Chargez le condensateur de la batterie et connectez-le à la bobine. Dans le circuit que nous avons créé, les oscillations électromagnétiques commenceront immédiatement (Fig. 46). Le courant de décharge du condensateur traversant la bobine crée un champ magnétique autour de celle-ci. Cela signifie que lors de la décharge d'un condensateur, l'énergie de son champ électrique se transforme en énergie du champ magnétique de la bobine, tout comme lorsqu'un pendule ou une corde oscille, l'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique.
Au fur et à mesure que le condensateur se décharge, la tension aux bornes de ses plaques chute et le courant dans le circuit augmente, et au moment où le condensateur est complètement déchargé, le courant sera maximum (amplitude du courant). Mais même après la fin de la décharge du condensateur, le courant ne s'arrêtera pas - le champ magnétique décroissant de la bobine maintiendra le mouvement des charges et celles-ci recommenceront à s'accumuler sur les plaques du condensateur. Dans ce cas, le courant dans le circuit diminue et la tension aux bornes du condensateur augmente. Ce processus de transition inverse de l'énergie du champ magnétique de la bobine en énergie du champ électrique du condensateur rappelle quelque peu ce qui se passe lorsque le pendule, après avoir dépassé le point médian, monte vers le haut.
Au moment où le courant dans le circuit s'arrête et que le champ magnétique de la bobine disparaît, le condensateur sera chargé à la tension maximale (amplitude) de polarité inversée. Ce dernier signifie que sur la plaque où se trouvaient auparavant des charges positives, il y aura désormais des charges négatives, et vice versa. Par conséquent, lorsque la décharge du condensateur recommence (et cela se produira immédiatement après sa charge complète), un courant dans le sens opposé circulera dans le circuit.
L'échange d'énergie périodiquement répété entre le condensateur et la bobine représente des oscillations électromagnétiques dans le circuit. Au cours de ces oscillations, un courant alternatif circule dans le circuit (c'est-à-dire que non seulement l'amplitude, mais aussi la direction du courant change), et une tension alternative agit sur le condensateur (c'est-à-dire que non seulement l'amplitude de la tension change, mais également la polarité des charges accumulées sur les plaques). L'une des directions de la tension actuelle est classiquement appelée positive et la direction opposée est appelée négative.
En observant les changements de tension ou de courant, vous pouvez construire un graphique des oscillations électromagnétiques dans le circuit (Fig. 46), tout comme nous avons construit un graphique des oscillations mécaniques d'un pendule (). Sur un graphique, les valeurs de courant ou de tension positives sont tracées au-dessus de l'axe horizontal et les courants ou tensions négatifs sont tracés en dessous de cet axe. La moitié de la période pendant laquelle le courant circule dans le sens positif est souvent appelée l'alternance positive du courant, et l'autre moitié est l'alternance négative du courant. On peut aussi parler d'alternances de tension positives et négatives.
Je voudrais souligner une fois de plus que nous utilisons les mots « positif » et « négatif » de manière tout à fait conditionnelle, uniquement pour distinguer deux directions opposées du courant.
Les oscillations électromagnétiques que nous connaissons sont appelées oscillations libres ou naturelles. Ils se produisent chaque fois que nous transférons une certaine quantité d’énergie au circuit, puis permettons au condensateur et à la bobine d’échanger librement cette énergie. La fréquence d'oscillation libre (c'est-à-dire la fréquence de la tension et du courant alternatifs dans le circuit) dépend de la rapidité avec laquelle le condensateur et la bobine peuvent stocker et libérer de l'énergie. Ceci dépend à son tour de l’inductance Lk et de la capacité Ck du circuit, tout comme la fréquence de vibration d’une corde dépend de sa masse et de son élasticité. Plus l'inductance L de la bobine est grande, plus il faut de temps pour y créer un champ magnétique et plus ce champ magnétique peut maintenir le courant dans le circuit longtemps. Plus la capacité C du condensateur est grande, plus la décharge sera longue et plus ce condensateur mettra du temps à se recharger. Ainsi, plus le circuit est Lk et Ck, plus les oscillations électromagnétiques s'y produisent lentement, plus leur fréquence est basse. La dépendance de la fréquence f o des oscillations libres sur L to et C sur le circuit est exprimée par une formule simple, qui est l'une des formules de base de l'ingénierie radio :
Le sens de cette formule est extrêmement simple : pour augmenter la fréquence des oscillations naturelles f 0, il faut réduire l'inductance L k ou la capacité C k du circuit ; pour réduire f 0, l'inductance et la capacité doivent être augmentées (Figure 47).
De la formule de la fréquence, on peut facilement déduire (nous l'avons déjà fait avec la formule de la loi d'Ohm) des formules de calcul permettant de déterminer l'un des paramètres du circuit L k ou C k à une fréquence donnée f0 et un deuxième paramètre connu. Des formules pratiques pour les calculs pratiques sont données sur les fiches 73, 74 et 75.
Un champ électromagnétique peut exister en l'absence de charges ou de courants électriques : ce sont ces champs électriques et magnétiques « auto-entretenus » qui sont des ondes électromagnétiques, qui comprennent la lumière visible, les rayonnements infrarouges, ultraviolets et X, les ondes radio, etc.
§ 25. Circuit oscillant
Le système le plus simple dans lequel des oscillations électromagnétiques naturelles sont possibles est le circuit dit oscillatoire, composé d'un condensateur et d'un inducteur connectés l'un à l'autre (Fig. 157). Comme un oscillateur mécanique, par exemple un corps massif sur un ressort élastique, les oscillations naturelles du circuit s'accompagnent de transformations énergétiques.
Riz. 157. Circuit oscillatoire
Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques. Pour un circuit oscillatoire, un analogue de l'énergie potentielle d'un oscillateur mécanique (par exemple, l'énergie élastique d'un ressort déformé) est l'énergie du champ électrique dans un condensateur. Un analogue de l'énergie cinétique d'un corps en mouvement est l'énergie du champ magnétique dans un inducteur. En fait, l'énergie du ressort est proportionnelle au carré du déplacement par rapport à la position d'équilibre et l'énergie du condensateur est proportionnelle au carré de la charge. L'énergie cinétique d'un corps est proportionnelle au carré de sa vitesse et. l'énergie du champ magnétique dans la bobine est proportionnelle au carré du courant.
