इस पाठ में हम सीखेंगे कि ऋणात्मक संख्या क्या होती है और कौन सी संख्याएँ विपरीत कहलाती हैं। हम यह भी सीखेंगे कि ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं (विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ) को कैसे जोड़ा जाए और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के कई उदाहरण देखें।
इस गियर को देखें (चित्र 1 देखें)।
चावल। 1. घड़ी का गियर
यह कोई हाथ नहीं है जो सीधे समय दिखाता है और न ही कोई डायल है (चित्र 2 देखें)। लेकिन इस हिस्से के बिना घड़ी काम नहीं करती.
चावल। 2. घड़ी के अंदर गियर
Y अक्षर का मतलब क्या है? ध्वनि Y के अलावा कुछ भी नहीं। लेकिन इसके बिना, कई शब्द "काम" नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, शब्द "माउस"। ऋणात्मक संख्याएँ भी ऐसी ही हैं: वे कोई मात्रा नहीं दर्शाती हैं, लेकिन उनके बिना गणना तंत्र बहुत अधिक कठिन होगा।
हम जानते हैं कि जोड़ और घटाव समतुल्य संक्रियाएँ हैं और इन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है। सीधे क्रम में, हम गणना कर सकते हैं:, लेकिन हम घटाव से शुरू नहीं कर सकते, क्योंकि हम अभी तक किस पर सहमत नहीं हैं।
यह स्पष्ट है कि संख्या बढ़ने और फिर घटने का मतलब अंततः तीन कम होना है। इस वस्तु को नामित क्यों न करें और इस तरह से गिनें: जोड़ने का मतलब घटाना है। तब ।
उदाहरण के लिए, संख्या का मतलब एक सेब हो सकता है। नया नंबर किसी वास्तविक मात्रा का प्रतिनिधित्व नहीं करता है. अपने आप में, इसका मतलब Y अक्षर जैसा कुछ भी नहीं है। यह गणनाओं को आसान बनाने के लिए बस एक नया उपकरण है।
आइए नए नंबरों को नाम दें नकारात्मक. अब हम छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटा सकते हैं। तकनीकी रूप से, आपको अभी भी बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा, लेकिन अपने उत्तर में ऋण चिह्न लगाना होगा:।
आइए एक और उदाहरण देखें: 
. आप सभी क्रियाएं एक पंक्ति में कर सकते हैं: .
हालाँकि, पहले नंबर से तीसरा घटाना और फिर दूसरा नंबर जोड़ना आसान है:
ऋणात्मक संख्याओं को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है।
प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, उदाहरण के लिए, हम एक नई संख्या पेश करते हैं, जिसे हम दर्शाते हैं, और निर्धारित करते हैं कि इसमें निम्नलिखित संपत्ति है: संख्या का योग और इसके बराबर है:।
हम संख्या को ऋणात्मक कहेंगे, और संख्याओं को - विपरीत कहेंगे। इस प्रकार, हमें अनंत संख्या में नई संख्याएँ मिलीं, उदाहरण के लिए:
संख्या का विपरीत ;
संख्या के विपरीत;
संख्या के विपरीत; 
संख्या के विपरीत;
छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाएँ: . आइए इस अभिव्यक्ति में जोड़ें: . हमें शून्य मिला. हालाँकि, संपत्ति के अनुसार: वह संख्या जो शून्य को पाँच में जोड़ती है, शून्य से पाँच को दर्शाया जाता है:। इसलिए, अभिव्यक्ति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है।
प्रत्येक धनात्मक संख्या में एक जुड़वां संख्या होती है, जो केवल इस मायने में भिन्न होती है कि उसके पहले ऋण चिह्न होता है। ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं विलोम(चित्र 3 देखें)।
चावल। 3. विपरीत संख्याओं के उदाहरण
विपरीत संख्याओं के गुण
1. विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है: .
