Riešenie jednoduchých lineárnych rovníc. Riešenie lineárnych rovníc s príkladmi Rovnica o 5

Lekcia č. 33

Téma: Rovnice

Ciele lekcie:

Zhrňte a systematizujte vedomosti študentov o študovanej téme, pokračujte v práci na rozvíjaní schopnosti riešiť rovnice a problémy skladaním rovníc.

Zlepšiť počítačové zručnosti študentov

Podporujte zodpovedný prístup k učeniu.

Kritériá úspešnosti

Viem …

Rozumiem …

Môžem ….

Počas vyučovania

Úvodný – motivačný moment

Matematika, priatelia,
Potrebuje to úplne každý.
V triede pracujte usilovne
A úspech vás určite čaká!

Dnes pokračujeme v učení sa, ako riešiť rovnice a úlohy pomocou metódy rovníc.

Aktualizácia vedomostí

Na splnenie úloh si zopakujeme základné pojmy potrebné na riešenie rovníc a problémov, ktoré sa riešia skladaním rovníc.

( )

Aký druh rovnosti sa nazýva rovnica?

Aké číslo sa nazýva koreň rovnice?

Čo znamená vyriešiť rovnicu?

Ako skontrolovať, či je rovnica vyriešená správne?

Kontrola dokončenia domácej úlohy (Snímka č. 2)

(kontrola dokončenia domácej úlohy sa vykonáva pomocou autotestu)

Riešenie študentmi s výslovnosťou

(x – 87) – 27 = 36

87 – (41 + y) = 22

x – 87 = 36 + 27

41 + y = 87 - 22

x – 87 = 63

41 + y = 65

x = 63 + 87

y = 65 - 41

x = 150

y = 24

Vyšetrenie

Vyšetrenie

(150 – 87) - = 36

87 – (41 + 24) = 22

63 – 27 = 36

87 – 65 = 22

36 = 36 (správne)

22 = 22 (správne)

Ústna práca

1.Pomenujte čísla rovníc (rovnice sú napísané na tabuli), v ktorých treba daný výraz nájsť.
V ktorých rovniciach je minuend neznámy?
V akých rovniciach potrebujete nájsť subtrahend?
V ktorých rovniciach je pojem neznámy?
Nájdite korene rovníc.

x + 21 = 40; 2) a – 21 = 40; 3) 50 = a + 31; 4) s – 23 = 61; 5) 42 = 70 – y;

6) 38 - x = 38; 7) 25 – a = 25; 8) x + 32 = 32; 9) y – 0 = 27; 10) 60 – s = 35

(Snímka č. 3)

Skupinová práca
Nájdite neznáme číslo:

1) K neznámym sme pridali 71 a dostali sme 100.
(x + 71 = 100)
x = 100 – 71
x = 29
2) Súčin dvoch čísel je 72, jeden faktor je 12, nájdite druhý faktor.
12*X = 72
X = 72:12
X = 6
3) Pri delení určitého čísla číslom 9 je podiel 11. Nájdite toto číslo.
x: 9 = 31
x = 31* 9
x = 279

Práca s rovnicami (Snímka č. 5)

Študenti sú požiadaní, aby vytvorili tri rovnice podľa podmienok a vyriešili tieto rovnice v nasledujúcom poradí:
1) Rozdiel medzi súčtom čísel „x“ a 40 je väčší ako číslo 31 x 50.
(Rovnica je vyriešená s komentárom)
2) Číslo 70 je väčšie ako súčet čísla 25 a „y“ o 38.
(Žiaci riešia rovnicu samostatne a jeden zo študentov napíše riešenie na zadnú stranu tabule)
3) Rozdiel medzi číslom 120 a číslom „a“ je menší ako číslo 65 o 53.
(Riešenie rovnice je celé napísané na tabuli, potom celá trieda diskutuje o riešení rovnice)

Práca na úlohách (snímka číslo 6)

Úloha č.1
V krabici bolo niekoľko jabĺk. Po vložení ďalších 32 jabĺk ich bolo 81. Koľko jabĺk bolo pôvodne v krabici?

