Online kalkulačka.
Riešenie aritmetického postupu.
Dané: a n , d, n
Nájdite: a 1

Tento matematický program nájde \(a_1\) aritmetickú postupnosť založenú na číslach zadaných používateľom \(a_n, d\) a \(n\).
Čísla \(a_n\) a \(d\) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky. Okrem toho je možné zlomkové číslo zadať vo forme desatinného zlomku (\(2,5\)) a vo forme obyčajného zlomku (\(-5\frac(2)(7)\)).

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces hľadania riešenia.

Táto online kalkulačka môže byť užitočná pre stredoškolákov na stredných školách pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou a rodičom na ovládanie riešenia mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania čísel, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie čísel

Čísla \(a_n\) a \(d\) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky.
Číslo \(n\) môže byť iba kladné celé číslo.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky ako 2,5 alebo ako 2,5

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Vstup:
Výsledok: \(-\frac(2)(3)\)

Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup:
Výsledok: \(-1\frac(2)(3)\)

Zadajte čísla a n , d, n

Nájdite 1

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Poradie čísel

V každodennej praxi sa číslovanie rôznych predmetov často používa na označenie poradia, v ktorom sú usporiadané. Napríklad domy na každej ulici sú očíslované. V knižnici sú čitateľské predplatné očíslované a následne usporiadané v poradí pridelených čísel v špeciálnych kartotékach.

V sporiteľni pomocou čísla osobného účtu vkladateľa tento účet ľahko nájdete a zistíte, aký vklad je na ňom uložený. Nech účet č. 1 obsahuje vklad vo výške a1 rubľov, účet č. 2 obsahuje vklad vo výške a2 rubľov atď. číselná postupnosť
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kde N je počet všetkých účtov. Tu je každé prirodzené číslo n od 1 do N spojené s číslom a n.

Študoval aj matematiku nekonečné číselné rady:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Volá sa číslo a 1 prvý člen sekvencie, číslo 2 - druhý člen sekvencie, číslo 3 - tretí člen sekvencie atď.
Volá sa číslo a n n-tý (n-tý) člen postupnosti, a prirodzené číslo n je jeho číslo.

Napríklad v postupnosti druhých mocnín prirodzených čísel 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... a 1 = 1 je prvý člen postupnosti; a n = n2 je n-tý člen sekvencie; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-tý (n plus prvý) člen postupnosti. Postupnosť môže byť často špecifikovaná vzorcom jej n-tého člena. Napríklad vzorec \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definuje postupnosť \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \ \frac(1)(4) , \bodky,\frac(1)(n) , \bodky \)

Aritmetický postup

Dĺžka roka je približne 365 dní. Presnejšia hodnota je \(365\frac(1)(4)\) dní, takže každé štyri roky sa nahromadí chyba jedného dňa.

Na započítanie tejto chyby sa ku každému štvrtému roku pridáva deň a predĺžený rok sa nazýva priestupný rok.

Napríklad v treťom tisícročí sú priestupnými rokmi roky 2004, 2008, 2012, 2016, ....

V tejto postupnosti sa každý člen, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, pripočítanému k rovnakému číslu 4. Takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti.

Definícia.
Nazýva sa číselná postupnosť a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetická progresia, ak pre všetky prirodzené n rovnosť
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kde d je nejaké číslo.

Z tohto vzorca vyplýva, že a n+1 - a n = d. Číslo d sa nazýva rozdiel aritmetická progresia.

Podľa definície aritmetickej progresie máme:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kde \(n>1 \)

Každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa teda rovná aritmetickému priemeru jeho dvoch susedných členov. To vysvetľuje názov „aritmetická“ progresia.

Všimnite si, že ak sú uvedené a 1 a d, potom zostávajúce členy aritmetickej progresie možno vypočítať pomocou opakujúceho sa vzorca a n+1 = a n + d. Týmto spôsobom nie je ťažké vypočítať niekoľko prvých členov progresie, ale napríklad 100 už bude vyžadovať veľa výpočtov. Zvyčajne sa na to používa vzorec n-tého členu. Podľa definície aritmetického postupu
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
atď.
Vôbec,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
keďže n-tý člen aritmetickej postupnosti sa získa od prvého člena pripočítaním (n-1) násobku čísla d.
Tento vzorec sa nazýva vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100.
Túto sumu zapíšme dvoma spôsobmi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridajme tieto rovnosti termín po termíne:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Táto suma má 100 výrazov
Preto 2S = 101 * 100, teda S = 101 * 50 = 5050.