2. यदि आप शून्य से एक धनात्मक संख्या घटाते हैं, तो परिणाम विपरीत ऋणात्मक संख्या होगी:।
1. दोनों संख्याएँ धनात्मक हो सकती हैं, और हम पहले से ही जानते हैं कि उन्हें कैसे जोड़ना है:।
2. दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं।
हमने पिछले पाठ में इस तरह की संख्याओं को जोड़ना पहले ही कवर कर लिया है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि हम समझें कि उनके साथ क्या करना है। उदाहरण के लिए: ।
इस योग को ज्ञात करने के लिए, विपरीत धनात्मक संख्याओं को जोड़ें और ऋण चिह्न लगाएं।
3. एक संख्या धनात्मक तथा दूसरी ऋणात्मक हो सकती है।
यदि यह हमारे लिए सुविधाजनक है, तो हम एक ऋणात्मक संख्या के जोड़ को एक धनात्मक संख्या के घटाने से बदल सकते हैं:।
एक और उदाहरण: . फिर से हम राशि को अंतर के रूप में लिखते हैं। आप बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाकर, लेकिन ऋण चिह्न का उपयोग करके, छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटा सकते हैं।
हम शर्तों की अदला-बदली कर सकते हैं: .
इसी तरह का एक और उदाहरण: .
सभी मामलों में, परिणाम घटाव है।
इन नियमों को संक्षेप में तैयार करने के लिए, आइए एक और शब्द याद रखें। बेशक, विपरीत संख्याएँ एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। लेकिन यह अजीब होगा कि हम इस बात पर ध्यान न दें कि उनमें क्या समानता है। हमने इसे सामान्य कहा मॉड्यूलो संख्या. विपरीत संख्याओं का मापांक समान होता है: एक धनात्मक संख्या के लिए यह स्वयं संख्या के बराबर होता है, और एक ऋणात्मक संख्या के लिए यह विपरीत, धनात्मक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: , ।
दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे और ऋण चिह्न लगाना होगा:
एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा और बड़े मॉड्यूल के साथ संख्या का चिह्न लगाना होगा:
दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हैं, इसलिए, हम उनके मॉड्यूल जोड़ते हैं और ऋण चिह्न लगाते हैं:
विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़े मापांक) से, हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और ऋण चिह्न (बड़े मापांक वाले संख्या का चिह्न) लगाते हैं:
विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़े मापांक) से, हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और ऋण चिह्न (बड़े मापांक वाले संख्या का चिह्न) लगाते हैं:।
विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याएँ, इसलिए, संख्या के मापांक (बड़े मापांक) से, हम संख्या के मापांक को घटाते हैं और प्लस चिह्न (बड़े मापांक वाले संख्या का चिह्न) लगाते हैं:।
ऐतिहासिक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अलग-अलग भूमिकाएँ रही हैं।
सबसे पहले हमने वस्तुओं को गिनने के लिए प्राकृतिक संख्याओं की शुरुआत की:
फिर हमने गैर-पूर्णांक मात्राओं, भागों की गिनती के लिए अन्य सकारात्मक संख्याएँ - अंश पेश किए:।
गणनाओं को सरल बनाने के लिए ऋणात्मक संख्याएँ एक उपकरण के रूप में सामने आईं। ऐसा नहीं था कि जीवन में ऐसी कोई राशियाँ थीं जिन्हें हम गिन नहीं सकते थे, और हमने ऋणात्मक संख्याओं का आविष्कार किया।
अर्थात्, ऋणात्मक संख्याएँ वास्तविक दुनिया से उत्पन्न नहीं हुईं। वे बस इतने सुविधाजनक साबित हुए कि कुछ स्थानों पर उन्हें जीवन में उपयोग मिल गया। उदाहरण के लिए, हम अक्सर नकारात्मक तापमान के बारे में सुनते हैं। हालाँकि, हमें कभी भी सेबों की नकारात्मक संख्या का सामना नहीं करना पड़ता है। क्या फर्क पड़ता है?
