Regardons deux dents d'un profil de scie bien connu. Dirigons l'axe le long du côté plat de la scie et l'axe perpendiculaire à celui-ci. Nous obtenons un graphique d'une fonction illustrée à la Fig. 1.

Il est bien évident qu'à la fois au point et au point, les valeurs de la fonction sont les plus grandes par rapport aux valeurs des points voisins à droite et à gauche, et au point elles sont les plus petites par rapport aux points voisins points. Les points sont appelés points extremum de la fonction (du latin extremum - "extrême"), les points et - les points maximum, et le point - le point minimum (du latin maximum et minimum - "le plus grand" et "le plus petit »).

Clarifions la définition de l'extremum.

Une fonction en un point est dite avoir un maximum s'il existe un intervalle contenant le point et appartenant au domaine de définition de la fonction tel que pour tous les points de cet intervalle il s'avère . En conséquence, une fonction en un point a un minimum si la condition est satisfaite pour tous les points d'un certain intervalle.

En figue. 2 et 3 montrent des graphiques de fonctions qui ont un extremum en un point.

Faisons attention au fait que, par définition, le point extremum doit se situer à l'intérieur de l'intervalle définissant la fonction, et non à sa fin. Par conséquent, pour la fonction illustrée à la Fig. 1, nous ne pouvons pas supposer qu’il y a un minimum à ce point.

Si dans cette définition du maximum (minimum) d'une fonction on remplace l'inégalité stricte par une inégalité non stricte , on obtient alors la définition d'un maximum non strict (minimum non strict). Considérons, par exemple, le profil d'un sommet de montagne (Fig. 4). Chaque point d'une surface plane - un segment - est un point d'un maximum non strict.

En calcul différentiel, l'étude d'une fonction pour les extrema est très efficace et assez simple en utilisant la dérivée. L'un des principaux théorèmes du calcul différentiel, qui établit une condition nécessaire pour l'extremum d'une fonction différentiable, est le théorème de Fermat (voir Théorème de Fermat). Laissez la fonction avoir un extremum en un point. Si une dérivée existe à ce stade, alors elle est égale à zéro.

En langage géométrique, le théorème de Fermat signifie qu’au point extrême la tangente au graphique de la fonction est horizontale (Fig. 5). Bien entendu, l’affirmation inverse n’est pas vraie, comme le montre, par exemple, le graphique de la Fig. 6.

Le théorème porte le nom du mathématicien français P. Fermat, qui fut l'un des premiers à résoudre un certain nombre de problèmes extrêmes. Il n'avait pas encore le concept de dérivée, mais utilisait dans ses recherches une méthode dont l'essence est exprimée dans l'énoncé du théorème.

Une condition suffisante pour l'extremum d'une fonction différentiable est un changement du signe de la dérivée. Si à un moment donné la dérivée change de signe de moins à plus, c'est-à-dire sa diminution est remplacée par une augmentation, alors le point sera un point minimum. Au contraire, un point sera un point maximum si la dérivée change de signe du plus au moins, c'est-à-dire va de croissant à décroissant.

Le point où la dérivée d’une fonction est égale à zéro est dit stationnaire. Si une fonction différentiable est examinée pour son extremum, alors tous ses points stationnaires doivent être trouvés et les signes de la dérivée à gauche et à droite d'eux doivent être pris en compte.

Examinons la fonction pour extremum.

Trouvons sa dérivée : .

On retrouve les valeurs de la fonction aux points extremum : , . Le graphique des fonctions est présenté sur la Fig. 8.

Notez qu'il existe des cas possibles où l'extremum est atteint à un point où la dérivée n'existe pas. Ce sont les points extrêmes du profil de la scie ; un exemple d'une telle fonction est donné sur la Fig. 1.

Les problèmes de maximum et de minimum sont de la plus haute importance en physique, en mécanique et dans diverses applications des mathématiques. Ce sont ces problèmes qui ont conduit les mathématiques à la création du calcul différentiel, et le calcul différentiel a fourni une méthode générale puissante pour résoudre des problèmes extrêmes en utilisant la dérivée.

