Exemple
1,6 / 2 = 0,8 ; 4/5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8, etc.Facteur de proportionnalité
Une relation constante de quantités proportionnelles est appelée facteur de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité il y a par unité d'une autre.
Proportionnalité directe
Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une certaine quantité dépend d'une autre quantité de telle sorte que leur rapport reste constant. En d'autres termes, ces variables changent proportionnellement, en parts égales, c'est-à-dire que si l'argument change deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.
Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :
F(X) = unX,un = const
Proportionnalité inverse
Proportionnalité inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).
Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme d'une formule :
Propriétés de la fonction :
Sources
Fondation Wikimédia. 2010.
Le concept de proportionnalité directe
Imaginez que vous envisagez d'acheter vos bonbons préférés (ou tout ce que vous aimez vraiment). Les bonbons dans le magasin ont leur propre prix. Disons 300 roubles par kilogramme. Plus vous achetez de bonbons, plus vous payez d’argent. Autrement dit, si vous voulez 2 kilogrammes, payez 600 roubles, mais si vous voulez 3 kilogrammes, payez 900 roubles. Tout cela semble clair, n'est-ce pas ?
Si oui, alors vous comprenez maintenant ce qu'est la proportionnalité directe : il s'agit d'un concept qui décrit la relation entre deux quantités dépendant l'une de l'autre. Et le rapport de ces quantités reste inchangé et constant : de combien de parties l'une d'elles augmente ou diminue, du même nombre de parties la seconde augmente ou diminue proportionnellement.
La proportionnalité directe peut être décrite par la formule suivante : f(x) = a*x, et a dans cette formule est une valeur constante (a = const). Dans notre exemple sur les bonbons, le prix est une valeur constante, une constante. Il n’augmente ni ne diminue, quel que soit le nombre de bonbons que vous décidez d’acheter. La variable indépendante (argument) x correspond au nombre de kilogrammes de bonbons que vous allez acheter. Et la variable dépendante f(x) (fonction) correspond au montant que vous finissez par payer pour votre achat. Nous pouvons donc substituer les nombres dans la formule et obtenir : 600 roubles. = 300 roubles. *2 kg.
La conclusion intermédiaire est la suivante : si l’argument augmente, la fonction augmente aussi, si l’argument diminue, la fonction diminue aussi
Fonction et ses propriétés
Fonction proportionnelle directe est un cas particulier de fonction linéaire. Si la fonction linéaire est y = k*x + b, alors pour la proportionnalité directe, cela ressemble à ceci : y = k*x, où k est appelé coefficient de proportionnalité, et c'est toujours un nombre non nul. Il est facile de calculer k - il se trouve comme le quotient d'une fonction et d'un argument : k = y/x.
Pour que ce soit plus clair, prenons un autre exemple. Imaginez qu'une voiture se déplace d'un point A à un point B. Sa vitesse est de 60 km/h. Si nous supposons que la vitesse de déplacement reste constante, alors elle peut être considérée comme constante. Et puis on écrit les conditions sous la forme : S = 60*t, et cette formule est similaire à la fonction de proportionnalité directe y = k *x. Faisons un parallèle plus loin : si k = y/x, alors la vitesse de la voiture peut être calculée en connaissant la distance entre A et B et le temps passé sur la route : V = S /t.
Et maintenant, à partir de l’application appliquée des connaissances sur la proportionnalité directe, revenons à sa fonction. Dont les propriétés comprennent :
son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels (ainsi que ses sous-ensembles) ;
la fonction est étrange ;
le changement de variables est directement proportionnel sur toute la longueur de la droite numérique.
La proportionnalité directe et son graphique
Le graphique d'une fonction de proportionnalité directe est une ligne droite qui coupe l'origine. Pour le construire, il suffit de marquer encore un point. Et connectez-le à l’origine des coordonnées avec une ligne droite.
Dans le cas d'un graphique, k est la pente. Si la pente est inférieure à zéro (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), le graphique et l’axe des x forment un angle aigu et la fonction est croissante.
Et une autre propriété du graphique de la fonction de proportionnalité directe est directement liée à la pente k. Supposons que nous ayons deux fonctions non identiques et, par conséquent, deux graphiques. Ainsi, si les coefficients k de ces fonctions sont égaux, leurs graphiques sont situés parallèlement à l'axe des coordonnées. Et si les coefficients k ne sont pas égaux entre eux, les graphiques se croisent.
Exemples de problèmes
Maintenant, résolvons quelques-uns problèmes de proportionnalité directs
Commençons par quelque chose de simple.
Problème 1 : Imaginez que 5 poules pondent 5 œufs en 5 jours. Et s’il y a 20 poules, combien d’œufs pondront-elles en 20 jours ?
Solution : Notons l'inconnue par kx. Et nous raisonnerons ainsi : combien de fois plus de poulets sont-ils devenus ? Divisez 20 par 5 et découvrez que c'est 4 fois. Combien de fois plus d’œufs 20 poules pondront-elles au cours des mêmes 5 jours ? Et 4 fois plus. On retrouve donc le nôtre ainsi : 5*4*4 = 80 œufs seront pondus par 20 poules en 20 jours.