अंतर यह है कि जीवन में नकारात्मक मात्राओं का उपयोग केवल तुलना के लिए किया जाता है, मात्राओं के लिए नहीं। यदि किसी होटल में बेसमेंट है और वहां एक लिफ्ट लगाई गई है, तो नियमित मंजिलों की सामान्य संख्या को बनाए रखने के लिए, पहली मंजिल को घटाया जा सकता है। इस पहले माइनस का मतलब जमीनी स्तर से केवल एक मंजिल नीचे है (चित्र 1 देखें)।
चावल। 4. माइनस पहली मंजिल और माइनस दूसरी मंजिल
एक नकारात्मक तापमान केवल शून्य की तुलना में नकारात्मक होता है, जिसे पैमाने के लेखक एंडर्स सेल्सियस ने चुना था। अन्य पैमाने भी हैं, और वहां वही तापमान अब नकारात्मक नहीं हो सकता है।
साथ ही, हम समझते हैं कि शुरुआती बिंदु को बदलना असंभव है ताकि पांच सेब नहीं, बल्कि छह हों। इस प्रकार, जीवन में, मात्राएँ (सेब, केक) निर्धारित करने के लिए धनात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाता है।
हम नामों के स्थान पर इनका प्रयोग भी करते हैं। प्रत्येक फ़ोन को अपना नाम दिया जा सकता है, लेकिन नामों की संख्या सीमित है और कोई संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए हम फ़ोन नंबरों का उपयोग करते हैं. ऑर्डर देने के लिए भी (शताब्दी सदी के बाद आती है)।
जीवन में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग बाद के अर्थ में किया जाता है (शून्य से नीचे की पहली मंजिल और पहली मंजिल को घटाकर)
- विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. एम.: मेनेमोसिन, 2012।
- मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा. "व्यायामशाला", 2006।
- डेपमैन आई.वाई.ए., विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। एम.: शिक्षा, 1989।
- रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित पाठ्यक्रम के लिए असाइनमेंट, ग्रेड 5-6। एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
- रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार विद्यालय में छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
- शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: माध्यमिक विद्यालय के 5-6 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार। एम.: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।
- Math-prosto.ru ()।
- यूट्यूब()।
- School-assistant.ru ()।
- Allforchildren.ru ()।
गृहकार्य
इस लेख में हम निपटेंगे विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याएँ जोड़ना. यहां हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक नियम देंगे, और विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ते समय इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे।
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विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम
विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण
चलो गौर करते हैं विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरणपिछले पैराग्राफ में चर्चा किये गये नियम के अनुसार। आइए एक सरल उदाहरण से शुरू करें।
उदाहरण।
संख्याएँ -5 और 2 जोड़ें।
समाधान।
हमें विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ने की आवश्यकता है। आइए धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए नियम द्वारा निर्धारित सभी चरणों का पालन करें।
सबसे पहले, हम पदों के मॉड्यूल ढूंढते हैं, वे क्रमशः 5 और 2 के बराबर हैं।
संख्या −5 का मापांक संख्या 2 के मापांक से बड़ा है, इसलिए ऋण चिह्न याद रखें।
परिणामी संख्या के सामने याद किया गया ऋण चिह्न लगाना बाकी है, हमें -3 मिलता है। यह विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का योग पूरा करता है।
उत्तर:
(−5)+2=−3 .
विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए जो पूर्णांक नहीं हैं, उन्हें साधारण भिन्नों के रूप में दर्शाया जाना चाहिए (यदि यह सुविधाजनक हो तो आप दशमलव के साथ भी काम कर सकते हैं)। आइए अगले उदाहरण को हल करते समय इस बिंदु को देखें।
उदाहरण।
एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या -1.25 जोड़ें।
समाधान।
आइए संख्याओं को साधारण भिन्नों के रूप में निरूपित करें; ऐसा करने के लिए, हम एक मिश्रित संख्या से एक अनुचित भिन्न में परिवर्तन करेंगे: और दशमलव भिन्न को एक साधारण भिन्न में परिवर्तित करेंगे: 
.
अब आप विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने के नियम का उपयोग कर सकते हैं।
जोड़े जा रहे नंबरों के मॉड्यूल 17/8 और 5/4 हैं। आगे की कार्रवाइयों की सुविधा के लिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें 17/8 और 10/8 मिलते हैं।
अब हमें सामान्य भिन्नों 17/8 और 10/8 की तुलना करने की आवश्यकता है। चूँकि 17>10, तब . इस प्रकार, धन चिह्न वाले शब्द का मापांक बड़ा होता है, इसलिए धन चिह्न याद रखें।
अब हम बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं, यानी हम समान हर वाले भिन्न को घटाते हैं: 
.