Fonctions, il n'est pas du tout nécessaire de connaître la présence des dérivées première et seconde et de comprendre leur signification physique. Vous devez d’abord comprendre ce qui suit :

• les extrema de la fonction maximisent ou, à l'inverse, minimisent la valeur de la fonction dans un voisinage arbitrairement petit ;
• il ne doit y avoir aucune discontinuité de la fonction au point extrême.

Et maintenant la même chose, uniquement dans un langage simple. Regardez la pointe du stylo à bille. Si le stylo est positionné verticalement, avec l'extrémité d'écriture vers le haut, alors le milieu même de la balle sera l'extremum - le point le plus élevé. Dans ce cas, nous parlons de maximum. Maintenant, si vous tournez le stylo avec l'extrémité d'écriture vers le bas, il y aura déjà une fonction minimale au milieu de la balle. A l'aide de la figure donnée ici, vous pouvez imaginer les manipulations répertoriées pour un crayon de papeterie. Ainsi, les extrema d'une fonction sont toujours des points critiques : son maximum ou son minimum. La section adjacente du graphique peut être aussi nette ou lisse que vous le souhaitez, mais elle doit exister des deux côtés, seulement dans ce cas le point est un extremum. Si le graphe est présent d’un seul côté, ce point ne sera pas un extremum même si d’un côté les conditions extremum sont remplies. Étudions maintenant les extrema de la fonction d'un point de vue scientifique. Pour qu’un point soit considéré comme un extremum, il faut et il suffit que :

• la dérivée première était nulle ou n'existait pas à ce point ;
• la dérivée première a changé de signe à ce stade.

La condition est interprétée légèrement différemment du point de vue des dérivées d'ordre supérieur : pour une fonction qui est différentiable en un point, il suffit qu'il existe une dérivée d'ordre impair qui n'est pas égale à zéro, alors que toutes les dérivées d'ordre inférieur doivent exister et être égal à zéro. Il s'agit de l'interprétation la plus simple possible des théorèmes des manuels scolaires. Mais pour les gens les plus ordinaires, cela vaut la peine d'expliquer ce point à l'aide d'un exemple. La base est une parabole ordinaire. Réservons tout de suite : au point zéro il y a un minimum. Juste un petit calcul :

• dérivée première (X 2) | = 2X, pour le point zéro 2X = 0 ;
• dérivée seconde (2X) | = 2, pour zéro point 2 = 2.

De cette manière simple, les conditions qui déterminent les extrema de la fonction pour les dérivées du premier ordre et d’ordre supérieur sont illustrées. On peut ajouter à cela que la dérivée seconde est précisément la même dérivée d'ordre impair, non égale à zéro, dont il a été question juste plus haut. Lorsqu'il s'agit d'extrema d'une fonction à deux variables, les conditions doivent être remplies pour les deux arguments. Lorsque la généralisation se produit, des dérivées partielles sont utilisées. Autrement dit, pour qu'il y ait un extremum en un point, les deux dérivées du premier ordre doivent être égales à zéro, ou au moins l'une d'elles n'existe pas. Pour s'assurer que la présence d'un extremum est suffisante, on étudie une expression qui est la différence entre le produit des dérivées du second ordre et le carré de la dérivée mixte du second ordre de la fonction. Si cette expression est supérieure à zéro, alors il y a un extremum, mais si elle est égale à zéro, alors la question reste ouverte et des recherches complémentaires doivent être menées.

Avec ce service, vous pouvez trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction une variable f(x) avec la solution formatée dans Word. Si la fonction f(x,y) est donnée, il faut donc trouver l'extremum de la fonction de deux variables. Vous pouvez également trouver les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction

y=

sur le segment [ ;]

Inclure la théorie

Règles de saisie des fonctions:

Condition nécessaire pour l'extremum d'une fonction d'une variable

L'équation f" 0 (x *) = 0 est une condition nécessaire pour l'extremum d'une fonction d'une variable, c'est-à-dire qu'au point x * la dérivée première de la fonction doit disparaître. Elle identifie les points stationnaires x c auxquels la fonction ne augmenter ou diminuer .