L'énergie mécanique totale de l'oscillateur à ressort E est égale à la somme des énergies potentielle et cinétique :
Énergie de vibrations. De même, l'énergie électromagnétique totale du circuit oscillatoire est égale à la somme des énergies du champ électrique dans le condensateur et du champ magnétique dans la bobine :
D'une comparaison des formules (1) et (2), il s'ensuit que l'analogue de la rigidité k d'un oscillateur à ressort dans un circuit oscillant est l'inverse de la capacité C, et l'analogue de la masse est l'inductance de la bobine
Rappelons que dans un système mécanique dont l'énergie est donnée par l'expression (1), ses propres oscillations harmoniques non amorties peuvent se produire. Le carré de la fréquence de ces oscillations est égal au rapport des coefficients des carrés du déplacement et de la vitesse dans l'expression de l'énergie :
Fréquence naturelle. Dans un circuit oscillatoire dont l'énergie électromagnétique est donnée par l'expression (2), ses propres oscillations harmoniques non amorties peuvent se produire, dont le carré de la fréquence est aussi, évidemment, égal au rapport des coefficients correspondants (c'est-à-dire le coefficients des carrés de charge et de courant) :
De (4) découle une expression pour la période d’oscillation, appelée formule de Thomson :
Lors des oscillations mécaniques, la dépendance du déplacement x au temps est déterminée par une fonction cosinus dont l'argument est appelé phase d'oscillation :
Amplitude et phase initiale. L'amplitude A et la phase initiale a sont déterminées par les conditions initiales, c'est-à-dire les valeurs du déplacement et de la vitesse à
De même, avec les oscillations naturelles électromagnétiques dans le circuit, la charge du condensateur dépend du temps selon la loi
où la fréquence est déterminée, conformément à (4), uniquement par les propriétés du circuit lui-même, et l'amplitude des oscillations de charge et la phase initiale a, comme celle d'un oscillateur mécanique, sont déterminées
conditions initiales, c'est-à-dire les valeurs de charge du condensateur et d'intensité du courant à Ainsi, la fréquence propre ne dépend pas de la méthode d'excitation des oscillations, tandis que l'amplitude et la phase initiale sont déterminées précisément par les conditions d'excitation.
Transformations énergétiques. Examinons plus en détail les transformations énergétiques lors des vibrations mécaniques et électromagnétiques. En figue. 158 représente schématiquement les états des oscillateurs mécaniques et électromagnétiques à des intervalles de temps d'un quart de période
Riz. 158. Transformations énergétiques lors de vibrations mécaniques et électromagnétiques
Deux fois au cours de la période d'oscillation, l'énergie est convertie d'un type à un autre et inversement. L'énergie totale du circuit oscillatoire, comme l'énergie totale d'un oscillateur mécanique, reste inchangée en l'absence de dissipation. Pour vérifier cela, vous devez remplacer l'expression (6) et l'expression du courant dans la formule (2)
En utilisant la formule (4) car on obtient
Riz. 159. Graphiques de la dépendance de l'énergie du champ électrique du condensateur et de l'énergie du champ magnétique dans la bobine sur le temps de charge du condensateur
L'énergie totale constante coïncide avec l'énergie potentielle aux moments où la charge sur le condensateur est maximale, et coïncide avec l'énergie du champ magnétique de la bobine - l'énergie « cinétique » - aux moments où la charge sur le condensateur devient zéro et le courant est maximum. Lors de transformations mutuelles, deux types d'énergie effectuent des vibrations harmoniques de même amplitude, déphasées l'une par rapport à l'autre et de fréquence relative à leur valeur moyenne. Ceci peut être facilement vu sur la Fig. 158, et en utilisant des formules pour les fonctions trigonométriques d'un demi-argument :
Des graphiques de la dépendance de l'énergie du champ électrique et de l'énergie du champ magnétique sur le temps de charge du condensateur sont présentés sur la Fig. 159 pour la phase initiale
Les lois quantitatives des oscillations électromagnétiques naturelles peuvent être établies directement à partir des lois des courants quasi-stationnaires, sans recourir à une analogie avec les oscillations mécaniques.
Équation pour les oscillations dans un circuit. Considérons le circuit oscillatoire le plus simple illustré à la Fig. 157. Lors d'un tour de circuit, par exemple dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, la somme des tensions sur l'inductance et le condensateur dans un tel circuit en série fermé est nulle :
La tension sur le condensateur est liée à la charge de la plaque et à la capacité Avec la relation La tension sur l'inductance à tout moment est égale en amplitude et opposée en signe à la force électromotrice auto-inductive, donc le courant dans le circuit est égal au taux de variation de la charge du condensateur : en substituant l'intensité du courant dans l'expression de la tension sur l'inductance et en désignant la dérivée seconde de la charge du condensateur par rapport au temps à travers
On obtient Maintenant l'expression (10) prend la forme
Réécrivons cette équation différemment, en introduisant par définition :
L'équation (12) coïncide avec l'équation des oscillations harmoniques d'un oscillateur mécanique avec une fréquence propre. La solution d'une telle équation est donnée par une fonction temporelle harmonique (sinusoïdale) (6) avec des valeurs arbitraires de l'amplitude et de la phase initiale. un. Cela implique tous les résultats ci-dessus concernant les oscillations électromagnétiques dans le circuit.
Atténuation des oscillations électromagnétiques. Jusqu'à présent, les vibrations naturelles dans un système mécanique idéalisé et un circuit LC idéalisé ont été discutées. L'idéalisation consistait à négliger les frottements dans l'oscillateur et la résistance électrique dans le circuit. Ce n’est que dans ce cas que le système sera conservateur et que l’énergie d’oscillation sera conservée.
Riz. 160. Circuit oscillant avec résistance
La dissipation de l'énergie d'oscillation dans le circuit peut être prise en compte de la même manière que cela a été fait dans le cas d'un oscillateur mécanique à friction. La présence de résistance électrique de la bobine et des fils de connexion est inévitablement associée au dégagement de chaleur Joule. Comme auparavant, cette résistance peut être considérée comme un élément indépendant du circuit électrique du circuit oscillant, en considérant la bobine et les fils idéaux (Fig. 160). Lorsqu'on considère un courant quasi-stationnaire dans un tel circuit, il est nécessaire d'ajouter la tension aux bornes de la résistance à l'équation (10)
En remplaçant, nous obtenons
Présentation des désignations
on réécrit l'équation (14) sous la forme
L'équation (16) pour a exactement la même forme que l'équation pour lorsqu'un oscillateur mécanique oscille avec
frottement proportionnel à la vitesse (frottement visqueux). Ainsi, en présence d'une résistance électrique dans le circuit, les oscillations électromagnétiques se produisent selon la même loi que les oscillations mécaniques d'un oscillateur à frottement visqueux.
