एक्स पीडीएफ डाउनलोड का आनंद. एक्स की खुशी: गणित का उपयोग करके सही प्यार कैसे पाएं

पिछले साल मई में एक दिन, मैं 10वीं कक्षा में गणित की परीक्षा में सहायक के रूप में बैठा था। ऊबकर, मैंने शिक्षक की मेज से काम का "अतिरिक्त" संस्करण लिया और उसे हल करना शुरू कर दिया। यह काम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा प्रारूप में किया गया था, जिसकी पढ़ाई मैंने हाई स्कूल से स्नातक होने के बाद 1989 में पूरी की थी। हालाँकि, बिना अधिक प्रयास के मैं भाग बी में 11 कार्यों को हल करने में सफल रहा- उस दिन पेपर लिखने वाले कई लोगों से भी अधिक. छात्रों में से एक +यूलिया सोबोलेवा , जैसा मैंने निर्णय लिया था, उसे आश्चर्य से देखता रहा, और फिर मेरे पास आया:

— यह पहली बार है जब मैंने एक सहायक को, जो गणित का शिक्षक नहीं है, बैठकर हल करते देखा है। प्रश्न के लिए क्षमा करें, लेकिन क्या यह आपके जीवन में किसी भी तरह से उपयोगी रहा है?

दसवीं कक्षा के छात्र के प्रश्न ने मुझे परेशान नहीं किया। सच तो यह है कि स्कूल में मुझे गणित से बिना किसी पारस्परिकता के प्यार था: इस अर्थ में कि गणित मुझसे प्यार करता था, और मैं उससे प्यार करता था।- नहीं। यानी गणित मेरे लिए हमेशा आसान था, कोई समस्या नहीं थी, मैं अपने सभी गणित शिक्षकों को भी गर्मजोशी से याद करता हूं... लेकिन मुझे गणित पसंद नहीं था, और बस इतना ही! ऐसा ही होता है. और, एक मानवतावादी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के बाद (मैं प्रशिक्षण से इतिहास का शिक्षक हूं), मुझे अचानक गणित की कमी महसूस होने लगी। मुझे ऐसा लगने लगा कि मैं बहुत ज्यादा मूर्ख होता जा रहा हूं। और इसलिए, 1 पर— 2 वर्षों में, इस शून्य को भरने के लिए, मैंने स्वयं (!) ओलंपियाड समस्याओं का संग्रह लिया और हल किया, और वरिष्ठ वर्ष के लिए संपूर्ण पाठ्यपुस्तक को एक नए तरीके से हल किया। और- ओह, चमत्कार! मन की स्पष्टता और तार्किक सोच धीरे-धीरे लौटने लगी। और फिर, पहले से ही तीसरे वर्ष में,मैंने एल. कैरोल की पुस्तक "द लॉजिक गेम" पढ़ी (धन्यवाद सर्गेई मिखेलसन), मुझे तर्कशास्त्र में रुचि हो गई और गणित का अध्ययन करने की आवश्यकता किसी तरह गायब हो गई। और जब, स्नातक स्तर की पढ़ाई के कुछ साल बाद, मैंने अर्थशास्त्र पढ़ाना शुरू किया, तो गणित मेरे दिमाग में मजबूती से स्थापित हो गया।- समस्याओं को किसी तरह हल करने की जरूरत है।
मैंने यह सब क्यों लिखा? इतनी लंबी प्रस्तावना का उद्देश्य यह बताना है कि मैंने इस प्रस्ताव को सहर्ष क्यों स्वीकार कर लिया +नतालिया शनीना, प्रकाशन गृह के सहायक परियोजना प्रबंधक +मान, इवानोव और फ़ेबर, समीक्षा के लिए "द प्लेजर ऑफ एक्स" पुस्तक लें (ऐसा मौखिक वाक्य)।
मुझे किताब पहले पन्ने से ही पसंद आई: जब वे दिखाते हैं तो मुझे अच्छा लगता है सुंदरताअंक शास्त्र। मुझे भी अच्छा लगता है जब साधारण चीज़ों में पैटर्न होते हैं। इसलिए, पहले ही अध्याय में, मैं इस खोज से स्तब्ध था: यदि हम लगातार विषम संख्याओं को जोड़ते हैं, तो योग में हमें श्रृंखला में ली गई विषम संख्याओं की संख्या के अनुरूप संख्याओं के वर्ग मिलेंगे। तब- वह विषम संख्याएँ कोने बनाती हैं जिनसे आप एक वर्ग बना सकते हैं, उदाहरण के लिए:

जैसे ही मैंने किताब पढ़ी, मैंने अपने लिए नई खोजें कीं। विभिन्न एल्गोरिदम के प्रति प्रेम होने के कारण (मैं कुछ रचनात्मक और निकट-रचनात्मक प्रक्रियाओं में भी एक एल्गोरिदम प्राप्त करने का प्रयास करता हूं), मैं 50 तक की संख्याओं का वर्ग करने के लिए एक सरल एल्गोरिदम को देखने से खुद को नहीं रोक सका। मुझे यह इतना पसंद आया कि मैंने इसे स्केच भी किया। एक नोटबुक में.

यहां तक ​​कि किताब के उन हिस्सों को पढ़ना भी आसान था जो मेरे लिए मुश्किल साबित हुए (खैर, मुझे गणित इस हद तक याद नहीं है)। मुझे सब कुछ समझ नहीं आया, लेकिन इस मामले में भी मुझे इसे पढ़ने में मज़ा आया। क्योंकि लेखक हर चीज़ में आस-पास की वास्तविकता में गणितीय कानूनों का ठोस अनुप्रयोग देखता है। सांख्यिकी, ऑन्कोलॉजी, यहाँ तक कि विवाह साथी का चुनाव - हर जगह गणित के निशान हैं। और इस उद्धरण ने मुझे विशेष रूप से प्रभावित किया: "Google के अस्तित्व में आने से पहले के दिनों में, वेब पर खोज करना एक निराशाजनक प्रयास था।".

पढ़ते समय केवल दो बातें मुझे परेशान करती थीं।

1. खैर, मुझे इलेक्ट्रॉनिक प्रारूप में पढ़ना पसंद नहीं है। इसके अलावा, गणित के मामले में, आप तुरंत कुछ हल/गणना करना चाहते हैं। अगर मैं कोई कागज़ की किताब पढ़ रहा होता, तो मैं सीधे हाशिये और मुफ़्त पन्नों पर लिखता - प्रकाशन गृह की किताबें +मान, इवानोव और फ़ेबरइस तरह से प्रकाशित किया गया है कि वे शुरू में यह मान लेते हैं कि ऐसे पाठक भी होंगे जो न केवल किताब पढ़ेंगे, बल्कि उसमें लिखेंगे भी।
2. पुस्तक में बड़ी संख्या में नोट्स हैं। प्रकाशक परंपरागत रूप से पुस्तक के पाठ में केवल संक्षिप्त जानकारी वाले लिंक छोड़ता है, और एंडनोट्स के रूप में विस्तृत नोट्स बनाता है। मेरे लिए, यह पढ़ने का प्रारूप असुविधाजनक है (और इलेक्ट्रॉनिक प्रारूप में यह दोगुना असुविधाजनक है)। मुझे किताब के आगे-पीछे कूदना पसंद नहीं है। और मुख्य पाठ को पढ़ने के बाद नोट्स पढ़ना अतार्किक है। अंत में मैंने बस उन्हें अपनी आँखों से देखा। यद्यपि वे मुख्य पाठ का हिस्सा बनने के योग्य हैं: वे पुस्तक के पाठ की तरह ही, दिलचस्प ढंग से लिखे गए हैं।