Maintenant, l’exemple est un peu plus compliqué, paraphrasons le problème de « l’arithmétique générale » de Newton. Problème 2 : Un écrivain peut composer 14 pages d'un nouveau livre en 8 jours. S’il avait des assistants, combien de personnes faudrait-il pour écrire 420 pages en 12 jours ?
Solution : Nous pensons que le nombre de personnes (écrivain + assistants) augmente avec le volume de travail si celui-ci devait être effectué dans le même laps de temps. Mais combien de fois ? En divisant 420 par 14, on découvre qu'il augmente de 30 fois. Mais comme, selon les conditions de la tâche, plus de temps est accordé pour le travail, le nombre d'assistants n'augmente pas de 30 fois, mais de cette manière : x = 1 (écrivain) * 30 (fois) : 12/8 ( jours). Transformons-nous et découvrons que x = 20 personnes écriront 420 pages en 12 jours.
Résolvons un autre problème similaire à ceux de nos exemples.
Problème 3 : Deux voitures partent pour le même voyage. L’un se déplaçait à une vitesse de 70 km/h et parcourait la même distance en 2 heures tandis que l’autre mettait 7 heures. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture.
Solution : Comme vous vous en souvenez, le chemin est déterminé par la vitesse et le temps - S = V *t. Puisque les deux voitures ont parcouru la même distance, nous pouvons assimiler les deux expressions : 70*2 = V*7. Comment pouvons-nous déterminer que la vitesse de la deuxième voiture est V = 70*2/7 = 20 km/h.
Et quelques autres exemples de tâches avec des fonctions de proportionnalité directe. Parfois, les problèmes nécessitent de trouver le coefficient k.
Tâche 4 : Étant donné les fonctions y = - x/16 et y = 5x/2, déterminer leurs coefficients de proportionnalité.
Solution : Comme vous vous en souvenez, k = y/x. Cela signifie que pour la première fonction le coefficient est égal à -1/16, et pour la seconde k = 5/2.
Vous pouvez également rencontrer une tâche comme la tâche 5 : noter la proportionnalité directe avec une formule. Son graphique et le graphique de la fonction y = -5x + 3 sont situés en parallèle.
Solution : La fonction qui nous est donnée dans la condition est linéaire. Nous savons que la proportionnalité directe est un cas particulier de fonction linéaire. Et on sait aussi que si les coefficients des k fonctions sont égaux, leurs graphiques sont parallèles. Cela signifie qu'il suffit de calculer le coefficient d'une fonction connue et de définir la proportionnalité directe à l'aide de la formule qui nous est familière : y = k *x. Coefficient k = -5, proportionnalité directe : y = -5*x.
Conclusion
Vous avez maintenant appris (ou vous êtes souvenu, si vous avez déjà abordé ce sujet auparavant) de ce qu'on appelle proportionnalité directe, et je l'ai regardé exemples. Nous avons également parlé de la fonction de proportionnalité directe et de son graphique, et résolu plusieurs exemples de problèmes.
Si cet article vous a été utile et vous a aidé à comprendre le sujet, parlez-nous-en dans les commentaires. Pour que nous sachions si nous pourrions vous être utiles.
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Aujourd'hui, nous examinerons quelles quantités sont appelées inversement proportionnelles, à quoi ressemble un graphique de proportionnalité inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors de l'école.
Des proportions si différentes
Proportionnalité Nommez deux quantités qui dépendent mutuellement l’une de l’autre.
La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, les relations entre les quantités sont décrites par une proportionnalité directe et inverse.
Proportionnalité directe– il s'agit d'une telle relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une d'elles entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Ceux. leur attitude ne change pas.
Par exemple, plus vous consacrez d’efforts à étudier en vue des examens, plus vos notes sont élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus votre sac à dos sera lourd à transporter. Ceux. L'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnel à son poids.
Proportionnalité inverse– il s’agit d’une dépendance fonctionnelle dans laquelle une diminution ou une augmentation plusieurs fois d’une valeur indépendante (c’est ce qu’on appelle un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c’est-à-dire le même nombre de fois) d’une valeur dépendante (c’est ce qu’on appelle un fonction).
Illustrons avec un exemple simple. Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d’argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Ceux. Plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d’argent.
Fonction et son graphique
La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k/x. Dans lequel X≠ 0 et k≠ 0.
Cette fonction a les propriétés suivantes :
- Son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels sauf X = 0. D(oui): (-∞; 0) U (0; +∞).
- La plage est constituée de nombres réels sauf oui= 0. E(y) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
- N'a pas de valeurs maximales ou minimales.
- C'est étrange et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
- Non périodique.
- Son graphique ne coupe pas les axes de coordonnées.
- N'a pas de zéros.
- Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement sur chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- À mesure que l'argument augmente ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞ ; 0), et les valeurs positives sont dans l'intervalle (0 ; +∞). Lorsque l'argument diminue ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Le graphique d’une fonction de proportionnalité inverse s’appelle une hyperbole. Montré comme suit :
Problèmes de proportionnalité inverse
Pour que ce soit plus clair, examinons plusieurs tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et les résoudre vous aidera à visualiser ce qu'est la proportionnalité inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie quotidienne.
