अंतराल विधि का उपयोग करके तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के उदाहरण। अंतराल विधि: सरलतम सख्त असमानताओं को हल करना

अंतराल विधि(या जैसा कि इसे कभी-कभी अंतराल विधि भी कहा जाता है) असमानताओं को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है। यह विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, लेकिन हल करने में सबसे सुविधाजनक है तर्कसंगत असमानताएँएक चर के साथ. इसलिए, स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, अंतराल की विधि विशेष रूप से तर्कसंगत असमानताओं से जुड़ी हुई है, और इसकी मदद से अन्य असमानताओं को हल करने पर व्यावहारिक रूप से कोई ध्यान नहीं दिया जाता है।

इस लेख में हम अंतराल विधि का विस्तार से विश्लेषण करेंगे और इसका उपयोग करके एक चर के साथ असमानताओं को हल करने की सभी जटिलताओं पर बात करेंगे। आइए अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम प्रस्तुत करके शुरुआत करें। आगे, हम बताएंगे कि यह किन सैद्धांतिक पहलुओं पर आधारित है और एल्गोरिदम के चरणों का विश्लेषण करेंगे, विशेष रूप से, हम अंतराल पर संकेतों के निर्धारण पर विस्तार से ध्यान देंगे। इसके बाद, हम अभ्यास के लिए आगे बढ़ेंगे और कई विशिष्ट उदाहरणों के समाधान दिखाएंगे। और निष्कर्ष में, हम अंतराल विधि को सामान्य रूप में (अर्थात्, तर्कसंगत असमानताओं के संदर्भ के बिना), दूसरे शब्दों में, सामान्यीकृत अंतराल विधि पर विचार करेंगे।

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कलन विधि

स्कूल में अंतराल पद्धति से परिचित होना फॉर्म f(x) की असमानताओं को हल करने से शुरू होता है<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >या ≥), जहां f(x) या तो है, एक उत्पाद के रूप में दर्शाया गया है रैखिक द्विपदवेरिएबल x और/या के लिए 1 के साथ वर्ग त्रिपद 1 के अग्रणी गुणांक के साथ और एक नकारात्मक विभेदक और उनकी डिग्री, या ऐसे बहुपदों के अनुपात के साथ। स्पष्टता के लिए, हम ऐसी असमानताओं के उदाहरण देते हैं: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

आगे की बातचीत को ठोस बनाने के लिए, आइए तुरंत अंतराल विधि का उपयोग करके उपरोक्त प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम लिखें, और फिर हम पता लगाएंगे कि क्या, कैसे और क्यों। तो, अंतराल विधि का उपयोग करना:

• सबसे पहले अंश के शून्य और हर के शून्य ज्ञात किये जाते हैं। ऐसा करने के लिए, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के अंश और हर शून्य के बराबर हैं, और परिणामी समीकरण हल हो गए हैं।
• इसके बाद, पाए गए शून्य के अनुरूप बिंदुओं को डैश से चिह्नित किया जाता है। एक योजनाबद्ध चित्रण पर्याप्त है, जिसमें पैमाने का निरीक्षण करना आवश्यक नहीं है, मुख्य बात एक दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान का पालन करना है: छोटे समन्वय वाला बिंदु बिंदु के बाईं ओर स्थित है बड़ा समन्वय. इसके बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि उन्हें कैसे चित्रित किया जाना चाहिए: नियमित या छिद्रित (खाली केंद्र के साथ)। सख्त असमानता को हल करते समय (चिह्न के साथ)।< или >) सभी बिंदुओं को छिद्रित के रूप में दर्शाया गया है। एक गैर-सख्त असमानता (चिह्न ≤ या ≥ के साथ) को हल करते समय, हर के शून्य के अनुरूप बिंदुओं को छिद्रित किया जाता है, और डैश के साथ चिह्नित शेष बिंदु सामान्य होते हैं। ये बिंदु समन्वय रेखा को कई संख्यात्मक अंतरालों में विभाजित करते हैं।
• इसके बाद, अभिव्यक्ति एफ (एक्स) के संकेत प्रत्येक अंतराल पर हल की जा रही असमानता के बाईं ओर से निर्धारित होते हैं (हम विस्तार से वर्णन करेंगे कि यह निम्नलिखित पैराग्राफ में से एक में कैसे किया जाता है), और + या - को ऊपर रखा गया है उन्हें उन पर परिभाषित संकेतों के अनुसार।
• अंत में, हस्ताक्षरित असमानता को हल करते समय< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >या ≥ - + चिह्न से चिह्नित स्थानों पर। परिणाम यह है, जो असमानता का वांछित समाधान है।

ध्यान दें कि उपरोक्त एल्गोरिदम स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में अंतराल विधि के विवरण के अनुरूप है।

विधि किस पर आधारित है?

अंतराल की विधि में अंतर्निहित दृष्टिकोण निरंतर फ़ंक्शन की निम्नलिखित संपत्ति के कारण होता है: यदि अंतराल (ए, बी) पर फ़ंक्शन एफ निरंतर है और गायब नहीं होता है, तो यह इस अंतराल पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है (हम करेंगे) जोड़ें कि समान गुण यह संख्या किरणों (−∞, a) और (a, +∞) ) के लिए भी सत्य है। और यह संपत्ति, बदले में, बोल्ज़ानो-कॉची प्रमेय (इसका विचार स्कूल पाठ्यक्रम के दायरे से परे है) से अनुसरण करती है, जिसका सूत्रीकरण और प्रमाण, यदि आवश्यक हो, उदाहरण के लिए, पुस्तक में पाया जा सकता है।

अभिव्यक्ति f(x) के लिए जिसका स्वरूप पिछले पैराग्राफ में दर्शाया गया है, अंतराल पर चिह्न की स्थिरता को दूसरे तरीके से उचित ठहराया जा सकता है, संख्यात्मक असमानताओं के गुणों से शुरू करके और उसी के साथ संख्याओं को गुणा और विभाजित करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए। संकेत और विभिन्न संकेत.

उदाहरण के तौर पर असमानता पर विचार करें। इसके अंश और हर के शून्य संख्या रेखा को तीन अंतरालों (−∞, −1), (−1, 5) और (5, +∞) में विभाजित करते हैं। आइए हम दिखाएं कि अंतराल (−∞, −1) पर असमानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति में एक स्थिर चिह्न है (हम एक और अंतराल ले सकते हैं, तर्क समान होगा)। आइए इस अंतराल से कोई भी संख्या t लें। यह स्पष्ट रूप से असमानता टी को संतुष्ट करेगा<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

इसलिए हमने अंतराल पर चिह्नों को निर्धारित करने के मुद्दे पर आसानी से संपर्क किया, लेकिन हम अंतराल विधि के पहले चरण को नहीं छोड़ेंगे, जिसमें अंश और हर के शून्य को खोजना शामिल है।

अंश और हर के शून्य कैसे ज्ञात करें?

पहले पैराग्राफ में दर्शाए गए प्रकार के अंश के अंश और हर के शून्य को खोजने में आमतौर पर कोई समस्या नहीं आती है। इसके लिए, अंश और हर के भावों को शून्य के बराबर सेट किया जाता है, और परिणामी समीकरण हल किए जाते हैं। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को लेख में विस्तार से वर्णित किया गया है गुणनखंड विधि द्वारा समीकरणों को हल करना. यहां हम खुद को सिर्फ एक उदाहरण तक सीमित रखेंगे।

भिन्न पर विचार करें और इसके अंश और हर के शून्य ज्ञात कीजिए। आइए अंश के शून्य से प्रारंभ करें। हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं, हम समीकरण x·(x−0.6)=0 प्राप्त करते हैं, जिससे हम दो समीकरण x=0 और x−0.6=0 के सेट पर आगे बढ़ते हैं, जहां से हमें दो मूल 0 और 0.6 मिलते हैं . ये अंश के आवश्यक शून्य हैं। अब हम हर का शून्य ज्ञात करते हैं। चलिए एक समीकरण बनाते हैं x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, यह तीन समीकरणों x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, और फिर x=0, x 2 +2 x+7 के एक सेट के बराबर है =0 , x+5=0 . इनमें से पहले समीकरण का मूल स्पष्ट है, यह 0 है, दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इसका विवेचक ऋणात्मक है, और तीसरे समीकरण का मूल -5 है। तो, हमने हर के शून्य पाए, उनमें से दो थे: 0 और −5। ध्यान दें कि 0 अंश में शून्य और हर में शून्य दोनों निकला।

सामान्य स्थिति में अंश और हर के शून्य को खोजने के लिए, जब असमानता का बाईं ओर एक भिन्न होता है, लेकिन आवश्यक रूप से तर्कसंगत नहीं होता है, तो अंश और हर को भी शून्य के बराबर किया जाता है, और संबंधित समीकरण हल किए जाते हैं।

अंतराल पर संकेत कैसे निर्धारित करें?

प्रत्येक अंतराल पर असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के संकेत को निर्धारित करने का सबसे विश्वसनीय तरीका प्रत्येक अंतराल में किसी एक बिंदु पर इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करना है। इस स्थिति में, अंतराल पर वांछित चिह्न इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर अभिव्यक्ति के मान के चिह्न से मेल खाता है। चलिए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं.

आइए असमानता को लें . इसके बाईं ओर के अभिव्यक्ति के अंश में कोई शून्य नहीं है, और हर में शून्य संख्या −3 है। यह संख्या रेखा को दो अंतरालों (−∞, −3) और (−3, +∞) में विभाजित करता है। आइए उन पर चिन्हों का निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, इन अंतरालों से एक बिंदु लें और उनमें अभिव्यक्ति के मूल्यों की गणना करें। आइए तुरंत ध्यान दें कि ऐसे बिंदुओं को लेने की सलाह दी जाती है ताकि गणना करना आसान हो। उदाहरण के लिए, पहले अंतराल (−∞, −3) से हम −4 ले सकते हैं। x=−4 के लिए हमारे पास है , ऋण चिह्न (ऋणात्मक) के साथ एक मान प्राप्त हुआ, इसलिए, इस अंतराल पर ऋण चिह्न होगा। हम दूसरे अंतराल (−3, +∞) पर चिह्न निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ते हैं। इसमें से 0 लेना सुविधाजनक है (यदि अंतराल में 0 शामिल है, तो इसे हमेशा लेने की सलाह दी जाती है, क्योंकि x=0 पर गणना सबसे सरल होती है)। x=0 पर हमारे पास है . इस मान में एक प्लस चिह्न (सकारात्मक) है, इसलिए इस अंतराल पर एक प्लस चिह्न होगा।

संकेतों को निर्धारित करने का एक और तरीका है, जिसमें किसी एक अंतराल पर संकेत ढूंढना और उसे बनाए रखना या शून्य के माध्यम से आसन्न अंतराल पर जाने पर उसे बदलना शामिल है। आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना होगा. जब अंश के शून्य से होकर गुजरते हैं, लेकिन हर से नहीं, या हर के शून्य से गुजरते हैं, लेकिन अंश से नहीं, तो संकेत बदल जाता है यदि इस शून्य देने वाले अभिव्यक्ति की डिग्री विषम है, और यदि यह सम है तो नहीं बदलता है . और जब एक ऐसे बिंदु से गुजरते हैं जो अंश का शून्य और हर का शून्य दोनों है, तो संकेत बदल जाता है यदि इस शून्य को देने वाले भावों की शक्तियों का योग विषम है, और यदि यह सम है तो नहीं बदलता है।