Čo hovorí problém? Aké akcie ste vykonali s jablkami? Čo potrebujete vedieť v probléme? Čo by malo písmeno predstavovať?
Nech je v košíku x jabĺk. Po vložení ďalších 32 jabĺk bolo (x + 32) jabĺk a podľa podmienok problému bolo v košíku 81 jabĺk.
Takže môžeme vytvoriť rovnicu:
x + 32 = 81,
x = 81 – 32,
x = 49

Pôvodne bolo v košíku 49 jabĺk.
Odpoveď: 49 jabĺk.

Problém č.2
Ateliér mal 70 (m) látky. Z časti látky boli ušité šaty a ďalších 18 (m) bolo použitých na nohavice, po ktorých zostalo 23 (m). Koľko metrov látky bolo použitých na šaty?

Čo hovorí problém? Aké akcie ste vykonali s látkou? Čo potrebujete vedieť v probléme? Čo by malo písmeno predstavovať?
Na šaty nech sa použije x (m) látky. Potom sa (x + 18) metrov látky spotrebovalo na ušitie šiat a nohavíc. Podľa podmienok problému je známe, že zostáva 23 m.
Môžeme teda vytvoriť rovnicu:
70 – (x + 18) = 23,
x + 18 = 70 – 23,
x + 18 = 47,
x = 47 – 18,
x = 29.

Na šaty bolo použitých 29 metrov látky.
Odpoveď: 29 metrov.

Samostatná práca (Snímka č. 7)

Samostatná práca je študentom ponúkaná v dvoch variantoch.

1 možnosť

Možnosť 2

Riešte rovnice:

Riešte rovnice:

1) 320 – x = 176

1) 450 – y = 246

2) y + 294 = 501

2) x + 386 = 602

Makarova T.P., GBOU stredná škola č. 618 Školenie „Rovnice“ 5. ročník

Školenie pre 5. ročník na tému „Rovnice“ v 2 verziách

Makarova Tatyana Pavlovna,

Učiteľ, stredná škola č. 618, Moskva

Kontingent: 5. ročník

Školenie je zamerané na preverenie vedomostí a zručností študentov na tému „Rovnice“. Školenie je určené pre žiakov 5. ročníka k učebnici od N.Ya, V.I Zhokhova a ďalších. – M.: Mnemosyne, 2013. – 288 s. Test obsahuje dve paralelné možnosti rovnakej náročnosti, každá po deväť úloh (4 úlohy s výberom odpovede, 3 úlohy s krátkou odpoveďou, 2 úlohy s rozšíreným riešením).

Toto školenie je plne v súlade s federálnym štátnym vzdelávacím štandardom (druhá generácia), je možné ho využiť počas monitorovania v triede a môžu ho využiť aj žiaci 5. ročníka na samostatnú prácu na téme.

Na vyplnenie testu je vyčlenených 15 až 25 minút vyučovacej hodiny. Vrátane kľúčov.

Školenie pre 5. ročník na tému „Rovnice“. Možnosť 1.

№p/p

Cvičenie

Odpoveď

Vyriešte rovnicu

574

1124

1114

1024

Nájdite koreň rovnice

(156-X )+43=170.

1) Koreňom rovnice je hodnota písmena.

2) Koreň rovnice (23 – X) – 21 = 2 nie je prirodzené číslo.

3) Ak chcete nájsť neznámy subtrahend, musíte odpočítať rozdiel od minuendu.

4) Rovnica x – x= 0 má práve jeden koreň.

Peťa myslel na číslo. Ak k tomuto číslu pripočítate 43 a k výslednej sume pripočítate 77, dostanete 258. Aké číslo mal Peťo na mysli?

1) (X + 43) – 77 = 258

2) (X + 43) + 77 = 258

3) (X – 43) + 77 = 258

4) (X – 43) – 77 = 258

Vyriešte rovnicu: (5· s – 8) : 2 = 121: 11.

