-à-dire qu'elle a un point commun avec elle, nous désignons l'abscisse de ce point par x 0 ; Le cas présenté correspond à a>0 (les branches sont dirigées vers le haut) et D=0 (le trinôme carré a une racine x 0). Par exemple, vous pouvez prendre la fonction quadratique y=x 2 −4·x+4, ici a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 et x 0 =2.

Le dessin montre clairement que la parabole est située au dessus de l'axe Ox partout sauf au point de contact, c'est-à-dire sur les intervalles (−∞, x 0), (x 0, ∞). Pour plus de clarté, soulignons les zones du dessin par analogie avec le paragraphe précédent.

On tire des conclusions : pour a>0 et D=0

la solution de l'inégalité quadratique a·x 2 +b·x+c>0 est (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) ou dans une autre notation x≠x 0 ;
la solution de l'inégalité quadratique a·x 2 +b·x+c≥0 est (−∞, +∞) ou dans une autre notation x∈R ;
inégalité quadratique a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c≤0 a une unique solution x=x 0 (elle est donnée par le point de tangence),

où x 0 est la racine du trinôme carré a x 2 + b x + c.

Dans ce cas, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut et elle n'a pas de points communs avec l'axe des abscisses. On a ici les conditions a>0 (les branches sont dirigées vers le haut) et D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Évidemment, la parabole est située au-dessus de l'axe Ox sur toute sa longueur (il n'y a pas d'intervalles où elle se trouve en dessous de l'axe Ox, il n'y a pas de point de tangence).

Ainsi, pour a>0 et D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 et a x 2 +b x+c≥0 est l'ensemble de tous les nombres réels, et les inégalités a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Et il reste trois options pour l'emplacement de la parabole avec des branches dirigées vers le bas et non vers le haut, par rapport à l'axe Ox. En principe, il n’est pas nécessaire de les considérer, puisque multiplier les deux membres de l’inégalité par −1 permet d’aboutir à une inégalité équivalente avec un coefficient positif pour x 2. Mais cela ne fait toujours pas de mal d’avoir une idée sur ces cas. Le raisonnement ici est similaire, nous n’écrirons donc que les principaux résultats.

Algorithme de solution

Le résultat de tous les calculs précédents est algorithme pour résoudre graphiquement les inégalités quadratiques:

Un dessin schématique est réalisé sur le plan de coordonnées, qui représente l'axe Ox (il n'est pas nécessaire de représenter l'axe Oy) et un croquis d'une parabole correspondant à la fonction quadratique y=a·x 2 +b·x+c. Pour dessiner une esquisse d'une parabole, il suffit de découvrir deux choses :

Premièrement, par la valeur du coefficient a, il est déterminé où ses branches sont dirigées (pour a>0 - vers le haut, pour a<0 – вниз).
Et deuxièmement, par la valeur du discriminant du trinôme carré a x 2 + b x + c on détermine si la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points (pour D>0), le touche en un point (pour D=0) , ou n'a pas de points communs avec l'axe Ox (en D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Lorsque le dessin est prêt, utilisez-le dans la deuxième étape de l'algorithme
- lors de la résolution de l'inégalité quadratique a·x 2 +b·x+c>0, les intervalles sont déterminés auxquels la parabole est située au-dessus de l'abscisse ;
- lors de la résolution de l'inégalité a·x 2 +b·x+c≥0, les intervalles auxquels la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses sont déterminés et les abscisses des points d'intersection (ou l'abscisse du point tangent) sont ajoutées à eux;
- lors de la résolution de l'inégalité a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- enfin, lors de la résolution d'une inégalité quadratique de la forme a·x 2 +b·x+c≤0, on trouve des intervalles dans lesquels la parabole est en dessous de l'axe Ox et l'abscisse des points d'intersection (ou l'abscisse du point tangent ) leur est ajouté ;
ils constituent la solution souhaitée à l'inégalité quadratique, et s'il n'y a pas de tels intervalles ni aucun point de tangence, alors l'inégalité quadratique originale n'a pas de solution.

Il ne reste plus qu'à résoudre quelques inégalités quadratiques à l'aide de cet algorithme.

Exemples avec solutions

Exemple.

Résoudre l'inégalité .

Solution.

Nous devons résoudre une inégalité quadratique, utilisons l'algorithme du paragraphe précédent. Dans un premier temps, nous devons dessiner un croquis du graphique de la fonction quadratique . Le coefficient de x 2 est égal à 2, il est positif donc les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. Voyons également si la parabole a des points communs avec l’axe des x ; pour ce faire, nous calculerons le discriminant du trinôme quadratique ; . Nous avons . Le discriminant s'est avéré supérieur à zéro, donc le trinôme a deux vraies racines : Et , c'est-à-dire x 1 =−3 et x 2 =1/3.

Il en ressort clairement que la parabole coupe l'axe Ox en deux points d'abscisses −3 et 1/3. Nous représenterons ces points sur le dessin comme des points ordinaires, puisque nous résolvons une inégalité non stricte. Sur la base des données clarifiées, nous obtenons le dessin suivant (il correspond au premier modèle du premier paragraphe de l'article) :

Passons à la deuxième étape de l'algorithme. Puisque nous résolvons une inégalité quadratique non stricte de signe ≤, nous devons déterminer les intervalles auxquels la parabole est située en dessous de l'abscisse et y ajouter les abscisses des points d'intersection.

