हम जानते हैं कि सीधी रेखा गति के दौरान, वेग वेक्टर की दिशा हमेशा गति की दिशा से मेल खाती है। वक्र गति के दौरान गति की दिशा और विस्थापन के बारे में क्या कहा जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम उसी तकनीक का उपयोग करेंगे जिसका उपयोग हमने पिछले अध्याय में रेक्टिलिनियर गति की तात्कालिक गति का अध्ययन करते समय किया था।

चित्र 56 एक निश्चित घुमावदार प्रक्षेपवक्र दिखाता है। आइए मान लें कि एक पिंड इसके अनुदिश बिंदु A से बिंदु B तक गति करता है।

इस मामले में, पिंड द्वारा तय किया गया पथ एक चाप A B है, और इसका विस्थापन एक वेक्टर है, बेशक, हम यह नहीं मान सकते हैं कि गति के दौरान शरीर की गति विस्थापन वेक्टर के साथ निर्देशित होती है। आइए बिंदु ए और बी (चित्र 57) के बीच तारों की एक श्रृंखला बनाएं और कल्पना करें कि शरीर की गति ठीक इन तारों के साथ होती है। उनमें से प्रत्येक पर शरीर सीधा चलता है और वेग वेक्टर को जीवा के साथ निर्देशित किया जाता है।

आइए अब हम अपने सीधे खंडों (जीवाओं) को छोटा करें (चित्र 58)। पहले की तरह, उनमें से प्रत्येक पर वेग वेक्टर को जीवा के अनुदिश निर्देशित किया जाता है। लेकिन यह स्पष्ट है कि चित्र 58 में टूटी हुई रेखा पहले से ही एक चिकने वक्र के समान है।

इसलिए, यह स्पष्ट है कि सीधे खंडों की लंबाई कम करना जारी रखते हुए, हम उन्हें बिंदुओं में खींच लेंगे और टूटी हुई रेखा एक चिकने वक्र में बदल जाएगी। इस वक्र के प्रत्येक बिंदु पर गति इस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होगी (चित्र 59)।

वक्रीय प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर किसी पिंड की गति की गति उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है।

तथ्य यह है कि वक्रीय गति के दौरान एक बिंदु की गति वास्तव में एक स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित होती है, उदाहरण के लिए, गोचनला के संचालन के अवलोकन से आश्वस्त होता है (चित्र 60)। यदि आप स्टील की छड़ के सिरों को घूमते हुए ग्राइंडस्टोन पर दबाते हैं, तो पत्थर से निकलने वाले गर्म कण चिंगारी के रूप में दिखाई देंगे। ये कण जिस गति से उड़ते हैं

पत्थर से अलग होने के क्षण में उनके पास था। यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि चिंगारी की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है जहां छड़ी पत्थर को छूती है। फिसलती हुई कार के पहियों से निकलने वाले छींटे भी स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ते हैं (चित्र 61)।

इस प्रकार, वक्रीय प्रक्षेपवक्र के विभिन्न बिंदुओं पर किसी पिंड के तात्कालिक वेग की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं, जैसा कि चित्र 62 में दिखाया गया है। वेग का परिमाण प्रक्षेपवक्र के सभी बिंदुओं पर समान हो सकता है (चित्र 62 देखें) या अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्न हो सकता है। बिंदु, समय में एक क्षण से दूसरे तक (चित्र 63)।

गति और त्वरण की अवधारणाएँ स्वाभाविक रूप से किसी भौतिक बिंदु के गतिमान होने के मामले में सामान्यीकृत होती हैं वक्ररेखीय प्रक्षेपवक्र. प्रक्षेप पथ पर गतिमान बिंदु की स्थिति त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट की जाती है आर किसी निश्चित बिंदु से इस बिंदु तक खींचा गया के बारे में, उदाहरण के लिए, निर्देशांक की उत्पत्ति (चित्र 1.2)। एक पल में चलो टीभौतिक बिंदु स्थिति में है एमत्रिज्या वेक्टर के साथ आर = आर (टी). थोड़े समय के बाद डी टी, यह स्थिति में चला जाएगा एम 1त्रिज्या के साथ - वेक्टर आर 1 = आर (टी+ डी टी). त्रिज्या - भौतिक बिंदु के वेक्टर को ज्यामितीय अंतर डी द्वारा निर्धारित वृद्धि प्राप्त होगी आर = आर 1 - आर . समय के साथ औसत गतिडी टीमात्रा कहलाती है

औसत गति दिशा वी बुध माचिसवेक्टर दिशा डी के साथ आर .