वैसे, यदि असमानता के दाईं ओर की अभिव्यक्ति का रूप इस लेख के पहले पैराग्राफ की शुरुआत में दर्शाया गया है, तो सबसे दाईं ओर के अंतराल पर एक प्लस चिह्न होगा।

सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें।

हमारे सामने असमानता हो , और हम इसे अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंश 2, 3, 4 के शून्य और हर 1, 3, 4 के शून्य ढूंढते हैं, उन्हें पहले निर्देशांक रेखा पर डैश से चिह्नित करते हैं।

फिर हम हर के शून्य को छिद्रित बिंदुओं की छवियों से बदल देते हैं

और चूँकि हम एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे हैं, हम शेष डैश को साधारण बिंदुओं से बदल देते हैं

और फिर अंतराल पर संकेतों की पहचान करने का क्षण आता है। जैसा कि हमने इस उदाहरण से पहले देखा था, सबसे दाएँ अंतराल (4, +∞) पर एक + चिह्न होगा:

आइए दाएं से बाएं अंतराल से अंतराल की ओर बढ़ते हुए शेष चिह्नों का निर्धारण करें। अगले अंतराल (3, 4) पर आगे बढ़ते हुए, हम निर्देशांक 4 वाले बिंदु से गुजरते हैं। यह अंश और हर दोनों का शून्य है, ये शून्य अभिव्यक्ति (x−4) 2 और x−4 देते हैं, उनकी शक्तियों का योग 2+1=3 है, और यह एक विषम संख्या है, जिसका अर्थ है कि इस बिंदु से गुजरते समय आपको संकेत बदलना होगा। इसलिए, अंतराल (3, 4) पर एक ऋण चिह्न होगा:

निर्देशांक 3 वाले बिंदु से गुजरते हुए हम अंतराल (2, 3) तक आगे बढ़ते हैं। यह अंश और हर दोनों का शून्य भी है, यह अभिव्यक्ति (x−3) 3 और (x−3) 5 द्वारा दिया गया है, उनकी शक्तियों का योग 3+5=8 है, और यह एक सम है संख्या, इसलिए, चिह्न अपरिवर्तित रहेगा:

हम अंतराल (1, 2) की ओर आगे बढ़ते हैं। इसका मार्ग निर्देशांक 2 वाले एक बिंदु द्वारा अवरुद्ध है। यह अंश का शून्य है, यह अभिव्यक्ति x−2 द्वारा दिया गया है, इसकी डिग्री 1 है, अर्थात यह विषम है, इसलिए, इस बिंदु से गुजरने पर, चिह्न बदल जाएगा:

अंत में, अंतिम अंतराल (−∞, 1) पर चिह्न निर्धारित करना बाकी है। इसे पाने के लिए, हमें निर्देशांक 1 वाले बिंदु पर काबू पाना होगा। यह हर का शून्य है, इसे अभिव्यक्ति (x−1) 4 द्वारा दिया जाता है, इसकी डिग्री 4 है, अर्थात यह सम है, इसलिए इस बिंदु से गुजरने पर चिह्न नहीं बदलेगा। इसलिए हमने सभी संकेतों की पहचान कर ली है, और चित्र निम्नलिखित रूप लेता है:

यह स्पष्ट है कि विचारित विधि का उपयोग विशेष रूप से उचित है जब किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना में बड़ी मात्रा में काम शामिल होता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें अंतराल के किसी भी बिंदु पर .

अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के उदाहरण

अब आप प्रस्तुत सभी जानकारी को एक साथ रख सकते हैं, जो अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के लिए पर्याप्त है, और कई उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण कर सकते हैं।

उदाहरण।

असमानता का समाधान करें .

समाधान।

आइए हम अंतराल विधि का उपयोग करके इस असमानता को हल करें। जाहिर है, अंश के शून्य 1 और −5 हैं, और हर के शून्य 1 हैं। हम उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, निर्देशांक वाले बिंदुओं और 1 को हर के शून्य के रूप में विरामित किया जाता है, और अंश −5 के शेष शून्य को एक सामान्य बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है, क्योंकि हम एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे हैं:

अब हम शून्य से गुजरते समय चिह्न को बनाए रखने या बदलने के नियम का पालन करते हुए, अंतरालों पर चिह्न लगाते हैं। सबसे दाहिने अंतराल के ऊपर एक + चिन्ह होगा (इसे इस अंतराल में किसी बिंदु पर असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करके जांचा जा सकता है, उदाहरण के लिए, x=3 पर)। चिह्न से गुजरते समय हम बदल जाते हैं, 1 से गुजरते समय हम उसे वैसा ही छोड़ देते हैं, और -5 से गुजरते समय हम चिह्न को फिर से अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

चूँकि हम असमानता को ≤ चिह्न के साथ हल कर रहे हैं, इसलिए चिह्न के साथ चिह्नित अंतरालों पर छायांकन करना और परिणामी छवि से उत्तर लिखना बाकी है।

तो, हम जिस समाधान की तलाश कर रहे हैं वह है: .

उत्तर:

.

निष्पक्षता के लिए, आइए हम इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित करें कि अधिकांश मामलों में, तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, अंतराल की विधि का उपयोग करके उन्हें हल करना संभव बनाने के लिए पहले उन्हें आवश्यक रूप में बदलना पड़ता है। हम लेख में विस्तार से चर्चा करेंगे कि ऐसे परिवर्तन कैसे करें। तर्कसंगत असमानताओं को हल करना, और अब हम असमानताओं की रिकॉर्डिंग में द्विघात त्रिपदों के संबंध में एक महत्वपूर्ण बिंदु को दर्शाते हुए एक उदाहरण देंगे।

उदाहरण।

असमानता का समाधान खोजें .

समाधान।

इस असमानता को पहली नज़र में देखने पर ऐसा लगता है कि इसका स्वरूप अंतराल विधि लागू करने के लिए उपयुक्त है। लेकिन यह जाँचने में कोई हर्ज नहीं है कि क्या उसके अंकन में द्विघात त्रिपदों के विभेदक वास्तव में नकारात्मक हैं। आइए अपने विवेक को शांत करने के लिए उनका पता लगाएं। त्रिपद x 2 +3 x+3 के लिए हमारे पास D=3 2 −4 1 3=−3 है<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . इसका मतलब यह है कि इस असमानता को वांछित रूप देने के लिए परिवर्तनों की आवश्यकता है। इस मामले में, त्रिपद x 2 +2 x−8 को (x+4) (x−2) के रूप में प्रस्तुत करना पर्याप्त है, और फिर अंतराल की विधि का उपयोग करके असमानता को हल करें .

उत्तर:

.

सामान्यीकृत अंतराल विधि

सामान्यीकृत अंतराल विधि आपको फॉर्म f(x) की असमानताओं को हल करने की अनुमति देती है<0 (≤, >, ≥), जहां f(x) एक चर x के साथ मनमाना है। चलो इसे लिख लें सामान्यीकृत अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

• सबसे पहले आपको इस फ़ंक्शन के f और शून्य की आवश्यकता है।
• परिभाषा के क्षेत्र के व्यक्तिगत बिंदुओं सहित सीमा बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन सेट है (−5, 1]∪(3)∪ (हम अंतराल (−6, 4) पर चिह्न को परिभाषित नहीं करते हैं, क्योंकि यह फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र का हिस्सा नहीं है।) ऐसा करने के लिए, एक बिंदु लें प्रत्येक अंतराल से, उदाहरण के लिए, 16, 8, 6 और -8, और उनमें फ़ंक्शन f के मान की गणना करें:
  
  

  यदि आपके पास यह प्रश्न है कि यह कैसे पता चला कि फ़ंक्शन के परिकलित मान क्या हैं, सकारात्मक या नकारात्मक, तो लेख में सामग्री का अध्ययन करें संख्याओं की तुलना.

  हम नए परिभाषित चिह्न लगाते हैं और ऋण चिह्न वाले स्थानों पर छायांकन लागू करते हैं:
  

  उत्तर में हम चिह्न − के साथ दो अंतरालों का मिलन लिखते हैं, हमारे पास (−∞, −6]∪(7, 12) है। ध्यान दें कि −6 उत्तर में शामिल है (संबंधित बिंदु ठोस है, छिद्रित नहीं है) तथ्य यह है कि यह फ़ंक्शन का शून्य नहीं है (जिसे, सख्त असमानता को हल करते समय, हम उत्तर में शामिल नहीं करेंगे), लेकिन परिभाषा के क्षेत्र का सीमा बिंदु (यह रंगीन है, काला नहीं), और इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान नकारात्मक है (जैसा कि संबंधित अंतराल पर ऋण चिह्न द्वारा प्रमाणित है), यानी, यह असमानता को संतुष्ट करता है (साथ ही पूरे अंतराल में 4 को शामिल करने की आवश्यकता नहीं है)। ∪(7,12) .

  ग्रंथ सूची.

  1. बीजगणित: 9वीं कक्षा: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2009. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।
  2. मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. 9 वां दर्जा। 2 घंटे में। भाग 1. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 13वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।
  3. बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक. 10-11 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए. एन. कोलमोगोरोव - 14वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 2004. - 384 पीपी. - आईएसबीएन 5-09-013651-3।
  4. कुद्रियावत्सेव एल.डी.गणितीय विश्लेषण का पाठ्यक्रम (दो खंडों में): विश्वविद्यालय और कॉलेज के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। – एम.: उच्चतर. स्कूल, 1981, खंड 1. - 687 पी., बीमार।

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  आपको बस इस विधि को समझने और इसे अपने हाथ के पिछले हिस्से की तरह जानने की आवश्यकता है! यदि केवल इसलिए कि इसका उपयोग तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है और क्योंकि, इस पद्धति को ठीक से जानने के बाद, इन असमानताओं को हल करना आश्चर्यजनक रूप से सरल है। थोड़ी देर बाद मैं आपको इन असमानताओं को हल करने में समय बचाने के बारे में कुछ रहस्य बताऊंगा। अच्छा, क्या आप उत्सुक हैं? तो चलते हैं!

  विधि का सार असमानता को कारकों में विभाजित करना (विषय को दोहराना) और ओडीजेड और कारकों के संकेत को निर्धारित करना है, अब मैं सब कुछ समझाऊंगा; आइए सबसे सरल उदाहरण लें: .

  यहां स्वीकार्य मानों की सीमा () लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि चर द्वारा कोई विभाजन नहीं है, और यहां कोई रेडिकल (मूल) नहीं देखे गए हैं। यहां सब कुछ हमारे लिए पहले से ही तय है। लेकिन आराम न करें, यह सब आपको मूल बातें याद दिलाने और सार समझने के लिए है!