Condition suffisante pour l'extremum d'une fonction d'une variable

Soit f 0 (x) deux fois différentiable par rapport à x appartenant à l'ensemble D. Si au point x* la condition est remplie :

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Alors le point x* est le point de minimum local (global) de la fonction.

Si au point x* la condition est remplie :

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Alors le point x * est un maximum local (global).

Exemple n°1. Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction : sur le segment.
Solution.

Le point critique est un x 1 = 2 (f’(x)=0). Ce point appartient au segment. (Le point x=0 n'est pas critique, puisque 0∉).
On calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point critique.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Réponse : f min = 5 / 2 à x=2 ; f max =9 à x=1

Exemple n°2. En utilisant des dérivées d'ordre supérieur, trouvez l'extremum de la fonction y=x-2sin(x) .
Solution.
Trouvez la dérivée de la fonction : y’=1-2cos(x) . Trouvons les points critiques : 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. On trouve y’’=2sin(x), calculer , ce qui veut dire x= π / 3 +2πk, k∈Z sont les points minimaux de la fonction ; , ce qui signifie x=- π / 3 +2πk, k∈Z sont les points maximum de la fonction.

Exemple n°3. Étudiez la fonction extremum au voisinage du point x=0.
Solution. Ici, il faut trouver les extrema de la fonction. Si l'extremum x=0, alors découvrez son type (minimum ou maximum). Si parmi les points trouvés il n'y a pas x = 0, alors calculez la valeur de la fonction f(x=0).
Il est à noter que lorsque la dérivée de chaque côté d'un point donné ne change pas de signe, les situations possibles ne sont pas épuisées même pour des fonctions différentiables : il peut arriver que pour un voisinage arbitrairement petit d'un côté du point x 0 ou des deux côtés, la dérivée change de signe. À ces stades, il est nécessaire d’utiliser d’autres méthodes pour étudier les fonctions extremum.

Augmentation, diminution et extrema d'une fonction

Trouver les intervalles d'augmentation, de diminution et d'extrema d'une fonction est à la fois une tâche indépendante et une partie essentielle d'autres tâches, en particulier, étude de fonction complète. Les premières informations sur l'augmentation, la diminution et les extrema de la fonction sont données dans chapitre théorique sur la dérivée, que je recommande vivement pour une étude préliminaire (ou répétition)– également parce que le matériel suivant est basé sur le même essentiellement dérivé,étant une continuation harmonieuse de cet article. Cependant, si le temps manque, une pratique purement formelle des exemples de la leçon d’aujourd’hui est également possible.

Et aujourd'hui, il y a un esprit d'une rare unanimité dans l'air, et je sens directement que toutes les personnes présentes brûlent de désir. apprendre à explorer une fonction à l'aide de sa dérivée. Par conséquent, une terminologie raisonnable, bonne et éternelle apparaît immédiatement sur vos écrans.

Pour quoi? L’une des raisons est la plus pratique : afin qu'il soit clair ce qui est généralement exigé de vous dans une tâche particulière!

Monotonie de la fonction. Points extremum et extremum d'une fonction

Considérons une fonction. Pour faire simple, nous supposons qu'elle continu sur toute la droite numérique :

Au cas où, débarrassons-nous immédiatement des illusions possibles, surtout pour les lecteurs qui ont récemment pris connaissance de intervalles de signe constant de la fonction. Maintenant nous PAS INTÉRESSÉ, comment se situe le graphique de la fonction par rapport à l'axe (en haut, en bas, à l'intersection de l'axe). Pour être convaincant, effacez mentalement les axes et laissez un graphique. Car c’est là que réside l’intérêt.

Fonction augmente sur un intervalle si pour deux points quelconques de cet intervalle reliés par la relation , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration croît au fil de l'intervalle.

De même, la fonction diminue sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction, et son graphique va « de haut en bas ». Notre fonction diminue à intervalles réguliers .

Si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, alors elle est appelée strictement monotoneà cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie ? Prenez-le au pied de la lettre : la monotonie.