Tâche n°1. Une voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour arriver à destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s’il se déplace à une vitesse deux fois supérieure ?
Nous pouvons commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D’accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps qu’une voiture passe sur la route et la vitesse à laquelle elle se déplace sont en proportion inverse.
Pour le vérifier, trouvons V 2, qui, selon la condition, est 2 fois plus élevé : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Or, il n'est pas difficile de connaître le temps t 2 qui nous est demandé en fonction des conditions du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.
Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en effet inversement proportionnels : à une vitesse 2 fois supérieure à la vitesse d'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.
La solution à ce problème peut également s’écrire sous forme de proportion. Faisons donc d'abord ce schéma :
↓ 60 km/h – 6 heures
↓120 km/h – x h
Les flèches indiquent une relation inversement proportionnelle. Ils suggèrent également que lors de l'établissement d'une proportion, il faut retourner le côté droit de la fiche : 60/120 = x/6. Où obtenons-nous x = 60 * 6/120 = 3 heures.
Tâche n°2. L'atelier emploie 6 ouvriers capables d'effectuer une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il aux travailleurs restants pour accomplir la même quantité de travail ?
Écrivons les conditions du problème sous la forme d'un schéma visuel :
↓ 6 ouvriers – 4 heures
↓ 3 ouvriers – x h
Écrivons cela sous forme de proportion : 6/3 = x/4. Et on obtient x = 6 * 4/3 = 8 heures S'il y a 2 fois moins de travailleurs, les autres passeront 2 fois plus de temps à faire tout le travail.
Tâche n°3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Grâce à un tuyau, l'eau s'écoule à une vitesse de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Grâce à un autre tuyau, la piscine se remplira en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?
Pour commencer, réduisons toutes les grandeurs qui nous sont données selon les conditions du problème aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime la vitesse de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Puisqu'il résulte de la condition que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit de l'eau est plus faible. La proportionnalité est inverse. Exprimons la vitesse inconnue par x et traçons le schéma suivant :
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Et puis on compose la proportion : 120/x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Dans le problème, le taux de remplissage de la piscine est exprimé en litres par seconde ; réduisons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.
Tâche n°4. Une petite imprimerie privée imprime des cartes de visite. Un employé d'une imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille une journée complète - 8 heures. S’il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, combien de temps plus tôt pourrait-il rentrer chez lui ?
Nous suivons le chemin éprouvé et dressons un schéma en fonction des conditions du problème, désignant la valeur souhaitée par x :
↓ 42 cartes de visite/heure – 8 heures
↓ 48 cartes de visite/h – x h
Nous avons une relation inversement proportionnelle : le nombre de fois plus de cartes de visite qu'un employé d'une imprimerie imprime par heure, le même nombre de fois moins de temps dont il aura besoin pour effectuer le même travail. Sachant cela, créons une proportion :
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 heures.
Ainsi, après avoir terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.
Conclusion
Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que maintenant vous les considérez également de cette façon. Et l'essentiel est que la connaissance de la dépendance inversement proportionnelle des quantités puisse vraiment vous être utile plus d'une fois.
Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même alors, lorsque vous vous préparez à partir en voyage, à faire du shopping, à décider de gagner un peu d'argent supplémentaire pendant les vacances, etc.
Dites-nous dans les commentaires quels exemples de relations proportionnelles inverses et directes vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article sur les réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent également jouer.
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Les deux quantités sont appelées directement proportionnel, si lorsque l'un d'eux augmente plusieurs fois, l'autre augmente du même montant. Ainsi, lorsque l'un d'eux diminue plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.
La relation entre ces quantités est une relation proportionnelle directe. Exemples de dépendance proportionnelle directe :
1) à vitesse constante, la distance parcourue est directement proportionnelle au temps ;
2) le périmètre d'un carré et son côté sont des quantités directement proportionnelles ;
3) le coût d'un produit acheté à un prix est directement proportionnel à sa quantité.
Pour distinguer une relation proportionnelle directe d’une relation inverse, vous pouvez utiliser le proverbe : « Plus on s’enfonce dans la forêt, plus il y a de bois de chauffage ».
Il est pratique de résoudre des problèmes impliquant des quantités directement proportionnelles à l’aide de proportions.
1) Pour fabriquer 10 pièces, il vous faut 3,5 kg de métal. Quelle quantité de métal faudra-t-il pour fabriquer 12 de ces pièces ?
(On raisonne ainsi :
1. Dans la colonne remplie, placez une flèche dans le sens du plus grand nombre vers le plus petit.
2. Plus il y a de pièces, plus il faut de métal pour les fabriquer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.
Supposons que x kg de métal soient nécessaires pour fabriquer 12 pièces. On compose la proportion (dans le sens du début de la flèche vers sa fin) :
12:10=x:3,5
Pour trouver , vous devez diviser le produit des termes extrêmes par le terme moyen connu :
Cela signifie qu'il faudra 4,2 kg de métal.
Réponse : 4,2 kg.
2) Pour 15 mètres de tissu, ils ont payé 1 680 roubles. Combien coûtent 12 mètres d’un tel tissu ?