  मान लीजिए कि आप अंतराल विधि नहीं जानते, तो आप इस असमानता को कैसे हल करेंगे? तार्किक ढंग से आगे बढ़ें और जो आप पहले से जानते हैं उस पर काम करें। सबसे पहले, बाईं ओर शून्य से बड़ा होगा यदि कोष्ठक में दोनों अभिव्यक्तियाँ या तो शून्य से बड़ी हैं या शून्य से कम हैं, क्योंकि "प्लस" के लिए "प्लस" का अर्थ "प्लस" है और "माइनस" के लिए "माइनस" का अर्थ "प्लस" है, है ना? और यदि कोष्ठक में भावों के चिह्न भिन्न-भिन्न हों तो अंत में बायीं ओर शून्य से कम होगा। हमें उन मानों का पता लगाने की क्या आवश्यकता है जिन पर कोष्ठक में भाव नकारात्मक या सकारात्मक होंगे?

  हमें एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, यह बिल्कुल असमानता के समान है, केवल एक संकेत के बजाय एक संकेत होगा, इस समीकरण की जड़ें हमें उन सीमा मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देंगी, जिनसे प्रस्थान करने पर कारक अधिक होंगे या शून्य से कम.

  और अब अंतराल स्वयं। अंतराल क्या है? यह संख्या रेखा का एक निश्चित अंतराल है, यानी, दो संख्याओं के बीच निहित सभी संभावित संख्याएं - अंतराल के अंत। अपने दिमाग में इन अंतरालों की कल्पना करना इतना आसान नहीं है, इसलिए अंतराल बनाना आम बात है, मैं अब आपको सिखाऊंगा।

  हम एक अक्ष खींचते हैं; से लेकर तक की पूरी संख्या श्रृंखला उस पर स्थित होती है। अक्ष पर बिंदु अंकित किए जाते हैं, फ़ंक्शन के तथाकथित शून्य, वे मान जिन पर अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होती है। ये बिंदु "पिन आउट" हैं जिसका अर्थ है कि वे उन मूल्यों में से नहीं हैं जिन पर असमानता सत्य है। इस मामले में, वे पंचर हो जाते हैं क्योंकि असमानता पर हस्ताक्षर करें और नहीं, अर्थात, सख्ती से इससे अधिक और इससे अधिक या इसके बराबर नहीं।

  मैं यह कहना चाहता हूं कि शून्य को चिह्नित करना आवश्यक नहीं है, यह यहां बिना वृत्तों के है, लेकिन केवल अक्ष के साथ समझ और अभिविन्यास के लिए है। ठीक है, हमने अक्ष खींच लिया है, बिंदु लगा दिए हैं (अधिक सटीक रूप से, वृत्त), आगे क्या, यह मुझे हल करने में कैसे मदद करेगा? - आप पूछना। अब बस अंतरालों से x का मान क्रम से लें और उन्हें अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करें और देखें कि गुणन का परिणाम किस चिह्न पर होता है।

  संक्षेप में, हम इसे केवल उदाहरण के लिए लेते हैं, इसे यहां प्रतिस्थापित करते हैं, यह काम करेगा, जिसका अर्थ है कि असमानता पूरे अंतराल (पूरे अंतराल पर) से लेकर तक मान्य होगी, जहां से हमने इसे लिया था। दूसरे शब्दों में, यदि x से है, तो असमानता सत्य है।

  हम से के अंतराल के साथ भी ऐसा ही करते हैं, उदाहरण के लिए, स्थानापन्न करें, चिह्न निर्धारित करें, चिह्न "ऋण" होगा। और हम अंतिम, तीसरे अंतराल के साथ भी ऐसा ही करते हैं, जहां चिह्न "प्लस" निकलता है। इसमें बहुत सारा पाठ है, लेकिन पर्याप्त स्पष्टता नहीं है, है ना?

  असमानता पर एक और नजर डालें.

  अब हम परिणाम स्वरूप प्राप्त होने वाले चिन्हों को भी उसी अक्ष पर लागू करते हैं। मेरे उदाहरण में, एक टूटी हुई रेखा अक्ष के सकारात्मक और नकारात्मक खंडों को दर्शाती है।

  

  असमानता को देखें - रेखांकन को, फिर से असमानता को - और फिर रेखांकन को, क्या कुछ स्पष्ट है? अब यह कहने का प्रयास करें कि X किन अंतरालों पर असमानता सत्य होगी। यह सही है, से से लेकर असमानता तक भी सत्य होगा, लेकिन से से असमानता के अंतराल पर शून्य है और यह अंतराल हमारे लिए कम रुचि का है, क्योंकि असमानता में हमारे पास एक संकेत है।

  खैर, अब जब आपने इसका पता लगा लिया है, तो अब केवल उत्तर लिखना बाकी है! उत्तर में, हम उन अंतरालों को लिखते हैं जिनके लिए बाईं ओर शून्य से अधिक है, जिसे एक्स के रूप में पढ़ा जाता है जो माइनस इनफिनिटी से माइनस वन तक और दो से प्लस इनफिनिटी तक के अंतराल से संबंधित है। यह स्पष्ट करने योग्य है कि कोष्ठक का अर्थ है कि जिन मानों द्वारा अंतराल सीमित है, वे असमानता का समाधान नहीं हैं, अर्थात, वे उत्तर में शामिल नहीं हैं, लेकिन केवल यह दर्शाते हैं कि, उदाहरण के लिए, एक नहीं है समाधान।

  अब एक उदाहरण जिसमें आपको न केवल अंतराल निकालना होगा:

  आपके अनुसार अक्ष पर बिंदु लगाने से पहले क्या करने की आवश्यकता है? हाँ, इसे कारकों में शामिल करें:

  हम अंतराल बनाते हैं और चिह्न लगाते हैं, ध्यान दें कि हमने बिंदु पंचर कर दिए हैं, क्योंकि चिह्न बिल्कुल शून्य से कम है:

  

  अब आपको एक रहस्य बताने का समय आ गया है जिसका वादा मैंने इस विषय की शुरुआत में किया था! क्या होगा अगर मैंने आपसे कहा कि आपको चिह्न निर्धारित करने के लिए प्रत्येक अंतराल से मानों को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन आप किसी एक अंतराल में चिह्न निर्धारित कर सकते हैं, और बाकी में चिह्नों को बस वैकल्पिक कर सकते हैं!

  इस प्रकार, हमने संकेत लगाने में थोड़ा समय बचाया - मुझे लगता है कि एकीकृत राज्य परीक्षा में इस प्राप्त समय से कोई नुकसान नहीं होगा!

  हम उत्तर लिखते हैं:

  अब भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता के एक उदाहरण पर विचार करें - एक असमानता, जिसके दोनों भाग तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं (देखें)।

  आप इस असमानता के बारे में क्या कह सकते हैं? और आप इसे भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण के रूप में देखते हैं, हम पहले क्या करते हैं? हम तुरंत देखते हैं कि कोई जड़ नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह निश्चित रूप से तर्कसंगत है, लेकिन फिर यह एक अंश है, और हर में एक अज्ञात के साथ भी!

  यह सही है, हमें ODZ की आवश्यकता है!

  तो, चलिए आगे बढ़ते हैं, यहां एक को छोड़कर सभी कारकों में पहली डिग्री का एक चर होता है, लेकिन एक ऐसा कारक होता है जहां x की दूसरी डिग्री होती है। आमतौर पर, हमारा चिह्न उन बिंदुओं में से एक से गुजरने के बाद बदल जाता है जहां असमानता का बायां पक्ष शून्य मान लेता है, जिसके लिए हमने निर्धारित किया कि प्रत्येक कारक में x कितना बराबर होना चाहिए। लेकिन यहाँ, यह हमेशा सकारात्मक है, क्योंकि किसी भी संख्या का वर्ग > शून्य और एक धनात्मक पद।

  क्या आपको लगता है कि इससे असमानता के अर्थ पर असर पड़ेगा? यह सही है - इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा! हम असमानता को दोनों भागों में सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं और इस प्रकार इस कारक को हटा सकते हैं ताकि यह नज़र में न आए।

  अंतराल खींचने का समय आ गया है; ऐसा करने के लिए, आपको उन सीमा मानों को निर्धारित करने की आवश्यकता है, जिनसे हटते समय गुणक शून्य से अधिक और कम होंगे। लेकिन ध्यान दें कि यहां एक संकेत है, इसका मतलब है कि हम उस बिंदु को नहीं चुनेंगे जिस पर असमानता का बायां पक्ष शून्य मान लेता है, यह समाधानों की संख्या में शामिल है, हमारे पास केवल एक ही ऐसा बिंदु है, यह वह बिंदु है जहां x एक के बराबर है। क्या हम उस बिंदु को रंग दें जहां हर ऋणात्मक है? - बिल्कुल नहीं!

  हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए अंतराल इस तरह दिखेगा:

  

  इस आरेख का उपयोग करके, आप आसानी से उत्तर लिख सकते हैं, मैं बस इतना कहूंगा कि अब आपके पास एक नए प्रकार का ब्रैकेट है - वर्ग! यहाँ एक ब्रैकेट है [ कहता है कि मान समाधान अंतराल में शामिल है, अर्थात। उत्तर का हिस्सा है, यह ब्रैकेट अक्ष पर भरे हुए (पिन नहीं किए गए) बिंदु से मेल खाता है।

  तो क्या आपको भी यही उत्तर मिला?

  हम इसे कारकों में शामिल करते हैं और हर चीज को एक तरफ ले जाते हैं, आखिरकार, हमें इसकी तुलना करने के लिए केवल दाईं ओर शून्य छोड़ने की जरूरत है:

  मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि पिछले परिवर्तन में, अंश के साथ-साथ हर में भी प्राप्त करने के लिए, मैं असमानता के दोनों पक्षों को गुणा करता हूं। याद रखें कि जब किसी असमानता के दोनों पक्षों को गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है!!!

  हम ODZ लिखते हैं:

  अन्यथा, हर शून्य हो जाएगा, और, जैसा कि आपको याद है, आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

  सहमत हूँ, परिणामी असमानता अंश और हर को कम करने के लिए आकर्षक है! ऐसा नहीं किया जा सकता; आप कुछ निर्णय या ODZ खो सकते हैं!

  अब बिन्दुओं को स्वयं अक्ष पर रखने का प्रयास करें। मैं केवल यह नोट करूंगा कि बिंदुओं को प्लॉट करते समय, आपको इस तथ्य पर ध्यान देने की आवश्यकता है कि एक मान वाला बिंदु, जो संकेत के आधार पर, अक्ष पर छायांकित के रूप में प्लॉट किया गया प्रतीत होगा, छायांकित नहीं किया जाएगा, यह होगा छेद करना! तुम क्यों पूछ रहे हो? और ODZ याद रखें, आप उस तरह शून्य से विभाजित नहीं होने वाले हैं?

  याद रखें, ODZ पहले आता है! यदि सभी असमानताएँ और समान चिह्न एक बात कहते हैं, और ODZ कुछ और कहता है, तो महान और शक्तिशाली ODZ पर भरोसा करें! ठीक है, आपने अंतराल बनाए हैं, मुझे यकीन है कि आपने विकल्प के बारे में मेरा संकेत समझ लिया है और आपको यह इस तरह मिल गया है (नीचे चित्र देखें) अब इसे काट दें और वह गलती दोबारा न करें! कौन सी त्रुटि? - आप पूछना।

  

  तथ्य यह है कि इस असमानता में कारक को दो बार दोहराया गया था (याद रखें कि आपने इसे कैसे कम करने का प्रयास किया था?)। इसलिए, यदि किसी कारक को असमानता में सम संख्या में दोहराया जाता है, तो अक्ष पर एक बिंदु से गुजरने पर जो इस कारक को शून्य में बदल देता है (इस मामले में, एक बिंदु), यदि यह विषम है तो संकेत नहीं बदलेगा; , तो संकेत बदल जाता है!