मैं इस पुस्तक की अनुशंसा न केवल गणित प्रेमियों को, बल्कि हाई स्कूल और कॉलेज के छात्रों को भी करूँगा। कुछ चीज़ों की समझ प्रदान करना जो स्कूल या विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रम में बहुत सारगर्भित लगती हैं। खैर, और गणित के शिक्षक, बिल्कुल। यहाँ +नतालिया लावोवामैं पहले ही पढ़ चुका हूं (समीक्षा)। मैं वास्तव में इस पुस्तक की अनुशंसा करना चाहूँगा और +डायना सोनिना, लेकिन - अफ़सोस और आह! - बेटी अपनी माँ के समान मार्ग पर चलती है। गणित आसान है, वह नगरपालिका ओलंपियाड की विजेता है, और वे शोध कार्य में डिग्री के साथ अपने गणित शिक्षक के साथ क्या करते हैं (जिनके साथ उन्होंने एक से अधिक बार पुरस्कार जीते हैं)विभिन्न सम्मेलनों में), हाई स्कूल के छात्रों के लिए ओलंपियाड समस्याओं को हल करना मेरे लिए समझना मुश्किल है। लेकिन साथ ही वह गणित के बारे में सुनना भी नहीं चाहता। ज़रूरी- वह करता है, लेकिन आनंद के बिना।इस बीच, जब मैं अपने छात्र के प्रश्न का उत्तर देता हूं कि जीवन में गणित मेरे लिए कैसे उपयोगी रहा है, तो कुछ व्यावहारिक चीजों के अलावा, मेरे पास हमेशा एक उत्तर होता है: आपको स्कूल में अच्छी तरह से अध्ययन करने की आवश्यकता है, जिसमें आपकी मदद करने में सक्षम होना भी शामिल है। खुद के बच्चे पढ़ते हैं. लेकिन मेरी बेटी को वास्तव में मेरी मदद की ज़रूरत नहीं है।- वह अपने दम पर इसका सामना करती है। इसलिए, सवाल खुला रहता है: क्यों, उत्कृष्ट शुरुआती परिस्थितियों को देखते हुए - एक अच्छा शिक्षक, विषय में अच्छी क्षमताएं, क्या ऐसे बच्चे हैं जिन्हें गणित पसंद नहीं है? मैं दूसरे दिन इस पर चर्चा कर रहा था +मरीना कुर्विट्स, मैं अन्य "गणितज्ञ परिचितों" के साथ इस पर चर्चा करने के लिए तैयार हूं -+जुरी कुर्विट्सऔर +जुडमिला रोज़डेस्टेवेंस्काजा. कारण क्या है? मेंक्या किसी तरह स्थिति को बदलना जरूरी है? मेरे लिए इसका समाधान मेरी युवावस्था में ही हो गया था। लेकिन मुझे अभी भी यह विचार सता रहा है कि, पहले गणित से प्यार न होने के कारण, मैंने अपने जीवन में कुछ अवसर गँवा दिए...

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की ख़ुशी एक्स

एक से अनंत तक, गणित का एक निर्देशित दौरा

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, सी/ओ ब्रॉकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित

© रूसी में अनुवाद, रूसी में प्रकाशन, डिज़ाइन। मान, इवानोव और फ़रबर एलएलसी, 2014

सर्वाधिकार सुरक्षित। इस पुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक संस्करण का कोई भी भाग कॉपीराइट स्वामी की लिखित अनुमति के बिना निजी या सार्वजनिक उपयोग के लिए किसी भी रूप में या इंटरनेट या कॉर्पोरेट नेटवर्क पर पोस्ट करने सहित किसी भी माध्यम से पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह के लिए कानूनी सहायता वेगास-लेक्स लॉ फर्म द्वारा प्रदान की जाती है।

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यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाज़ार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉल

प्रस्तावना

मेरा एक मित्र है, जो अपनी कला के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम एक साथ मिलते हैं, वह मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में उत्साहपूर्वक बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित के बारे में बात करना शुरू करते हैं, उसके घुटनों में कंपन होने लगता है, जिससे वह काफी परेशान हो जाता है। उनकी शिकायत है कि न केवल ये अजीब गणितीय प्रतीक उनकी समझ को ख़राब करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानते कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, उनके गणित को अस्वीकार करने का कारण बहुत गहरा है। उसे कोई अंदाजा नहीं होगा कि गणितज्ञ आम तौर पर क्या करते हैं और जब वे कहते हैं कि दिया गया प्रमाण सुरुचिपूर्ण है तो उनका क्या मतलब है। कभी-कभी हम मज़ाक करते हैं कि मुझे बस बैठकर उसे बुनियादी बातों से पढ़ाना शुरू करना होगा, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2, और गणित में जितना हो सके उतना गहराई तक जाना होगा।

और यद्यपि यह विचार पागलपन भरा लगता है, मैं इस पुस्तक में बिल्कुल यही लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं अंकगणित से लेकर उच्च गणित तक, विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के बारे में आपका मार्गदर्शन करूंगा, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे वे अंततः इसका लाभ उठा सकें। और इस बार आपको डेस्क पर नहीं बैठना पड़ेगा. यह किताब आपको गणित विशेषज्ञ नहीं बनाएगी. लेकिन इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि यह अनुशासन क्या अध्ययन करता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना आकर्षक क्यों है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि संख्याओं के जीवन और उनके व्यवहार से मेरा क्या मतलब है, जिसे हम नियंत्रित नहीं कर सकते, आइए फ्यूरी पॉज़ होटल पर वापस जाएँ। मान लीजिए कि हम्फ्री ऑर्डर सौंपने ही वाला था, लेकिन तभी दूसरे कमरे से पेंगुइन ने अप्रत्याशित रूप से उसे बुलाया और उतनी ही मात्रा में मछली भी मांगी। दो ऑर्डर प्राप्त करने के बाद हम्फ्री को कितनी बार "मछली" शब्द चिल्लाना चाहिए? यदि वह संख्याओं के बारे में कुछ नहीं सीखता, तो उसे उतनी ही बार चिल्लाना पड़ता जितनी बार दोनों कमरों में पेंगुइन होते। या, संख्याओं का उपयोग करके, वह रसोइये को समझा सकता है कि उसे एक नंबर के लिए छह मछलियाँ और दूसरे के लिए छह मछलियाँ चाहिए। लेकिन उसे वास्तव में एक नई अवधारणा की आवश्यकता है: जोड़। एक बार जब वह इसमें महारत हासिल कर लेता है, तो वह गर्व से कहेगा कि उसे छह प्लस छह (या, यदि वह एक पोजर है, तो बारह) मछली चाहिए।

यह वही रचनात्मक प्रक्रिया है जब हम पहली बार संख्याएँ लेकर आए थे। जिस प्रकार संख्याओं को एक बार में सूचीबद्ध करने की तुलना में गिनना आसान हो जाता है, उसी प्रकार जोड़ने से किसी भी राशि की गणना करना आसान हो जाता है। साथ ही गणना करने वाला गणितज्ञ के रूप में विकसित होता है। वैज्ञानिक रूप से, इस विचार को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: सही अमूर्तता का उपयोग करने से मुद्दे के सार में गहरी अंतर्दृष्टि और इसे हल करने में अधिक शक्ति मिलती है।