D'après le dessin, il est clair que la parabole est en dessous de l'axe des x sur l'intervalle (−3, 1/3) et on y ajoute les abscisses des points d'intersection, c'est-à-dire les nombres −3 et 1/3. En conséquence, nous arrivons à l'intervalle numérique [−3, 1/3] . C'est la solution que nous recherchons. Cela peut s'écrire sous la forme d'une double inégalité −3≤x≤1/3.

Répondre:

[−3, 1/3] ou −3≤x≤1/3 .

Exemple.

Trouver la solution de l'inégalité quadratique −x 2 +16 x−63<0 .

Solution.

Comme d'habitude, nous commençons par un dessin. Le coefficient numérique du carré de la variable est négatif, −1, donc les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Calculons le discriminant, ou mieux encore, sa quatrième partie : D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Sa valeur est positive, calculons les racines du trinôme carré : Et , x 1 =7 et x 2 =9. La parabole coupe donc l'axe Ox en deux points avec les abscisses 7 et 9 (l'inégalité d'origine est stricte, nous allons donc représenter ces points avec un centre vide). Nous pouvons maintenant faire un dessin schématique :

Puisque nous résolvons une inégalité quadratique stricte de signe<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Le dessin montre que les solutions à l'inégalité quadratique d'origine sont deux intervalles (−∞, 7) , (9, +∞) .

Répondre:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ou dans une autre notation x<7 , x>9 .

Lors de la résolution d'inégalités quadratiques, lorsque le discriminant d'un trinôme quadratique sur son côté gauche est nul, vous devez faire attention à inclure ou à exclure l'abscisse du point tangent de la réponse. Cela dépend du signe de l’inégalité : si l’inégalité est stricte, alors ce n’est pas une solution à l’inégalité, mais si elle n’est pas stricte, alors ça l’est.

Exemple.

L'inégalité quadratique 10 x 2 −14 x+4,9≤0 a-t-elle au moins une solution ?

Solution.

Traçons la fonction y=10 x 2 −14 x+4.9. Ses branches sont dirigées vers le haut, puisque le coefficient de x 2 est positif, et il touche l'axe des abscisses au point d'abscisse 0,7, puisque D"=(−7) 2 −10 4,9=0, d'où ou 0,7 sous la forme d'une fraction décimale, cela ressemble schématiquement à ceci :

Puisque nous résolvons une inégalité quadratique avec le signe ≤, sa solution sera les intervalles sur lesquels la parabole est en dessous de l'axe Ox, ainsi que l'abscisse du point tangent. D'après le dessin, il est clair qu'il n'y a pas un seul espace où la parabole serait en dessous de l'axe Ox, sa solution ne sera donc que l'abscisse du point tangent, c'est-à-dire 0,7.

Répondre:

cette inégalité a une solution unique 0,7.

Exemple.

Résoudre l'inégalité quadratique –x 2 +8 x−16<0 .

Solution.

Nous suivons l'algorithme de résolution des inégalités quadratiques et commençons par construire un graphique. Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif, −1. Trouvons le discriminant du trinôme carré –x 2 +8 x−16, nous avons D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 et alors x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Ainsi, la parabole touche l'axe Ox au point abscisse 4. Faisons le dessin :

On regarde le signe de l'inégalité originelle, il est là<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dans notre cas, ce sont des rayons ouverts (−∞, 4) , (4, +∞) . Par ailleurs, on note que 4 - l'abscisse du point de contact - n'est pas une solution, puisqu'au point de contact la parabole n'est pas inférieure à l'axe Ox.

Répondre:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ou dans une autre notation x≠4 .

Portez une attention particulière aux cas où le discriminant du trinôme quadratique du côté gauche de l'inégalité quadratique est inférieur à zéro. Il n'est pas nécessaire de se précipiter ici et de dire que l'inégalité n'a pas de solution (nous avons l'habitude de tirer une telle conclusion pour les équations quadratiques à discriminant négatif). Le fait est que l’inégalité quadratique pour D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemple.

Trouvez la solution de l'inégalité quadratique 3 x 2 +1>0.

Solution.

Comme d'habitude, nous commençons par un dessin. Le coefficient a est 3, il est positif donc les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. On calcule le discriminant : D=0 2 −4·3·1=−12 . Le discriminant étant négatif, la parabole n’a aucun point commun avec l’axe Ox. Les informations obtenues sont suffisantes pour un graphique schématique :

Nous résolvons une inégalité quadratique stricte avec un signe >. Sa solution sera tous les intervalles dans lesquels la parabole est au-dessus de l'axe Ox. Dans notre cas, la parabole est au-dessus de l’axe des x sur toute sa longueur, la solution souhaitée sera donc l’ensemble de tous les nombres réels.

Ox , et il faut également leur ajouter l'abscisse des points d'intersection ou l'abscisse de la tangence. Mais d'après le dessin, il est clairement visible qu'il n'y a pas de tels intervalles (puisque la parabole est partout en dessous de l'axe des abscisses), tout comme il n'y a pas de points d'intersection, tout comme il n'y a pas de points de tangence. Par conséquent, l’inégalité quadratique originale n’a pas de solution.

Répondre:

pas de solutions ou dans une autre entrée ∅.

Bibliographie.

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Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.
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