  अंतराल और चिह्नों के साथ निम्नलिखित अक्ष सही होगा:

  

  और, कृपया ध्यान दें कि जिस चिन्ह में हम रुचि रखते हैं वह वह नहीं है जो शुरुआत में था (जब हमने पहली बार असमानता देखी, तो चिन्ह वहीं था), परिवर्तनों के बाद, चिन्ह बदल गया, जिसका अर्थ है कि हम अंतराल में रुचि रखते हैं एक संकेत के साथ.

  उत्तर:

  मैं यह भी कहूंगा कि ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब असमानता की जड़ें होती हैं जो किसी भी अंतराल में शामिल नहीं होती हैं, प्रतिक्रिया में उन्हें घुंघराले कोष्ठक में लिखा जाता है, उदाहरण के लिए:। आप औसत स्तर लेख में ऐसी स्थितियों के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं।

  आइए संक्षेप में बताएं कि अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को कैसे हल किया जाए:

  1. हम सब कुछ बाईं ओर ले जाते हैं, दाईं ओर केवल शून्य छोड़ते हैं;
  2. हम ODZ पाते हैं;
  3. हम असमानता की सभी जड़ों को अक्ष पर आलेखित करते हैं;
  4. हम अंतरालों में से एक से एक मनमाना लेते हैं और उस अंतराल में संकेत निर्धारित करते हैं जिसमें जड़ होती है, संकेतों को वैकल्पिक करते हैं, उन जड़ों पर ध्यान देते हैं जो असमानता में कई बार दोहराई जाती हैं, चाहे उनके माध्यम से गुजरने पर संकेत बदलता है; उन्हें कितनी बार दोहराया गया है या नहीं, इसकी समरूपता या विषमता पर;
  5. जवाब में, हम अंतराल लिखते हैं, छिद्रित और गैर-छिद्रित बिंदुओं (ओडीजेड देखें) को देखते हुए, उनके बीच आवश्यक प्रकार के ब्रैकेट रखते हैं।

  और अंत में, हमारा पसंदीदा अनुभाग, "इसे स्वयं करें"!

  उदाहरण:

  उत्तर:

  अंतराल विधि. औसत स्तर

  रैखिक प्रकार्य

  प्रपत्र के एक फलन को रैखिक कहा जाता है। आइए एक फ़ंक्शन को उदाहरण के रूप में लें। यह सकारात्मक और नकारात्मक है। बिंदु फ़ंक्शन () का शून्य है। आइए संख्या अक्ष पर इस फ़ंक्शन के चिह्न दिखाएं:

  

  हम कहते हैं कि "बिंदु से गुजरने पर फ़ंक्शन संकेत बदल देता है"।

  यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन के चिह्न फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्थिति के अनुरूप हैं: यदि ग्राफ़ अक्ष के ऊपर है, तो चिह्न " " है, यदि नीचे यह " " है।

  यदि हम परिणामी नियम को एक मनमाना रैखिक फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत करते हैं, तो हमें निम्नलिखित एल्गोरिदम प्राप्त होता है:

  • फ़ंक्शन का शून्य ज्ञात करना;
  • हम इसे संख्या अक्ष पर अंकित करते हैं;
  • हम शून्य के विपरीत पक्षों पर फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करते हैं।

  द्विघात फंक्शन

  मुझे आशा है कि आपको याद होगा कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल करें? यदि नहीं, तो विषय पढ़ें. मैं आपको द्विघात फलन के सामान्य रूप की याद दिलाना चाहता हूँ:।

  अब आइए याद करें कि द्विघात फलन कौन से चिह्न लेता है। इसका ग्राफ एक परवलय है, और फ़ंक्शन उन लोगों के लिए " " चिह्न लेता है जिनमें परवलय अक्ष के ऊपर है, और " " - यदि परवलय अक्ष के नीचे है:

  

  यदि किसी फ़ंक्शन में शून्य (मान) हैं, तो परवलय अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है - संबंधित द्विघात समीकरण की जड़ें। इस प्रकार, अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक जड़ से गुजरने पर फ़ंक्शन के संकेत बारी-बारी से बदलते हैं।

  क्या हर बार परवलय बनाए बिना किसी तरह चिन्ह निर्धारित करना संभव है?

  याद रखें कि एक वर्ग त्रिपद को गुणनखंडित किया जा सकता है:

  उदाहरण के लिए: ।

  आइए अक्ष पर जड़ों को चिह्नित करें:

  हमें याद है कि किसी फ़ंक्शन का चिह्न केवल रूट से गुजरने पर ही बदल सकता है। आइए इस तथ्य का उपयोग करें: तीन अंतरालों में से प्रत्येक के लिए जिसमें अक्ष को जड़ों द्वारा विभाजित किया गया है, यह केवल एक मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु पर फ़ंक्शन के चिह्न को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है: अंतराल के शेष बिंदुओं पर चिह्न समान होगा .

  हमारे उदाहरण में: कोष्ठक में दोनों भाव सकारात्मक हैं (उदाहरण के लिए विकल्प:)। हम अक्ष पर " " चिन्ह लगाते हैं:

  

  

  खैर, जब (उदाहरण के लिए, विकल्प), दोनों कोष्ठक नकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि उत्पाद सकारात्मक है:

  

  यह वही है अंतराल विधि: प्रत्येक अंतराल पर कारकों के संकेतों को जानकर, हम संपूर्ण उत्पाद का संकेत निर्धारित करते हैं।

  आइए उन मामलों पर भी विचार करें जब फ़ंक्शन में कोई शून्य नहीं है, या केवल एक है।

  यदि वे वहां नहीं हैं, तो जड़ें भी नहीं हैं। इसका मतलब यह है कि कोई "जड़ से गुजरना" नहीं होगा। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन पूरी संख्या रेखा पर केवल एक चिह्न लेता है। इसे किसी फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करके आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

  यदि केवल एक जड़ है, तो परवलय अक्ष को छूता है, इसलिए जड़ से गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। ऐसी स्थितियों के लिए हम क्या नियम बना सकते हैं?

  यदि आप ऐसे फ़ंक्शन का कारक बनाते हैं, तो आपको दो समान कारक मिलते हैं:

  और कोई भी वर्गाकार अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक है! इसलिए, फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है. ऐसे मामलों में, हम उस मूल को उजागर करेंगे, जिसके माध्यम से गुजरने पर चिह्न नहीं बदलता है, इसे एक वर्ग के साथ घेरकर:

  ऐसे मूल को हम गुणज कहेंगे।

  असमानताओं में अंतराल विधि

  अब किसी भी द्विघात असमानता को परवलय बनाए बिना हल किया जा सकता है। द्विघात फलन के चिह्नों को अक्ष पर रखना और असमानता के चिह्न के आधार पर अंतरालों का चयन करना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए:

  आइए अक्ष पर जड़ों को मापें और चिह्न लगाएं:

  

  हमें " " चिन्ह वाले अक्ष के भाग की आवश्यकता है; चूंकि असमानता सख्त नहीं है, इसलिए जड़ें भी समाधान में शामिल हैं:

  अब एक तर्कसंगत असमानता पर विचार करें - एक असमानता, जिसके दोनों पक्ष तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं (देखें)।

  उदाहरण:

  एक को छोड़कर सभी कारक यहां "रैखिक" हैं, यानी, उनमें केवल पहली शक्ति के लिए एक चर होता है। अंतराल विधि को लागू करने के लिए हमें ऐसे रैखिक कारकों की आवश्यकता होती है - उनकी जड़ों से गुजरने पर संकेत बदल जाता है। लेकिन गुणक की कोई जड़ नहीं होती। इसका मतलब यह है कि यह हमेशा सकारात्मक होता है (इसे स्वयं जांचें), और इसलिए संपूर्ण असमानता के संकेत को प्रभावित नहीं करता है। इसका मतलब यह है कि हम इसके द्वारा असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को विभाजित कर सकते हैं, और इस प्रकार इससे छुटकारा पा सकते हैं:

  अब सब कुछ वैसा ही है जैसा कि द्विघात असमानताओं के साथ था: हम यह निर्धारित करते हैं कि किन बिंदुओं पर प्रत्येक कारक शून्य हो जाता है, इन बिंदुओं को अक्ष पर चिह्नित करें और संकेतों को व्यवस्थित करें। मैं आपका ध्यान एक बहुत ही महत्वपूर्ण तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहता हूं:

  
  

  उत्तर: । उदाहरण: ।

  अंतराल विधि को लागू करने के लिए, असमानता के भागों में से एक का होना आवश्यक है। इसलिए, आइए दाएँ भाग को बाएँ ओर ले जाएँ:

  अंश और हर का गुणनखंड एक ही है, लेकिन इसे कम करने में जल्दबाजी न करें! आख़िरकार, तो हम इस बिंदु को छेड़ना भूल सकते हैं। इस रूट को एकाधिक के रूप में चिह्नित करना बेहतर है, यानी, इसके माध्यम से गुजरने पर, संकेत नहीं बदलेगा:

  उत्तर: ।

  और एक और बहुत ही उदाहरणात्मक उदाहरण:

  फिर, हम अंश और हर के समान गुणनखंडों को रद्द नहीं करते हैं, क्योंकि यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें बिंदु को पंचर करना विशेष रूप से याद रखना होगा।

  • : बार-बार;
  • : बार;
  • : गुणा (अंश में और हर में एक)।

  सम संख्या के मामले में, हम पहले की तरह ही करते हैं: हम बिंदु को एक वर्ग से घेरते हैं और मूल से गुजरते समय चिह्न नहीं बदलते हैं। लेकिन विषम संख्या के मामले में, यह नियम लागू नहीं होता है: मूल से गुजरने पर भी चिह्न बदल जाएगा। इसलिए, हम ऐसे रूट के साथ कुछ भी अतिरिक्त नहीं करते हैं, जैसे कि वह एकाधिक न हो। उपरोक्त नियम सभी सम और विषम शक्तियों पर लागू होते हैं।
  

  हमें उत्तर में क्या लिखना चाहिए?

  यदि संकेतों के विकल्प का उल्लंघन किया जाता है, तो आपको बहुत सावधान रहने की आवश्यकता है, क्योंकि यदि असमानता सख्त नहीं है, तो उत्तर में शामिल होना चाहिए सभी छायांकित बिंदु. लेकिन उनमें से कुछ अक्सर अलग-अलग खड़े होते हैं, यानी वे छायांकित क्षेत्र में शामिल नहीं होते हैं। इस मामले में, हम उन्हें उत्तर में पृथक बिंदुओं के रूप में जोड़ते हैं (घुंघराले ब्रेसिज़ में):

  उदाहरण (स्वयं निर्णय लें):

  उत्तर:

  1. यदि कारकों में से यह सरल है, तो यह एक जड़ है, क्योंकि इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है।
     .