जल्द ही, शायद, हम्फ्री को भी एहसास होगा कि अब वह हमेशा गिन सकता है।

हालाँकि, इतने अंतहीन परिप्रेक्ष्य के बावजूद, हमारी रचनात्मकता की हमेशा कुछ सीमाएँ होती हैं। हम तय कर सकते हैं कि 6 और + से हमारा क्या मतलब है, लेकिन एक बार जब हम ऐसा कर लेते हैं, तो 6 + 6 जैसे भावों के परिणाम हमारे नियंत्रण से बाहर हो जाते हैं। यहां तर्क हमारे पास कोई विकल्प नहीं छोड़ेगा। इस अर्थ में, गणित में हमेशा दोनों आविष्कार शामिल होते हैं, तो औरउद्घाटन: हम आविष्कार करनाअवधारणा, लेकिन खुलाउनके परिणाम. जैसा कि निम्नलिखित अध्याय स्पष्ट करेंगे, गणित में हमारी स्वतंत्रता प्रश्न पूछने की क्षमता में निहित है और स्वयं उनका आविष्कार किए बिना उत्तर खोजने में लगे रहते हैं।

2. पत्थर अंकगणित

जीवन की किसी भी घटना की तरह, अंकगणित के भी दो पहलू हैं: औपचारिक और मनोरंजक (या चंचल)।

हमने स्कूल में औपचारिक भाग का अध्ययन किया। वहां उन्होंने हमें समझाया कि संख्याओं के कॉलम के साथ कैसे काम करना है, उन्हें जोड़ना और घटाना है, टैक्स रिटर्न भरते समय और वार्षिक रिपोर्ट तैयार करते समय स्प्रेडशीट में गणना करते समय उन्हें कैसे क्रंच करना है। अंकगणित का यह पक्ष व्यावहारिक दृष्टिकोण से कई लोगों को महत्वपूर्ण लगता है, लेकिन पूरी तरह से आनंदहीन है।

आप उच्च गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में ही अंकगणित के मनोरंजक पक्ष से परिचित हो सकते हैं। हालाँकि, यह एक बच्चे की जिज्ञासा की तरह ही स्वाभाविक है।

निबंध "द मैथेमेटिशियंस लैमेंट" में, पॉल लॉकहार्ट सामान्य से अधिक ठोस उदाहरणों में संख्याओं का अध्ययन करने का सुझाव देते हैं: वह हमें उन्हें कई पत्थरों के रूप में सोचने के लिए कहते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 कंकड़ के निम्नलिखित सेट से मेल खाती है:

आपको यहां कुछ भी असामान्य देखने की संभावना नहीं है। जिस तरीके से है वो। जब तक हम संख्याओं में हेरफेर करना शुरू नहीं करते, वे लगभग एक जैसे ही दिखते हैं। खेल तब शुरू होता है जब हमें कोई कार्य मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए उन सेटों को देखें जिनमें 1 से 10 तक पत्थर हैं और उनसे वर्ग बनाने का प्रयास करें। यह केवल 4 और 9 पत्थरों के दो सेटों के साथ किया जा सकता है, क्योंकि 4 = 2 × 2 और 9 = 3 × 3. हमें ये संख्याएँ किसी अन्य संख्या का वर्ग करके प्राप्त होती हैं (अर्थात्, पत्थरों को एक वर्ग में व्यवस्थित करना)।

यहां एक समस्या है जिसके बड़ी संख्या में समाधान हैं: आपको यह पता लगाना होगा कि यदि आप समान संख्या में तत्वों के साथ पत्थरों को दो पंक्तियों में व्यवस्थित करते हैं तो कौन से सेट एक आयत बनाएंगे। 2, 4, 6, 8 या 10 पत्थरों के सेट यहां उपयुक्त हैं; संख्या सम होनी चाहिए. यदि हम शेष सेटों को दो पंक्तियों में विषम संख्या में पत्थरों के साथ व्यवस्थित करने का प्रयास करते हैं, तो हमारे पास हमेशा एक अतिरिक्त पत्थर होगा।

लेकिन इन अजीब आंकड़ों के कारण सब कुछ ख़त्म नहीं हो गया है! यदि आप ऐसे दो सेट लेते हैं, तो अतिरिक्त तत्वों को एक जोड़ी मिलेगी, और योग सम होगा: विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या।

यदि हम इन नियमों को 10 के बाद की संख्याओं तक विस्तारित करते हैं, और मानते हैं कि एक आयत में पंक्तियों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो कुछ विषम संख्याएँ ऐसे आयतों को जोड़ने की अनुमति देंगी। उदाहरण के लिए, संख्या 15 एक 3 × 5 आयत बना सकती है।

इसलिए, हालांकि 15 निस्संदेह एक विषम संख्या है, यह एक समग्र संख्या है और इसे पांच पत्थरों की तीन पंक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसी तरह, गुणन तालिका में कोई भी प्रविष्टि कंकड़ के अपने आयताकार समूह का निर्माण करती है।

लेकिन कुछ संख्याएँ, जैसे 2, 3, 5 और 7, पूरी तरह से निराशाजनक हैं। आप उन्हें एक सरल रेखा (एक पंक्ति) के रूप में व्यवस्थित करने के अलावा कुछ भी नहीं निकाल सकते। ये अजीब जिद्दी लोग हैं प्रसिद्ध अभाज्य संख्याएँ।

तो हम देखते हैं कि संख्याओं में अजीब संरचनाएं हो सकती हैं जो उन्हें एक निश्चित चरित्र प्रदान करती हैं। लेकिन उनके व्यवहार की पूरी श्रृंखला को समझने के लिए, आपको व्यक्तिगत संख्याओं से पीछे हटना होगा और देखना होगा कि उनकी बातचीत के दौरान क्या होता है।

उदाहरण के लिए, केवल दो विषम संख्याओं को जोड़ने के बजाय, आइए 1 से शुरू करके विषम संख्याओं के सभी संभावित अनुक्रमों को जोड़ें:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

आश्चर्य की बात यह है कि ये योग सदैव पूर्ण वर्ग बनते हैं। (हमने पहले ही कहा था कि 4 और 9 को वर्गों के रूप में दर्शाया जा सकता है, और 16 = 4 × 4 और 25 = 5 × 5 के लिए यह भी सच है।) एक त्वरित गणना से पता चलता है कि यह नियम बड़ी विषम संख्याओं के लिए भी सच है और, जाहिरा तौर पर , अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। लेकिन उनके "अतिरिक्त" पत्थरों के साथ विषम संख्याओं और वर्ग बनाने वाली शास्त्रीय सममित संख्याओं के बीच क्या संबंध है? कंकड़ों को सही ढंग से रखकर, हम इसे स्पष्ट कर सकते हैं, जो एक सुंदर प्रमाण की पहचान है।

इसकी कुंजी यह अवलोकन है कि विषम संख्याओं को समबाहु कोणों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनका क्रमिक ओवरलैप एक वर्ग बनाता है!

तर्क का एक समान तरीका हाल ही में प्रकाशित एक अन्य पुस्तक में प्रस्तुत किया गया है। योको ओगावा का आकर्षक उपन्यास द हाउसकीपर एंड द प्रोफेसर एक चतुर लेकिन अशिक्षित युवती और उसके दस वर्षीय बेटे की कहानी कहता है। एक बुजुर्ग गणितज्ञ की देखभाल के लिए एक महिला को काम पर रखा गया था, जिनकी अल्पकालिक स्मृति, एक दर्दनाक मस्तिष्क की चोट के कारण, केवल उनके जीवन के अंतिम 80 मिनटों के बारे में जानकारी बरकरार रखती है। वर्तमान में खोया हुआ, अकेले अपनी गंदी कुटिया में, संख्याओं के अलावा कुछ भी नहीं होने पर, प्रोफेसर गृहस्वामी के साथ केवल उसी तरीके से संवाद करने की कोशिश करता है जिसे वह जानता है: उसके जूते के आकार या जन्म तिथि के बारे में पूछकर और उसके खर्चों के बारे में उससे छोटी-छोटी बातें करके। प्रोफेसर गृहस्वामी के बेटे को भी विशेष पसंद करते हैं, जिसे वे रूथ (रूट) कहते हैं क्योंकि लड़के का सिर ऊपर से सपाट है, और यह उन्हें वर्गमूल √ के लिए गणितीय संकेतन की याद दिलाता है।

एक दिन, प्रोफेसर लड़के को एक सरल कार्य देता है - 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए। जब ​​रूथ सावधानीपूर्वक सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ती है और उत्तर (55) के साथ लौटती है, तो प्रोफेसर उसे एक खोजने के लिए कहता है। आसान तरीका. क्या वह उत्तर ढूंढ पायेगा? बिनासंख्याओं का सामान्य जोड़? रूथ एक कुर्सी को लात मारती है और चिल्लाती है, "यह उचित नहीं है!"