(1. Dans la colonne remplie, placez une flèche dans le sens du plus grand nombre vers le plus petit.
2. Moins vous achetez de tissu, moins vous devez le payer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.
3. Par conséquent, la deuxième flèche va dans la même direction que la première).
Supposons que x roubles coûtent 12 mètres de tissu. On fait une proportion (du début de la flèche jusqu'à sa fin) :
15:12=1680:x
Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, divisez le produit des termes médians par le terme extrême connu de la proportion :
Cela signifie que 12 mètres coûtent 1 344 roubles.
Réponse : 1344 roubles.
§ 129. Précisions préliminaires.
Une personne est constamment confrontée à une grande variété de quantités. Un employé et un ouvrier tentent de se rendre au travail à une certaine heure, un piéton est pressé de se rendre à un certain endroit par le chemin le plus court, un chauffeur de chauffage à vapeur s'inquiète de la montée lente de la température dans la chaudière, un un dirigeant d’entreprise élabore des plans pour réduire les coûts de production, etc.
On pourrait citer de nombreux exemples de ce genre. Temps, distance, température, coût - ce sont autant de grandeurs différentes. Dans la première et la deuxième parties de cet ouvrage, nous avons fait connaissance avec quelques grandeurs particulièrement courantes : surface, volume, poids. Nous rencontrons de nombreuses quantités lorsque nous étudions la physique et d’autres sciences.
Imaginez que vous voyagez dans un train. De temps en temps, vous regardez votre montre et remarquez combien de temps vous avez passé sur la route. Vous dites par exemple que 2, 3, 5, 10, 15 heures se sont écoulées depuis le départ de votre train, etc. Ces chiffres représentent différentes périodes de temps ; on les appelle les valeurs de cette quantité (temps). Ou vous regardez par la fenêtre et suivez les poteaux routiers pour voir la distance parcourue par votre train. Les chiffres 110, 111, 112, 113, 114 km clignotent devant vous. Ces chiffres représentent les différentes distances parcourues par le train depuis son point de départ. On les appelle aussi valeurs, cette fois d'une grandeur différente (chemin ou distance entre deux points). Ainsi, une grandeur, par exemple le temps, la distance, la température, peut prendre autant de différentes significations.
Veuillez noter qu'une personne ne considère presque jamais une seule quantité, mais la relie toujours à d'autres quantités. Il doit gérer simultanément deux, trois quantités ou plus. Imaginez que vous deviez arriver à l'école à 9 heures. Vous regardez votre montre et voyez qu’il vous reste 20 minutes. Vous déterminez ensuite rapidement si vous devez prendre le tram ou si vous pouvez marcher jusqu'à l'école. Après réflexion, vous décidez de marcher. Remarquez que pendant que vous réfléchissiez, vous résolviez un problème. Cette tâche est devenue simple et familière puisque vous résolvez de tels problèmes chaque jour. Dans celui-ci, vous avez rapidement comparé plusieurs quantités. C'est vous qui avez regardé l'horloge, c'est-à-dire que vous avez pris en compte l'heure, puis vous avez imaginé mentalement la distance entre votre domicile et l'école ; Finalement, vous avez comparé deux valeurs : la vitesse de votre pas et la vitesse du tramway, et avez conclu que dans un temps donné (20 minutes) vous aurez le temps de marcher. À partir de cet exemple simple, vous pouvez voir que dans notre pratique certaines quantités sont interconnectées, c'est-à-dire qu'elles dépendent les unes des autres.
Le chapitre douze parlait de la relation entre quantités homogènes. Par exemple, si un segment mesure 12 m et l'autre 4 m, alors le rapport de ces segments sera de 12 : 4.
Nous avons dit que c'est le rapport de deux quantités homogènes. Une autre façon de dire cela est que c'est le rapport de deux nombres un nom.
Maintenant que nous sommes plus familiers avec les quantités et que nous avons introduit le concept de valeur d'une quantité, nous pouvons exprimer la définition d'un rapport d'une nouvelle manière. En fait, lorsque nous avons considéré deux segments de 12 m et 4 m, nous parlions d'une seule valeur - la longueur, et 12 m et 4 m n'étaient que deux valeurs différentes de cette valeur.
Par conséquent, à l'avenir, lorsque nous commencerons à parler de rapports, nous considérerons deux valeurs d'une quantité, et le rapport d'une valeur d'une quantité à une autre valeur de la même quantité sera appelé le quotient de division de la première valeur. par la seconde.
§ 130. Les valeurs sont directement proportionnelles.
Considérons un problème dont la condition comprend deux grandeurs : la distance et le temps.
Tache 1. Un corps se déplaçant de manière rectiligne et uniforme parcourt 12 cm chaque seconde. Déterminez la distance parcourue par le corps en 2, 3, 4, ..., 10 secondes.
Créons un tableau qui peut être utilisé pour suivre les changements de temps et de distance.
Le tableau nous donne l'occasion de comparer ces deux séries de valeurs. On en voit que lorsque les valeurs de la première quantité (temps) augmentent progressivement de 2, 3,..., 10 fois, alors les valeurs de la deuxième quantité (distance) augmentent également de 2, 3, ..., 10 fois. Ainsi, lorsque les valeurs d'une grandeur augmentent plusieurs fois, les valeurs d'une autre grandeur augmentent du même montant, et lorsque les valeurs d'une grandeur diminuent plusieurs fois, les valeurs d'une autre grandeur diminuent du même montant. même nombre.