Vyriešte rovnicu: 821 – ( m + 268) = 349.

Nájdite hodnotu čísla A, ak 8 A + 9X= 60 a X=4.

Vyriešte úlohu pomocou rovnice. Knižnica mala 125 kníh z matematiky. Po tom, čo si žiaci zobrali niekoľko kníh a potom vrátili 3 knihy, bolo 116 kníh. Koľko kníh si žiaci zobrali spolu?

Vyriešte rovnicu:

456 + (X – 367) – 225 =898

Školenie pre 5. ročník na tému „Rovnice“. Možnosť 2.

№p/p

Cvičenie

Odpoveď

Časť 1. Úloha s výberom viacerých možností

Vyriešte rovnicu

525

1081

535

1071

Nájdite koreň rovnice

942 – (r + 142) = 419.

391

481

1219

381

Uveďte čísla správnych tvrdení:

1) Rovnica je rovnosť obsahujúca písmeno, ktorého hodnotu treba nájsť.

2) Akékoľvek prirodzené číslo je koreňom rovnice

3) Koreňom rovnice je hodnota písmena, pri ktorej sa z rovnice získa správny číselný výraz.

4) Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte k podielu pridať deliteľa.

Dáša myslela na číslo. Ak k tomuto číslu pripočítate 43 a od výslednej sumy odpočítate 77, dostanete 258. Aké číslo mala Dáša na mysli?

1) (X + 43) – 77 = 258

2) (X + 43) + 77 = 258

3) (X – 43) + 77 = 258

4) (X – 43) – 77 = 258

Časť 2. Úloha s krátkou odpoveďou

Vyriešte rovnicu: 63: (2· X – 1) = 21: 3.

Vyriešte rovnicu: 748 – ( b +248) = 300.

Nájdite hodnotu čísla A, ak 7 A – 3X= 41 a X=5.

Časť 3. Úlohy s podrobným riešením

Vyriešte úlohu pomocou rovnice. V sklade bolo 197 strojov. Po tom, čo sa nejaké predali a doviezli 86 ďalších, zostalo v sklade ešte 115 strojov. Koľko strojov sa celkovo predalo?

Rovnica je rovnosť, v ktorej je neznámy člen – x. Jeho zmysel treba nájsť.

Neznáma veličina sa nazýva koreň rovnice. Riešenie rovnice znamená nájsť jej koreň a na to potrebujete poznať vlastnosti rovníc. Rovnice pre ročník 5 nie sú ťažké, ale ak sa ich naučíte správne riešiť, nebudete s nimi mať v budúcnosti problémy.

Hlavná vlastnosť rovníc

Keď sa obe strany rovnice zmenia o rovnakú hodnotu, zostáva to tá istá rovnica s rovnakým koreňom. Poďme vyriešiť niekoľko príkladov, aby sme lepšie pochopili toto pravidlo.

Ako riešiť rovnice: sčítanie alebo odčítanie

Predpokladajme, že máme rovnicu v tvare:

• a + x = b - tu a a b sú čísla a x je neznámy člen rovnice.

Ak pripočítame (alebo od nich odčítame) hodnotu c na obe strany rovnice, nezmení sa:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Príklad 1

Využime túto vlastnosť na vyriešenie rovnice:

• 37+x=51

Odčítajte číslo 37 z oboch strán:

• 37+x-37=51-37

dostaneme:

• x = 51-37.

Koreň rovnice je x=14.

Ak sa pozrieme pozorne na poslednú rovnicu, vidíme, že je rovnaká ako prvá. Jednoducho sme presunuli člen 37 z jednej strany rovnice na druhú a nahradili sme plus mínusom.

Ukazuje sa, že ľubovoľné číslo možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom.

Príklad 2

• 37+x=37+22

Urobme rovnakú akciu, presuňte číslo 37 z ľavej strany rovnice doprava:

• x=37-37+22

Keďže 37-37=0, jednoducho to znížime a dostaneme:

• x = 22.