D पर औसत गति सीमा टी® 0, यानी त्रिज्या का व्युत्पन्न - वेक्टर आर समय तक

(1.9)

बुलाया सत्यया तुरंतकिसी भौतिक बिंदु की गति. वेक्टर वी निर्देशित स्पर्शरेखीयकिसी गतिमान बिंदु के प्रक्षेप पथ पर.

त्वरण ए वेग सदिश के प्रथम अवकलज के बराबर सदिश कहलाता है वी या त्रिज्या का दूसरा व्युत्पन्न - वेक्टर आर समय तक:

(1.10)

(1.11)

आइए गति और त्वरण के बीच निम्नलिखित औपचारिक सादृश्य पर ध्यान दें। एक मनमाना निश्चित बिंदु O 1 से हम वेग वेक्टर आलेखित करेंगे वी हर संभव समय पर गतिमान बिंदु (चित्र 1.3)।

वेक्टर का अंत वी बुलाया गति बिंदु. वेग बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान एक वक्र कहलाता है स्पीड होडोग्राफ.जब एक भौतिक बिंदु एक प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है, तो संबंधित वेग बिंदु होडोग्राफ के साथ चलता है।

चावल। 1.2 चित्र से भिन्न है। 1.3 केवल संकेतन द्वारा। त्रिज्या - सदिश आर वेग वेक्टर द्वारा प्रतिस्थापित वी , सामग्री बिंदु - वेग बिंदु तक, प्रक्षेपवक्र - होडोग्राफ़ तक। एक वेक्टर पर गणितीय संक्रियाएँ आर गति ज्ञात करते समय और वेक्टर के ऊपर वी जब पाया जाता है, तो त्वरण पूरी तरह से समान होता है।

रफ़्तार वी एक स्पर्शरेखीय प्रक्षेपवक्र के साथ निर्देशित। इसीलिए त्वरणए गति होडोग्राफ़ के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाएगा।ऐसा कहा जा सकता है की त्वरण होडोग्राफ़ के साथ गति बिंदु की गति की गति है. इस तरह,

किसी पिंड की वक्ररेखीय गति पर विचार करने पर हम देखेंगे कि अलग-अलग क्षणों में इसकी गति अलग-अलग होती है। यहां तक ​​कि ऐसे मामले में जहां वेग का परिमाण नहीं बदलता है, फिर भी वेग की दिशा में परिवर्तन होता है। सामान्य स्थिति में, वेग का परिमाण और दिशा दोनों बदल जाते हैं।

इस प्रकार, वक्ररेखीय गति के दौरान गति लगातार बदलती रहती है, जिससे यह गति त्वरण के साथ होती है। इस त्वरण (परिमाण और दिशा में) को निर्धारित करने के लिए, गति में परिवर्तन को एक वेक्टर के रूप में खोजना आवश्यक है, अर्थात, वेग के परिमाण में वृद्धि और उसकी दिशा में परिवर्तन का पता लगाना आवश्यक है।

चावल। 49. घुमावदार गति के दौरान गति में परिवर्तन

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक बिंदु, वक्ररेखीय रूप से घूम रहा है (चित्र 49), किसी क्षण में एक गति है, और थोड़े समय के बाद - एक गति है। गति वृद्धि वेक्टर और के बीच का अंतर है। चूँकि इन सदिशों की दिशाएँ अलग-अलग हैं, इसलिए आपको उनका सदिश अंतर लेना होगा। गति वृद्धि को विकर्ण और दूसरे पक्ष के साथ समांतर चतुर्भुज के किनारे द्वारा दर्शाए गए वेक्टर द्वारा व्यक्त किया जाएगा। त्वरण गति में वृद्धि और उस समयावधि का अनुपात है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई। इसका अर्थ है त्वरण

दिशा वेक्टर से मेल खाती है.

पर्याप्त रूप से छोटा चुनने पर, हम तात्कालिक त्वरण की अवधारणा पर पहुंचते हैं (सीएफ. § 16); जब मनमाना, वेक्टर समय की अवधि में औसत त्वरण का प्रतिनिधित्व करेगा।

वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण की दिशा वेग की दिशा से मेल नहीं खाती है, जबकि सीधीरेखीय गति के लिए ये दिशाएँ मेल खाती हैं (या विपरीत हैं)। वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण की दिशा जानने के लिए, प्रक्षेप पथ के दो करीबी बिंदुओं पर वेगों की दिशाओं की तुलना करना पर्याप्त है। चूँकि वेग प्रक्षेप पथ के स्पर्शरेखा से निर्देशित होते हैं, तो प्रक्षेप पथ के आकार से ही कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि प्रक्षेप पथ से किस दिशा में त्वरण निर्देशित है। दरअसल, चूंकि प्रक्षेप पथ के दो करीबी बिंदुओं पर गति में अंतर हमेशा उस दिशा में निर्देशित होता है जहां प्रक्षेप पथ घुमावदार होता है, इसका मतलब है कि त्वरण हमेशा प्रक्षेप पथ की समतलता की ओर निर्देशित होता है। उदाहरण के लिए, जब एक गेंद एक घुमावदार ढलान के साथ लुढ़कती है (चित्र 50), तो इसका त्वरण खंडों में होता है और इसे तीरों द्वारा दिखाए गए अनुसार निर्देशित किया जाता है, और यह इस पर निर्भर नहीं करता है कि गेंद एक दिशा से दूसरी दिशा में लुढ़कती है या विपरीत दिशा में।

चावल। 50. वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण हमेशा प्रक्षेपवक्र की समतलता की ओर निर्देशित होते हैं

चावल। 51. अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र प्राप्त करना

आइए हम एक वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक त्वरित आंदोलन है। आइए त्वरण ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, एक वृत्त में एकसमान गति के विशेष मामले के लिए त्वरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए दो करीबी स्थितियों और एक गतिमान बिंदु को लें, जो थोड़े समय के अंतर से अलग हो (चित्र 51, ए)। किसी गतिमान बिंदु के वेग परिमाण में समान होते हैं, लेकिन दिशा में भिन्न होते हैं। आइए त्रिभुज नियम (चित्र 51, बी) का उपयोग करके इन गतियों के बीच अंतर खोजें। त्रिभुज और समरूप होते हैं, समान शीर्ष कोणों वाले समद्विबाहु त्रिभुज की तरह। समय की अवधि में गति में वृद्धि को दर्शाने वाली भुजा की लंबाई को बराबर सेट किया जा सकता है, जहां वांछित त्वरण का मापांक है। इसके समान पक्ष चाप की जीवा है; चाप के छोटे होने के कारण इसकी जीवा की लंबाई चाप की लंबाई के लगभग बराबर हो सकती है, अर्थात। . आगे, ; , प्रक्षेप पथ की त्रिज्या कहां है. त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि उनमें समान भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

जहाँ से हम वांछित त्वरण का मापांक पाते हैं:

त्वरण की दिशा जीवा के लंबवत् होती है। पर्याप्त रूप से कम समय अंतराल के लिए, हम यह मान सकते हैं कि चाप की स्पर्श रेखा व्यावहारिक रूप से उसकी जीवा से मेल खाती है। इसका मतलब यह है कि त्वरण को प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के लंबवत (सामान्य रूप से) निर्देशित माना जा सकता है, अर्थात, वृत्त के केंद्र की त्रिज्या के साथ। इसलिए, ऐसे त्वरण को सामान्य या अभिकेन्द्रीय त्वरण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपवक्र एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक मनमानी घुमावदार रेखा है, तो सूत्र (27.1) में किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के निकटतम वृत्त की त्रिज्या लेनी चाहिए। इस मामले में सामान्य त्वरण की दिशा भी किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा के लंबवत होगी। यदि वक्रीय गति के दौरान त्वरण परिमाण और दिशा में स्थिर है, तो इसे उस समय की अवधि के लिए गति में वृद्धि के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई, समय की यह अवधि जो भी हो। इसका मतलब यह है कि इस मामले में त्वरण सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

स्थिर त्वरण के साथ सीधीरेखीय गति के लिए सूत्र (17.1) के समान। यहाँ प्रारंभिक क्षण में शरीर की गति है, समय के क्षण में गति है।

हम जानते हैं कि कोई भी वक्रीय गति गति के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में होती है। किसी वृत्त के चारों ओर एकसमान गति की स्थिति में यह कोण समकोण होगा। वास्तव में, उदाहरण के लिए, यदि आप एक गेंद को रस्सी से बांध कर घुमाते हैं, तो किसी भी समय गेंद की गति की दिशा रस्सी के लंबवत होती है।

रस्सी का तनाव बल, जो गेंद को वृत्त पर रखता है, रस्सी के साथ-साथ घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, यह बल शरीर को उसी दिशा में गति करने का कारण बनेगा। घूर्णन के केंद्र की ओर रेडियल रूप से निर्देशित त्वरण कहलाता है केन्द्राभिमुख त्वरण .