धीरे-धीरे, गृहस्वामी भी संख्याओं की दुनिया में आकर्षित हो जाता है और गुप्त रूप से इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करता है। वह कहती हैं, "मुझे समझ नहीं आता कि मुझे बच्चों की पहेली में इतनी दिलचस्पी क्यों है जिसका कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं है।" “पहले तो मैं प्रोफेसर को खुश करना चाहता था, लेकिन धीरे-धीरे यह पाठ मेरे और संख्याओं के बीच लड़ाई में बदल गया। जब मैं सुबह उठा तो समीकरण पहले से ही मेरा इंतजार कर रहा था:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

और यह पूरे दिन मेरा पीछा करता रहा, मानो यह मेरी आँखों की रेटिना में जल गया हो, और किसी भी तरह से मैं इसे नज़रअंदाज़ नहीं कर सकता था। प्रोफेसर की समस्या को हल करने के कई तरीके हैं (मुझे आश्चर्य है कि आप कितने ढूंढ सकते हैं)। प्रोफेसर स्वयं तर्क करने की एक विधि सुझाते हैं, जिसे हम पहले ही ऊपर लागू कर चुके हैं। वह 1 से 10 तक के योग की व्याख्या कंकड़ों के त्रिकोण के रूप में करता है, पहली पंक्ति में एक कंकड़, दूसरी में दो, और इसी तरह, दसवीं पंक्ति में दस कंकड़ तक।

यह चित्र नकारात्मक स्थान का स्पष्ट अंदाज़ा देता है। पता चला कि यह केवल आधा भरा है, जो रचनात्मक सफलता की दिशा दर्शाता है। यदि आप कंकड़ के एक त्रिकोण की नकल करते हैं, इसे पलटते हैं और इसे मौजूदा त्रिकोण के साथ जोड़ते हैं, तो आपको कुछ बहुत ही सरल मिलता है: कुल 110 पत्थरों के लिए प्रत्येक 11 कंकड़ की दस पंक्तियों वाला एक आयत।

चूँकि मूल त्रिभुज इस आयत का आधा है, 1 से 10 तक की संख्याओं का परिकलित योग 110 का आधा, अर्थात 55 होना चाहिए।

किसी संख्या को कंकड़ों के समूह के रूप में प्रस्तुत करना असामान्य लग सकता है, लेकिन यह वास्तव में गणित जितना ही पुराना है। शब्द "गणना" calculate) इस विरासत को दर्शाता है और लैटिन से लिया गया है गणना, जिसका अर्थ है "कंकड़", जिसका उपयोग रोमन गणना करते समय करते थे। संख्याओं में हेरफेर करने का आनंद लेने के लिए आपको आइंस्टीन (जिसका जर्मन में अर्थ है "एक पत्थर") होने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन शायद कंकड़-पत्थरों को जोड़ने में सक्षम होने से आपके लिए यह आसान हो जाएगा।

स्लैम डंक एक प्रकार का बास्केटबॉल शॉट है जिसमें एक खिलाड़ी उछलता है और एक या दो हाथों से गेंद को ऊपर से नीचे तक उछालता है। टिप्पणी अनुवाद

जे सिम्पसन एक प्रसिद्ध अमेरिकी फुटबॉल खिलाड़ी हैं। उन्होंने प्रसिद्ध "नेकेड गन" त्रयी में जासूस नॉर्थबर्ग की भूमिका निभाई। उस पर अपनी पूर्व पत्नी और उसकी सहेली की हत्या का आरोप था और सबूतों के बावजूद उसे बरी कर दिया गया। टिप्पणी अनुवाद

इस आकर्षक विचार के लिए कि संख्याओं का अपना एक जीवन है और गणित को एक कला के रूप में देखा जा सकता है, पी. लॉकहार्ट, ए मैथेमेटिशियंस लैमेंट (बेलेव्यू लिटरेरी प्रेस, 2009) देखें। टिप्पणी संस्करण: रूसी इंटरनेट पर लॉकहार्ड के निबंध "द क्राई ऑफ ए मैथमेटिशियन" के कई अनुवाद हैं। यहाँ उनमें से एक है: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html। यहां और नीचे, घुंघराले कोष्ठक में फ़ुटनोट लेखक के नोट्स को संदर्भित करते हैं।

मैं इस अध्याय का श्रेय दो उत्कृष्ट पुस्तकों को देता हूँ: पी. लॉकहार्ट का विवादास्पद निबंध, ए मैथेमेटिशियंस लैमेंट (बेलेव्यू लिटरेरी प्रेस, 2009) और वाई. ओगावा का उपन्यास, द हाउसकीपर एंड द प्रोफेसर (पिकाडोर, 2009)। टिप्पणी संस्करण: लॉकहार्ड के निबंध "द क्राई ऑफ ए मैथमेटिशियन" का उल्लेख टिप्पणी 1 में किया गया है। योको ओगावा के उपन्यास का अभी तक रूसी में कोई अनुवाद नहीं हुआ है।

युवा पाठकों के लिए जो संख्याओं और उनकी संरचनाओं के बारे में जानना चाहते हैं, एच. एम. एनज़ेंसबर्गर, द नंबर डेविल (होल्ट पेपरबैक्स, 2000) देखें। टिप्पणी एड.: गणित की शुरुआत, इसके अध्ययन के लिए गैर-मानक दृष्टिकोण, बच्चों में गणितीय रचनात्मकता के विकास और पुस्तक के निम्नलिखित अध्यायों के अनुरूप समान विषयों के बारे में कई रूसी पुस्तकों में से, हम अभी के लिए निम्नलिखित का संकेत देंगे: पुखनाचेव यू., पोपोव यू. बिना सूत्रों के गणित। एम.: जेएससी "स्टोलेटी", 1995; ओस्टर जी. समस्या पुस्तक. गणित के लिए प्रिय मार्गदर्शक. एम.: एएसटी, 2005; रयज़िक वी.आई. 30,000 गणित पाठ: शिक्षकों के लिए एक किताब। एम.: शिक्षा, 2003: तुचिनिन एन.पी. प्रश्न कैसे पूछें? स्कूली बच्चों की गणितीय रचनात्मकता के बारे में। यारोस्लाव: वेरख। - वोल्ज़। किताब प्रकाशन गृह, 1989।

गणितीय छवियों को देखने के उत्कृष्ट लेकिन अधिक जटिल उदाहरणों के लिए, आर.बी. नेल्सन, प्रूफ़्स विदाउट वर्ड्स (मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका, 1997) देखें।

स्कूली गणित की मुख्य समस्या यह है कि इसमें कोई समस्या नहीं होती। हां, मुझे पता है कि कक्षा में समस्याओं का क्या मतलब होता है: वे बेस्वाद, उबाऊ अभ्यास। “यहाँ चुनौती है। यहां बताया गया है कि इसे कैसे हल किया जाए। हां, परीक्षा में ऐसी चीजें होती हैं. गृहकार्य समस्याएँ 1-15।" गणित सीखने का कितना दुखद तरीका है: एक प्रशिक्षित चिंपैंजी बनें।

पॉल लॉकहार्ड

निबंध "एक गणितज्ञ का रोना" से

गणित शायद विज्ञान की सबसे अजीब शाखाओं में से एक है। कोई भी अन्य विषय इतने सारे विरोधाभासों को जोड़ता नहीं है: औपचारिक प्रमाणों की कठोरता से लेकर कुछ निर्माणों को "देखने" की क्षमता तक। गणित में आंतरिक और बाहरी दोनों सौंदर्य हैं। गणित की समस्याओं को हल करने से ज्यादा मजेदार कुछ भी नहीं है। और कोई भी विषय इतनी बुरी तरह से स्कूल में नहीं पढ़ाया जाता.