Identické členy rovnice s rovnakým znamienkom, ktoré sa nachádzajú v rôznych častiach rovnice, možno zmenšiť (prečiarknuť).

Násobenie a delenie rovníc

Obidve strany rovnosti možno tiež vynásobiť alebo vydeliť rovnakým číslom:

Ak sa rovnosť a = b vydelí alebo vynásobí c, nemení sa:

• a/c = b/c,
• ac = bс.

Príklad 3

• 5x = 20

Vydeľme obe strany rovnice 5:

• 5x/5 = 20/5.

Pretože 5/5 = 1, znížime tieto násobiteľa a deliteľa na ľavej strane rovnice a dostaneme:

• x = 20/5, x = 4

Príklad 4

• 5x = 5a

Ak sú obe strany rovnice delené 5, dostaneme:

• 5x/5 = 5a/5.

Číslo 5 v čitateli a menovateli ľavej a pravej strany sa ruší, výsledkom čoho je x = a. To znamená, že rovnaké faktory na ľavej a pravej strane rovníc sa rušia.

Vyriešime ďalší príklad:

• 13 + 2x = 21

Posúvame člen 13 z ľavej strany rovnice doprava s opačným znamienkom:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Vydelením oboch strán rovnice 2 dostaneme:

• x = 4.

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sú riešené pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Najprv si definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá sa nazýva najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba do prvého stupňa.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Rozbaľte zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Uveďte podobné výrazy vľavo a vpravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$.

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy po všetkých týchto machináciách sa koeficient premennej $ x $ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Keď napríklad vyjde niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je číslo iné ako nula. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

Teraz sa pozrime, ako to všetko funguje na príkladoch zo skutočného života.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte rozbaliť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom prineste podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. presunúť všetko, čo je spojené s premennou – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, presunúť na druhú stranu.

Potom spravidla musíte dať podobné na každej strane výslednej rovnosti a potom už zostáva len deliť koeficientom „x“ a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Chyby sa zvyčajne robia buď pri otváraní zátvoriek alebo pri výpočte „plusov“ a „mínusov“.

Okrem toho sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo že riešením je celá číselná os, t.j. akékoľvek číslo. Na tieto jemnosti sa pozrieme v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s najjednoduchšími úlohami.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Najprv mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Ak existujú, rozbaľte zátvorky.
2. Izolujeme premenné, t.j. Všetko, čo obsahuje „X“ presunieme na jednu stranu a všetko bez „X“ na druhú stranu.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom „x“.

Samozrejme, že táto schéma nie vždy funguje, sú v nej určité jemnosti a triky a teraz ich spoznáme.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

Prvý krok vyžaduje, aby sme otvorili zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Pozor: hovoríme len o jednotlivých termínoch. Poďme si to zapísať:

Podobné výrazy uvádzame vľavo a vpravo, ale už to tu bolo urobené. Preto prejdeme na štvrtý krok: delenie koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tak sme dostali odpoveď.

Úloha č.2

V tomto probléme vidíme zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnaký dizajn, ale konajme podľa algoritmu, t.j. oddelenie premenných:

Tu sú niektoré podobné:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č.3

Zaujímavejšia je tretia lineárna rovnica:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu niekoľko, ale nie sú ničím násobené, jednoducho sú pred nimi rôzne znamienka. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme si to spočítať:

Vykonáme posledný krok - všetko vydelíme koeficientom „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže byť medzi nimi nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste ho nijako diskriminovať ani predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia funkcia súvisí s otváraním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znamienka na opak. A potom ho môžeme otvoriť pomocou štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto veci považujú za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz budú konštrukcie zložitejšie a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by sme sa toho však báť, pretože ak podľa plánu autora riešime lineárnu rovnicu, potom sa počas transformačného procesu určite zrušia všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č.1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže to napíšeme do odpovede:

\[\varnothing\]

alebo tam nie sú korene.