जो कुछ बचा है वह परिणामी संख्या के सामने याद किए गए प्लस चिह्न को रखना है, हमें मिलता है, लेकिन - यह संख्या 7/8 है।
गणित का लगभग पूरा पाठ्यक्रम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं वाली संक्रियाओं पर आधारित है। आख़िरकार, जैसे ही हम समन्वय रेखा का अध्ययन करना शुरू करते हैं, हर नए विषय में प्लस और माइनस चिह्न वाली संख्याएँ हर जगह दिखाई देने लगती हैं। सामान्य धनात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ने से आसान कुछ भी नहीं है; एक को दूसरे से घटाना कठिन नहीं है। यहां तक कि दो ऋणात्मक संख्याओं वाला अंकगणित भी शायद ही कोई समस्या है।
हालाँकि, कई लोग विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने में भ्रमित हो जाते हैं। आइए उन नियमों को याद करें जिनके द्वारा ये क्रियाएं होती हैं।
विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याएँ जोड़ना
यदि किसी समस्या को हल करने के लिए हमें किसी संख्या "ए" में एक ऋणात्मक संख्या "-बी" जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नानुसार कार्य करने की आवश्यकता है।
- आइए दोनों संख्याओं के मॉड्यूल लें - |ए| और |बी| - और इन निरपेक्ष मूल्यों की एक दूसरे से तुलना करें।
- आइए ध्यान दें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, और छोटे मान को बड़े मान से घटा दें।
- आइए परिणामी संख्या के सामने उस संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मापांक अधिक है।
यही उत्तर होगा. हम इसे और अधिक सरलता से कह सकते हैं: यदि अभिव्यक्ति a + (-b) में संख्या "b" का मापांक "a" के मापांक से अधिक है, तो हम "b" से "a" घटाते हैं और "ऋण" डालते हैं परिणाम के सामने. यदि मॉड्यूल "ए" बड़ा है, तो "बी" को "ए" से घटा दिया जाता है - और समाधान "प्लस" चिह्न के साथ प्राप्त किया जाता है।
ऐसा भी होता है कि मॉड्यूल बराबर हो जाते हैं। यदि ऐसा है, तो हम इस बिंदु पर रुक सकते हैं - हम विपरीत संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और उनका योग हमेशा शून्य के बराबर होगा।
विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को घटाना
हमने जोड़ से निपट लिया है, अब घटाव के नियम पर नजर डालते हैं। यह काफी सरल भी है - और इसके अलावा, यह दो नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए एक समान नियम को पूरी तरह से दोहराता है।
एक निश्चित संख्या "ए" से घटाने के लिए - मनमाना, यानी, किसी भी संकेत के साथ - एक नकारात्मक संख्या "सी", आपको हमारी मनमानी संख्या "ए" में "सी" के विपरीत संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:
- यदि "ए" एक सकारात्मक संख्या है, और "सी" नकारात्मक है, और आपको "ए" से "सी" घटाना है, तो हम इसे इस तरह लिखते हैं: ए - (-सी) = ए + सी।
- यदि "a" एक ऋणात्मक संख्या है, और "c" धनात्मक है, और "c" को "a" से घटाने की आवश्यकता है, तो हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: (- a)– c = - a+ (-c)।
इस प्रकार, जब विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को घटाते हैं, तो हम जोड़ के नियमों पर लौटते हैं, और जब विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ते हैं, तो हम घटाव के नियमों पर लौटते हैं। इन नियमों को याद रखने से आप समस्याओं को जल्दी और आसानी से हल कर सकते हैं।
इस लेख में हम विस्तार से देखेंगे कि यह कैसे किया जाता है पूर्णांकों का योग. सबसे पहले, आइए पूर्णांकों के योग का एक सामान्य विचार बनाएं, और देखें कि एक निर्देशांक रेखा पर पूर्णांकों का योग क्या होता है। यह ज्ञान हमें विभिन्न चिह्नों वाले धनात्मक, ऋणात्मक और पूर्णांकों को जोड़ने के नियम बनाने में मदद करेगा। यहां हम उदाहरणों को हल करते समय अतिरिक्त नियमों के अनुप्रयोग की विस्तार से जांच करेंगे और सीखेंगे कि प्राप्त परिणामों की जांच कैसे करें। लेख के अंत में हम तीन या अधिक पूर्णांकों को जोड़ने के बारे में बात करेंगे।
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पूर्णांकों का योग समझना