आप आमतौर पर स्कूल में गणित की पढ़ाई कहाँ से शुरू करते हैं? 7-8 साल के बच्चों को प्रतीकों और परिभाषाओं का एक समझ से बाहर सेट और इस गॉब्लेडगूक को लागू करने के लिए एल्गोरिदम की एक प्रणाली देने से। कुछ चीज़ें, उदाहरण के लिए, गुणन सारणी, याद की जाती हैं।

इस प्रणाली पर आधारित निम्नलिखित कक्षाओं में, छात्रों को शर्मनाक अनुष्ठानों का एक सेट याद करने के लिए कहा जाएगा और मजबूर किया जाएगा जो उन्हें यातनापूर्ण समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। नई परिभाषाएँ सामने आएंगी, जैसे कि "उचित भिन्न" और "अनुचित भिन्न" बिना यह बताए कि यह कहाँ से आया है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि क्यों। बेकार और उबाऊ पाठ समस्याओं को हल करने पर विशेष ध्यान दिया जाएगा जिनका वास्तविकता से एल्गोरिदम के समान ही संबंध है।

एक छोटे परीक्षण के रूप में, आप स्वयं से यह याद रखने के लिए कह सकते हैं: आपके जीवन में कितनी बार आपको उचित या अनुचित भिन्न का निर्धारण करने की आवश्यकता पड़ी है?

मुझे यह सीखने के लिए मजबूर होना पड़ा: दो संख्याओं के योग का वर्ग उनके दोगुने गुणनफल द्वारा बढ़ाए गए उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। मुझे ज़रा भी अंदाज़ा नहीं था कि इसका क्या मतलब हो सकता है; जब मैं ये शब्द याद नहीं रख सका, तो शिक्षक ने मेरे सिर पर किताब से प्रहार किया, लेकिन इससे मेरी बुद्धि में ज़रा भी उत्तेजना नहीं आई।

बर्ट्रेंड रसेल

अंग्रेजी दार्शनिक, तर्कशास्त्री और गणितज्ञ

साथ ही, शिक्षक किसी भी असहमति को बेरहमी से दबा देंगे। 2 1/2 के बजाय 5/2 लिखने का प्रयास करें (जिस पर मैं हमेशा आपत्ति करना चाहता हूं: यदि मेरे पास तीन सेब हैं, जिनमें से प्रत्येक आधे में विभाजित है, तो मैं 5 आधे भाग लूंगा, 2 सेब और 1 आधा नहीं)।

इस विषय को काफी लंबे समय तक जारी रखा जा सकता है. इसके अलावा, यह पॉल लॉकहार्ट के निबंध "द लैमेंट ऑफ ए मैथमेटिशियन" में पहले ही किया जा चुका है। यह "किसे दोष देना है" को अच्छी तरह से दिखाता है। लेकिन दूसरे महत्वपूर्ण प्रश्न - "क्या करें" - का उत्तर नहीं दिया गया है।

इस प्रश्न का भिन्न-भिन्न उत्तर एक अद्भुत पुस्तक में दिया गया है, जिसका हाल ही में रूसी में अनुवाद किया गया है। किताब का नाम द प्लेजर ऑफ एक्स है।

एक्स से खुशी

यदि आप छह साल के बच्चे को कुछ नहीं समझा सकते हैं, तो आप इसे स्वयं नहीं समझ सकते हैं।

अल्बर्ट आइंस्टीन

ये वो किताब है डेस्कटॉप बनना चाहिएकिसी भी तकनीकी विषय के शिक्षक के लिए, चाहे वह गणित हो या कंप्यूटर विज्ञान।

इस पुस्तक के लेखक, स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, एक विश्व स्तरीय गणितज्ञ और संयुक्त राज्य अमेरिका में कॉर्नेल विश्वविद्यालय (दुनिया के अग्रणी तकनीकी विश्वविद्यालयों में से एक) में व्यावहारिक गणित के शिक्षक हैं। और, पुस्तक को देखते हुए, इस आदमी ने दो अद्भुत गुणों को संयोजित किया जिसने इस काम को बेस्टसेलर बना दिया: स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ एक मजबूत गणितज्ञ और शिक्षक हैं।

आप पढ़ाने में सक्षम हो सकते हैं, लेकिन विषय को अच्छी तरह से नहीं जानते। आप किसी विषय को अच्छी तरह जान सकते हैं, लेकिन पढ़ा नहीं सकते। आप दोनों कर सकते हैं, लेकिन औसत दर्जे से। स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ एक अलग प्रकार के हैं: वह जानते हैं और जानते हैं कि सही तरीके से कैसे पढ़ाना है।

यह क़िताब किस बारे में है? वास्तव में, हर उस चीज़ के बारे में जो किसी न किसी तरह गणित से संबंधित है। पहली नज़र में, पुस्तक के अनुभागों को अव्यवस्थित रूप से चुना गया है (संख्याएँ, अनुपात, आंकड़े, परिवर्तन का समय, डेटा के कई पहलू, संभावित सीमाएँ), लेकिन जैसे-जैसे आप पढ़ते हैं, आप समझने लगते हैं कि लेखक क्या कहना चाहता था। किताब शोध पर आधारित है. लेखक द्वारा पाठक के साथ मिलकर किया गया शोध।

विचाराधीन समस्याओं का दायरा बहुत बड़ा है। कोई भी, यहाँ तक कि गणित को बहुत अच्छी तरह जानने वाला भी, इससे कुछ नया सीखेगा। साथ ही, व्यावहारिक समस्याओं (उदाहरण के लिए, शेयर बाजार में निवेश किए गए शेयरों पर प्राप्त ब्याज की गणना) और बिल्कुल अमूर्त दोनों पर विचार किया जाता है।

अनेक समस्याएँ ऐतिहासिक सन्दर्भ में दी गई हैं। यहां मैं अलग से बात करना चाहूंगा: अब गणित के विकास का इतिहास लगभग सभी पाठ्यपुस्तकों से बाहर कर दिया गया है। इस बीच, केवल ऐतिहासिक संदर्भ को समझकर ही कोई आगे बढ़ सकता है - सरल अंकगणित से लेकर आधुनिक गणितीय सिद्धांतों तक।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरणों पर विचार करें। मंत्र को याद करने की कोशिश में छात्रों और शिक्षकों दोनों ने कितने आँसू बहाए: x एक-दो शून्य के बराबर है या शून्य से घटा है, वर्ग का मूल शून्य से चार ऐस है और हर चीज़ को दो ए से विभाजित करें।

वैसे, लिखने का यह तरीका अब नए गणितीय मानकों के अनुसार सही नहीं है - लगभग। संपादक.