  अंतराल विधि. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

  तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग किया जाता है। इसमें विभिन्न अंतरालों पर कारकों के संकेतों से उत्पाद का संकेत निर्धारित करना शामिल है।

  अंतराल विधि का उपयोग करके तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

  • हम सब कुछ बाईं ओर ले जाते हैं, दाईं ओर केवल शून्य छोड़ते हैं;
  • हम ODZ पाते हैं;
  • हम असमानता की सभी जड़ों को अक्ष पर आलेखित करते हैं;
  • हम अंतरालों में से एक से एक मनमाना लेते हैं और उस अंतराल में संकेत निर्धारित करते हैं जिसमें जड़ होती है, संकेतों को वैकल्पिक करते हैं, उन जड़ों पर ध्यान देते हैं जो असमानता में कई बार दोहराई जाती हैं, चाहे उनके माध्यम से गुजरने पर संकेत बदलता है; उन्हें कितनी बार दोहराया गया है या नहीं, इसकी समरूपता या विषमता पर;
  • जवाब में, हम अंतराल लिखते हैं, छिद्रित और गैर-छिद्रित बिंदुओं (ओडीजेड देखें) को देखते हुए, उनके बीच आवश्यक प्रकार के ब्रैकेट रखते हैं।

  खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

  क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

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  निष्कर्ष के तौर पर...

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  "समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.

  समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!

  प्राचीन काल से ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय मात्राओं और मात्राओं की तुलना करना आवश्यक रहा है। उसी समय, सजातीय मात्राओं की तुलना के परिणामों को दर्शाते हुए, अधिक और कम, उच्च और निम्न, हल्का और भारी, शांत और तेज़, सस्ता और अधिक महंगा आदि जैसे शब्द सामने आए।

  वस्तुओं की गिनती, माप और मात्राओं की तुलना के संबंध में अधिक और कम की अवधारणाएँ उत्पन्न हुईं। उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञ जानते थे कि किसी भी त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है और त्रिभुज की बड़ी भुजा बड़े कोण के विपरीत होती है। परिधि की गणना करते समय आर्किमिडीज़ ने स्थापित किया कि किसी भी वृत्त की परिधि व्यास के तीन गुना के बराबर होती है, जिसका आधिक्य व्यास के सातवें हिस्से से कम होता है, लेकिन व्यास के दस सत्तर गुना से अधिक होता है।

  > और बी चिह्नों का उपयोग करके संख्याओं और मात्राओं के बीच प्रतीकात्मक रूप से संबंध लिखें। ऐसे रिकॉर्ड जिनमें दो संख्याएँ किसी एक चिह्न से जुड़ी होती हैं: > (से अधिक), आपको निचले ग्रेड में संख्यात्मक असमानताओं का भी सामना करना पड़ा। आप जानते हैं कि असमानताएँ सत्य भी हो सकती हैं और गलत भी। उदाहरण के लिए, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) एक सही संख्यात्मक असमानता है, 0.23 > 0.235 एक गलत संख्यात्मक असमानता है।

  अज्ञात से जुड़ी असमानताएँ अज्ञात के कुछ मूल्यों के लिए सत्य और दूसरों के लिए ग़लत हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, असमानता 2x+1>5 x = 3 के लिए सत्य है, लेकिन x = -3 के लिए गलत है। एक अज्ञात के साथ असमानता के लिए, आप कार्य निर्धारित कर सकते हैं: असमानता को हल करें। व्यवहार में, असमानताओं को हल करने की समस्याएँ समीकरणों को हल करने की समस्याओं से कम बार नहीं उठाई और हल की जाती हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के अध्ययन और समाधान के लिए कई आर्थिक समस्याएं सामने आती हैं। गणित की कई शाखाओं में, समीकरणों की तुलना में असमानताएँ अधिक सामान्य हैं।

  कुछ असमानताएँ किसी निश्चित वस्तु के अस्तित्व को सिद्ध या अस्वीकृत करने के एकमात्र सहायक साधन के रूप में कार्य करती हैं, उदाहरण के लिए, किसी समीकरण की जड़।

  संख्यात्मक असमानताएँ

  आप पूर्ण संख्याओं और दशमलव भिन्नों की तुलना कर सकते हैं। समान हर लेकिन अलग-अलग अंशों के साथ साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियमों को जानें; समान अंशों के साथ लेकिन अलग-अलग हर के साथ। यहां आप सीखेंगे कि किन्हीं दो संख्याओं के अंतर का चिन्ह ढूंढकर उनकी तुलना कैसे की जाती है।

  व्यवहार में संख्याओं की तुलना का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अर्थशास्त्री नियोजित संकेतकों की तुलना वास्तविक संकेतकों से करता है, एक डॉक्टर रोगी के तापमान की तुलना सामान्य तापमान से करता है, एक टर्नर मशीनीकृत हिस्से के आयामों की तुलना मानक से करता है। ऐसे सभी मामलों में, कुछ संख्याओं की तुलना की जाती है। संख्याओं की तुलना करने के परिणामस्वरूप संख्यात्मक असमानताएँ उत्पन्न होती हैं।

  परिभाषा।यदि अंतर a-b धनात्मक है तो संख्या a, संख्या b से बड़ी है। यदि अंतर a-b ऋणात्मक है तो संख्या a, संख्या b से कम है।

  यदि a, b से बड़ा है, तो वे लिखते हैं: a > b; यदि a, b से कम है, तो वे लिखते हैं: a इस प्रकार, असमानता a > b का अर्थ है कि अंतर a - b सकारात्मक है, अर्थात। a - b > 0. असमानता a निम्नलिखित तीन संबंधों में से किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए a > b, a = b, a संख्याओं a और b की तुलना करने का अर्थ यह पता लगाना है कि >, = या में से कौन सा चिह्न प्रमेय.यदि a > b और b > c, तो a > c.

  प्रमेय.यदि आप असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा।
  परिणाम।किसी भी पद को इस पद के चिन्ह को विपरीत दिशा में बदलकर असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाया जा सकता है।

  प्रमेय.यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा किया जाए, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाए, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा।
  परिणाम।यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित किया जाए तो असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाए, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा।

  आप जानते हैं कि संख्यात्मक समानताओं को पद दर पद जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। इसके बाद, आप सीखेंगे कि असमानताओं के साथ समान कार्य कैसे करें। असमानताओं को पद दर पद जोड़ने और गुणा करने की क्षमता अक्सर व्यवहार में उपयोग की जाती है। ये क्रियाएं अभिव्यक्तियों के अर्थों के मूल्यांकन और तुलना की समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।

  विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर असमानताओं के बाएँ और दाएँ पक्षों को शब्द दर शब्द जोड़ना या गुणा करना आवश्यक होता है। साथ ही, कभी-कभी यह भी कहा जाता है कि असमानताएँ बढ़ती या बढ़ती हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई पर्यटक पहले दिन 20 किमी से अधिक और दूसरे दिन 25 किमी से अधिक चला, तो हम कह सकते हैं कि दो दिनों में वह 45 किमी से अधिक चला। इसी प्रकार, यदि किसी आयत की लंबाई 13 सेमी से कम और चौड़ाई 5 सेमी से कम है, तो हम कह सकते हैं कि इस आयत का क्षेत्रफल 65 सेमी2 से कम है।

  इन उदाहरणों पर विचार करते समय निम्नलिखित का उपयोग किया गया असमानताओं के जोड़ और गुणन पर प्रमेय:

  प्रमेय.एक ही चिह्न की असमानताओं को जोड़ने पर, एक ही चिह्न की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b और c > d, तो a + c > b + d।

  प्रमेय.जब एक ही चिह्न की असमानताओं को गुणा किया जाता है, जिसके बाएँ और दाएँ पक्ष धनात्मक होते हैं, तो उसी चिह्न की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b, c > d और a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं, तो ac > bd।

  चिह्न के साथ असमानताएँ > (से अधिक) और 1/2, 3/4 बी, सी सख्त असमानताओं के चिह्नों के साथ > और उसी प्रकार, असमानता \(a \geq b \) का अर्थ है कि संख्या a है b से अधिक या उसके बराबर, अर्थात .और b से कम नहीं।

  \(\geq \) चिन्ह या \(\leq \) चिन्ह वाली असमानताओं को गैर-सख्त कहा जाता है। उदाहरण के लिए, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) सख्त असमानताएं नहीं हैं।

  सख्त असमानताओं के सभी गुण गैर-सख्त असमानताओं के लिए भी मान्य हैं। इसके अलावा, यदि सख्त असमानताओं के लिए चिह्नों को विपरीत माना जाता था और आप जानते हैं कि कई लागू समस्याओं को हल करने के लिए आपको समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के रूप में एक गणितीय मॉडल बनाना होगा। इसके बाद, आप सीखेंगे कि कई समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय मॉडल अज्ञात के साथ असमानताएं हैं। हम एक असमानता को हल करने की अवधारणा का परिचय देंगे और दिखाएंगे कि कैसे परीक्षण किया जाए कि कोई दी गई संख्या किसी विशेष असमानता का समाधान है या नहीं।

  स्वरूप की असमानताएँ
  \(ax > b, \quad ax जिसमें a और b दिए गए नंबर हैं, और x एक अज्ञात है, कहलाते हैं एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताएँ.

  परिभाषा।एक अज्ञात के साथ असमानता का समाधान अज्ञात का वह मूल्य है जिस पर यह असमानता एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता बन जाती है। किसी असमानता को हल करने का अर्थ है उसके सभी समाधान ढूंढना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

  आपने समीकरणों को सरलतम समीकरणों में परिवर्तित करके हल किया। इसी प्रकार, असमानताओं को हल करते समय, व्यक्ति गुणों का उपयोग करके, उन्हें सरल असमानताओं के रूप में कम करने का प्रयास करता है।

  एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं को हल करना

  स्वरूप की असमानताएँ
  \(ax^2+bx+c >0 \) और \(ax^2+bx+c जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं और \(a \neq 0 \) कहलाते हैं एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताएँ.