यहां पूर्णांक विपरीत संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण दिए गए हैं। संख्याओं −5 और 5 का योग शून्य है, 901+(−901) का योग शून्य है, और विपरीत पूर्णांक 1,567,893 और −1,567,893 को जोड़ने का परिणाम भी शून्य है।
एक मनमाना पूर्णांक और शून्य का योग
आइए यह समझने के लिए निर्देशांक रेखा का उपयोग करें कि दो पूर्णांकों को जोड़ने का परिणाम क्या है, जिनमें से एक शून्य है।
एक मनमाना पूर्णांक a को शून्य में जोड़ने का अर्थ है इकाई खंडों को मूल बिंदु से दूरी a तक ले जाना। इस प्रकार, हम स्वयं को निर्देशांक a वाले बिंदु पर पाते हैं। इसलिए, शून्य और एक मनमाना पूर्णांक जोड़ने का परिणाम जोड़ा गया पूर्णांक होता है।
दूसरी ओर, किसी मनमाने पूर्णांक में शून्य जोड़ने का मतलब उस बिंदु से शून्य की दूरी तक जाना है जिसका निर्देशांक किसी दिए गए पूर्णांक द्वारा निर्दिष्ट है। दूसरे शब्दों में, हम शुरुआती बिंदु पर ही रहेंगे। इसलिए, एक मनमाना पूर्णांक और शून्य जोड़ने का परिणाम दिया गया पूर्णांक है।
इसलिए, दो पूर्णांकों का योग, जिनमें से एक शून्य है, दूसरे पूर्णांक के बराबर होता है. विशेष रूप से, शून्य और शून्य का अर्थ शून्य होता है।
आइए कुछ उदाहरण दें. पूर्णांक 78 और 0 का योग 78 है; शून्य और −903 जोड़ने का परिणाम −903 है; भी 0+0=0 .
जोड़ के परिणाम की जाँच करना
दो पूर्णांकों को जोड़ने के बाद परिणाम की जांच करना उपयोगी होता है। हम पहले से ही जानते हैं कि दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के परिणाम की जांच करने के लिए, हमें परिणामी योग में से किसी भी पद को घटाना होगा, और इसका परिणाम एक और पद होना चाहिए। पूर्णांकों को जोड़ने के परिणाम की जाँच करनासमान रूप से प्रदर्शन किया। लेकिन पूर्णांकों को घटाने से घटाई जाने वाली संख्या के विपरीत संख्या को जोड़ना पड़ता है। इस प्रकार, दो पूर्णांकों को जोड़ने के परिणाम की जांच करने के लिए, आपको परिणामी योग में किसी भी पद के विपरीत संख्या को जोड़ना होगा, जिसका परिणाम एक और पद होना चाहिए।
आइए दो पूर्णांकों को जोड़ने के परिणाम की जाँच के उदाहरण देखें।
उदाहरण।
दो पूर्णांक 13 और −9 को जोड़ने पर संख्या 4 प्राप्त हुई, परिणाम की जाँच करें।
समाधान।
आइए परिणामी योग 4 में पद 13 के विपरीत संख्या −13 जोड़ें, और देखें कि क्या हमें कोई अन्य पद −9 मिलता है।
तो, आइए योग 4+(−13) की गणना करें। यह विपरीत चिह्न वाले पूर्णांकों का योग है। पदों के मॉड्यूल क्रमशः 4 और 13 हैं। जिस पद का मापांक अधिक होता है उसमें ऋण चिह्न होता है, जिसे हम याद रखते हैं। अब बड़े मॉड्यूल से घटाएं और छोटे मॉड्यूल को घटाएं: 13−4=9. जो कुछ बचा है वह परिणामी संख्या के सामने याद किए गए ऋण चिह्न को रखना है, हमारे पास -9 है।
जाँच करते समय, हमें दूसरे पद के बराबर एक संख्या प्राप्त हुई, इसलिए, मूल योग की सही गणना की गई।−19. चूँकि हमें दूसरे पद के बराबर एक संख्या प्राप्त हुई, संख्याओं −35 और −19 का योग सही ढंग से किया गया।
तीन या अधिक पूर्णांकों को जोड़ना
इस बिंदु तक हमने दो पूर्णांकों को जोड़ने के बारे में बात की है। दूसरे शब्दों में, हमने दो पदों से मिलकर बने योगों पर विचार किया। हालाँकि, पूर्णांकों को जोड़ने की संयोजनात्मक संपत्ति हमें विशिष्ट रूप से तीन, चार या अधिक पूर्णांकों का योग निर्धारित करने की अनुमति देती है।
पूर्णांकों के योग के गुणों के आधार पर, हम यह दावा कर सकते हैं कि तीन, चार और इसी तरह की संख्याओं का योग कोष्ठकों को रखने के तरीके पर निर्भर नहीं करता है, जो उस क्रम को दर्शाता है जिसमें क्रियाएं की जाती हैं, साथ ही साथ क्रियाओं के क्रम पर भी। योग में शर्तें. जब हमने तीन या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के योग के बारे में बात की तो हमने इन कथनों की पुष्टि की। पूर्णांकों के लिए, सभी तर्क पूरी तरह से समान हैं, और हम खुद को नहीं दोहराएंगे।0+(−101) +(−17)+5 . इसके बाद, कोष्ठकों को किसी भी स्वीकार्य तरीके से रखने पर भी हमें संख्या −113 प्राप्त होगी।
उत्तर:
5+(−17)+0+(−101)=−113 .