अच्छी याददाश्त वाले और/या "जानने वाले" लोग अभी भी विएटा के प्रमेय को याद कर सकते हैं। लेकिन इन सबके बजाय, स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़ अल-ख़्वारिज़्मी द्वारा आविष्कार की गई एक सुंदर व्याख्या देते हैं, जिसकी मदद से, बिना किसी सूत्र के, आप आसानी से और स्वाभाविक रूप से एक समाधान पा सकते हैं (यद्यपि अधूरा: उस समय नकारात्मक संख्याएं अभी तक व्यापक नहीं थीं इस्तेमाल किया गया)। और, मैं आपको विश्वास दिलाता हूं, जो कोई भी इस फैसले को पढ़ेगा उसे यह हमेशा याद रहेगा। पहली बार।

अध्याय-दर-अध्याय कार्यों की जटिलता बढ़ती जाती है। लेकिन समझ ख़त्म नहीं होती, जो "द प्लेज़र ऑफ़ एक्स" पढ़ने का विशेष आनंद है। पाठक उस माहौल में डूब जाता है जो लेखक ने उसके लिए बनाया है, व्यावहारिक रूप से एक साहसी नई दुनिया में।

मुझे नहीं पता कि इस किताब की तुलना किससे की जा सकती है। शायद भौतिकी पर प्रसिद्ध फेमैन व्याख्यान के साथ या "आप मुझसे मजाक कर रहे हैं, मिस्टर फेमैन।" लेकिन एक बात निश्चित है: यह पुस्तक इसे पढ़ने वालों की आत्मा पर अपनी छाप छोड़ेगी।

की ख़ुशी एक्स

एक से अनंत तक, गणित का एक निर्देशित दौरा

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, सी/ओ ब्रॉकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित

© रूसी में अनुवाद, रूसी में प्रकाशन, डिज़ाइन। मान, इवानोव और फ़रबर एलएलसी, 2014

सर्वाधिकार सुरक्षित। इस पुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक संस्करण का कोई भी भाग कॉपीराइट स्वामी की लिखित अनुमति के बिना निजी या सार्वजनिक उपयोग के लिए किसी भी रूप में या इंटरनेट या कॉर्पोरेट नेटवर्क पर पोस्ट करने सहित किसी भी माध्यम से पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह के लिए कानूनी सहायता वेगास-लेक्स लॉ फर्म द्वारा प्रदान की जाती है।

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यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाज़ार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉल

प्रस्तावना

मेरा एक मित्र है, जो अपनी कला के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम एक साथ मिलते हैं, वह मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में उत्साहपूर्वक बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित के बारे में बात करना शुरू करते हैं, उसके घुटनों में कंपन होने लगता है, जिससे वह काफी परेशान हो जाता है। उनकी शिकायत है कि न केवल ये अजीब गणितीय प्रतीक उनकी समझ को ख़राब करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानते कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, उनके गणित को अस्वीकार करने का कारण बहुत गहरा है। उसे कोई अंदाजा नहीं होगा कि गणितज्ञ आम तौर पर क्या करते हैं और जब वे कहते हैं कि दिया गया प्रमाण सुरुचिपूर्ण है तो उनका क्या मतलब है। कभी-कभी हम मज़ाक करते हैं कि मुझे बस बैठकर उसे बुनियादी बातों से पढ़ाना शुरू करना होगा, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2, और गणित में जितना हो सके उतना गहराई तक जाना होगा।

और यद्यपि यह विचार पागलपन भरा लगता है, मैं इस पुस्तक में बिल्कुल यही लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं अंकगणित से लेकर उच्च गणित तक, विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के बारे में आपका मार्गदर्शन करूंगा, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे वे अंततः इसका लाभ उठा सकें। और इस बार आपको डेस्क पर नहीं बैठना पड़ेगा. यह किताब आपको गणित विशेषज्ञ नहीं बनाएगी. लेकिन इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि यह अनुशासन क्या अध्ययन करता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना आकर्षक क्यों है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि संख्याओं के जीवन और उनके व्यवहार से मेरा क्या मतलब है, जिसे हम नियंत्रित नहीं कर सकते, आइए फ्यूरी पॉज़ होटल पर वापस जाएँ। मान लीजिए कि हम्फ्री ऑर्डर सौंपने ही वाला था, लेकिन तभी दूसरे कमरे से पेंगुइन ने अप्रत्याशित रूप से उसे बुलाया और उतनी ही मात्रा में मछली भी मांगी। दो ऑर्डर प्राप्त करने के बाद हम्फ्री को कितनी बार "मछली" शब्द चिल्लाना चाहिए? यदि वह संख्याओं के बारे में कुछ नहीं सीखता, तो उसे उतनी ही बार चिल्लाना पड़ता जितनी बार दोनों कमरों में पेंगुइन होते। या, संख्याओं का उपयोग करके, वह रसोइये को समझा सकता है कि उसे एक नंबर के लिए छह मछलियाँ और दूसरे के लिए छह मछलियाँ चाहिए। लेकिन उसे वास्तव में एक नई अवधारणा की आवश्यकता है: जोड़। एक बार जब वह इसमें महारत हासिल कर लेता है, तो वह गर्व से कहेगा कि उसे छह प्लस छह (या, यदि वह एक पोजर है, तो बारह) मछली चाहिए।

यह वही रचनात्मक प्रक्रिया है जब हम पहली बार संख्याएँ लेकर आए थे। जिस प्रकार संख्याओं को एक बार में सूचीबद्ध करने की तुलना में गिनना आसान हो जाता है, उसी प्रकार जोड़ने से किसी भी राशि की गणना करना आसान हो जाता है। साथ ही गणना करने वाला गणितज्ञ के रूप में विकसित होता है। वैज्ञानिक रूप से, इस विचार को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: सही अमूर्तता का उपयोग करने से मुद्दे के सार में गहरी अंतर्दृष्टि और इसे हल करने में अधिक शक्ति मिलती है।

जल्द ही, शायद, हम्फ्री को भी एहसास होगा कि अब वह हमेशा गिन सकता है।

हालाँकि, इतने अंतहीन परिप्रेक्ष्य के बावजूद, हमारी रचनात्मकता की हमेशा कुछ सीमाएँ होती हैं। हम तय कर सकते हैं कि 6 और + से हमारा क्या मतलब है, लेकिन एक बार जब हम ऐसा कर लेते हैं, तो 6 + 6 जैसे भावों के परिणाम हमारे नियंत्रण से बाहर हो जाते हैं। यहां तर्क हमारे पास कोई विकल्प नहीं छोड़ेगा। इस अर्थ में, गणित में हमेशा दोनों आविष्कार शामिल होते हैं, तो औरउद्घाटन: हम आविष्कार करनाअवधारणा, लेकिन खुलाउनके परिणाम. जैसा कि निम्नलिखित अध्याय स्पष्ट करेंगे, गणित में हमारी स्वतंत्रता प्रश्न पूछने की क्षमता में निहित है और स्वयं उनका आविष्कार किए बिना उत्तर खोजने में लगे रहते हैं।

2. पत्थर अंकगणित

जीवन की किसी भी घटना की तरह, अंकगणित के भी दो पहलू हैं: औपचारिक और मनोरंजक (या चंचल)।

हमने स्कूल में औपचारिक भाग का अध्ययन किया। वहां उन्होंने हमें समझाया कि संख्याओं के कॉलम के साथ कैसे काम करना है, उन्हें जोड़ना और घटाना है, टैक्स रिटर्न भरते समय और वार्षिक रिपोर्ट तैयार करते समय स्प्रेडशीट में गणना करते समय उन्हें कैसे क्रंच करना है। अंकगणित का यह पक्ष व्यावहारिक दृष्टिकोण से कई लोगों को महत्वपूर्ण लगता है, लेकिन पूरी तरह से आनंदहीन है।

आप उच्च गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में ही अंकगणित के मनोरंजक पक्ष से परिचित हो सकते हैं {3}. हालाँकि, यह एक बच्चे की जिज्ञासा की तरह ही स्वाभाविक है। {4}.