  असमानता का समाधान
  \(ax^2+bx+c >0 \) या \(ax^2+bx+c को अंतराल खोजने के रूप में माना जा सकता है जिसमें फ़ंक्शन \(y= ax^2+bx+c \) सकारात्मक या नकारात्मक लेता है मान ऐसा करने के लिए, यह विश्लेषण करना पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ \(y= ax^2+bx+c\) समन्वय विमान में कैसे स्थित है: जहां परवलय की शाखाएं निर्देशित होती हैं - ऊपर या नीचे, चाहे परवलय x अक्ष को प्रतिच्छेद करता है और यदि करता है, तो किन बिंदुओं पर।

  एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
  1) वर्ग त्रिपद \(ax^2+bx+c\) का विभेदक ज्ञात करें और पता लगाएं कि क्या त्रिपद की जड़ें हैं;
  2) यदि ट्रिनोमियल की जड़ें हैं, तो उन्हें एक्स-अक्ष पर चिह्नित करें और चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से एक योजनाबद्ध परवलय बनाएं, जिसकी शाखाएं > 0 के लिए ऊपर की ओर या 0 के लिए नीचे की ओर या 3 के लिए नीचे की ओर निर्देशित हों) x-अक्ष पर अंतराल खोजें जिसके लिए बिंदु परवलय x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं (यदि वे असमानता को हल करते हैं \(ax^2+bx+c >0\)) या x-अक्ष के नीचे (यदि वे हल करते हैं असमानता
  \(ax^2+bx+c अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करना

  फ़ंक्शन पर विचार करें
  एफ(एक्स) = (एक्स + 2)(एक्स - 3)(एक्स - 5)

  इस फ़ंक्शन का डोमेन सभी संख्याओं का समुच्चय है। फ़ंक्शन के शून्य संख्याएं -2, 3, 5 हैं। वे फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; में विभाजित करते हैं। 3; 5) \) और \( (5; +\infty)\)

  आइए जानें कि प्रत्येक संकेतित अंतराल में इस फ़ंक्शन के संकेत क्या हैं।

  व्यंजक (x + 2)(x - 3)(x - 5) तीन कारकों का गुणनफल है। विचाराधीन अंतराल में इनमें से प्रत्येक कारक का संकेत तालिका में दर्शाया गया है:

  सामान्य तौर पर, मान लीजिए कि फ़ंक्शन सूत्र द्वारा दिया गया है
  एफ(एक्स) = (एक्स-एक्स 1)(एक्स-एक्स 2) ... (एक्स-एक्स एन),
  जहाँ x एक चर है, और x 1, x 2, ..., x n ऐसी संख्याएँ हैं जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। संख्याएँ x 1 , x 2 , ..., x n फ़ंक्शन के शून्य हैं। प्रत्येक अंतराल में जिसमें परिभाषा के क्षेत्र को फ़ंक्शन के शून्य द्वारा विभाजित किया जाता है, फ़ंक्शन का चिह्न संरक्षित होता है, और शून्य से गुजरने पर इसका चिह्न बदल जाता है।

  इस गुण का उपयोग प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है
  (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
  (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) जहां x 1, x 2, ..., x n ऐसी संख्याएं हैं जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं

  विधि मानी गई असमानताओं को हल करने को अंतराल विधि कहा जाता है।

  आइए हम अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के उदाहरण दें।

  असमानता का समाधान करें:

  \(x(0.5-x)(x+4) जाहिर है, फ़ंक्शन f(x) = x(0.5-x)(x+4) के शून्य बिंदु \(x=0, \; x= \ हैं frac(1)(2) , \ x=-4 \)

  हम फ़ंक्शन के शून्य को संख्या अक्ष पर आलेखित करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर चिह्न की गणना करते हैं:

  हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जिन पर फ़ंक्शन शून्य से कम या उसके बराबर है और उत्तर लिखते हैं।

  उत्तर:
  \(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

  अंतराल विधि- भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का एक सरल तरीका। यह परिमेय (या भिन्नात्मक-तर्कसंगत) अभिव्यक्तियों वाली असमानताओं का नाम है जो एक चर पर निर्भर करती हैं।

  1. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित असमानता पर विचार करें

  अंतराल विधि आपको इसे कुछ मिनटों में हल करने की अनुमति देती है।

  इस असमानता के बायीं ओर एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है। तर्कसंगत क्योंकि इसमें मूल, ज्या या लघुगणक नहीं हैं - केवल तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ हैं। दाहिनी ओर शून्य है.

  अंतराल विधि भिन्नात्मक परिमेय फलन के निम्नलिखित गुण पर आधारित है।

  एक भिन्नात्मक परिमेय फलन केवल उन्हीं बिंदुओं पर चिह्न बदल सकता है जहां यह शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है।

  आइए हम याद करें कि एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन कैसे किया जाता है, अर्थात रूप की अभिव्यक्ति।

  द्विघात समीकरण की जड़ें कहाँ और हैं।

  हम एक अक्ष बनाते हैं और उन बिंदुओं को रखते हैं जिन पर अंश और हर शून्य पर जाते हैं।

  

  हर के शून्य और छिद्रित बिंदु हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर असमानता के बाईं ओर का फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं)। अंश और - के शून्य छायांकित हैं, क्योंकि असमानता सख्त नहीं है। जब और हमारी असमानता संतुष्ट हो जाती है, चूँकि इसके दोनों पक्ष शून्य के बराबर होते हैं।

  ये बिंदु अक्ष को अंतरालों में तोड़ देते हैं।

  आइए इनमें से प्रत्येक अंतराल पर हमारी असमानता के बाईं ओर भिन्नात्मक तर्कसंगत फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें। हमें याद है कि एक भिन्नात्मक परिमेय फलन केवल उन्हीं बिंदुओं पर चिह्न बदल सकता है जहां यह शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है। इसका मतलब यह है कि उन बिंदुओं के बीच प्रत्येक अंतराल पर जहां अंश या हर शून्य पर जाता है, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति का चिह्न स्थिर रहेगा - या तो "प्लस" या "माइनस"।

  और इसलिए, ऐसे प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करने के लिए, हम इस अंतराल से संबंधित कोई भी बिंदु लेते हैं। जो हमारे लिए सुविधाजनक हो.
  . उदाहरण के लिए, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें। प्रत्येक "कोष्ठक" नकारात्मक है। बायीं ओर एक चिन्ह है.

  

  अगला अंतराल: . आइए साइन की जाँच करें। हमने पाया कि बायीं ओर का चिह्न बदल कर . हो गया है।

  

  चलो इसे ले लो. जब अभिव्यक्ति सकारात्मक होती है - इसलिए, यह पूरे अंतराल पर सकारात्मक होती है।

  

  जब असमानता का बायां भाग ऋणात्मक हो।

  

  और अंत में, class='tex' alt='x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

  

  हमने पाया है कि किस अंतराल पर अभिव्यक्ति सकारात्मक है। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है:

  उत्तर: ।

  कृपया ध्यान दें: संकेत अंतरालों के बीच वैकल्पिक होते हैं। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि प्रत्येक बिंदु से गुजरते समय, रैखिक कारकों में से एक ने संकेत बदल दिया, जबकि बाकी ने इसे अपरिवर्तित रखा.

  हम देखते हैं कि अंतराल विधि बहुत सरल है। अंतराल विधि का उपयोग करके भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को हल करने के लिए, हम इसे इस रूप में घटाते हैं:

  या class='tex' alt='\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, या या ।

  (बाईं ओर एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है, दाईं ओर शून्य है)।

  फिर हम संख्या रेखा पर उन बिंदुओं को अंकित करते हैं जिन पर अंश या हर शून्य पर जाता है।
  ये बिंदु संपूर्ण संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है।
  जो कुछ बचा है वह प्रत्येक अंतराल पर इसके संकेत का पता लगाना है।
  हम किसी दिए गए अंतराल से संबंधित किसी भी बिंदु पर अभिव्यक्ति के चिह्न की जांच करके ऐसा करते हैं। उसके बाद हम उत्तर लिखते हैं। बस इतना ही।

  लेकिन सवाल उठता है: क्या संकेत हमेशा बदलते रहते हैं? नहीं हमेशा नहीं! आपको सावधान रहना चाहिए और यंत्रवत् और बिना सोचे-समझे संकेत नहीं लगाने चाहिए।

  2. आइए एक और असमानता पर विचार करें।

  Class='tex' alt='\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ बाएँ(x-3 \दाएँ))>0"> !}

  बिंदुओं को फिर से अक्ष पर रखें। बिंदु और छिद्रित हैं क्योंकि वे हर के शून्य हैं। चूँकि असमानता सख्त है, इसलिए बात भी काट दी गई है।

  

  जब अंश धनात्मक होता है, तो हर के दोनों कारक ऋणात्मक होते हैं। किसी दिए गए अंतराल से कोई भी संख्या लेकर इसे आसानी से जांचा जा सकता है, उदाहरण के लिए,। बायीं ओर संकेत है:

  

  जब अंश धनात्मक हो; हर में पहला कारक सकारात्मक है, दूसरा कारक नकारात्मक है। बायीं ओर संकेत है:

  

  स्थिति वही है! अंश धनात्मक है, हर में पहला कारक धनात्मक है, दूसरा ऋणात्मक है। बायीं ओर संकेत है:

  

  अंत में, class='tex' alt='x>3 के साथ"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}
  
  

  उत्तर: ।

  संकेतों का प्रत्यावर्तन क्यों बाधित हुआ? क्योंकि किसी बिंदु से गुजरते समय गुणक इसके लिए "जिम्मेदार" होता है संकेत नहीं बदला. नतीजतन, हमारी असमानता के पूरे बाएं हिस्से में कोई बदलाव नहीं आया।

  निष्कर्ष: यदि रैखिक गुणक एक सम घात है (उदाहरण के लिए, वर्ग), तो एक बिंदु से गुजरने पर बाईं ओर अभिव्यक्ति का चिह्न नहीं बदलता है. विषम डिग्री के मामले में, संकेत, निश्चित रूप से बदल जाता है।

  3. आइए एक अधिक जटिल मामले पर विचार करें। यह पिछले वाले से इस मायने में भिन्न है कि असमानता सख्त नहीं है:

  बाईं ओर पिछली समस्या के समान ही है। चिन्हों का चित्र वैसा ही होगा:

  

  शायद उत्तर भी वही होगा? नहीं! एक समाधान जोड़ा जाता है ऐसा इसलिए होता है क्योंकि असमानता के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर शून्य के बराबर है - इसलिए, यह बिंदु एक समाधान है।

  उत्तर: ।

  गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं में यह स्थिति अक्सर उत्पन्न होती है। यहीं पर आवेदक जाल में फंस जाते हैं और अंक गंवा देते हैं। ध्यान से!

  4. यदि अंश या हर को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता तो क्या करें? इस असमानता पर विचार करें:

  एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन नहीं किया जा सकता: विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ें नहीं हैं। लेकिन ये अच्छा है! इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति का संकेत सभी के लिए समान है, और विशेष रूप से, सकारात्मक है। आप इसके बारे में द्विघात फलनों के गुण लेख में अधिक पढ़ सकते हैं।

  और अब हम अपनी असमानता के दोनों पक्षों को उस मूल्य से विभाजित कर सकते हैं जो सभी के लिए सकारात्मक है। आइए हम एक समतुल्य असमानता पर पहुँचें:

  जिसे अंतराल विधि से आसानी से हल किया जा सकता है।

  कृपया ध्यान दें कि हमने असमानता के दोनों पक्षों को उस मूल्य से विभाजित किया है जिसके बारे में हम निश्चित रूप से जानते थे कि वह सकारात्मक था। बेशक, सामान्य तौर पर, आपको किसी असमानता को ऐसे चर से गुणा या विभाजित नहीं करना चाहिए जिसका चिह्न अज्ञात है।

  5 . आइए एक और असमानता पर विचार करें, जो काफी सरल प्रतीत होती है:

  मैं बस इसे इससे गुणा करना चाहता हूं। लेकिन हम पहले से ही स्मार्ट हैं और हम ऐसा नहीं करेंगे। आख़िरकार, यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है। और हम जानते हैं कि यदि असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा किया जाए, तो असमानता का चिह्न बदल जाता है।

  हम इसे अलग तरीके से करेंगे - हम सब कुछ एक हिस्से में इकट्ठा करेंगे और इसे एक सामान्य भाजक में लाएंगे। दाहिना भाग शून्य रहेगा:

  क्लास='टेक्स' alt='\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

  और उसके बाद - आवेदन करें अंतराल विधि.

  असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि को सार्वभौमिक माना जाता है। कभी-कभी इस विधि को अंतराल विधि भी कहा जाता है। इसका उपयोग एक चर के साथ तर्कसंगत असमानताओं को हल करने और अन्य प्रकार की असमानताओं के लिए किया जा सकता है। अपनी सामग्री में हमने मुद्दे के सभी पहलुओं पर ध्यान देने की कोशिश की।

  इस अनुभाग में आपका क्या इंतजार है? हम अंतराल विधि का विश्लेषण करेंगे और इसका उपयोग करके असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। आइए हम उन सैद्धांतिक पहलुओं पर ध्यान दें जिन पर विधि का अनुप्रयोग आधारित है।

  हम विषय की उन बारीकियों पर विशेष ध्यान देते हैं जो आमतौर पर स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, आइए अंतरालों पर चिह्नों को व्यवस्थित करने के नियमों और सामान्य रूप में अंतरालों की विधि पर विचार करें, तर्कसंगत असमानताओं से इसके संबंध के बिना।

  Yandex.RTB R-A-339285-1

  कलन विधि

  किसे याद है कि स्कूल के बीजगणित पाठ्यक्रम में अंतराल की विधि कैसे शुरू की गई थी? आमतौर पर यह सब फॉर्म f (x) की असमानताओं को हल करने से शुरू होता है< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >या ≥). यहाँ f(x) एक बहुपद या बहुपदों का अनुपात हो सकता है। बदले में, बहुपद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

  • चर x के लिए गुणांक 1 के साथ रैखिक द्विपद का गुणनफल;
  • अग्रणी गुणांक 1 और उनके मूलों के ऋणात्मक विभेदक वाले द्विघात त्रिपदों का गुणनफल।

  यहां ऐसी असमानताओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

  (एक्स + 3) · (एक्स 2 − एक्स + 1) · (एक्स + 2) 3 ≥ 0,

  (एक्स - 2) · (एक्स + 5) एक्स + 3 > 0,

  (एक्स - 5) · (एक्स + 5) ≤ 0,

  (x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

  आइए इस प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम लिखें, जैसा कि हमने अंतराल विधि का उपयोग करके उदाहरणों में दिया है:

  • हम अंश और हर के शून्य पाते हैं, इसके लिए हम असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के अंश और हर को शून्य के बराबर करते हैं और परिणामी समीकरणों को हल करते हैं;
  • हम उन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं जो पाए गए शून्य के अनुरूप हैं और उन्हें समन्वय अक्ष पर डैश के साथ चिह्नित करते हैं;
  • अभिव्यक्ति चिन्हों को परिभाषित करें एफ(एक्स)बाईं ओर से प्रत्येक अंतराल पर असमानताओं को हल किया जा रहा है और उन्हें ग्राफ़ पर रखा गया है;
  • हम निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होकर, ग्राफ़ के आवश्यक अनुभागों पर छायांकन लागू करते हैं: यदि असमानता के संकेत हैं< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >या ≥, फिर हम "+" चिह्न से चिह्नित क्षेत्रों को छायांकित करके हाइलाइट करते हैं।

  जिस पैटर्न पर हम काम करेंगे उसका एक योजनाबद्ध दृष्टिकोण हो सकता है। अत्यधिक विवरण ड्राइंग को ओवरलोड कर सकते हैं और इसे हल करना कठिन बना सकते हैं। हमें पैमाने में कम रुचि होगी। जैसे-जैसे उनके निर्देशांक का मान बढ़ेगा, बिंदुओं के सही स्थान का पालन करना पर्याप्त होगा।

  सख्त असमानताओं के साथ काम करते समय, हम एक अपूर्ण (खाली) केंद्र के साथ एक वृत्त के रूप में एक बिंदु के अंकन का उपयोग करेंगे। गैर-सख्त असमानताओं के मामले में, हम उन बिंदुओं को खाली के रूप में चित्रित करेंगे जो हर के शून्य के अनुरूप हैं, और बाकी सभी को साधारण काले के रूप में।

  चिह्नित बिंदु समन्वय रेखा को कई संख्यात्मक अंतरालों में विभाजित करते हैं। यह हमें एक संख्यात्मक सेट का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो वास्तव में इस असमानता का समाधान है।

  गैप विधि का विज्ञान

  अंतराल विधि में अंतर्निहित दृष्टिकोण निरंतर फ़ंक्शन की निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है: फ़ंक्शन अंतराल (ए, बी) पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है जिस पर यह फ़ंक्शन निरंतर होता है और गायब नहीं होता है। यही गुण संख्यात्मक किरणों (− ∞ , a) और की विशेषता है (ए, + ∞).

  फ़ंक्शन की इस संपत्ति की पुष्टि बोल्ज़ानो-कॉची प्रमेय द्वारा की जाती है, जो प्रवेश परीक्षाओं की तैयारी के लिए कई पाठ्यपुस्तकों में दी गई है।

  अंतरालों पर चिह्न की स्थिरता को संख्यात्मक असमानताओं के गुणों के आधार पर भी उचित ठहराया जा सकता है। उदाहरण के लिए, असमानता x - 5 x + 1 > 0 लें। यदि हम अंश और हर के शून्य ज्ञात करें और उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित करें, तो हमें अंतरालों की एक श्रृंखला मिलेगी: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) और (5 , + ∞) .

  आइए हम कोई भी अंतराल लें और उस पर दिखाएं कि पूरे अंतराल में असमानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति में एक स्थिर चिह्न होगा। मान लीजिए कि यह अंतराल (− ∞ , − 1) है। आइए इस अंतराल से कोई भी संख्या t लें। यह शर्तों को पूरा करेगा< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

  परिणामी असमानताओं और संख्यात्मक असमानताओं की संपत्ति दोनों का उपयोग करके, हम मान सकते हैं कि t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения टीअंतराल पर (- ∞ , - 1) .

  ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम का उपयोग करके, हम बता सकते हैं कि अभिव्यक्ति t - 5 t + 1 का मान धनात्मक होगा। इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति x - 5 x + 1 का मान किसी भी मान के लिए सकारात्मक होगा एक्सबीच से (− ∞ , − 1) . यह सब हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि उदाहरण के रूप में लिए गए अंतराल पर, अभिव्यक्ति में एक स्थिर चिह्न होता है। हमारे मामले में, यह "+" चिह्न है।

  अंश और हर के शून्य ज्ञात करना

  शून्य खोजने का एल्गोरिदम सरल है: हम अंश और हर के भावों को शून्य के बराबर करते हैं और परिणामी समीकरणों को हल करते हैं। यदि आपको कोई कठिनाई हो, तो आप "गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करना" विषय का संदर्भ ले सकते हैं। इस अनुभाग में हम स्वयं को केवल एक उदाहरण देखने तक ही सीमित रखेंगे।

  भिन्न x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 पर विचार करें। अंश और हर के शून्य ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण प्राप्त करने और हल करने के लिए उन्हें शून्य के बराबर करते हैं: x (x - 0, 6) = 0 और x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

  पहले मामले में, हम दो समीकरणों x = 0 और x - 0, 6 = 0 के सेट पर जा सकते हैं, जिससे हमें दो मूल 0 और 0, 6 मिलते हैं। ये अंश के शून्य हैं।

  दूसरा समीकरण तीन समीकरणों के सेट के बराबर है x 7 = 0, (एक्स 2 + 2 एक्स + 7) 2 = 0, (एक्स + 5) 3 = 0। हम परिवर्तनों की एक श्रृंखला करते हैं और x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0 प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण का मूल 0 है, दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इसमें एक नकारात्मक विभेदक है, तीसरे समीकरण का मूल 5 है। ये हर के शून्य हैं।

  इस मामले में 0 अंश का शून्य और हर का शून्य दोनों है।

  सामान्य तौर पर, जब किसी असमानता के बाईं ओर एक अंश होता है जो आवश्यक रूप से तर्कसंगत नहीं होता है, तो समीकरण प्राप्त करने के लिए अंश और हर भी शून्य के बराबर होते हैं। समीकरणों को हल करने से आप अंश और हर के शून्य ज्ञात कर सकते हैं।

  अंतराल का चिह्न निर्धारित करना सरल है। ऐसा करने के लिए, आप किसी दिए गए अंतराल से किसी भी मनमाने ढंग से चयनित बिंदु के लिए असमानता के बाईं ओर से अभिव्यक्ति का मूल्य पा सकते हैं। अंतराल में मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु पर अभिव्यक्ति मान का परिणामी चिह्न संपूर्ण अंतराल के चिह्न के साथ मेल खाएगा।

  आइए इस कथन को एक उदाहरण से देखें।

  आइए असमानता x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 लें। असमानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति के अंश में कोई शून्य नहीं है। हर का शून्य अंक - 3 होगा। हमें संख्या रेखा पर दो अंतराल मिलते हैं (− ∞ , − 3) तथा (− 3 , + ∞) .

  अंतरालों के चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, हम प्रत्येक अंतराल पर मनमाने ढंग से लिए गए बिंदुओं के लिए अभिव्यक्ति x 2 - x + 4 x + 3 के मान की गणना करते हैं।

  पहले अंतराल से (− ∞ , − 3) आइए लेते हैं − 4. पर एक्स = − 4हमारे पास (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 है। हमें एक ऋणात्मक मान प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि पूरे अंतराल में एक "-" चिह्न होगा।

  अंतराल के लिए (− 3 , + ∞) आइए शून्य निर्देशांक वाले एक बिंदु के साथ गणना करें। x = 0 पर हमारे पास 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 है। हमें एक सकारात्मक मान प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि पूरे अंतराल में "+" चिह्न होगा।

  आप संकेतों को निर्धारित करने के लिए दूसरे तरीके का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम किसी एक अंतराल पर चिह्न ढूंढ सकते हैं और उसे सहेज सकते हैं या शून्य से गुजरते समय उसे बदल सकते हैं। सब कुछ सही ढंग से करने के लिए, नियम का पालन करना आवश्यक है: शून्य से गुजरते समय हर, लेकिन अंश नहीं, या अंश, लेकिन हर नहीं, हम चिह्न को विपरीत में बदल सकते हैं, यदि की डिग्री यह शून्य देने वाला व्यंजक विषम है, और यदि डिग्री सम है तो हम चिह्न नहीं बदल सकते। यदि हमें एक बिंदु प्राप्त हुआ है जो अंश और हर दोनों का शून्य है, तो हम चिह्न को विपरीत में बदल सकते हैं केवल तभी जब इस शून्य को देने वाले भावों की शक्तियों का योग विषम हो।

  यदि हम उस असमानता को याद करते हैं जिसकी हमने इस सामग्री के पहले पैराग्राफ की शुरुआत में जांच की थी, तो सबसे दाहिने अंतराल पर हम "+" चिह्न लगा सकते हैं।

  अब आइए उदाहरण देखें।

  असमानता (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 लें और अंतराल विधि का उपयोग करके इसे हल करें . ऐसा करने के लिए, हमें अंश और हर के शून्य खोजने होंगे और उन्हें निर्देशांक रेखा पर अंकित करना होगा। अंश के शून्य अंक होंगे 2 , 3 , 4 , हर बिंदु 1 , 3 , 4 . आइए उन्हें समन्वय अक्ष पर डैश के साथ चिह्नित करें।