Considérons maintenant un problème qui implique deux de ces quantités : la quantité de matière et son coût.
Tâche 2. 15 m de tissu coûtent 120 roubles. Calculez le coût de ce tissu pour plusieurs autres quantités de mètres indiquées dans le tableau.
À l'aide de ce tableau, nous pouvons retracer comment le coût d'un produit augmente progressivement en fonction de l'augmentation de sa quantité. Malgré le fait que ce problème implique des quantités complètement différentes (dans le premier problème - le temps et la distance, et ici - la quantité de biens et sa valeur), de grandes similitudes peuvent néanmoins être trouvées dans le comportement de ces quantités.
En fait, sur la ligne supérieure du tableau se trouvent des chiffres indiquant le nombre de mètres de tissu ; sous chacun d'eux se trouve un chiffre exprimant le coût de la quantité de marchandise correspondante. Un simple coup d'œil à ce tableau montre que les chiffres dans les rangées du haut et du bas augmentent ; en examinant de plus près le tableau et en comparant les colonnes individuelles, on découvre que dans tous les cas, les valeurs de la deuxième quantité augmentent du même nombre de fois que les valeurs de la première augmentation, c'est-à-dire si la valeur de la la première quantité augmente, disons, 10 fois, puis la valeur de la deuxième quantité augmente également 10 fois.
Si nous parcourons le tableau de droite à gauche, nous constaterons que les valeurs de quantités indiquées diminueront du même nombre de fois. En ce sens, il existe une similitude inconditionnelle entre la première tâche et la seconde.
Les paires de quantités que nous avons rencontrées dans les premier et deuxième problèmes sont appelées directement proportionnel.
Ainsi, si deux quantités sont liées l'une à l'autre de telle manière qu'à mesure que la valeur de l'une d'elles augmente (diminue) plusieurs fois, la valeur de l'autre augmente (diminue) du même montant, alors ces quantités sont appelées directement proportionnelles. .
On dit également que ces quantités sont liées les unes aux autres par une relation directement proportionnelle.
Il existe de nombreuses quantités similaires dans la nature et dans la vie qui nous entoure. Voici quelques exemples:
1. Temps travail (jour, deux jours, trois jours, etc.) et gains, reçu pendant cette période avec un salaire journalier.
2. Volume tout objet constitué d'un matériau homogène, et poids cet objet.
§ 131. Propriété des quantités directement proportionnelles.
Prenons un problème qui inclut les deux grandeurs suivantes : le temps de travail et les gains. Si les gains journaliers sont de 20 roubles, alors les gains pour 2 jours seront de 40 roubles, etc. Il est plus pratique de créer un tableau dans lequel un certain nombre de jours correspondra à un certain gain.
En regardant ce tableau, nous voyons que les deux quantités prenaient 10 valeurs différentes. Chaque valeur de la première valeur correspond à une certaine valeur de la deuxième valeur, par exemple, 2 jours correspondent à 40 roubles ; 5 jours correspondent à 100 roubles. Dans le tableau, ces nombres sont écrits les uns en dessous des autres.
Nous savons déjà que si deux quantités sont directement proportionnelles, alors chacune d'elles, au cours de son changement, augmente autant de fois que l'autre augmente. Il en découle immédiatement : si l'on prend le rapport de deux valeurs quelconques de la première quantité, alors il sera égal au rapport des deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité. En effet:
Pourquoi cela arrive-t-il? Mais parce que ces valeurs sont directement proportionnelles, c'est-à-dire lorsque l'une d'elles (le temps) a augmenté de 3 fois, alors l'autre (les gains) a augmenté de 3 fois.
Nous sommes donc arrivés à la conclusion suivante : si nous prenons deux valeurs de la première quantité et les divisons l'une par l'autre, puis divisons par une les valeurs correspondantes de la deuxième quantité, alors dans les deux cas nous obtiendrons le même numéro, c'est-à-dire la même relation. Cela signifie que les deux relations que nous avons écrites ci-dessus peuvent être reliées par un signe égal, c'est-à-dire
Il n'est pas douteux que si l'on prenait non pas ces rapports, mais d'autres, et non dans cet ordre, mais dans l'ordre inverse, on obtiendrait aussi l'égalité des rapports. En fait, nous considérerons les valeurs de nos quantités de gauche à droite et prendrons les troisième et neuvième valeurs :
60:180 = 1 / 3 .
On peut donc écrire :
Cela conduit à la conclusion suivante : si deux grandeurs sont directement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises de la première grandeur est égal au rapport des deux valeurs correspondantes de la deuxième grandeur.
§ 132. Formule de proportionnalité directe.
Faisons un tableau du coût de différentes quantités de bonbons, si 1 kg d'entre eux coûte 10,4 roubles.