निबंध "द मैथेमेटिशियंस लैमेंट" में, पॉल लॉकहार्ट सामान्य से अधिक ठोस उदाहरणों में संख्याओं का अध्ययन करने का सुझाव देते हैं: वह हमें उन्हें कई पत्थरों के रूप में सोचने के लिए कहते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 कंकड़ के निम्नलिखित सेट से मेल खाती है:

आपको यहां कुछ भी असामान्य देखने की संभावना नहीं है। जिस तरीके से है वो। जब तक हम संख्याओं में हेरफेर करना शुरू नहीं करते, वे लगभग एक जैसे ही दिखते हैं। खेल तब शुरू होता है जब हमें कोई कार्य मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए उन सेटों को देखें जिनमें 1 से 10 तक पत्थर हैं और उनसे वर्ग बनाने का प्रयास करें। यह केवल 4 और 9 पत्थरों के दो सेटों के साथ किया जा सकता है, क्योंकि 4 = 2 × 2 और 9 = 3 × 3. हमें ये संख्याएँ किसी अन्य संख्या का वर्ग करके प्राप्त होती हैं (अर्थात्, पत्थरों को एक वर्ग में व्यवस्थित करना)।

यहां एक समस्या है जिसके बड़ी संख्या में समाधान हैं: आपको यह पता लगाना होगा कि यदि आप समान संख्या में तत्वों के साथ पत्थरों को दो पंक्तियों में व्यवस्थित करते हैं तो कौन से सेट एक आयत बनाएंगे। 2, 4, 6, 8 या 10 पत्थरों के सेट यहां उपयुक्त हैं; संख्या सम होनी चाहिए. यदि हम शेष सेटों को दो पंक्तियों में विषम संख्या में पत्थरों के साथ व्यवस्थित करने का प्रयास करते हैं, तो हमारे पास हमेशा एक अतिरिक्त पत्थर होगा।

लेकिन इन अजीब आंकड़ों के कारण सब कुछ ख़त्म नहीं हो गया है! यदि आप ऐसे दो सेट लेते हैं, तो अतिरिक्त तत्वों को एक जोड़ी मिलेगी, और योग सम होगा: विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या।

यदि हम इन नियमों को 10 के बाद की संख्याओं तक विस्तारित करते हैं, और मानते हैं कि एक आयत में पंक्तियों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो कुछ विषम संख्याएँ ऐसे आयतों को जोड़ने की अनुमति देंगी। उदाहरण के लिए, संख्या 15 एक 3 × 5 आयत बना सकती है।

इसलिए, हालांकि 15 निस्संदेह एक विषम संख्या है, यह एक समग्र संख्या है और इसे पांच पत्थरों की तीन पंक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसी तरह, गुणन तालिका में कोई भी प्रविष्टि कंकड़ के अपने आयताकार समूह का निर्माण करती है।

लेकिन कुछ संख्याएँ, जैसे 2, 3, 5 और 7, पूरी तरह से निराशाजनक हैं। आप उन्हें एक सरल रेखा (एक पंक्ति) के रूप में व्यवस्थित करने के अलावा कुछ भी नहीं निकाल सकते। ये अजीब जिद्दी लोग हैं प्रसिद्ध अभाज्य संख्याएँ।

तो हम देखते हैं कि संख्याओं में अजीब संरचनाएं हो सकती हैं जो उन्हें एक निश्चित चरित्र प्रदान करती हैं। लेकिन उनके व्यवहार की पूरी श्रृंखला को समझने के लिए, आपको व्यक्तिगत संख्याओं से पीछे हटना होगा और देखना होगा कि उनकी बातचीत के दौरान क्या होता है।

उदाहरण के लिए, केवल दो विषम संख्याओं को जोड़ने के बजाय, आइए 1 से शुरू करके विषम संख्याओं के सभी संभावित अनुक्रमों को जोड़ें:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

आश्चर्य की बात यह है कि ये योग सदैव पूर्ण वर्ग बनते हैं। (हमने पहले ही कहा था कि 4 और 9 को वर्गों के रूप में दर्शाया जा सकता है, और 16 = 4 × 4 और 25 = 5 × 5 के लिए यह भी सच है।) एक त्वरित गणना से पता चलता है कि यह नियम बड़ी विषम संख्याओं के लिए भी सच है और, जाहिरा तौर पर , अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। लेकिन उनके "अतिरिक्त" पत्थरों के साथ विषम संख्याओं और वर्ग बनाने वाली शास्त्रीय सममित संख्याओं के बीच क्या संबंध है? कंकड़ों को सही ढंग से रखकर, हम इसे स्पष्ट कर सकते हैं, जो एक सुंदर प्रमाण की पहचान है। {5}

इसकी कुंजी यह अवलोकन है कि विषम संख्याओं को समबाहु कोणों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनका क्रमिक ओवरलैप एक वर्ग बनाता है!

तर्क का एक समान तरीका हाल ही में प्रकाशित एक अन्य पुस्तक में प्रस्तुत किया गया है। योको ओगावा का आकर्षक उपन्यास द हाउसकीपर एंड द प्रोफेसर एक चतुर लेकिन अशिक्षित युवती और उसके दस वर्षीय बेटे की कहानी कहता है। एक बुजुर्ग गणितज्ञ की देखभाल के लिए एक महिला को काम पर रखा गया था, जिनकी अल्पकालिक स्मृति, एक दर्दनाक मस्तिष्क की चोट के कारण, केवल उनके जीवन के अंतिम 80 मिनटों के बारे में जानकारी बरकरार रखती है। वर्तमान में खोया हुआ, अकेले अपनी गंदी कुटिया में, संख्याओं के अलावा कुछ भी नहीं होने पर, प्रोफेसर गृहस्वामी के साथ केवल उसी तरीके से संवाद करने की कोशिश करता है जिसे वह जानता है: उसके जूते के आकार या जन्म तिथि के बारे में पूछकर और उसके खर्चों के बारे में उससे छोटी-छोटी बातें करके। प्रोफेसर गृहस्वामी के बेटे को भी विशेष पसंद करते हैं, जिसे वे रूथ (रूट) कहते हैं क्योंकि लड़के का सिर ऊपर से सपाट है, और यह उन्हें वर्गमूल √ के लिए गणितीय संकेतन की याद दिलाता है।

एक दिन, प्रोफेसर लड़के को एक सरल कार्य देता है - 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए। जब ​​रूथ सावधानीपूर्वक सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ती है और उत्तर (55) के साथ लौटती है, तो प्रोफेसर उसे एक खोजने के लिए कहता है। आसान तरीका. क्या वह उत्तर ढूंढ पायेगा? बिनासंख्याओं का सामान्य जोड़? रूथ एक कुर्सी को लात मारती है और चिल्लाती है, "यह उचित नहीं है!"

धीरे-धीरे, गृहस्वामी भी संख्याओं की दुनिया में आकर्षित हो जाता है और गुप्त रूप से इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करता है। वह कहती हैं, "मुझे समझ नहीं आता कि मुझे बच्चों की पहेली में इतनी दिलचस्पी क्यों है जिसका कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं है।" “पहले तो मैं प्रोफेसर को खुश करना चाहता था, लेकिन धीरे-धीरे यह पाठ मेरे और संख्याओं के बीच लड़ाई में बदल गया। जब मैं सुबह उठा तो समीकरण पहले से ही मेरा इंतजार कर रहा था:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाज़ार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉल

एक्स की खुशी

एक से अनंत तक, गणित का एक निर्देशित दौरा

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक की गणित की दुनिया में एक दिलचस्प यात्रा

प्रकाशक से जानकारी

पहली बार रूसी भाषा में प्रकाशित

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, सी/ओ ब्रॉकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

स्ट्रोगेट्ज़, पी.