Dissipation de l'énergie vibratoire. Comme pour les vibrations mécaniques, il est possible d'établir la loi de diminution de l'énergie des vibrations naturelles au cours du temps en appliquant la loi Joule-Lenz pour calculer la chaleur dégagée :
De ce fait, dans le cas d'une faible atténuation pour des intervalles de temps bien supérieurs à la période d'oscillation, le taux de diminution de l'énergie d'oscillation s'avère proportionnel à l'énergie elle-même :
La solution de l'équation (18) a la forme
L'énergie des oscillations électromagnétiques naturelles dans un circuit à résistance diminue selon une loi exponentielle.
L'énergie des oscillations est proportionnelle au carré de leur amplitude. Pour les oscillations électromagnétiques, cela découle par exemple de (8). Par conséquent, l'amplitude des oscillations amorties, conformément à (19), diminue selon la loi
Durée de vie des oscillations. Comme le montre (20), l'amplitude des oscillations diminue d'un facteur de temps égal à, quelle que soit la valeur initiale de l'amplitude. Ce temps x est appelé la durée de vie des oscillations, bien que, comme on peut le voir. à partir de (20), les oscillations continuent formellement indéfiniment. En réalité, bien entendu, il n'est logique de parler d'oscillations que tant que leur amplitude dépasse la valeur caractéristique du niveau de bruit thermique dans un circuit donné. Par conséquent, en fait, les oscillations dans le circuit « vivent » pendant un temps fini, qui peut cependant être plusieurs fois supérieur à la durée de vie x introduite ci-dessus.
Il est souvent important de connaître non pas la durée de vie des oscillations x elle-même, mais le nombre d'oscillations complètes qui se produiront dans le circuit pendant cette durée x. Ce nombre multiplié par s’appelle le facteur de qualité du circuit.
À proprement parler, les oscillations amorties ne sont pas périodiques. Avec une faible atténuation, on peut conditionnellement parler de période, entendue comme l'intervalle de temps entre deux
valeurs maximales successives de la charge du condensateur (même polarité), ou valeurs maximales de courant (un sens).
L'amortissement des oscillations affecte la période, la faisant augmenter par rapport au cas idéalisé sans amortissement. Avec un faible amortissement, l'augmentation de la période d'oscillation est très faible. Cependant, avec une forte atténuation, il peut n'y avoir aucune oscillation : le condensateur chargé se déchargera de manière apériodique, c'est-à-dire sans changer le sens du courant dans le circuit. Cela se produira quand, c'est-à-dire quand
Solution exacte. Les modèles d'oscillations amorties formulés ci-dessus découlent de la solution exacte de l'équation différentielle (16). Par substitution directe on peut vérifier qu'il a la forme
où sont des constantes arbitraires dont les valeurs sont déterminées à partir des conditions initiales. À faible amortissement, le multiplicateur cosinus peut être considéré comme une amplitude d'oscillations variant lentement.
Tâche
Recharge des condensateurs via une inductance. Dans le circuit dont le schéma est représenté sur la Fig. 161, la charge du condensateur supérieur est égale et celui du bas n'est pas chargé. Pour le moment, la clé est fermée. Trouvez la dépendance du temps de charge du condensateur supérieur et du courant dans la bobine.
Riz. 161. Au moment initial, un seul condensateur est chargé
Riz. 162. Charges de condensateurs et courant dans le circuit après fermeture de la clé
Riz. 163. Analogie mécanique pour le circuit électrique illustré à la Fig. 162
Solution. Une fois la clé fermée, des oscillations se produisent dans le circuit : le condensateur supérieur commence à se décharger à travers la bobine, tout en chargeant celui du bas ; alors tout se passe dans le sens inverse. Supposons, par exemple, que la plaque supérieure du condensateur soit chargée positivement. Alors
après une courte période de temps, les signes des charges des plaques du condensateur et la direction du courant seront comme indiqué sur la Fig. 162. Désignons par charges les plaques des condensateurs supérieur et inférieur qui sont connectées les unes aux autres par l'intermédiaire d'un inducteur. Basé sur la loi de conservation de la charge électrique
La somme des tensions sur tous les éléments de la boucle fermée à chaque instant est nulle :
Le signe de la tension sur le condensateur correspond à la distribution de charge de la Fig. 162. et la direction indiquée du courant. L’expression du courant traversant la bobine peut être écrite sous deux formes :
Excluons de l'équation à l'aide des relations (22) et (24) :
Présentation des désignations
Réécrivons (25) sous la forme suivante :
Si au lieu de saisir la fonction
et prendre en compte qu'alors (27) prend la forme
Il s’agit de l’équation habituelle des oscillations harmoniques non amorties, dont la solution est
où et sont des constantes arbitraires.
En revenant de la fonction, on obtient l'expression suivante pour la dépendance du temps de charge du condensateur supérieur :
Pour déterminer les constantes et a, on tient compte du fait qu'à l'instant initial la charge et le courant Pour l'intensité du courant de (24) et (31) on a
Puisqu'il s'ensuit qu'en substituant maintenant et en tenant compte du fait que nous obtenons
Ainsi, les expressions de charge et de courant ont la forme
La nature des oscillations de charge et de courant est particulièrement claire lorsque les capacités des condensateurs sont les mêmes. Dans ce cas
La charge du condensateur supérieur oscille avec une amplitude autour de la valeur moyenne égale à. Sur la moitié de la période d'oscillation, elle diminue de la valeur maximale au moment initial jusqu'à zéro, lorsque toute la charge est sur le condensateur inférieur.
L'expression (26) pour la fréquence d'oscillation pourrait bien entendu être écrite immédiatement, puisque dans le circuit considéré, les condensateurs sont connectés en série. Cependant, il est difficile d'écrire directement les expressions (34), car dans de telles conditions initiales, il est impossible de remplacer les condensateurs inclus dans le circuit par un équivalent.