ग्रंथ सूची.
- विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के नियम के बारे में ज्ञान विकसित करना, इसे सरलतम मामलों में लागू करने की क्षमता;
तुलना करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास;
शैक्षिक कार्यों के प्रति एक जिम्मेदार रवैया अपनाना।
उपकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन।
पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ.
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण.
सीधे खड़े हो जाओ
वे चुपचाप बैठ गये.
अब घंटी बज चुकी है,
आइए अपना पाठ शुरू करें।
दोस्तो! आज मेहमान हमारे पाठ में आए। आइए उनकी ओर मुड़ें और एक-दूसरे को देखकर मुस्कुराएं। तो, हम अपना पाठ शुरू करते हैं।
स्लाइड 2- पाठ का पुरालेख: “जो किसी चीज़ पर ध्यान नहीं देता वह कुछ भी अध्ययन नहीं करता।
जो कुछ भी नहीं पढ़ता वह हमेशा रोता रहता है और ऊबता रहता है।”
रोमन सेफ़ (बच्चों के लेखक)
स्लैड 3 -मैं "इसके विपरीत" गेम खेलने का सुझाव देता हूं। खेल के नियम: आपको शब्दों को दो समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता है: जीत, झूठ, गर्मजोशी, दिया, सच, अच्छा, हानि, लिया, बुरा, ठंडा, सकारात्मक, नकारात्मक।
जीवन में अनेक विरोधाभास हैं। उनकी मदद से हम आसपास की वास्तविकता को परिभाषित करते हैं। हमारे पाठ के लिए मुझे अंतिम की आवश्यकता है: सकारात्मक - नकारात्मक।
जब हम इन शब्दों का उपयोग करते हैं तो हम गणित में किस बारे में बात कर रहे हैं? (संख्याओं के बारे में)
महान पाइथागोरस ने कहा: "संख्याएँ दुनिया पर राज करती हैं।" मैं विज्ञान में सबसे रहस्यमय संख्याओं के बारे में बात करने का प्रस्ताव करता हूं - विभिन्न संकेतों वाली संख्याएं। - विज्ञान में ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक संख्याओं के विपरीत के रूप में प्रकट हुईं। विज्ञान तक उनकी राह कठिन थी क्योंकि कई वैज्ञानिक भी उनके अस्तित्व के विचार का समर्थन नहीं करते थे।
लोग किन अवधारणाओं और मात्राओं को धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं से मापते हैं? (प्राथमिक कणों का आवेश, तापमान, हानि, ऊंचाई और गहराई, आदि)
स्लाइड 4-विपरीत अर्थ वाले शब्द विलोम हैं (सारणी)।
2. पाठ का विषय निर्धारित करना।
स्लाइड 5 (टेबल के साथ काम करना)– पिछले पाठों में किन संख्याओं का अध्ययन किया गया था?
- आप धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं से संबंधित कौन से कार्य कर सकते हैं?
– स्क्रीन पर ध्यान दें. (स्लाइड 5)
– तालिका में कौन सी संख्याएँ प्रस्तुत की गई हैं?
- क्षैतिज रूप से लिखे गए संख्याओं के मॉड्यूल का नाम बताएं।
- सबसे बड़ी संख्या इंगित करें, सबसे बड़े मापांक वाली संख्या इंगित करें।
- लंबवत लिखी संख्याओं के लिए समान प्रश्नों के उत्तर दें।
– क्या सबसे बड़ी संख्या और सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाली संख्या हमेशा मेल खाती है?
– धनात्मक संख्याओं का योग, ऋणात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- धनात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम बनाएं।
– कौन सी संख्याएँ जोड़ने के लिए बची हैं?