Uvažujme teraz o ľubovoľnom aritmetickom postupe
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Nech Sn je súčet prvých n členov tejto postupnosti:
Sn = a1, a2, a3, ..., a n
Potom súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa rovná
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Pretože \(a_n=a_1+(n-1)d\), nahradením n v tomto vzorci dostaneme ďalší vzorec na nájdenie súčet prvých n členov aritmetickej progresie:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky testy online Hry, hádanky Kreslenie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh
Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :)

Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný overovací dôkaz hovorí, že ešte neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj (nie, takto: TÁÁáááá!) to chcete vedieť. Nebudem vás preto trápiť dlhými úvodmi a prejdem rovno k veci.

Najprv pár príkladov. Pozrime sa na niekoľko skupín čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.

Veď posúďte sami. Prvá množina sú jednoducho po sebe idúce čísla, pričom každé ďalšie je o jedno viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už päť, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade sú korene úplne. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ a $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. a v tomto prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nebojte sa, že toto číslo je iracionálne).

Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:

Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.

A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia objednal poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nie je možné preskupovať ani zamieňať.

Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou akoby naznačovala, že nás čaká ešte niekoľko čísel. Napríklad nekonečne veľa :)

Chcel by som tiež poznamenať, že progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobre, dobre: ​​posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:

Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:

1. zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
2. klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.

Okrem toho existujú takzvané „stacionárne“ sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).

Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od toho, aké je znamienko čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:

1. Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
2. Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
3. Nakoniec je tu prípad $d=0$ - v tomto prípade je celá postupnosť redukovaná na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.

Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy uvedené vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ako vidíme, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sú progresie opísané a aké vlastnosti majú.

Podmienky progresie a vzorec opakovania

Keďže prvky našich sekvencií nemožno zamieňať, možno ich očíslovať:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]

Jednotlivé prvky tejto množiny sa nazývajú členy progresie. Sú označené číslom: prvý člen, druhý člen atď.

Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Tento vzorec sa nazýva rekurentný, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo iba tým, že poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje prefíkanejší vzorec, ktorý znižuje akékoľvek výpočty na prvý výraz a rozdiel:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to uvádzajú v najrôznejších príručkách a problémových knihách. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.

Odporúčam vám však trochu trénovať.

Úloha č.1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riešenie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a rozdiel progresie $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: (8; 3; −2)

To je všetko! Poznámka: náš postup sa znižuje.

Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz je nám už známy. Nahradením jednoty sme sa však presvedčili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.

Úloha č.2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak sa jej siedmy člen rovná -40 a sedemnásty člen sa rovná -50.

Riešenie. Napíšme problémový stav známymi výrazmi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]

Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. Teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú od druhej rovnice (máme na to právo, keďže máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]

Takto ľahko sa dá nájsť rozdiel v postupe! Zostáva len dosadiť nájdené číslo do ktorejkoľvek z rovníc sústavy. Napríklad v prvom:

\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]

Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]

Pripravený! Problém je vyriešený.

Odpoveď: (-34; -35; -36)

Všimnite si zaujímavú vlastnosť progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odčítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduchá, ale veľmi užitočná vlastnosť, ktorú určite potrebujete vedieť – s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je jasný príklad:

Úloha č.3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.

Riešenie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15)))$, všimneme si nasledovné:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]

Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, teda $5d=6$, z čoho máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: 20.4

To je všetko! Nepotrebovali sme vytvárať žiadne systémy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel - všetko bolo vyriešené v niekoľkých riadkoch.

Teraz sa pozrime na iný typ problému – hľadanie negatívnych a pozitívnych pojmov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje a jej prvý termín je negatívny, skôr či neskôr sa v ňom objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.

Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „hlavou“ postupným prechádzaním prvkov. Často sú úlohy písané tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov papiera – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsme tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.