Vous pouvez également définir non décroissant fonction (condition détendue dans la première définition) et non croissant fonction (condition adoucie dans la 2ème définition). Une fonction non décroissante ou non croissante sur un intervalle est appelée fonction monotone sur un intervalle donné. (la monotonie stricte est un cas particulier de monotonie « simplement »).

La théorie envisage également d'autres approches pour déterminer l'augmentation/diminution d'une fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais afin de ne pas vous verser d'huile-huile-huile sur la tête, nous accepterons d'opérer avec des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est plus clair et cela suffit amplement pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.

Ainsi, dans mes articles la formulation « monotonie d'une fonction » sera presque toujours cachée intervalles monotonie stricte(fonction strictement croissante ou strictement décroissante).

Quartier d'un point. Des mots après lesquels les étudiants s'enfuient partout où ils peuvent et se cachent avec horreur dans les coins. ...Bien qu'après le post Limites de Cauchy Ils ne se cachent probablement plus, mais frémissent juste légèrement =) Ne vous inquiétez pas, il n'y aura plus de preuves des théorèmes de l'analyse mathématique - j'avais besoin de l'environnement pour formuler les définitions plus strictement points extrêmes. Souvenons-nous:

Quartier d'un point un intervalle qui contient un point donné est appelé et, pour plus de commodité, l'intervalle est souvent supposé symétrique. Par exemple, un point et son voisinage standard :

En fait, les définitions :

Le point s'appelle point maximum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Dans notre exemple spécifique, il s'agit d'un point.

Le point s'appelle point minimum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Sur le dessin, il y a le point « a ».

Note : l'exigence de symétrie du voisinage n'est pas du tout nécessaire. De plus, il est important le fait même de l'existence quartier (qu'il soit minuscule ou microscopique) qui satisfait aux conditions spécifiées

Les points sont appelés points strictement extrêmes ou simplement points extrêmes les fonctions. Autrement dit, il s’agit d’un terme généralisé désignant le maximum de points et le minimum de points.

Comment comprenons-nous le mot « extrême » ? Oui, tout aussi directement que la monotonie. Points extrêmes des montagnes russes.

Comme dans le cas de la monotonie, des postulats vagues existent et sont encore plus courants en théorie (dont relèvent bien entendu les cas stricts considérés !):

Le point s'appelle point maximum, Si existe ses environs sont tels que pour tous
Le point s'appelle point minimum, Si existe ses environs sont tels que pour tous valeurs de ce quartier, l'inégalité tient.

Notez que selon les deux dernières définitions, tout point d’une fonction constante (ou une « section plate » d’une fonction) est considéré à la fois comme un point maximum et un point minimum ! Soit dit en passant, la fonction est à la fois non croissante et non décroissante, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous laisserons ces considérations aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours des « collines » et des « creux » traditionnels (voir dessin) avec un unique « roi de la colline » ou « princesse du marais ». En tant que variété, on le trouve conseil, dirigé vers le haut ou vers le bas, par exemple le minimum de la fonction en ce point.

Oh, et en parlant de royauté :
– le sens s'appelle maximum les fonctions;
– le sens s'appelle le minimum les fonctions.

Nom commun - extrêmes les fonctions.

S'il vous plaît, soyez prudent avec vos mots !

Points extrêmes– ce sont des valeurs « X ».
Extrêmes– les significations « jeu ».

! Note : parfois les termes répertoriés font référence aux points « X-Y » qui se trouvent directement sur le GRAPHIQUE DE la fonction ELLE-MÊME.

Combien d’extrema une fonction peut-elle avoir ?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, le sinus a une infinité de minima et de maxima.

IMPORTANT! Le terme « maximum de fonction » pas identique le terme « valeur maximale d’une fonction ». Il est facile de remarquer que la valeur n'est maximale que dans un quartier local, et en haut à gauche se trouvent des « camarades plus cool ». De même, « minimum d'une fonction » n'est pas la même chose que « valeur minimale d'une fonction », et sur le dessin, nous voyons que la valeur n'est minimale que dans une certaine zone. À cet égard, les points extrêmes sont également appelés points extrêmes locaux, et les extrema – extrêmes locaux. Ils marchent et errent à proximité et mondial frères. Ainsi, toute parabole a à son sommet minimum global ou maximum global. De plus, je ne ferai pas de distinction entre les types d'extrêmes, et l'explication est davantage formulée à des fins pédagogiques générales - les adjectifs supplémentaires « local »/« global » ne devraient pas vous surprendre.