- क्या आप जानते हैं कि उन्हें कैसे मोड़ना है?
– क्या आप विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम जानते हैं?
– पाठ का विषय तैयार करें.
– आप अपने लिए क्या लक्ष्य निर्धारित करेंगे? .सोचो आज हम क्या करेंगे? (बच्चों के उत्तर)। आज हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बारे में सीखते रहते हैं। हमारे पाठ का विषय है "विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ना।" हमारा लक्ष्य यह सीखना है कि विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को बिना किसी त्रुटि के कैसे जोड़ा जाए। पाठ की तिथि और विषय अपनी नोटबुक में लिखें.
3.पाठ के विषय पर काम करें.
स्लाइड 6.- इन अवधारणाओं का उपयोग करके, स्क्रीन पर विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के परिणाम खोजें।
– धनात्मक संख्याओं और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने पर कौन सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं?
– विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने पर कौन-सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं?
– विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं के योग का चिह्न क्या निर्धारित करता है? (स्लाइड 5)
– सबसे बड़े मापांक वाले पद से.
- यह रस्साकशी की तरह है। सबसे मजबूत जीतता है.
स्लाइड 7- आइए खेलते हैं। कल्पना कीजिए कि आप रस्साकशी में हैं। . अध्यापक। प्रतिद्वंद्वी आमतौर पर प्रतियोगिताओं में मिलते हैं। और आज हम आपके साथ कई टूर्नामेंट देखेंगे। पहली चीज जो हमारा इंतजार कर रही है वह रस्साकशी प्रतियोगिता का फाइनल है। नंबर -7 पर इवान मिनुसोव और नंबर +5 पर पेट्र प्लायुसोव से मिलें। आपको क्या लगता है कौन जीतेगा? क्यों? तो, इवान मिनुसोव जीत गया, वह वास्तव में अपने प्रतिद्वंद्वी से अधिक मजबूत निकला, और ठीक दो कदम उसे अपने नकारात्मक पक्ष में खींचने में सक्षम था।
स्लाइड 8.- . अब अन्य प्रतियोगिताओं की ओर चलते हैं। शूटिंग प्रतियोगिता का फाइनल आपके सामने है. इस रूप में सर्वश्रेष्ठ तीन गुब्बारों के साथ माइनस ट्रोइकिन और प्लस चेतवेरिकोव थे, जिनके पास रिजर्व में चार गुब्बारे थे। और यहाँ दोस्तों, आपके अनुसार विजेता कौन होगा?
स्लाइड 9- प्रतियोगिताओं से पता चला कि सबसे मजबूत जीतता है। विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने पर ऐसा ही होता है: -7 + 5 = -2 और -3 + 4 = +1। दोस्तों, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का योग कैसे बनता है? छात्र अपने स्वयं के विकल्प प्रदान करते हैं।
शिक्षक नियम बनाता है और उदाहरण देता है।
10 + 12 = +(12 – 10) = +2
4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4
प्रदर्शन के दौरान, छात्र स्लाइड पर दिखाई देने वाले समाधान पर टिप्पणी कर सकते हैं।
स्लाइड 10- शिक्षक, चलो एक और खेल "बैटलशिप" खेलते हैं। एक शत्रु जहाज हमारे तट के पास आ रहा है, उसे मारकर डुबो देना चाहिए। इसके लिए हमारे पास बंदूक है. लेकिन लक्ष्य पर प्रहार करने के लिए आपको सटीक गणना करने की आवश्यकता है। जिन्हें आप अब देखेंगे. तैयार? तो आगे बढ़ो! कृपया विचलित न हों, उदाहरण ठीक 3 सेकंड के बाद बदल जाते हैं। क्या हर कोई तैयार है?
छात्र बारी-बारी से बोर्ड के पास आते हैं और स्लाइड पर दिखाई देने वाले उदाहरणों की गणना करते हैं। – कार्य पूरा करने के चरणों का नाम बताइए।
स्लाइड 11-पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें: पृष्ठ 180 पृष्ठ 33, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम पढ़ें। नियम पर टिप्पणियाँ.