Úloha č.4. Koľko záporných členov je v aritmetickej progresii −38,5; -35,8; ...?

Riešenie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odkiaľ okamžite nájdeme rozdiel:

Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.

Skúsme zistiť, ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $n$) pretrváva negativita pojmov:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]

Posledný riadok si vyžaduje vysvetlenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane sa uspokojíme len s celočíselnými hodnotami čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je práve $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16 .

Úloha č.5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.

Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupnosti:

Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen cez prvý a rozdiel pomocou štandardného vzorca:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz pokračujeme analogicky s predchádzajúcou úlohou. Poďme zistiť, v ktorom bode našej postupnosti sa objavia kladné čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]

Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.

Poznámka: v poslednej úlohe sa všetko zvrhlo na striktnú nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.

Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv si však preštudujme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovných buniek :)

Aritmetický priemer a rovnaké zarážky

Uvažujme niekoľko po sebe nasledujúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:

Podmienky aritmetického postupu na číselnej osi

Konkrétne som označil ľubovoľné výrazy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie nejaké $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, o ktorom vám teraz poviem, funguje rovnako pre všetky „segmenty“.

A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si opakujúci sa vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]

Tieto rovnosti však možno prepísať inak:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]

No a čo? A skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ v rovnakej vzdialenosti rovnajúcej sa $2d$. Môžeme pokračovať donekonečna, ale význam je dobre znázornený na obrázku

Podmienky progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu

Čo to pre nás znamená? To znamená, že $((a)_(n))$ možno nájsť, ak sú známe susedné čísla:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Odvodili sme vynikajúce tvrdenie: každý člen aritmetickej postupnosti sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Navyše: od nášho $((a)_(n))$ môžeme ustúpiť doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a vzorec bude stále správny:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa problémov špeciálne prispôsobených na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:

Úloha č.6. Nájdite všetky hodnoty $x$, pre ktoré sú čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ po sebe idúce výrazy aritmetický postup (v uvedenom poradí).

Riešenie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, je pre ne splnená podmienka aritmetického priemeru: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Výsledkom je klasická kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.

Odpoveď: −3; 2.

Úloha č.7. Nájdite hodnoty $$, pre ktoré čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvoria aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).

Riešenie. Vyjadrime opäť stredný člen aritmetickým priemerom susedných členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Opäť kvadratická rovnica. A opäť existujú dva korene: $x=6$ a $x=1$.

Odpoveď: 1; 6.

Ak v procese riešenia problému prídete na nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje úžasná technika, ktorá vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?

Povedzme, že v úlohe č. 6 sme dostali odpovede −3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré musia tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradime $x=-3$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(zarovnať)\]

Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $x=2$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(zarovnať)\]

Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha bola teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhý problém, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.

Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalšiu zaujímavú skutočnosť, ktorú je tiež potrebné pamätať:

Ak sú tri čísla také, že druhé je aritmetickým priemerom prvého a posledného, ​​potom tieto čísla tvoria aritmetickú postupnosť.

Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe podmienok problému. Ale skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už diskutovaného.

Zoskupovanie a sčítanie prvkov

Vráťme sa opäť na číselnú os. Všimnime si tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými možno. stojí za veľa ďalších členov:

Na číselnej osi je označených 6 prvkov

Skúsme vyjadriť „ľavý chvost“ cez $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ cez $((a)_(k))$ a $d$. Je to veľmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(zarovnať)\]

Zjednodušene povedané, ak zoberieme do úvahy ako začiatok dva prvky postupu, ktoré sa celkovo rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme od týchto prvkov postupovať opačným smerom (k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili), potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S$. Najjasnejšie to možno znázorniť graficky:

Rovnaké zarážky dávajú rovnaké množstvá

Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti ako tie, ktoré sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:

Úloha č.8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.

Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(zarovnať)\]

Nepoznáme teda progresívny rozdiel $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(zarovnať)\]

Pre tých v nádrži: Z druhej zátvorky som vybral celkový multiplikátor 11. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak rozbalíme zátvorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ako vidíte, koeficient najvyššieho člena je 11 - to je kladné číslo, takže máme skutočne do činenia s parabolou s vetvami nahor:

graf kvadratickej funkcie - parabola

Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať pomocou štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie poznamenať že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, preto je bod $((d)_(0))$ rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d \vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]

Preto som sa s otváraním zátvoriek nijak zvlášť neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná aritmetickému priemeru čísel -66 a -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Čo nám nájdené číslo dáva? S ním požadovaný produkt nadobudne najmenšiu hodnotu (mimochodom, nikdy sme nepočítali $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom pôvodnej progresie, t.j. našli sme odpoveď :)

Odpoveď: -36

Úloha č.9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s týmito číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

Riešenie. V podstate musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označme premennými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimnite si, že číslo $y$ je „stred“ našej postupnosti – je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme získať $y$ z čísel $x$ a $z$, potom je situácia s koncami progresie iná. Pripomeňme si aritmetický priemer:

Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zvyšné čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi číslami $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$, ktoré sme práve našli. Preto

Použitím podobného uvažovania nájdeme zostávajúce číslo:

Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Napíšme ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.

Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úloha č.10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s týmito číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak viete, že súčet prvého, druhého a posledného z vložených čísel je 56.

Riešenie. Ešte zložitejší problém, ktorý sa však rieši podľa rovnakej schémy ako predchádzajúce – aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne, koľko čísel je potrebné vložiť. Predpokladajme teda s určitosťou, že po vložení všetkého bude presne $n$ čísel, pričom prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaná aritmetická postupnosť vyjadrená v tvare:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 na hranách o krok k sebe, t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale potom výraz napísaný vyššie možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]

Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v progresii:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]

Zostáva len nájsť zostávajúce výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]

Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Slovné úlohy s postupmi

Na záver by som rád zvážil niekoľko relatívne jednoduchých problémov. No, ako to je jednoduché: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, sa tieto problémy môžu zdať ťažké. Napriek tomu sú to typy problémov, ktoré sa vyskytujú v OGE a Jednotnej štátnej skúške z matematiky, preto odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.

Úloha č.11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a v každom nasledujúcom mesiaci vyrobili o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko dielov tím vyrobil v novembri?

Riešenie. Je zrejmé, že počet častí podľa mesiacov bude predstavovať rastúci aritmetický postup. Navyše:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.

Úloha č.12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý ďalší mesiac zviazala o 4 knihy viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?

Riešenie. Všetky rovnaké:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.

Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Môžete bezpečne prejsť na ďalšiu lekciu, kde budeme študovať vzorec pre súčet progresie, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z toho.

Alebo aritmetika je typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sa študujú v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne rozoberá otázku, ako nájsť súčet aritmetickej progresie.

Čo je to za progresiu?

Predtým, ako prejdeme k otázke (ako nájsť súčet aritmetickej progresie), stojí za to pochopiť, o čom hovoríme.

Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa pripočítaním (odčítaním) nejakej hodnoty od každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraická (aritmetická) postupnosť. Táto definícia, keď je preložená do matematického jazyka, má podobu:

Tu i je poradové číslo prvku riadku a i. Ak teda poznáte iba jedno štartovné číslo, môžete ľahko obnoviť celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva progresívny rozdiel.

Dá sa ľahko ukázať, že pre uvažovaný rad čísel platí nasledujúca rovnosť:

a n = ai + d* (n - 1).

To znamená, že ak chcete nájsť hodnotu n-tého prvku v poradí, mali by ste pridať rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1 krát.

Aký je súčet aritmetickej progresie: vzorec

Pred uvedením vzorca pre uvedené množstvo je potrebné zvážiť jednoduchý špeciálny prípad. Vzhľadom na postupnosť prirodzených čísel od 1 do 10 musíte nájsť ich súčet. Keďže v postupnosti je málo pojmov (10), je možné problém vyriešiť priamočiaro, teda sčítať všetky prvky v poradí.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Za úvahu stojí jedna zaujímavosť: keďže sa každý člen líši od nasledujúceho o rovnakú hodnotu d = 1, potom párový súčet prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. dá rovnaký výsledok. naozaj:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ako vidíte, týchto súčtov je len 5, teda presne dvakrát menej ako je počet prvkov série. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každého súčtu (11) sa dostanete k výsledku získanému v prvom príklade.