Príklad č.2

Vykonávame rovnaké akcie. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo tam nie sú korene.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemusí byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa koreňov. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, obe jednoducho nemajú korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením musíte všetko vynásobiť „X“. Poznámka: násobí sa každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva termíny – respektíve dva termíny a násobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien, môžete zátvorku otvárať z pohľadu toho, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie dokončené, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie jednoducho mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sled elementárnych transformácií, kde neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché úkony vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a opäť sa učia riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti vycibríte až do automatizácie. Už nebudete musieť zakaždým vykonávať toľko transformácií, všetko budete písať na jeden riadok. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si trochu súkromia:

Tu sú niektoré podobné:

Dokončime posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica lineárna a nie kvadratická.

Úloha č.2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Opatrne vykonajte prvý krok: vynásobte každý prvok z prvej zátvorky každým prvkom z druhej. Po transformáciách by mali byť celkom štyri nové termíny:

Teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:

Presuňme výrazy s „X“ doľava a výrazy bez – doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Opäť sme dostali konečnú odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je nasledujúca: akonáhle začneme násobiť zátvorky, ktoré obsahujú viac ako jeden člen, robíme to podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhy; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. V dôsledku toho budeme mať štyri volebné obdobia.

O algebraickom súčte

Týmto posledným príkladom by som chcel študentom pripomenúť, čo je to algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: odpočítajte sedem od jednej. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Týmto sa algebraický súčet líši od obyčajného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Nakoniec sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a na ich vyriešenie budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc so zlomkami

Na vyriešenie takýchto úloh budeme musieť do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv mi však dovoľte pripomenúť náš algoritmus:

1. Otvorte zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste si podobné.
4. Vydeliť pomerom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus sa pri všetkej svojej účinnosti ukazuje ako nie úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme zlomok vľavo aj vpravo v oboch rovniciach.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred aj po prvej akcii, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus bude teda nasledujúci:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorte zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste si podobné.
5. Vydeliť pomerom.

Čo to znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo sa to dá urobiť aj po, aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky vo svojom menovateli číselné, t.j. Všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe strany rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad č.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Zapíšme si:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz rozšírime:

Vylúčime premennú:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdime k druhej rovnici.

Príklad č.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Kľúčové zistenia sú:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nerobte si starosti, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa znížia v procese ďalších transformácií.
• V lineárnych rovniciach existujú tri typy koreňov, dokonca aj tie najjednoduchšie: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň a žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!

Lineárne rovnice. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice nie sú najťažšou témou školskej matematiky. Existuje však niekoľko trikov, ktoré dokážu zmiasť aj trénovaného študenta. Poďme na to?)

Lineárna rovnica je zvyčajne definovaná ako rovnica v tvare:

sekera + b = 0 Kde a a b- ľubovoľné čísla.

2x + 7 = 0. Tu a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tu a=0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tu a=12, b = 1/2

Nič zložité, však? Najmä ak si nevšimnete slová: "kde a a b sú ľubovoľné čísla"... A ak si to všimnete a bezstarostne o tom premýšľate?) Koniec koncov, ak a=0, b = 0(sú možné nejaké čísla?), potom dostaneme vtipný výraz:

Ale to nie je všetko! Ak povedzme a=0, A b=5, Toto sa ukazuje ako niečo úplne absurdné:

Čo je otravné a podkopáva to dôveru v matematiku, áno...) Najmä počas skúšok. Ale z týchto zvláštnych výrazov musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje. A prekvapivo je toto X veľmi ľahké nájsť. Naučíme sa to robiť. V tejto lekcii.

Ako rozpoznať lineárnu rovnicu podľa jej vzhľadu? Závisí to od vzhľadu.) Trik je v tom, že lineárne rovnice nie sú len rovnicami tvaru sekera + b = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré je možné transformáciou a zjednodušením zredukovať do tejto podoby. A ktovie, či spadne alebo nie?)