Une représentation visuelle des processus qui se produisent ici est donnée par l'analogue mécanique de ce circuit électrique, illustré à la Fig. 163. Des ressorts identiques correspondent au cas de condensateurs de même capacité. Au moment initial, le ressort gauche est comprimé, ce qui correspond à un condensateur chargé, et celui de droite est dans un état non déformé, puisque l'analogue de la charge du condensateur est ici le degré de déformation du ressort. Lors du passage par la position médiane, les deux ressorts sont partiellement comprimés, et dans la position extrême droite le ressort gauche n'est pas déformé, et celui de droite est comprimé de la même manière que celui de gauche au moment initial, ce qui correspond au flux complet de charge d'un condensateur à l'autre. Bien que la bille subisse des oscillations harmoniques normales autour de sa position d'équilibre, la déformation de chacun des ressorts est décrite par une fonction dont la valeur moyenne est non nulle.
Contrairement à un circuit oscillant avec un condensateur, où, lors des oscillations, il est rechargé à plusieurs reprises, dans le système considéré, le condensateur initialement chargé n'est pas complètement rechargé. Par exemple, lorsque sa charge est réduite à zéro, puis rétablie à la même polarité. Pour le reste, ces oscillations ne diffèrent pas des oscillations harmoniques d’un circuit conventionnel. L'énergie de ces oscillations est conservée, si, bien entendu, la résistance de la bobine et des fils de connexion peut être négligée.
Expliquez pourquoi, à partir d'une comparaison des formules (1) et (2) pour les énergies mécaniques et électromagnétiques, il a été conclu que l'analogue de la rigidité k est et l'analogue de la masse est l'inductance et non l'inverse.
Fournir une justification pour dériver l'expression (4) de la fréquence naturelle des oscillations électromagnétiques dans le circuit par analogie avec un oscillateur à ressort mécanique.
Les oscillations harmoniques dans un circuit sont caractérisées par l'amplitude, la fréquence, la période, la phase d'oscillation et la phase initiale. Lesquelles de ces grandeurs sont déterminées par les propriétés du circuit oscillatoire lui-même, et lesquelles dépendent de la méthode d'excitation des oscillations ?
Prouver que les valeurs moyennes des énergies électriques et magnétiques lors des oscillations naturelles du circuit sont égales entre elles et constituent la moitié de l'énergie électromagnétique totale des oscillations.
Comment appliquer les lois des phénomènes quasi-stationnaires dans un circuit électrique pour en dériver l'équation différentielle (12) des oscillations harmoniques dans le circuit ?
À quelle équation différentielle le courant dans un circuit LC satisfait-il ?
Dérivez une équation pour le taux de diminution de l'énergie d'oscillation à faible amortissement de la même manière que pour un oscillateur mécanique à frottement proportionnel à la vitesse, et montrez que pour des intervalles de temps dépassant significativement la période d'oscillation, cette diminution se produit selon une loi exponentielle. Quelle est la signification du terme « faible atténuation » utilisé ici ?
Montrer que la fonction donnée par la formule (21) satisfait l'équation (16) pour toutes les valeurs de et a.
Considérons le système mécanique illustré à la Fig. 163, et trouvez la dépendance du temps de déformation du ressort gauche et de la vitesse du corps massif.
Un circuit sans résistance avec des pertes inévitables. Dans le problème considéré ci-dessus, malgré les conditions initiales pas tout à fait ordinaires pour les charges sur les condensateurs, il a été possible d'appliquer des équations ordinaires pour les circuits électriques, puisque les conditions des processus quasi-stationnaires y étaient remplies. Mais dans le circuit dont le schéma est représenté sur la Fig. 164, avec une similitude externe formelle avec le diagramme de la Fig. 162, les conditions quasi-stationnaires ne sont pas satisfaites si au moment initial un condensateur est chargé et le second ne l'est pas.
Discutons plus en détail des raisons pour lesquelles les conditions de quasi-stationnarité sont ici violées. Immédiatement après la fermeture
Riz. 164. Circuit électrique pour lequel les conditions quasi-stationnaires ne sont pas remplies
clé, tous les processus se déroulent uniquement dans des condensateurs connectés les uns aux autres, car l'augmentation du courant à travers l'inducteur se produit relativement lentement et au début, la dérivation du courant dans la bobine peut être négligée.
Lorsque la clé est fermée, des oscillations rapidement amorties se produisent dans un circuit composé de condensateurs et des fils qui les relient. La période de ces oscillations est très courte car l'inductance des fils de connexion est faible. À la suite de ces oscillations, la charge sur les plaques du condensateur est redistribuée, après quoi les deux condensateurs peuvent être considérés comme un seul. Mais cela ne peut pas se faire au premier instant, car parallèlement à la redistribution des charges, se produit également une redistribution de l'énergie, dont une partie se transforme en chaleur.
Après la décroissance rapide des oscillations, des oscillations se produisent dans le système, comme dans un circuit avec un condensateur, dont la charge au moment initial est égale à la charge initiale du condensateur. La condition de validité du raisonnement ci-dessus est la petitesse. de l'inductance des fils de connexion par rapport à l'inductance de la bobine.
Comme dans le problème considéré, il est utile de trouver ici une analogie mécanique. S'il y avait deux ressorts correspondant à des condensateurs situés de part et d'autre d'un corps massif, alors ici ils devraient être situés d'un côté de celui-ci, afin que les vibrations de l'un d'eux puissent être transmises à l'autre lorsque le corps est à l'arrêt. Au lieu de deux ressorts, vous pouvez en prendre un, mais seulement au début, il doit être déformé de manière non uniforme.
Saisissons le ressort par le milieu et étirons sa moitié gauche sur une certaine distance. La seconde moitié du ressort restera dans un état non déformé, de sorte que la charge au moment initial soit déplacée d'une certaine distance de la position d'équilibre vers la droite et est au repos. Relâchez ensuite le ressort. Quelles caractéristiques résulteront du fait qu’au moment initial le ressort se déforme de manière non uniforme ? car, comme il n'est pas difficile de l'imaginer, la rigidité de la « moitié » du ressort est égale à Si la masse du ressort est petite par rapport à la masse de la bille, la fréquence des oscillations naturelles du ressort en tant que système étendu est bien supérieure à la fréquence d'oscillations de la bille sur le ressort. Ces oscillations « rapides » s’éteindront en un temps qui ne représente qu’une petite fraction de la période des oscillations de la balle. Une fois les oscillations rapides atténuées, la tension du ressort est redistribuée et le déplacement de la charge reste pratiquement égal puisque la charge n'a pas le temps de se déplacer sensiblement pendant ce temps. La déformation du ressort devient uniforme et l'énergie du système est égale à
Ainsi, le rôle des oscillations rapides du ressort a été réduit au fait que la réserve d'énergie du système a diminué jusqu'à la valeur correspondant à la déformation initiale uniforme du ressort. Il est clair que les processus ultérieurs dans le système ne diffèrent pas du cas d'une déformation initiale uniforme. La dépendance du déplacement de la charge au temps est exprimée par la même formule (36).