Maintenant, procédons de cette façon. Prenez n’importe quel nombre de la deuxième ligne et divisez-le par le nombre correspondant de la première ligne. Par exemple:
Vous voyez que dans le quotient, le même nombre est toujours obtenu. Par conséquent, pour une paire donnée de quantités directement proportionnelles, le quotient de la division de toute valeur d'une quantité par la valeur correspondante d'une autre quantité est un nombre constant (c'est-à-dire qui ne change pas). Dans notre exemple, ce quotient est de 10,4. Ce nombre constant est appelé facteur de proportionnalité. DANS dans ce cas il exprime le prix d'une unité de mesure, soit un kilogramme de marchandise.
Comment trouver ou calculer le coefficient de proportionnalité ? Pour ce faire, vous devez prendre n'importe quelle valeur d'une quantité et la diviser par la valeur correspondante de l'autre.
Notons cette valeur arbitraire d'une quantité par la lettre à , et la valeur correspondante d'une autre quantité - la lettre X , puis le coefficient de proportionnalité (on le note À) on trouve par division :
Dans cette égalité à - divisible, X - diviseur et À- quotient, et puisque, par la propriété de division, le dividende est égal au diviseur multiplié par le quotient, on peut écrire :
y= K X
L’égalité résultante s’appelle formule de proportionnalité directe. En utilisant cette formule, nous pouvons calculer n'importe quel nombre de valeurs de l'une des quantités directement proportionnelles si nous connaissons les valeurs correspondantes de l'autre quantité et le coefficient de proportionnalité.
Exemple. De la physique, nous savons que le poids R. de tout corps est égal à sa gravité spécifique d , multiplié par le volume de ce corps V, c'est à dire. R. = d V.
Prenons cinq barres de fer de volumes différents ; Connaissant la densité du fer (7,8), on peut calculer les poids de ces lingots à l'aide de la formule :
R. = 7,8 V.
En comparant cette formule avec la formule à = À X , on voit ça y = R., X = V, et le coefficient de proportionnalité À= 7,8. La formule est la même, seules les lettres sont différentes.
A l'aide de cette formule, faisons un tableau : que le volume du 1er flan soit égal à 8 mètres cubes. cm, alors son poids est de 7,8 8 = 62,4 (g). Le volume du 2ème flan est de 27 mètres cubes. cm Son poids est de 7,8 27 = 210,6 (g). Le tableau ressemblera à ceci :
Calculez les nombres manquants dans ce tableau en utilisant la formule R.= d V.
§ 133. Autres méthodes de résolution de problèmes avec des quantités directement proportionnelles.
Dans le paragraphe précédent, nous avons résolu un problème dont la condition incluait des quantités directement proportionnelles. À cette fin, nous avons d’abord dérivé la formule de proportionnalité directe, puis appliqué cette formule. Nous allons maintenant montrer deux autres manières de résoudre des problèmes similaires.
Créons un problème en utilisant les données numériques données dans le tableau du paragraphe précédent.
Tâche. Blanc d'un volume de 8 mètres cubes. cm pèse 62,4 g. Combien pèsera un flan d'un volume de 64 mètres cubes ? cm?
Solution. Le poids du fer, comme on le sait, est proportionnel à son volume. Si 8 cu. cm pèsent 62,4 g, puis 1 cu. cm pèsera 8 fois moins, soit
62,4:8 = 7,8 (g).
Blanc d'un volume de 64 mètres cubes. cm pèsera 64 fois plus qu'un flan de 1 mètre cube. cm, c'est-à-dire
7,8 64 = 499,2(g).
Nous avons résolu notre problème en nous réduisant à l'unité. La signification de ce nom est justifiée par le fait que pour le résoudre il fallait trouver le poids d'une unité de volume dans la première question.
2. Méthode de proportion. Résolvons le même problème en utilisant la méthode des proportions.
Puisque le poids du fer et son volume sont des quantités directement proportionnelles, le rapport de deux valeurs d'une quantité (volume) est égal au rapport de deux valeurs correspondantes d'une autre quantité (poids), c'est-à-dire
(lettre R. nous avons désigné le poids inconnu du flan). D'ici:
(G).
Le problème a été résolu en utilisant la méthode des proportions. Cela signifie que pour le résoudre, une proportion a été calculée à partir des nombres inclus dans la condition.
§ 134. Les valeurs sont inversement proportionnelles.
Considérez le problème suivant : « Cinq maçons peuvent poser les murs de briques d’une maison en 168 jours. Déterminez en combien de jours 10, 8, 6, etc. les maçons pourraient accomplir le même travail.
Si 5 maçons posaient les murs d'une maison en 168 jours, alors (avec la même productivité du travail) 10 maçons pourraient le faire en deux fois moins de temps, puisqu'en moyenne 10 personnes font deux fois plus de travail que 5 personnes.
Établissons un tableau grâce auquel nous pourrions suivre l'évolution du nombre de travailleurs et des heures de travail.
Par exemple, pour savoir combien de jours il faut à 6 travailleurs, vous devez d'abord calculer combien de jours il faut à un travailleur (168 5 = 840), puis combien de jours il faut à six travailleurs (840 : 6 = 140). En regardant ce tableau, nous voyons que les deux quantités ont pris six valeurs différentes. Chaque valeur de la première grandeur correspond à une valeur spécifique ; la valeur de la deuxième valeur, par exemple, 10 correspond à 84, le chiffre 8 correspond au chiffre 105, etc.