– पाठ्यपुस्तक में प्रस्तावित नियम और आपके द्वारा संकलित एल्गोरिदम के बीच क्या अंतर है? टिप्पणी सहित पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों पर विचार करें।
स्लाइड 12-अध्यापक - अब चलो आचरण करते हैं प्रयोग।लेकिन रासायनिक नहीं, बल्कि गणितीय! आइए अंक 6 और 8, प्लस और माइनस चिह्न लें और सब कुछ अच्छी तरह से मिलाएं। आइए चार प्रायोगिक उदाहरण लें। उन्हें अपनी नोटबुक में करें. (दो छात्र बोर्ड के पंखों पर हल करते हैं, फिर उत्तरों की जाँच की जाती है)। इस प्रयोग से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?(संकेतों की भूमिका)। आइए 2 और प्रयोग करें , लेकिन आपके नंबरों के साथ (एक समय में 1 व्यक्ति बोर्ड में जाता है)। आइए एक-दूसरे के लिए संख्याएं लेकर आएं और प्रयोग के परिणामों की जांच करें (पारस्परिक जांच)।
स्लाइड 13 .- नियम काव्यात्मक रूप में स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है .
4. पाठ के विषय को सुदृढ़ करना।
स्लाइड 14 -शिक्षक - "सभी प्रकार के संकेतों की आवश्यकता है, सभी प्रकार के संकेत महत्वपूर्ण हैं!" अब दोस्तों हम आपको दो टीमों में बाँट देंगे। लड़के सांता क्लॉज़ की टीम में होंगे, और लड़कियाँ सनी की टीम में होंगी। आपका कार्य, उदाहरणों की गणना किए बिना, यह निर्धारित करना है कि उनमें से किसका उत्तर नकारात्मक होगा और किसका सकारात्मक उत्तर होगा और इन उदाहरणों के अक्षरों को एक नोटबुक में लिख लें। लड़के क्रमशः नकारात्मक हैं, और लड़कियां सकारात्मक हैं (आवेदन से कार्ड जारी किए जाते हैं)। एक स्व-परीक्षण किया जा रहा है.
बहुत अच्छा! आपकी संकेतों की समझ उत्कृष्ट है. इससे आपको अगला कार्य पूरा करने में मदद मिलेगी
स्लाइड 15 -व्यायाम शिक्षा। -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5, आदि (नकारात्मक संख्याएँ - बैठना, सकारात्मक संख्याएँ - ऊपर खींचना, कूदना)
स्लाइड 16-9 उदाहरण स्वयं हल करें (ऐप में कार्ड पर कार्य)। बोर्ड पर 1 व्यक्ति. आत्मपरीक्षण करें. उत्तर स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं, और छात्र अपनी नोटबुक में गलतियों को सुधारते हैं। यदि आपके पास यह सही है तो अपने हाथ उठाएँ। (अच्छे और उत्कृष्ट परिणाम के लिए ही अंक दिए जाते हैं)
स्लाइड 17-नियम हमें उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में मदद करते हैं। आइए उन्हें दोहराएं। स्क्रीन पर विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के लिए एक एल्गोरिदम है।
5. स्वतंत्र कार्य का संगठन।
स्लाइड 18 -एफखेल "शब्द का अनुमान लगाओ" के माध्यम से ऑनलाइन काम(परिशिष्ट में कार्ड पर कार्य)।
स्लाइड 19 -खेल का स्कोर "ए" होना चाहिए
स्लाइड 20-एअब, ध्यान. गृहकार्य। गृहकार्य से आपको कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।
स्लाइड 21 -भौतिक घटनाओं में योग के नियम. विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण लेकर आएं और उन्हें एक-दूसरे से पूछें। आपने क्या नया सीखा है? क्या हमने अपना लक्ष्य हासिल कर लिया है?
स्लाइड 22 -यह पाठ का अंत है, आइए अब इसे संक्षेप में प्रस्तुत करें। प्रतिबिंब। शिक्षक पाठ पर टिप्पणी करता है और उसका मूल्यांकन करता है।
स्लाइड 23 -आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!
मैं चाहता हूं कि आपके जीवन में अधिक सकारात्मकता हो और कम नकारात्मकता हो। मैं आप लोगों से कहना चाहता हूं, आपके सक्रिय कार्य के लिए धन्यवाद। मुझे लगता है कि आप अर्जित ज्ञान को बाद के पाठों में आसानी से लागू कर सकते हैं। पाठ ख़त्म हो गया. आपको बहुत बहुत धन्यवाद। अलविदा!