Résumons notre courte excursion dans la théorie par un plan test : que signifie la tâche « trouver les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction » ?

La formulation vous encourage à trouver :

– intervalles de fonction croissante/décroissante (non décroissant, non croissant apparaît beaucoup moins souvent) ;

– points maximum et/ou minimum (le cas échéant). Bon, pour éviter l'échec, mieux vaut trouver soi-même les minimums/maximums ;-)

Comment déterminer tout cela ? Utilisation de la fonction dérivée !

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,
points extremum et extremum de la fonction ?

En fait, de nombreuses règles sont déjà connues et comprises depuis leçon sur la signification d'un dérivé.

Dérivée tangente apporte de joyeuses nouvelles selon lesquelles la fonction augmente partout domaine de définition.

Avec cotangente et sa dérivée la situation est exactement le contraire.

L'arc sinus augmente au cours de l'intervalle - la dérivée ici est positive : .
Lorsque la fonction est définie, mais non différentiable. Cependant, au point critique, il y a une dérivée à droite et une tangente à droite, et à l’autre bord se trouvent leurs homologues à gauche.

Je pense qu’il ne vous sera pas trop difficile de faire un raisonnement similaire pour l’arc cosinus et sa dérivée.

Tous les cas ci-dessus, dont beaucoup sont dérivés tabulaires, je vous le rappelle, suivez directement de définitions dérivées.

Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ?

Pour mieux comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction: où il va « de bas en haut », où « de haut en bas », où il atteint les minimums et les maximums (si tant est qu'il les atteigne). Toutes les fonctions ne sont pas aussi simples : dans la plupart des cas, nous n’avons aucune idée du graphique d’une fonction particulière.

Il est temps de passer à des exemples plus significatifs et de considérer algorithme pour trouver des intervalles de monotonie et des extrema d'une fonction:

Exemple 1

Trouver les intervalles d'augmentation/diminution et les extrema de la fonction

Solution:

1) La première étape consiste à trouver domaine d'une fonction, et prenez également note des points d'arrêt (s'ils existent). Dans ce cas, la fonction est continue sur toute la droite numérique, et cette action est dans une certaine mesure formelle. Mais dans un certain nombre de cas, des passions sérieuses éclatent ici, alors traitons le paragraphe sans dédain.

2) Le deuxième point de l’algorithme est dû à

une condition nécessaire pour un extremum :

S'il y a un extremum en un point, alors soit la valeur n'existe pas.

Vous êtes confus par la fin ? Extremum de la fonction « module x » .

La condition est nécessaire, mais pas assez, et l’inverse n’est pas toujours vrai. Ainsi, il ne résulte pas encore de l'égalité que la fonction atteint un maximum ou un minimum au point . Un exemple classique a déjà été souligné ci-dessus : il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Quoi qu'il en soit, la condition nécessaire à l'extremum dicte la nécessité de trouver les points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation :

Au début du premier article à propos des graphiques de fonctions Je vous ai expliqué comment construire rapidement une parabole à l'aide d'un exemple : "...nous prenons la dérivée première et l'assimilons à zéro : ...Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole...". Maintenant, je pense que tout le monde comprend pourquoi le sommet de la parabole se situe exactement à cet endroit =) En général, on devrait commencer par un exemple similaire ici, mais c'est trop simple (même pour une théière). De plus, il y a un analogue à la toute fin de la leçon sur dérivée d'une fonction. Par conséquent, augmentons le degré :

Exemple 2

Trouver les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Une solution complète et un échantillon final approximatif du problème à la fin de la leçon.