Dans l’exemple considéré, suite à des vibrations rapides, la moitié de l’apport initial d’énergie mécanique a été convertie en énergie interne (chaleur). Il est clair qu'en soumettant non pas la moitié, mais une partie arbitraire du ressort à une déformation initiale, il est possible de convertir n'importe quelle fraction de l'apport initial d'énergie mécanique en énergie interne. Mais dans tous les cas, l'énergie d'oscillation de la charge sur le ressort correspond à la réserve d'énergie pour la même déformation initiale uniforme du ressort.
Dans un circuit électrique, à la suite d'oscillations rapides amorties, l'énergie d'un condensateur chargé est partiellement libérée sous forme de chaleur Joule dans les fils de connexion. A capacités égales, cela représentera la moitié de la réserve énergétique initiale. La seconde moitié reste sous forme d'énergie d'oscillations électromagnétiques relativement lentes dans un circuit constitué d'une bobine et de deux condensateurs C connectés en parallèle, et
Ainsi, dans ce système, une idéalisation dans laquelle la dissipation de l’énergie d’oscillation est négligée est fondamentalement inacceptable. La raison en est que des oscillations rapides sont possibles sans affecter l’inducteur ou le corps massif dans un système mécanique similaire.
Circuit oscillatoire avec éléments non linéaires. En étudiant les vibrations mécaniques, nous avons vu que les vibrations ne sont pas toujours harmoniques. Les oscillations harmoniques sont une propriété caractéristique des systèmes linéaires dans lesquels
la force de rappel est proportionnelle à l'écart par rapport à la position d'équilibre et l'énergie potentielle est proportionnelle au carré de l'écart. En règle générale, les systèmes mécaniques réels ne possèdent pas ces propriétés et leurs vibrations ne peuvent être considérées comme harmoniques que pour de petits écarts par rapport à la position d'équilibre.
Dans le cas d'oscillations électromagnétiques dans un circuit, on peut avoir l'impression qu'il s'agit de systèmes idéaux dans lesquels les oscillations sont strictement harmoniques. Cependant, cela n'est vrai que tant que la capacité du condensateur et l'inductance de la bobine peuvent être considérées comme constantes, c'est-à-dire indépendantes de la charge et du courant. Un condensateur avec un diélectrique et une bobine avec un noyau sont, à proprement parler, des éléments non linéaires. Lorsqu'un condensateur est rempli d'un ferroélectrique, c'est-à-dire d'une substance dont la constante diélectrique dépend fortement du champ électrique appliqué, la capacité du condensateur ne peut plus être considérée comme constante. De même, l'inductance d'une bobine à noyau ferromagnétique dépend de l'intensité du courant, puisque le ferromagnétique a la propriété de saturation magnétique.
Si dans les systèmes oscillatoires mécaniques, la masse, en règle générale, peut être considérée comme constante et que la non-linéarité se produit uniquement en raison de la nature non linéaire de la force agissant, alors dans un circuit oscillatoire électromagnétique, la non-linéarité peut survenir à la fois en raison d'un condensateur (analogue d'un ressort élastique ) et grâce à un inducteur (analogue de masse).
Pourquoi l'idéalisation dans laquelle le système est considéré comme conservateur n'est-elle pas applicable à un circuit oscillant avec deux condensateurs parallèles (Fig. 164) ?
Pourquoi les oscillations rapides conduisent-elles à une dissipation de l'énergie d'oscillation dans le circuit de la Fig. 164, ne s'est pas produit dans un circuit avec deux condensateurs en série illustré à la Fig. 162 ?
Quelles raisons peuvent conduire à des oscillations électromagnétiques non sinusoïdales dans le circuit ?
Le principal dispositif qui détermine la fréquence de fonctionnement de tout générateur de courant alternatif est le circuit oscillant. Le circuit oscillatoire (Fig. 1) est constitué d'une bobine inductance L(considérons le cas idéal où la bobine n'a pas de résistance ohmique) et un condensateur C et est dit fermé. La caractéristique d'une bobine est l'inductance, elle est désignée L et mesuré en Henry (H), le condensateur est caractérisé par la capacité C, qui se mesure en farads (F).
Supposons qu'au moment initial le condensateur soit chargé de telle manière (Fig. 1) que sur l'une de ses plaques il y ait une charge + Q 0, et de l'autre - charge - Q 0 . Dans ce cas, un champ électrique avec de l'énergie se forme entre les plaques du condensateur
où est la tension d'amplitude (maximale) ou la différence de potentiel aux bornes des plaques du condensateur.
Après avoir fermé le circuit, le condensateur commence à se décharger et un courant électrique circule dans le circuit (Fig. 2), dont la valeur augmente de zéro à la valeur maximale. Puisqu'un courant d'amplitude variable circule dans le circuit, une force électromotrice auto-inductive est induite dans la bobine, ce qui empêche la décharge du condensateur. Par conséquent, le processus de décharge du condensateur ne se produit pas instantanément, mais progressivement. A chaque instant, la différence de potentiel aux bornes des plaques du condensateur
(où est la charge du condensateur à un instant donné) est égal à la différence de potentiel aux bornes de la bobine, c'est-à-dire égal à la force électromotrice d'auto-induction
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| Fig. 1 | Figure 2 |
Lorsque le condensateur est complètement déchargé et , le courant dans la bobine atteint sa valeur maximale (Fig. 3). L'induction du champ magnétique de la bobine à ce moment est également maximale, et l'énergie du champ magnétique sera égale à
Ensuite, le courant commence à diminuer et la charge s'accumule sur les plaques du condensateur (Fig. 4). Lorsque le courant diminue jusqu'à zéro, la charge du condensateur atteint sa valeur maximale Q 0, mais la plaque, auparavant chargée positivement, sera désormais chargée négativement (Fig. 5). Ensuite, le condensateur recommence à se décharger et le courant dans le circuit circule dans la direction opposée.