  हम हर के शून्यों को खाली बिंदुओं से चिह्नित करते हैं।

  

  चूँकि हम एक गैर-सख्त असमानता से निपट रहे हैं, हम शेष डैश को साधारण बिंदुओं से बदल देते हैं।

  

  अब अंतरालों पर बिंदु लगाते हैं। सबसे दाईं ओर का स्थान (4 , + ∞) + चिन्ह होगा।

  

  दाएं से बाएं ओर बढ़ते हुए, हम शेष अंतरालों के लिए संकेत लगाएंगे। हम निर्देशांक 4 वाले बिंदु से गुजरते हैं। यह अंश और हर दोनों का शून्य है। कुल मिलाकर ये शून्य भाव देते हैं (एक्स - 4) 2और एक्स − 4. आइए उनकी घातें 2 + 1 = 3 जोड़ें और एक विषम संख्या प्राप्त करें। इसका मतलब यह है कि इस मामले में संक्रमण के दौरान संकेत विपरीत में बदल जाता है। अंतराल (3,4) में ऋण चिह्न होगा।

  

  हम निर्देशांक 3 वाले बिंदु से होकर अंतराल (2, 3) तक जाते हैं। यह अंश और हर दोनों के लिए एक शून्य है। हमने इसे दो अभिव्यक्तियों (x - 3) 3 और के कारण प्राप्त किया (एक्स − 3) 5, जिसकी घातों का योग 3 + 5 = 8 है। एक सम संख्या प्राप्त करने से हम अंतराल के चिह्न को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।

  

  निर्देशांक 2 वाला बिंदु अंश का शून्य है। अभिव्यक्ति x - 2 की घात 1 (विषम) है। इसका मतलब यह है कि इस बिंदु से गुजरते समय संकेत को विपरीत दिशा में बदलना होगा।

  

  हमारे पास अंतिम अंतराल बचा है (− ∞ , 1) . निर्देशांक 1 वाला बिंदु हर का शून्य है। यह अभिव्यक्ति से लिया गया था (एक्स - 1) 4, सम डिग्री के साथ 4 . इसलिए, चिह्न वही रहता है. अंतिम ड्राइंग इस तरह दिखेगी:

  

  अंतराल विधि विशेष रूप से प्रभावी होती है जब किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने में बहुत अधिक काम शामिल होता है। एक उदाहरण किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता होगी

  एक्स + 3 - 3 4 3 एक्स 2 + 6 एक्स + 11 2 एक्स + 2 - 3 4 (एक्स - 1) 2 एक्स - 2 3 5 (एक्स - 12)

  अंतराल 3 - 3 4, 3 - 2 4 में किसी भी बिंदु पर।

  आइए अब अर्जित ज्ञान और कौशल को व्यवहार में लागू करना शुरू करें।

  उदाहरण 1

  असमानता को हल करें (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

  समाधान

  असमानता को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करना उचित है। अंश और हर के शून्य ज्ञात कीजिए। अंश के शून्यक 1 और -5 हैं, हर के शून्यक 7 और 1 हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करें। हम एक गैर-सख्त असमानता से निपट रहे हैं, इसलिए हम हर के शून्य को खाली बिंदुओं से चिह्नित करेंगे, और अंश के शून्य - 5 - को एक नियमित भरे हुए बिंदु से चिह्नित किया जाएगा।

  

  आइए शून्य से गुजरने पर चिह्न बदलने के नियमों का उपयोग करते हुए अंतरालों के चिह्न लगाएं। आइए सबसे दाहिने अंतराल से शुरू करें, जिसके लिए हम अंतराल से मनमाने ढंग से लिए गए बिंदु पर असमानता के बाईं ओर से अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं। हमें "+" चिन्ह मिलता है। आइए, चिह्नों को व्यवस्थित करते हुए, समन्वय रेखा पर सभी बिंदुओं पर क्रमिक रूप से आगे बढ़ें, और हमें यह मिलता है:

  

  हम चिन्ह ≤ के साथ एक गैर-सख्त असमानता के साथ काम करते हैं। इसका मतलब है कि हमें "-" चिह्न से चिह्नित स्थानों को छायांकन से चिह्नित करने की आवश्यकता है।

  

  उत्तर: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

  अधिकांश मामलों में तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए वांछित रूप में उनके प्रारंभिक परिवर्तन की आवश्यकता होती है। इसके बाद ही अंतराल विधि का प्रयोग संभव है। ऐसे परिवर्तनों को करने के लिए एल्गोरिदम की चर्चा "तर्कसंगत असमानताओं को हल करना" सामग्री में की गई है।

  आइए द्विघात त्रिपदों को असमानताओं में बदलने का एक उदाहरण देखें।

  उदाहरण 2

  असमानता का हल खोजें (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

  समाधान

  आइए देखें कि क्या असमानता संकेतन में द्विघात त्रिपदों के विभेदक वास्तव में नकारात्मक हैं। यह हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देगा कि क्या इस असमानता का रूप हमें समाधान के लिए अंतराल विधि का उपयोग करने की अनुमति देता है।

  आइए त्रिपद के लिए विभेदक की गणना करें एक्स 2 + 3 एक्स + 3: डी = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . आइए अब त्रिपद x 2 + 2 · x - 8: D ' = 1 2 - 1 · (- 8) = 9 > 0 के लिए विभेदक की गणना करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, असमानता के लिए प्रारंभिक परिवर्तन की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम त्रिपद x 2 + 2 x - 8 को इस प्रकार निरूपित करते हैं (एक्स + 4) · (एक्स − 2), और फिर असमानता को हल करने के लिए अंतराल विधि लागू करें (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

  

  उत्तर: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

  सामान्यीकृत अंतराल विधि का उपयोग फॉर्म f (x) की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है< 0 (≤ , >, ≥) , जहां f (x) एक चर के साथ एक मनमाना अभिव्यक्ति है एक्स.

  सभी क्रियाएं एक निश्चित एल्गोरिथम के अनुसार की जाती हैं। इस मामले में, सामान्यीकृत अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम उस चीज़ से थोड़ा अलग होगा जिसकी हमने पहले चर्चा की थी:

  • हम फ़ंक्शन f की परिभाषा का क्षेत्र और इस फ़ंक्शन के शून्य ढूंढते हैं;
  • समन्वय अक्ष पर सीमा बिंदुओं को चिह्नित करें;
  • फ़ंक्शन के शून्यों को संख्या रेखा पर आलेखित करें;
  • अंतरालों के चिह्न निर्धारित कर सकेंगे;
  • छायांकन लागू करें;
  • उत्तर लिखो.

  संख्या रेखा पर, अन्य बातों के अलावा, परिभाषा के क्षेत्र के अलग-अलग बिंदुओं को चिह्नित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सेट (- 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) है . इसका मतलब है कि हमें निर्देशांक - 5, 1, 3, के साथ बिंदुओं को चिह्नित करने की आवश्यकता है। 4 , 7 और 10 . अंक − 5 और 7 को खाली के रूप में दर्शाया जाएगा, बाकी को रंगीन पेंसिल से हाइलाइट किया जा सकता है ताकि उन्हें फ़ंक्शन के शून्य से अलग किया जा सके।

  गैर-सख्त असमानताओं के मामले में, फ़ंक्शन के शून्य को सामान्य (छायांकित) बिंदुओं के रूप में प्लॉट किया जाता है, और सख्त असमानताओं के मामले में - खाली बिंदुओं के रूप में। यदि शून्य परिभाषा के क्षेत्र के सीमा बिंदुओं या व्यक्तिगत बिंदुओं के साथ मेल खाते हैं, तो उन्हें असमानता के प्रकार के आधार पर, खाली या छायांकित बनाकर, काले रंग से फिर से रंगा जा सकता है।

  प्रतिक्रिया रिकॉर्ड एक संख्यात्मक सेट है जिसमें शामिल है:

  • छायांकन वाले स्थान;
  • धन चिह्न के साथ परिभाषा के क्षेत्र के अलग-अलग बिंदु, यदि हम एक असमानता से निपट रहे हैं जिसका चिह्न > या ≥ है, या ऋण चिह्न के साथ, यदि असमानता में चिह्न हैं< или ≤ .

  अब यह स्पष्ट हो गया है कि जिस एल्गोरिदम को हमने विषय की शुरुआत में प्रस्तुत किया था वह सामान्यीकृत अंतराल विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम का एक विशेष मामला है।

  आइए सामान्यीकृत अंतराल विधि का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

  उदाहरण 3

  असमानता x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 को हल करें< 0 .

  समाधान

  हम एक फलन f इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं कि f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7। आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें एफ:

  x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

  आइए अब फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम अपरिमेय समीकरण को हल करेंगे:

  एक्स 2 + 2 एक्स - 24 - 3 4 एक्स - 3 = 0

  हमें मूल x = 12 प्राप्त होता है।

  समन्वय अक्ष पर सीमा बिंदुओं को इंगित करने के लिए, हम नारंगी रंग का उपयोग करते हैं। अंक - 6, 4 भरे जाएंगे और 7 खाली छोड़ दिए जाएंगे। हम पाते हैं:

  

  आइए फ़ंक्शन के शून्य को एक खाली काले बिंदु से चिह्नित करें, क्योंकि हम सख्त असमानता के साथ काम कर रहे हैं।

  

  हम अलग-अलग अंतराल पर संकेतों का निर्धारण करते हैं। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक अंतराल से एक बिंदु लें, उदाहरण के लिए, 16 , 8 , 6 और − 8 , और उनमें फ़ंक्शन के मान की गणना करें एफ:

  एफ (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 एफ (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 एफ (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

  हम नए परिभाषित चिह्न लगाते हैं और ऋण चिह्न वाले स्थानों पर छायांकन लागू करते हैं:

  

  उत्तर "-" चिह्न के साथ दो अंतरालों का मिलन होगा: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12)।

  उत्तर में, हमने निर्देशांक - 6 के साथ एक बिंदु शामिल किया। यह फ़ंक्शन का शून्य नहीं है, जिसे हम सख्त असमानता को हल करते समय उत्तर में शामिल नहीं करेंगे, बल्कि परिभाषा के क्षेत्र का सीमा बिंदु है, जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि यह असमानता को संतुष्ट करता है।

  हमने उत्तर में बिंदु 4 को शामिल नहीं किया, जैसे हमने संपूर्ण अंतराल [4, 7) को शामिल नहीं किया। इस बिंदु पर, पूरे संकेतित अंतराल की तरह, फ़ंक्शन का मान सकारात्मक है, जो हल की जा रही असमानता को संतुष्ट नहीं करता है।

  आइए स्पष्ट समझ के लिए इसे फिर से लिखें: निम्नलिखित मामलों में रंगीन बिंदुओं को उत्तर में शामिल किया जाना चाहिए:

  • ये बिंदु रचित अंतराल का हिस्सा हैं,
  • ये बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में अलग-अलग बिंदु हैं, फ़ंक्शन के मान जिस पर हल की जा रही असमानता को संतुष्ट करते हैं।

  उत्तर: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

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