Le moment tant attendu de rencontre avec les fonctions fractionnaires-rationnelles est arrivé :

Exemple 3

Explorer une fonction en utilisant la dérivée première

Veuillez noter à quel point une même tâche peut être reformulée de différentes manières.

Solution:

1) La fonction subit des discontinuités infinies en certains points.

2) Nous détectons les points critiques. Trouvons la dérivée première et égalons-la à zéro :

Résolvons l'équation. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul :

Ainsi, nous obtenons trois points critiques :

3) Nous traçons TOUS les points détectés sur la droite numérique et méthode d'intervalle on définit les signes du DÉRIVÉ :

Je vous rappelle que vous devez prendre un point dans l'intervalle et y calculer la valeur de la dérivée et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne même pas compter, mais d'« estimer » verbalement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuons la substitution : .

Deux « plus » et un « moins » donnent donc un « moins », ce qui signifie que la dérivée est négative sur tout l'intervalle.

L'action, comme vous le comprenez, doit être effectuée pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le facteur numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de n'importe quel intervalle, ce qui simplifie grandement la tâche.

Ainsi, la dérivée nous a dit que la FONCTION ELLE-MÊME augmente de et diminue de . Il est pratique de joindre des intervalles du même type avec l'icône de jointure.

Au moment où la fonction atteint son maximum :
Au moment où la fonction atteint un minimum :

Réfléchissez à la raison pour laquelle vous n'avez pas besoin de recalculer la deuxième valeur ;-)

En passant par un point, la dérivée ne change pas de signe, donc la fonction n'y a AUCUN EXTREMUM - elle a à la fois diminué et est restée décroissante.

! Répétons un point important: les points ne sont pas considérés comme critiques - ils contiennent une fonction non déterminé. En conséquence, ici En principe, il ne peut y avoir d'extrêmes(même si la dérivée change de signe).

Répondre: la fonction augmente de et diminue de Au moment où le maximum de la fonction est atteint : , et au point – le minimum : .

Connaissance des intervalles de monotonie et des extrema, associée à des connaissances établies asymptote donne déjà une très bonne idée de l'apparence du graphe de fonction. Une personne de formation moyenne est capable de déterminer verbalement que le graphique d'une fonction comporte deux asymptotes verticales et une asymptote oblique. Voici notre héros :

Essayez à nouveau de corréler les résultats de l'étude avec le graphique de cette fonction.
Il n’y a pas d’extremum au point critique, mais il y a inflexion du graphique(ce qui arrive généralement dans des cas similaires).

Exemple 4

Trouver les extrema de la fonction

Exemple 5

Trouver les intervalles de monotonie, les maxima et les minima de la fonction

…c’est presque comme une sorte de vacances « X dans un cube » aujourd’hui….
Alors, qui dans la galerie a proposé de boire pour ça ? =)

Chaque tâche a ses propres nuances de fond et subtilités techniques, qui sont commentées à la fin de la leçon.

À partir de cet article, le lecteur découvrira ce qu'est un extremum de valeur fonctionnelle, ainsi que les caractéristiques de son utilisation dans des activités pratiques. L’étude d’un tel concept est extrêmement importante pour comprendre les fondements des mathématiques supérieures. Ce sujet est fondamental pour une étude plus approfondie du cours.

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Qu'est-ce qu'un extremum ?

Dans le cursus scolaire, de nombreuses définitions du concept « extremum » sont données. Cet article est destiné à donner la compréhension la plus profonde et la plus claire du terme à ceux qui ignorent le problème. Ainsi, le terme désigne dans quelle mesure l'intervalle fonctionnel acquiert une valeur minimale ou maximale sur un ensemble particulier.

Un extremum est à la fois la valeur minimale et la valeur maximale d’une fonction. Il existe un point minimum et un point maximum, c'est-à-dire les valeurs extrêmes de l'argument sur le graphique. Les principales sciences qui utilisent ce concept sont :

• statistiques;
• contrôle des machines;
• économétrie.

Les points extrêmes jouent un rôle important dans la détermination de la séquence d'une fonction donnée. Le système de coordonnées dans le graphique montre au mieux le changement de position extrême en fonction du changement de fonctionnalité.