Ainsi, le processus de charge circulant d’une plaque de condensateur à une autre à travers l’inducteur se répète encore et encore. On dit que dans le circuit il y a vibrations électromagnétiques. Ce processus est associé non seulement aux fluctuations de la quantité de charge et de tension sur le condensateur, à l'intensité du courant dans la bobine, mais également au transfert d'énergie du champ électrique au champ magnétique et vice versa.
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| Figure 3 | Figure 4 |
La recharge du condensateur à la tension maximale ne se produira que s'il n'y a pas de perte d'énergie dans le circuit oscillant. Un tel contour est appelé idéal.
Dans les circuits réels, les pertes d'énergie suivantes se produisent :
1) les pertes de chaleur, car R. ¹ 0;
2) pertes dans le diélectrique du condensateur ;
3) pertes par hystérésis dans le noyau de la bobine ;
4) pertes de rayonnement, etc. Si l'on néglige ces pertes d'énergie, alors on peut écrire cela, c'est-à-dire
Les oscillations se produisant dans un circuit oscillatoire idéal dans lequel cette condition est remplie sont appelées gratuit, ou propre, vibrations des circuits.
Dans ce cas, la tension U(et facturer Q) sur le condensateur change selon la loi harmonique :
où n est la fréquence propre du circuit oscillant, w 0 = 2pn est la fréquence naturelle (circulaire) du circuit oscillant. La fréquence des oscillations électromagnétiques dans le circuit est définie comme
Période T- le temps pendant lequel se produit une oscillation complète de la tension sur le condensateur et du courant dans le circuit est déterminé La formule de Thomson
L'intensité du courant dans le circuit change également selon la loi harmonique, mais est en retard par rapport à la tension en phase. Par conséquent, la dépendance du courant dans le circuit en fonction du temps aura la forme
. (9)
La figure 6 montre des graphiques des changements de tension U sur le condensateur et le courant je dans la bobine pour un circuit oscillant idéal.
Dans un circuit réel, l’énergie diminuera à chaque oscillation. Les amplitudes de tension sur le condensateur et le courant dans le circuit diminueront ; de telles oscillations sont appelées amorties. Ils ne peuvent pas être utilisés dans des oscillateurs maîtres, car L'appareil fonctionnera au mieux en mode impulsion.
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| Figure 5 | Figure 6 |
Pour obtenir des oscillations non amorties, il est nécessaire de compenser les pertes d'énergie à une grande variété de fréquences de fonctionnement des appareils, y compris ceux utilisés en médecine.
Un circuit oscillant est un dispositif conçu pour générer (créer) des oscillations électromagnétiques. Depuis sa création jusqu'à nos jours, il a été utilisé dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques : de la vie quotidienne aux immenses usines produisant une grande variété de produits.
En quoi cela consiste?
Le circuit oscillant est constitué d'une bobine et d'un condensateur. De plus, il peut également contenir une résistance (un élément à résistance variable). Un inducteur (ou solénoïde, comme on l'appelle parfois) est une tige sur laquelle sont enroulées plusieurs couches d'enroulement, généralement du fil de cuivre. C'est cet élément qui crée des oscillations dans le circuit oscillatoire. La tige au milieu est souvent appelée starter ou noyau, et la bobine est parfois appelée solénoïde.
La bobine du circuit oscillant crée des oscillations uniquement en présence de charge stockée. Lorsque le courant le traverse, il accumule une charge qu’il libère ensuite dans le circuit si la tension chute.
Les fils de bobine ont généralement très peu de résistance, qui reste toujours constante. Dans le circuit du circuit oscillatoire, des changements de tension et de courant se produisent très souvent. Ce changement obéit à certaines lois mathématiques :
- U = U 0 *cos(w*(t-t 0) , où
U est la tension à un instant t donné,
U 0 - tension au temps t 0,
w - fréquence des oscillations électromagnétiques.
Un autre composant essentiel du circuit est le condensateur électrique. Il s'agit d'un élément constitué de deux plaques séparées par un diélectrique. Dans ce cas, l'épaisseur de la couche entre les plaques est inférieure à leurs dimensions. Cette conception vous permet d'accumuler une charge électrique sur le diélectrique, qui peut ensuite être libérée dans le circuit.
La différence entre un condensateur et une batterie est qu’il n’y a pas de transformation de substances sous l’influence du courant électrique, mais une accumulation directe de charge dans le champ électrique. Ainsi, à l'aide d'un condensateur, vous pouvez accumuler une charge suffisamment importante, qui peut être libérée d'un seul coup. Dans ce cas, l'intensité du courant dans le circuit augmente considérablement.
De plus, le circuit oscillatoire se compose d'un élément supplémentaire : une résistance. Cet élément a une résistance et est conçu pour contrôler le courant et la tension dans le circuit. Si vous augmentez la tension à tension constante, le courant diminuera selon la loi d'Ohm :
- I = U/R, où
I - force actuelle,
U - tension,
R - résistance.
Inducteur
Examinons de plus près toutes les subtilités de l'inducteur et comprenons mieux sa fonction dans un circuit oscillatoire. Comme nous l'avons déjà dit, la résistance de cet élément tend vers zéro. Ainsi, si elle est connectée à un circuit DC, cela se produira. Cependant, si la bobine est connectée à un circuit AC, elle fonctionnera correctement. Cela nous permet de conclure que l'élément résiste au courant alternatif.
Mais pourquoi cela se produit-il et comment une résistance apparaît-elle avec le courant alternatif ? Pour répondre à cette question, nous devons nous tourner vers un phénomène tel que l'auto-induction. Lorsque le courant traverse la bobine, une bobine y apparaît, ce qui crée un obstacle au changement de courant. L'ampleur de cette force dépend de deux facteurs : l'inductance de la bobine et la dérivée temporelle du courant. Mathématiquement, cette dépendance s'exprime à travers l'équation :
- E = -L*I"(t) , où
E - valeur EMF,
L est la valeur de l'inductance de la bobine (elle est différente pour chaque bobine et dépend du nombre d'enroulements et de leur épaisseur),
je"(t) - dérivée de l'intensité du courant par rapport au temps (taux de variation de l'intensité du courant).
La force du courant continu ne change pas avec le temps, donc aucune résistance n’apparaît lorsqu’on y est exposé.