द प्लेज़र ऑफ़ एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक / स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ की ओर से गणित की दुनिया में एक आकर्षक यात्रा; गली अंग्रेज़ी से - एम.: मान, इवानोव और फ़ेबर, 2014।

आईएसबीएन 978-500057-008-1

यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदल सकती है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएँ कितनी उपयोगी हैं, आप ज्यामिति की सुंदरता को समझेंगे, आप इंटीग्रल कैलकुलस की कृपा से परिचित होंगे, आप सांख्यिकी के महत्व के बारे में आश्वस्त होंगे और आप अनंत के संपर्क में आएंगे। . लेखक बुनियादी गणितीय विचारों को शानदार उदाहरणों के साथ सरल और सुंदर ढंग से समझाता है जिसे हर कोई समझ सकता है।

सर्वाधिकार सुरक्षित।

कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक का कोई भी भाग किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह के लिए कानूनी सहायता वेगास-लेक्स लॉ फर्म द्वारा प्रदान की जाती है।

© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित

© रूसी में अनुवाद, रूसी में प्रकाशन, डिज़ाइन। मान, इवानोव और फ़रबर एलएलसी, 2014

प्रस्तावना

मेरा एक मित्र है, जो अपनी कला के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम एक साथ मिलते हैं, वह मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में उत्साहपूर्वक बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित के बारे में बात करना शुरू करते हैं, उसके घुटनों में कंपन होने लगता है, जिससे वह काफी परेशान हो जाता है। उनकी शिकायत है कि न केवल ये अजीब गणितीय प्रतीक उनकी समझ को ख़राब करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानते कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, उनके गणित को अस्वीकार करने का कारण बहुत गहरा है। उसे कोई अंदाजा नहीं होगा कि गणितज्ञ आम तौर पर क्या करते हैं और जब वे कहते हैं कि दिया गया प्रमाण सुरुचिपूर्ण है तो उनका क्या मतलब है। कभी-कभी हम मज़ाक करते हैं कि मुझे बस बैठकर उसे बुनियादी बातों से पढ़ाना शुरू करना होगा, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2, और गणित में जितना हो सके उतना गहराई तक जाना होगा।

और यद्यपि यह विचार पागलपन भरा लगता है, मैं इस पुस्तक में बिल्कुल यही लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं अंकगणित से लेकर उच्च गणित तक, विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के बारे में आपका मार्गदर्शन करूंगा, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे वे अंततः इसका लाभ उठा सकें। और इस बार आपको डेस्क पर नहीं बैठना पड़ेगा. यह किताब आपको गणित विशेषज्ञ नहीं बनाएगी. लेकिन इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि यह अनुशासन क्या अध्ययन करता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना आकर्षक क्यों है।

हम पता लगाएंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक बुनियादी कैलकुलस को समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और अद्भुत तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे का स्थान कैसे बदलें ताकि वह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी करने से पहले कितने साझेदारों को बदलने की आवश्यकता होती है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ अनन्तताएँ दूसरों की तुलना में बड़ी होती हैं।

गणित हर जगह है, बस आपको इसे पहचानना सीखना होगा। आप ज़ेबरा की पीठ पर साइन लहर देख सकते हैं, स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूँ, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की शुष्क रिपोर्टों में भी नकारात्मक संख्याएँ हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित में नई दिशाएँ आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करती हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करके रेस्तरां खोजते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या इससे भी बेहतर, शेयर बाजार के भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।

जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "गणित के बुनियादी सिद्धांत" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, कई छात्रों और शिक्षकों सहित सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियाँ आने लगीं। वहाँ ऐसे जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान को समझने में "अपना रास्ता भूल गए" थे; अब उन्हें लगा कि उनसे कुछ सार्थक छूट गया है और वे फिर से प्रयास करना चाहेंगे। मैं विशेष रूप से अपने माता-पिता के आभार से प्रसन्न हुआ क्योंकि मेरी मदद से, वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम हुए, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे सहकर्मियों और साथियों, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, ने भी लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरे दिमाग की उपज को बेहतर बनाने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशें देने के लिए एक-दूसरे के साथ होड़ की।

आम धारणा के बावजूद, समाज में गणित के प्रति स्पष्ट रुचि है, हालाँकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम सभी गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी कई लोग इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करना पसंद करेंगे। और एक बार ऐसा हो गया तो उन्हें तोड़ना मुश्किल हो जाएगा।

यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं और विशेष रूप से एक-दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। इनमें वे भी शामिल हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल थे। इसलिए, जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख महसूस हो, अगला अध्याय लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और अनुशंसाओं वाले नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।

चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषयों के अध्ययन के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।

भाग I, संख्याएँ, किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करती है। यह दर्शाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में वे कितनी जादुई रूप से प्रभावी हैं।

भाग II, "अनुपात", संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने वाले पहले उपकरण हैं कि एक चीज दूसरे को कैसे प्रभावित करती है, विभिन्न चीजों के कारण-और-प्रभाव संबंध को दर्शाती है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार की रिश्ते जो दुनिया को इतना समृद्ध और विविध बनाते हैं।

भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं, बल्कि आकृतियों और स्थान के बारे में बताता है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। आकार, तार्किक तर्क और प्रमाण के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ ये विषय गणित को सटीकता के एक नए स्तर पर ले जाते हैं।

भाग IV, बदलाव का समय में, हम कैलकुलस को देखेंगे, जो गणित की सबसे रोमांचक और विविध शाखा है। कैलकुलस ग्रहों के प्रक्षेप पथ, ज्वार-भाटा के चक्र की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है और ब्रह्मांड और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में अनंत के अध्ययन को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया गया है, जिसकी शांति एक ऐसी सफलता बन गई जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी। कंप्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की और इससे अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति आ गई।

भाग V, "डेटा के कई पहलू", संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा विज्ञान से संबंधित है - अभी भी अपेक्षाकृत नए क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के कम-हमेशा व्यवस्थित पहलुओं से पैदा हुए हैं, जैसे कि अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम , परिवर्तनशीलता, अराजकता, अन्योन्याश्रयता। गणित के सही उपकरणों और उपयुक्त प्रकार के डेटा का उपयोग करके, हम यादृच्छिकता के प्रवाह में पैटर्न का पता लगाना सीखेंगे।

भाग VI, "संभव की सीमाएं" में हमारी यात्रा के अंत में, हम गणितीय ज्ञान की सीमाओं तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी तक मायावी और अज्ञात है, उसके बीच का सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों पर उसी क्रम में विचार करेंगे जिनसे हम पहले से परिचित हैं: संख्याएं, अनुपात, आंकड़े, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को उसके आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से देखेंगे।

मुझे आशा है कि इस पुस्तक में वर्णित सभी विचार आपको आकर्षक लगेंगे और आपको एक से अधिक बार चिल्लाने पर मजबूर कर देंगे: "वाह!" लेकिन आपको हमेशा कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होगी, तो आइए गिनती जैसी सरल लेकिन आकर्षक गतिविधि से शुरुआत करें।

1. संख्या मूल बातें: मछली जोड़ना

संख्या अवधारणाओं का सबसे अच्छा प्रदर्शन मैंने अब तक देखा है (संख्याएं क्या हैं और हमें उनकी आवश्यकता क्यों है इसका सबसे स्पष्ट और मजेदार विवरण) लोकप्रिय बच्चों के शो सेसम स्ट्रीट के 123: काउंटिंग टुगेदर "(123 काउंटर विद मी) नामक एपिसोड में था। एक्स...