Extrémas de la fonction dérivée

Il existe également un phénomène tel que le « dérivé ». Il est nécessaire de déterminer le point extrême. Il est important de ne pas confondre les points minimum ou maximum avec les valeurs les plus élevées et les plus basses. Ce sont des concepts différents, même s’ils peuvent sembler similaires.

La valeur de la fonction est le facteur principal pour déterminer comment trouver le point maximum. La dérivée n'est pas formée de valeurs, mais exclusivement de sa position extrême dans l'un ou l'autre ordre.

La dérivée elle-même est déterminée sur la base de ces points extrêmes, et non sur la valeur la plus grande ou la plus petite. Dans les écoles russes, la frontière entre ces deux concepts n'est pas clairement tracée, ce qui affecte la compréhension de ce sujet en général.

Considérons maintenant un concept tel que « l'extremum aigu ». Aujourd’hui, il existe une valeur minimale aiguë et une valeur maximale aiguë. La définition est donnée conformément à la classification russe des points critiques d'une fonction. Le concept de point extrême est la base pour trouver des points critiques sur un graphique.

Pour définir un tel concept, ils recourent au théorème de Fermat. C'est le plus important dans l'étude des points extrêmes et donne une idée précise de leur existence sous une forme ou une autre. Pour garantir l'extrême, il est important de créer certaines conditions pour une diminution ou une augmentation sur le graphique.

Pour répondre avec précision à la question « comment trouver le point maximum », vous devez suivre ces directives :

1. Trouver le domaine exact de définition sur le graphique.
2. Rechercher la dérivée d'une fonction et le point extremum.
3. Résolvez les inégalités standards pour le domaine où se trouve l’argument.
4. Être capable de prouver dans quelles fonctions un point sur un graphique est défini et continu.

Attention! La recherche du point critique d'une fonction n'est possible que s'il existe une dérivée d'au moins deuxième ordre, ce qui est assuré par une forte proportion de présence d'un point extremum.

Condition nécessaire à l'extremum d'une fonction

Pour qu’un extremum existe, il est important qu’il y ait à la fois un minimum et un maximum de points. Si cette règle n'est que partiellement respectée, alors la condition d'existence d'un extremum est violée.

Chaque fonction, quelle que soit sa position, doit être différenciée afin d'identifier ses nouvelles significations. Il est important de comprendre que le cas où un point tend vers zéro n’est pas le principe principal pour trouver un point dérivable.

Un extremum aigu, ainsi qu'un minimum d'une fonction, sont un aspect extrêmement important de la résolution d'un problème mathématique utilisant des valeurs extrêmes. Afin de mieux comprendre ce composant, il est important de se référer aux valeurs tabulaires pour spécifier la fonctionnalité.

Recherche pleine de sens

Tracer un graphique de valeurs

1. Détermination des points de valeurs croissantes et décroissantes. 2. Recherche de points de discontinuité, d'extremum et d'intersection avec des axes de coordonnées. 3. Le processus de détermination des changements de position sur un graphique. 4. Détermination de l'indicateur et de la direction de convexité et de convexité, en tenant compte de la présence d'asymptotes. 5. Création d'un tableau récapitulatif de recherche du point de vue de la détermination de ses coordonnées. 6. Trouver les intervalles de points extrêmes et pointus croissants et décroissants. 7. Détermination de la convexité et de la concavité d'une courbe. 8. Tracer un graphique prenant en compte la recherche permet de trouver le minimum ou le maximum.

L'élément principal lorsqu'il est nécessaire de travailler avec des points extrêmes est la construction précise de son graphique. Les enseignants des écoles n'accordent pas souvent la plus grande attention à un aspect aussi important, ce qui constitue une violation flagrante du processus éducatif. La construction d'un graphique se fait uniquement sur la base des résultats de l'étude des données fonctionnelles, de l'identification des extrema aigus, ainsi que des points sur le graphique. Les extrema nets de la fonction dérivée sont affichés sur un tracé de valeurs exactes, en utilisant une procédure standard pour déterminer les asymptotes.