V niektorých prípadoch možno jasne rozpoznať lineárnu rovnicu. Povedzme, že ak máme rovnicu, v ktorej sú len neznáme do prvého stupňa a čísla. A v rovnici nie je zlomky delené o neznámy , to je dôležité! A rozdelenie podľa číslo, alebo číselný zlomok - to je vítané! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Sú tu zlomky, ale nie sú x v druhej mocnine, kocke atď., a nie sú x v menovateľoch, t.j. Nie delenie x. A tu je rovnica

nemožno nazvať lineárnym. Tu sú X všetky na prvom stupni, ale sú delenie výrazom s x. Po zjednodušeniach a transformáciách môžete získať lineárnu rovnicu, kvadratickú rovnicu alebo čokoľvek, čo sa vám páči.

Ukazuje sa, že je nemožné rozpoznať lineárnu rovnicu v nejakom komplikovanom príklade, kým ju takmer nevyriešite. Toto je znepokojujúce. Ale v zadaniach sa spravidla nepýtajú na formu rovnice, však? Zadania si pýtajú rovnice rozhodnúť. Toto ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Celé riešenie lineárnych rovníc pozostáva z identických transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (dve z nich!) sú základom riešení všetky matematické rovnice. Inými slovami, riešenie akýkoľvek rovnica začína práve týmito transformáciami. V prípade lineárnych rovníc je to (riešenie) založené na týchto transformáciách a končí úplnou odpoveďou. Dáva zmysel sledovať odkaz, nie?) Okrem toho sú tam aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Najprv sa pozrime na najjednoduchší príklad. Bez akýchkoľvek nástrah. Predpokladajme, že musíme vyriešiť túto rovnicu.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineárna rovnica. Všetky X sú v prvej mocnine, neexistuje žiadne delenie X. Ale v skutočnosti nám nezáleží na tom, o aký druh rovnice ide. Musíme to vyriešiť. Schéma je tu jednoduchá. Zbierajte všetko s X na ľavej strane rovnice, všetko bez X (čísel) na pravej strane.

Ak to chcete urobiť, musíte preniesť - 4x na ľavú stranu, samozrejme so zmenou znamienka a - 3 - doprava. Mimochodom, toto je prvá identická transformácia rovníc. Prekvapený? To znamená, že ste nesledovali odkaz, ale márne...) Dostávame:

x + 4x = 2 + 3

Tu sú podobné, uvažujeme:

Čo potrebujeme k úplnému šťastiu? Áno, takže vľavo je čisté X! Päť je v ceste. Zbavte sa piatich s pomocou druhá identická transformácia rovníc. Totiž obe strany rovnice vydelíme 5. Dostaneme hotovú odpoveď:

Samozrejme elementárny príklad. Toto je na zahriatie.) Nie je celkom jasné, prečo som si tu pamätal rovnaké premeny? OK. Vezmime býka za rohy.) Rozhodnime sa niečo pevnejšie.

Napríklad tu je rovnica:

kde začneme? S X - vľavo, bez X - vpravo? Môže to tak byť. Malé kroky po dlhej ceste. Alebo to môžete urobiť hneď, univerzálnym a výkonným spôsobom. Ak, samozrejme, máte vo svojom arzenáli identické transformácie rovníc.

Položím vám kľúčovú otázku: Čo sa vám na tejto rovnici najviac nepáči?

95 zo 100 ľudí odpovie: zlomky ! Odpoveď je správna. Tak sa ich zbavme. Preto začneme ihneď s druhá transformácia identity. Čím treba vynásobiť zlomok vľavo, aby sa menovateľ úplne zmenšil? Správne, o 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje vynásobiť obe strany rovnaké číslo. Ako sa dostaneme von? Vynásobme obe strany 12! Tie. na spoločného menovateľa. Potom sa zníži trojka aj štvorka. Nezabudnite, že každú časť je potrebné vynásobiť úplne. Prvý krok vyzerá takto:

Rozšírenie zátvoriek:

Poznámka! Čitateľ (x+2) Dal som to do zátvoriek! Pri násobení zlomkov sa totiž násobí celý čitateľ! Teraz môžete znížiť zlomky:

Rozbaľte zostávajúce zátvorky:

Nie príklad, ale čisté potešenie!) Teraz si spomeňme na kúzlo zo základnej školy: s X - doľava, bez X - doprava! A použite túto transformáciu:

Tu sú niektoré podobné:

A obe časti vydeľte 25, t.j. znova použite druhú transformáciu:

To je všetko. odpoveď: X=0,16

Poznámka: Aby sme dostali pôvodnú mätúcu rovnicu do peknej podoby, použili sme dve (len dve!) transformácie identity– preklad zľava doprava so zmenou znamienka a násobením-delenie rovnice rovnakým číslom. Toto je univerzálna metóda! Týmto spôsobom budeme pracovať s akýkoľvek rovnice! Úplne ktokoľvek. Preto únavne opakujem tieto identické premeny stále dookola.)

Ako vidíte, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Zoberieme rovnicu a zjednodušíme ju pomocou identických transformácií, kým nedostaneme odpoveď. Hlavné problémy sú tu vo výpočtoch, nie v princípe riešenia.

Ale... V procese riešenia tých najelementárnejších lineárnych rovníc sú také prekvapenia, že vás môžu priviesť až do silnej strnulosti...) Našťastie, takéto prekvapenia môžu byť len dve. Nazvime ich špeciálne prípady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Prvé prekvapenie.

Predpokladajme, že narazíte na veľmi základnú rovnicu, niečo ako:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Mierne znudený to posúvame s X doľava, bez X - doprava... So zmenou znamienka je všetko dokonalé... Dostávame:

2x-5x+3x=5-2-3

Počítame, a... ups!!! Dostaneme:

Táto rovnosť sama osebe nie je sporná. Nula je naozaj nula. Ale X chýba! A v odpovedi musíme napísať, čo sa rovná x? Inak sa riešenie neráta, však...) Deadlock?

Pokojne! V takýchto pochybných prípadoch vás zachránia najvšeobecnejšie pravidlá. Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty x, ktoré nám po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správnu rovnosť.

Ale máme skutočnú rovnosť už Stalo! 0=0, o koľko presnejšie?! Zostáva zistiť, pri akom x sa to stane. Do akých hodnôt X možno dosadiť originálny rovnica, ak sú tieto x budú stále znížené na nulu? Poď?)

Áno!!! X môžu byť nahradené akýkoľvek! Ktoré z nich chcete? Aspoň 5, aspoň 0,05, aspoň -220. Stále sa budú zmenšovať. Ak mi neveríte, môžete si to overiť.) Dosaďte ľubovoľné hodnoty X do originálny rovnica a výpočet. Po celú dobu budete dostávať čistú pravdu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 a tak ďalej.

Tu je vaša odpoveď: x - ľubovoľné číslo.

Odpoveď môže byť napísaná rôznymi matematickými symbolmi, podstata sa nemení. Toto je úplne správna a úplná odpoveď.

Druhé prekvapenie.

Zoberme si rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňme v nej len jedno číslo. Takto sa rozhodneme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Vyriešili sme lineárnu rovnicu a dostali sme zvláštnu rovnosť. Z matematického hľadiska máme falošná rovnosť. Jednoducho povedané, nie je to pravda. Rave. Ale napriek tomu je tento nezmysel veľmi dobrým dôvodom na správne riešenie rovnice.)

Opäť uvažujeme na základe všeobecných pravidiel. Čo nám dá x, keď dosadíme do pôvodnej rovnice pravda rovnosť? Áno, žiadne! Také X neexistujú. Bez ohľadu na to, čo vložíte, všetko sa zredukuje, zostanú len nezmysly.)

Tu je vaša odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Toto je tiež úplne úplná odpoveď. V matematike sa takéto odpovede často nachádzajú.

Páči sa ti to. Teraz vás, dúfam, zmiznutie X v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice vôbec nebude zmiasť. Toto je už známa vec.)

Teraz, keď sme sa vysporiadali so všetkými úskaliami v lineárnych rovniciach, má zmysel ich riešiť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.