Si l'on considère les valeurs des deux quantités de gauche à droite, nous verrons que les valeurs de la quantité supérieure augmentent et les valeurs de la quantité inférieure diminuent. L'augmentation et la diminution sont soumises à la loi suivante : les valeurs du nombre de travailleurs augmentent dans le même temps que les valeurs du temps de travail passé diminuent. Cette idée peut être exprimée encore plus simplement comme suit : plus les travailleurs sont engagés dans une tâche, moins ils ont besoin de temps pour accomplir un certain travail. Les deux quantités que nous avons rencontrées dans ce problème sont appelées inversement proportionnel.
Ainsi, si deux quantités sont liées l'une à l'autre de telle manière que, à mesure que la valeur de l'une d'elles augmente (diminue) plusieurs fois, la valeur de l'autre diminue (augmente) du même montant, alors ces quantités sont appelées inversement proportionnelles. .
Il existe de nombreuses quantités similaires dans la vie. Donnons des exemples.
1. Si pour 150 roubles. Si vous devez acheter plusieurs kilogrammes de bonbons, le nombre de bonbons dépendra du prix d'un kilogramme. Plus le prix est élevé, moins vous pouvez acheter de biens avec cet argent ; cela peut être vu dans le tableau :
À mesure que le prix des bonbons augmente plusieurs fois, le nombre de kilogrammes de bonbons pouvant être achetés pour 150 roubles diminue du même montant. Dans ce cas, deux quantités (le poids du produit et son prix) sont inversement proportionnelles.
2. Si la distance entre deux villes est de 1 200 km, elle peut alors être parcourue à des moments différents en fonction de la vitesse de déplacement. Il existe différentes manières de voyager : à pied, à cheval, à vélo, en bateau, en voiture, en train, en avion. Plus la vitesse est faible, plus le déplacement prend du temps. Cela peut être vu dans le tableau :
Avec une augmentation de la vitesse plusieurs fois, le temps de trajet diminue du même montant. Cela signifie que dans ces conditions, la vitesse et le temps sont des quantités inversement proportionnelles.
§ 135. Propriété des quantités inversement proportionnelles.
Prenons le deuxième exemple, que nous avons vu dans le paragraphe précédent. Là, nous avons traité de deux grandeurs : la vitesse et le temps. Si l'on regarde le tableau des valeurs de ces grandeurs de gauche à droite, on verra que les valeurs de la première grandeur (vitesse) augmentent, et les valeurs de la seconde (temps) diminuent, et la vitesse augmente d’autant que le temps diminue. Il n'est pas difficile de comprendre que si vous écrivez le rapport de certaines valeurs d'une quantité, alors il ne sera pas égal au rapport des valeurs correspondantes d'une autre quantité. En fait, si l'on prend le rapport de la quatrième valeur de la valeur supérieure à la septième valeur (40 : 80), alors il ne sera pas égal au rapport des quatrième et septième valeurs de la valeur inférieure (30 : 80) 15). Cela peut s'écrire ainsi :
40:80 n'est pas égal à 30:15, ou 40:80 =/=30:15.
Mais si, au lieu d'une de ces relations, nous prenons le contraire, alors nous obtenons l'égalité, c'est-à-dire qu'à partir de ces relations, il sera possible de créer une proportion. Par exemple:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Sur la base de ce qui précède, nous pouvons tirer la conclusion suivante : si deux quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes d'une autre quantité.
§ 136. Formule de proportionnalité inverse.
Considérez le problème : « Il y a 6 morceaux de tissu en soie de différentes tailles et qualités différentes. Toutes les pièces coûtent le même prix. Une pièce contient 100 m de tissu, au prix de 20 roubles. par mètre Combien de mètres y a-t-il dans chacune des cinq autres pièces, si un mètre de tissu dans ces pièces coûte respectivement 25, 40, 50, 80, 100 roubles ? Pour résoudre ce problème, créons un tableau :
Nous devons remplir les cellules vides de la rangée supérieure de ce tableau. Essayons d'abord de déterminer combien de mètres il y a dans la deuxième pièce. Cela peut être fait comme suit. D'après les conditions du problème, on sait que le coût de toutes les pièces est le même. Le coût de la première pièce est facile à déterminer : elle contient 100 mètres et chaque mètre coûte 20 roubles, ce qui signifie que la première pièce de soie vaut 2 000 roubles. Puisque le deuxième morceau de soie contient le même montant de roubles, divisez donc 2 000 roubles. pour le prix d'un mètre, soit 25, on retrouve la taille de la deuxième pièce : 2 000 : 25 = 80 (m). De la même manière, nous trouverons la taille de toutes les autres pièces. Le tableau ressemblera à :
Il est aisé de constater qu’il existe une relation inversement proportionnelle entre le nombre de mètres et le prix.
Si vous faites vous-même les calculs nécessaires, vous remarquerez qu'à chaque fois vous devez diviser le nombre 2 000 par le prix de 1 m. Au contraire, si vous commencez maintenant à multiplier la taille de la pièce en mètres par le prix de 1 m. , vous obtiendrez toujours le numéro 2 000. Et il a fallu attendre, puisque chaque pièce coûte 2 000 roubles.