Mais avec le courant alternatif, tous ses paramètres changent constamment selon une loi sinusoïdale ou cosinusoïdale, ce qui entraîne une FEM qui empêche ces changements. Cette résistance est dite inductive et se calcule à l'aide de la formule :
- XL = w*L, où
w - fréquence d'oscillation du circuit,
L est l'inductance de la bobine.
L'intensité du courant dans le solénoïde augmente et diminue linéairement selon diverses lois. Cela signifie que si vous arrêtez de fournir du courant à la bobine, elle continuera à libérer de la charge dans le circuit pendant un certain temps. Et si l'alimentation en courant est brusquement interrompue, un choc se produira du fait que la charge tentera de se distribuer et de quitter la bobine. Il s'agit d'un problème sérieux dans la production industrielle. Cet effet (bien qu'il ne soit pas entièrement lié au circuit oscillatoire) peut être observé, par exemple, en retirant une fiche d'une prise. Dans le même temps, une étincelle jaillit qui, à une telle échelle, ne peut pas nuire à une personne. Cela est dû au fait que le champ magnétique ne disparaît pas immédiatement, mais se dissipe progressivement, induisant des courants dans d'autres conducteurs. À l'échelle industrielle, l'intensité du courant est plusieurs fois supérieure aux 220 volts auxquels nous sommes habitués, donc si le circuit est interrompu pendant la production, des étincelles d'une telle force peuvent se produire qu'elles causeront de nombreux dommages à l'installation et aux personnes. .
La bobine est la base de ce qui constitue le circuit oscillant. Les inductances des solénoïdes connectés en série s'additionnent. Ensuite, nous examinerons de plus près toutes les subtilités de la structure de cet élément.
Qu’est-ce que l’inductance ?
L'inductance de la bobine du circuit oscillant est un indicateur individuel, numériquement égal à la force électromotrice (en volts) qui se produit dans le circuit lorsque le courant change de 1 A en 1 seconde. Si le solénoïde est connecté à un circuit CC, alors son inductance décrit l'énergie du champ magnétique créé par ce courant selon la formule :
- W=(L*I 2)/2, où
W est l'énergie du champ magnétique.
Le coefficient d'inductance dépend de nombreux facteurs : la géométrie du solénoïde, les caractéristiques magnétiques du noyau et le nombre de bobines de fil. Une autre propriété de cet indicateur est qu’il est toujours positif, car les variables dont il dépend ne peuvent pas être négatives.
L'inductance peut également être définie comme la propriété d'un conducteur porteur de courant d'accumuler de l'énergie dans un champ magnétique. Elle est mesurée en Henry (du nom du scientifique américain Joseph Henry).
En plus du solénoïde, le circuit oscillant est constitué d'un condensateur, dont nous parlerons plus tard.
Condensateur électrique
La capacité du circuit oscillant est déterminée par le condensateur. Son apparence a été décrite ci-dessus. Examinons maintenant la physique des processus qui s'y déroulent.
Étant donné que les plaques du condensateur sont constituées de conducteurs, le courant électrique peut les traverser. Cependant, il y a un obstacle entre les deux plaques : un diélectrique (il peut s'agir d'air, de bois ou d'un autre matériau à haute résistance. Du fait que la charge ne peut pas passer d'une extrémité à l'autre du fil, elle s'accumule sur le plaques du condensateur. Cela augmente la puissance des champs magnétiques et électriques qui l'entourent. Ainsi, lorsque l'alimentation en charge s'arrête, toute l'énergie électrique accumulée sur les plaques commence à être transférée au circuit.
Chaque condensateur possède un optimum pour son fonctionnement. Si vous faites fonctionner cet élément pendant une longue période à une tension supérieure à la tension nominale, sa durée de vie est considérablement réduite. Le condensateur du circuit oscillant est constamment exposé à l'influence des courants et vous devez donc être extrêmement prudent lors de son choix.
En plus des condensateurs habituels évoqués, il existe également des ionistors. Il s’agit d’un élément plus complexe : il peut être décrit comme un croisement entre une batterie et un condensateur. En règle générale, le diélectrique de l'ionistor est constitué de substances organiques entre lesquelles se trouve un électrolyte. Ensemble, ils créent une double couche électrique, ce qui permet à cette conception d'accumuler beaucoup plus d'énergie que dans un condensateur traditionnel.
Quelle est la capacité d'un condensateur ?
La capacité d'un condensateur est le rapport entre la charge du condensateur et la tension sous laquelle il se trouve. Cette valeur peut être calculée très simplement à l'aide d'une formule mathématique :
- C = (e 0 *S)/d, où
e 0 - matériau diélectrique (valeur tabulaire),
S est l'aire des plaques du condensateur,
d est la distance entre les plaques.
La dépendance de la capacité d'un condensateur sur la distance entre les plaques s'explique par le phénomène d'induction électrostatique : plus la distance entre les plaques est petite, plus elles s'influencent mutuellement (selon la loi de Coulomb), plus la charge du condensateur est grande. plaques et plus la tension est basse. Et à mesure que la tension diminue, la valeur de la capacité augmente, puisqu'elle peut aussi être décrite par la formule suivante :
- C = q/U, où
q est la charge en coulombs.
Cela vaut la peine de parler des unités de mesure de cette quantité. La capacité est mesurée en farads. 1 farad est une valeur suffisamment grande, donc les condensateurs existants (mais pas les supercondensateurs) ont une capacité mesurée en picofarads (un billionième de farad).
Résistance
Le courant dans le circuit oscillant dépend également de la résistance du circuit. Et en plus des deux éléments décrits qui composent le circuit oscillant (bobine, condensateur), il en existe également un troisième - une résistance. Il est responsable de la création de la résistance. Une résistance diffère des autres éléments en ce qu'elle possède une résistance élevée, qui peut être modifiée sur certains modèles. Dans le circuit oscillatoire, il remplit la fonction de régulateur de puissance de champ magnétique. Vous pouvez connecter plusieurs résistances en série ou en parallèle, augmentant ainsi la résistance du circuit.
La résistance de cet élément dépend également de la température, vous devez donc faire attention à son fonctionnement dans le circuit, car il chauffe lorsque le courant passe.