Ak tieto argumenty zovšeobecníme, môžeme napísať nasledujúci výraz:

Sn = n* (a 1 + a n) / 2.

Tento výraz ukazuje, že vôbec nie je potrebné sčítať všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n, ako aj celkový počet členov n.

Predpokladá sa, že Gauss prvýkrát premýšľal o tejto rovnosti, keď hľadal riešenie problému, ktorý dal jeho učiteľ: spočítajte prvých 100 celých čísel.

Súčet prvkov od m do n: vzorec

Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku odpovedá na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvé prvky), ale často je v problémoch potrebné sčítať sériu čísel v strede postupnosti. Ako to spraviť?

Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet členov od m-tej do n-tej. Na vyriešenie problému by ste mali prezentovať daný segment od m do n postupu vo forme nového číselného radu. V tomto znázornení bude m-tý člen a m prvý a a n bude očíslované n-(m-1). V tomto prípade použitím štandardného vzorca pre súčet získame nasledujúci výraz:

Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Príklad použitia vzorcov

Keď vieme, ako nájsť súčet aritmetickej progresie, stojí za to zvážiť jednoduchý príklad použitia vyššie uvedených vzorcov.

Nižšie je číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jej členov, počnúc 5. a končiac 12.:

Uvedené čísla označujú, že rozdiel d je rovný 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok môžete nájsť hodnoty 5. a 12. člena progresie. Ukázalo sa:

a5 = ai + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Keď poznáte hodnoty čísel na koncoch uvažovanej algebraickej progresie a tiež viete, aké čísla v sérii zaberajú, môžete použiť vzorec pre súčet získaný v predchádzajúcom odseku. Ukáže sa:

S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Stojí za zmienku, že túto hodnotu možno získať inak: najprv nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odpočítajte druhý od prvého súčtu.

I. V. Jakovlev | Matematické materiály | MathUs.ru

Aritmetický postup

Aritmetický postup je špeciálnym typom postupnosti. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať o dôležitom koncepte číselnej postupnosti.

Následná sekvencia

Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú určité čísla. Povedzme 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Táto množina čísel je presným príkladom postupnosti.

Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorej možno každému číslu priradiť jedinečné číslo (to znamená spojené s jedným prirodzeným číslom)1. Číslo n sa nazýva n-tý člen postupnosti.

Takže vo vyššie uvedenom príklade je prvé číslo 2, toto je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1; číslo päť má číslo 6 je piaty člen postupnosti, ktorý možno označiť a5. Vo všeobecnosti sa n-tý člen sekvencie označuje ako (alebo bn, cn, atď.).

Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 určuje postupnosť: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Vzorec an = (1)n určuje postupnosť: 1; 1; 1; 1; : : :

Nie každá množina čísel je postupnosť. Segment teda nie je sekvencia; obsahuje „príliš veľa“ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.

Aritmetická postupnosť: základné definície

Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.

Definícia. Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý člen (počnúc druhým) rovná súčtu predchádzajúceho člena a nejakého pevného čísla (nazývaného rozdiel aritmetického postupu).

Napríklad sekvencia 2; 5; 8; jedenásť; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Sekvencia 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Sekvencia 3; 3; 3; : : : je aritmetický postup s rozdielom rovným nule.

Ekvivalentná definícia: postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an+1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).

Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.

1 Tu je však stručnejšia definícia: postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N ! R.

V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto nás neobťažuje uvažovať o konečných postupnostiach; v skutočnosti môže byť každá konečná množina čísel nazývaná konečnou postupnosťou. Napríklad koncová postupnosť je 1; 2; 3; 4; 5 sa skladá z piatich čísel.

Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti

Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako, keď poznáme prvý člen a rozdiel, nájsť ľubovoľný člen aritmetickej progresie?

Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. Nechajte

aritmetická progresia s rozdielom d. Máme:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Konkrétne píšeme:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (al + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = a1 + 3d;
a teraz je jasné, že vzorec pre an je:
an = a1 + (n 1)d:

Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; 8; jedenásť; : : : nájdite vzorec pre n-tý člen a vypočítajte stý člen.

Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Vlastnosť a znak aritmetického postupu

Vlastnosť aritmetickej progresie. V aritmetickej postupnosti a pre ľubovoľné

Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (počnúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.

	Dôkaz. Máme:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

čo sa vyžadovalo.

Vo všeobecnosti platí, že aritmetický postup a spĺňa rovnosť

a n = a n k+ a n+k

pre ľubovoľné n > 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ukazuje sa, že vzorec (2) slúži nielen ako nevyhnutná, ale aj postačujúca podmienka na to, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.

Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n > 2, potom postupnosť an je aritmetickou progresiou.

Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:

a na n 1= a n+1a n:

Z toho vidíme, že rozdiel an+1 an nezávisí od n, a to presne znamená, že postupnosť an je aritmetická postupnosť.

Vlastnosť a znamienko aritmetickej progresie možno formulovať vo forme jedného výroku; Pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).

Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.

Úloha 2. (MSU, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v naznačenom poradí tvoria klesajúci aritmetický postup. Nájdite x a označte rozdiel tohto postupu.

Riešenie. Vlastnosťou aritmetickej progresie máme:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ak x = 1, potom dostaneme klesajúcu progresiu 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, potom dostaneme rastúcu progresiu 40, 22, 4; tento prípad nie je vhodný.

Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Legenda hovorí, že učiteľ jedného dňa povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100, a potichu sa posadili a čítali noviny. Jeden chlapec však v priebehu niekoľkých minút povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Carl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov v histórii.

Myšlienka malého Gaussa bola nasledovná. Nechaj

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Napíšme túto sumu v opačnom poradí:

S = 100 + 99 + 98 + : : + 3 + 2 + 1;

a pridajte tieto dva vzorce:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101, a preto existuje celkovo 100 takýchto výrazov

2S = 101 100 = 10 100;

Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame, ak do neho dosadíme vzorec n-tého člena an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n1)d

Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.

Riešenie. Trojciferné čísla, ktoré sú násobkami 13, tvoria aritmetickú postupnosť, pričom prvý člen je 104 a rozdiel je 13; N-tý člen tohto postupu má tvar:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Poďme zistiť, koľko výrazov obsahuje náš postup. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

V našej progresii je teda 69 členov. Pomocou vzorca (4) nájdeme požadované množstvo:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, uvažujme, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálnym prípadom postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je množina čísel, ktorej každý prvok má svoje poradové číslo. Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Sériové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- „n-tý“ prvok postupnosti, t.j. prvok „stojaci v rade“ pri čísle n.

Existuje vzťah medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Postupnosť teda môžeme považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, môžeme to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné nastaviť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol pre osobný manažment času a na začiatok spočíta, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zaznamenaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky označuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a to znamená v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého členu.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo vo forme vzorca.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca n-tého člena.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Hodnotu argumentu dosadíme do rovnice funkcie:

Ak napr. , To

Dovoľte mi ešte raz poznamenať, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty čísla sekvenčného člena n od hodnôt predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že zakaždým, aby sme našli hodnotu n-tého člena postupnosti, sa vrátime k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob určenia sekvencie sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup je číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetickej progresie môže byť kladný, záporný alebo rovný nule.

Ak title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; 8; jedenásť;...

Ak je , potom je každý člen aritmetickej postupnosti menší ako predchádzajúci a postupnosť je klesajúci.

Napríklad 2; -1; -4; -7;...

Ak , potom sa všetky členy progresie rovnajú rovnakému číslu a postupnosť je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetického postupu:

Pozrime sa na obrázok.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľme obe strany rovnosti 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, To

, a preto

Každý člen aritmetického postupu počnúc title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Vzorec tého členu.

Vidíme, že členy aritmetickej progresie spĺňajú nasledujúce vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a. Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktorýkoľvek z jeho výrazov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty členov rovnako vzdialené od extrémov navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Zoraďme podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Pridajme do párov:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Uvažujme riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je do tohto postupu zahrnuté číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen pre našu postupnosť.

Všeobecne

V našom prípade , Preto