De là, nous pouvons tirer la conclusion suivante : pour une paire donnée de quantités inversement proportionnelles, le produit de toute valeur d'une quantité par la valeur correspondante d'une autre quantité est un nombre constant (c'est-à-dire qui ne change pas).
Dans notre problème, ce produit est égal à 2 000. Vérifiez que dans le problème précédent, qui parlait de la vitesse de déplacement et du temps nécessaire pour se déplacer d'une ville à une autre, il y avait également un nombre constant pour ce problème (1 200).
Compte tenu de tout ce qui précède, il est facile de dériver la formule de proportionnalité inverse. Notons une certaine valeur d'une quantité par la lettre X , et la valeur correspondante d'une autre quantité est représentée par la lettre à . Ensuite, sur la base de ce qui précède, le travail X sur à doit être égal à une valeur constante, que nous désignons par la lettre À, c'est à dire.
xy = À.
Dans cette égalité X - multiplicande, à - multiplicateur et K- travail. Selon la propriété de multiplication, le multiplicateur est égal au produit divisé par le multiplicande. Moyens,
C'est la formule de proportionnalité inverse. En l'utilisant, nous pouvons calculer n'importe quel nombre de valeurs de l'une des quantités inversement proportionnelles, connaissant les valeurs de l'autre et le nombre constant À.
Considérons un autre problème : « L'auteur d'un essai a calculé que si son livre est dans un format régulier, il comportera 96 pages, mais s'il s'agit d'un format de poche, il comportera 300 pages. Il a essayé différentes options, a commencé avec 96 pages, puis a fini avec 2 500 lettres par page. Ensuite, il a pris les numéros de page indiqués dans le tableau ci-dessous et a de nouveau calculé le nombre de lettres qu'il y aurait sur la page.
Essayons de calculer combien de lettres il y aura sur une page si le livre compte 100 pages.
Il y a 240 000 lettres dans tout le livre, puisque 2 500 96 = 240 000.
Compte tenu de cela, nous utilisons la formule de proportionnalité inverse ( à - nombre de lettres sur la page, X - nombre de pages):
Dans notre exemple À= 240 000 donc
Il y a donc 2 400 lettres sur la page.
De même, on apprend que si un livre comporte 120 pages, alors le nombre de lettres sur la page sera :
Notre tableau ressemblera à :
Remplissez vous-même les cellules restantes.
§ 137. Autres méthodes de résolution de problèmes avec des quantités inversement proportionnelles.
Dans le paragraphe précédent, nous avons résolu des problèmes dont les conditions incluaient des quantités inversement proportionnelles. Nous avons d’abord dérivé la formule de proportionnalité inverse, puis appliqué cette formule. Nous allons maintenant montrer deux autres solutions à de tels problèmes.
1. Méthode de réduction à l'unité.
Tâche. 5 tourneurs peuvent effectuer du travail en 16 jours. En combien de jours 8 tourneurs peuvent-ils réaliser ce travail ?
Solution. Il existe une relation inverse entre le nombre de tourneurs et la durée du travail. Si 5 tourneurs effectuent le travail en 16 jours, alors une personne aura besoin de 5 fois plus de temps pour cela, c'est-à-dire
5 tourneurs réalisent le travail en 16 jours,
1 tourneur le terminera en 16 5 = 80 jours.
Le problème demande combien de jours il faudra à 8 tourneurs pour terminer le travail. Évidemment, ils feront le travail 8 fois plus vite qu'1 tourneur, c'est-à-dire en
80 : 8 = 10 (jours).
C'est la solution au problème en le réduisant à l'unité. Ici, il fallait tout d'abord déterminer le temps nécessaire pour terminer le travail par un seul ouvrier.
2. Méthode de proportion. Résolvons le même problème de la deuxième manière.
Puisqu'il existe une relation inversement proportionnelle entre le nombre d'ouvriers et le temps de travail, on peut écrire : durée de travail de 5 tourneurs nouveau nombre de tourneurs (8) durée de travail de 8 tourneurs nombre de tourneurs précédent (5) Notons le durée de travail requise par la lettre X et remplacez les nombres nécessaires dans la proportion exprimée en mots :
Le même problème est résolu par la méthode des proportions. Pour le résoudre, nous avons dû créer une proportion à partir des nombres inclus dans l'énoncé du problème.
Note. Dans les paragraphes précédents, nous avons examiné la question de la proportionnalité directe et inverse. La nature et la vie nous donnent de nombreux exemples de dépendance proportionnelle directe et inverse des quantités. Il convient toutefois de noter que ces deux types de dépendance ne sont que les plus simples. A côté d'eux, il existe d'autres dépendances plus complexes entre les quantités. De plus, il ne faut pas penser que si deux quantités augmentent simultanément, il existe nécessairement une proportionnalité directe entre elles. C'est loin d'être vrai. Par exemple, les tarifs ferroviaires augmentent en fonction de la distance : plus on voyage loin, plus on paie cher, mais cela ne veut pas dire que le tarif est proportionnel à la distance.