La résistance de la résistance est mesurée en Ohms et sa valeur peut être calculée à l'aide de la formule :
- R = (p*l)/S, où
p - résistivité du matériau de la résistance (mesurée en (Ohm*mm 2)/m) ;
l est la longueur de la résistance (en mètres) ;
S - superficie de la section transversale (en millimètres carrés).
Comment lier les paramètres de contour ?
Nous nous rapprochons maintenant de la physique du fonctionnement du circuit oscillatoire. Au fil du temps, la charge sur les plaques du condensateur change selon une équation différentielle du second ordre.
Si vous résolvez cette équation, plusieurs formules intéressantes suivent qui décrivent les processus se produisant dans le circuit. Par exemple, la fréquence cyclique peut être exprimée en termes de capacité et d'inductance.
Cependant, la formule la plus simple qui permet de calculer de nombreuses quantités inconnues est la formule de Thomson (du nom du physicien anglais William Thomson, qui l'a dérivée en 1853) :
- T = 2*n*(L*C) 1/2.
T - période d'oscillations électromagnétiques,
L et C sont respectivement l'inductance de la bobine du circuit oscillant et la capacité des éléments du circuit,
n - nombre pi.
Facteur de qualité
Il existe une autre grandeur importante qui caractérise le fonctionnement du circuit : le facteur de qualité. Afin de comprendre de quoi il s'agit, il faut se tourner vers un processus tel que la résonance. Il s'agit d'un phénomène dans lequel l'amplitude devient maximale tandis que l'amplitude de la force qui supporte cette oscillation reste constante. La résonance peut être expliquée à l’aide d’un exemple simple : si vous commencez à pousser un swing au rythme de sa fréquence, il accélérera et son « amplitude » augmentera. Et si vous perdez le rythme, ils ralentiront. La résonance dissipe souvent beaucoup d'énergie. Afin de pouvoir calculer l’ampleur des pertes, ils ont mis au point un paramètre appelé facteur de qualité. Il s'agit d'un coefficient égal au rapport entre l'énergie du système et les pertes survenant dans le circuit au cours d'un cycle.
Le facteur de qualité du circuit est calculé par la formule :
- Q = (w 0 *W)/P, où
w 0 - fréquence cyclique de résonance des oscillations ;
W est l'énergie stockée dans le système oscillatoire ;
P - dissipation de puissance.
Ce paramètre est une quantité sans dimension, car il montre en fait le rapport entre l'énergie stockée et dépensée.
Qu'est-ce qu'un circuit oscillatoire idéal
Pour mieux comprendre les processus de ce système, les physiciens ont proposé ce qu'on appelle circuit oscillatoire idéal. Il s'agit d'un modèle mathématique qui représente un circuit comme un système à résistance nulle. Des oscillations harmoniques non amorties y apparaissent. Ce modèle nous permet d'obtenir des formules de calcul approximatif des paramètres de contour. L'un de ces paramètres est l'énergie totale :
- W = (L*I 2)/2.
De telles simplifications accélèrent considérablement les calculs et permettent d'évaluer les caractéristiques d'un circuit avec des indicateurs donnés.
Comment ça fonctionne?
L'ensemble du cycle de fonctionnement du circuit oscillatoire peut être divisé en deux parties. Nous allons maintenant analyser en détail les processus se produisant dans chaque partie.
- Première phase: La plaque du condensateur, chargée positivement, commence à se décharger, libérant du courant dans le circuit. A ce moment, le courant passe d'une charge positive à une charge négative en passant par la bobine. En conséquence, des oscillations électromagnétiques apparaissent dans le circuit. Le courant, ayant traversé la bobine, passe à la deuxième plaque et la charge positivement (tandis que la première plaque, d'où circule le courant, est chargée négativement).
- Seconde phase: le processus exactement inverse se produit. Le courant passe de la plaque positive (qui était négative au tout début) à la plaque négative, en passant à nouveau par la bobine. Et toutes les accusations se mettent en place.
Le cycle est répété jusqu'à ce que le condensateur soit chargé. Dans un circuit oscillant idéal, ce processus se produit sans fin, mais dans un circuit réel, les pertes d'énergie sont inévitables en raison de divers facteurs : échauffement, qui se produit en raison de la présence d'une résistance dans le circuit (chaleur Joule), etc.
Options de conception de circuits
En plus des circuits simples « bobine-condensateur » et « bobine-résistance-condensateur », il existe d'autres options qui utilisent un circuit oscillatoire comme base. Il s'agit par exemple d'un circuit parallèle, qui diffère en ce qu'il existe en tant qu'élément d'un circuit électrique (car s'il existait séparément, ce serait un circuit en série, dont il a été question dans l'article).
Il existe également d’autres types de conceptions incluant différents composants électriques. Par exemple, vous pouvez connecter un transistor au réseau, ce qui ouvrira et fermera le circuit avec une fréquence égale à la fréquence d'oscillation dans le circuit. Ainsi, des oscillations non amorties seront établies dans le système.
Où est utilisé le circuit oscillant ?
L’utilisation la plus familière des composants de circuits est celle des électroaimants. Ils sont à leur tour utilisés dans les interphones, les moteurs électriques, les capteurs et dans de nombreux autres domaines pas si ordinaires. Une autre application est un oscillateur. En fait, cette utilisation d'un circuit nous est très familière : sous cette forme, il est utilisé dans les micro-ondes pour créer des ondes et dans les communications mobiles et radio pour transmettre des informations à distance. Tout cela est dû au fait que les vibrations des ondes électromagnétiques peuvent être codées de telle manière qu'il devient possible de transmettre des informations sur de longues distances.
L'inducteur lui-même peut être utilisé comme élément d'un transformateur : deux bobines avec un nombre d'enroulements différent peuvent transmettre leur charge à l'aide d'un champ électromagnétique. Mais comme les caractéristiques des solénoïdes sont différentes, les indicateurs de courant dans les deux circuits auxquels ces deux inductances sont connectées seront différents. Ainsi, il est possible de convertir un courant d'une tension de, disons, 220 volts en un courant d'une tension de 12 volts.
Conclusion
Nous avons examiné en détail le principe de fonctionnement du circuit oscillant et de chacune de ses parties séparément. Nous avons appris qu'un circuit oscillant est un dispositif conçu pour créer des ondes électromagnétiques. Toutefois, ce ne sont là que les bases de la mécanique complexe de ces éléments en apparence simples. Vous pouvez en apprendre davantage sur les subtilités du circuit et de ses composants grâce à la littérature spécialisée.