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का परिमाण निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

सबसे पहले, ध्यान दें कि वृत्ताकार गति एक जटिल गति है। अभिकेन्द्रीय बल के प्रभाव में, पिंड घूर्णन के केंद्र की ओर बढ़ता है और साथ ही, जड़ता द्वारा, इस केंद्र से स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ता है।

मान लीजिए कि समय t के दौरान एक पिंड, गति v के साथ समान रूप से चलते हुए, D से E की ओर चला गया है। आइए मान लें कि जिस समय शरीर बिंदु D पर था, अभिकेन्द्रीय बल उस पर कार्य करना बंद कर देगा। फिर समय t में यह स्पर्श रेखा DL पर स्थित बिंदु K पर पहुँच जाएगी। यदि शुरुआती क्षण में शरीर केवल एक सेंट्रिपेटल बल (जड़ता से नहीं चल रहा) के प्रभाव में था, तो समय टी में, समान रूप से त्वरित गति से चलते हुए, यह सीधी रेखा डीसी पर स्थित बिंदु एफ पर चला जाएगा। समय t के साथ इन दो गतियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, चाप DE के अनुदिश परिणामी गति प्राप्त होती है।

सेंट्ररपेटल फ़ोर्स

वह बल जो एक घूमते हुए पिंड को एक वृत्त पर रखता है और घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, कहलाता है सेंट्ररपेटल फ़ोर्स .

अभिकेन्द्र बल के परिमाण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो किसी भी वक्रीय गति पर लागू होता है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान a = v 2 / R को सूत्र F = ma में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अभिकेन्द्रीय बल का सूत्र प्राप्त होता है:

एफ = एमवी 2 / आर

अभिकेन्द्रीय बल का परिमाण पिंड के द्रव्यमान गुणा रैखिक वेग के वर्ग को त्रिज्या से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर होता है.

यदि शरीर का कोणीय वेग दिया गया है, तो सूत्र का उपयोग करके अभिकेन्द्रीय बल की गणना करना अधिक सुविधाजनक है: F = m? 2 आर, कहाँ? 2 आर - अभिकेन्द्रीय त्वरण।

पहले सूत्र से यह स्पष्ट है कि समान गति से, वृत्त की त्रिज्या जितनी छोटी होगी, अभिकेन्द्र बल उतना ही अधिक होगा। इसलिए, सड़क के मोड़ पर, एक गतिशील वस्तु (ट्रेन, कार, साइकिल) को वक्र के केंद्र की ओर कार्य करना चाहिए, जितना अधिक बल होगा, मोड़ उतना ही तेज होगा, अर्थात, वक्र की त्रिज्या उतनी ही छोटी होगी।

अभिकेंद्री बल रैखिक गति पर निर्भर करता है: जैसे-जैसे गति बढ़ती है, यह भी बढ़ता है। यह सभी स्केटर्स, स्कीयर और साइकिल चालकों को अच्छी तरह से पता है: आप जितनी तेज़ी से आगे बढ़ेंगे, मोड़ लेना उतना ही कठिन होगा। ड्राइवर अच्छी तरह जानते हैं कि तेज रफ्तार में कार को तेजी से मोड़ना कितना खतरनाक है।

रेखीय गति

केन्द्रापसारक तंत्र

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति

आइए किसी पिंड को क्षितिज के एक कोण पर फेंकें। इसकी गति को देखते हुए, हम देखेंगे कि शरीर पहले ऊपर उठता है, एक वक्र के साथ चलता है, फिर एक वक्र के साथ नीचे भी गिरता है।

यदि आप पानी की एक धारा को क्षितिज के विभिन्न कोणों पर निर्देशित करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि सबसे पहले, जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, धारा आगे और आगे टकराती है। क्षितिज से 45° के कोण पर (यदि आप वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखते हैं), तो सीमा सबसे बड़ी होती है। जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, सीमा घटती जाती है।

क्षितिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड के प्रक्षेप पथ का निर्माण करने के लिए, हम एक क्षैतिज सीधी रेखा OA खींचते हैं और एक दिए गए कोण पर एक सीधी रेखा OS खींचते हैं।

चयनित पैमाने पर ओएस लाइन पर हम ऐसे खंड बनाते हैं जो संख्यात्मक रूप से फेंकने की दिशा (0-1, 1-2, 2-3, 3-4) में तय किए गए पथ के बराबर होते हैं। बिंदु 1, 2, 3, आदि से, हम OA पर लंबों को नीचे लाते हैं और उन पर खंड बनाते हैं जो संख्यात्मक रूप से 1 सेकंड (1-I), 2 सेकंड (2-II) के लिए स्वतंत्र रूप से गिरने वाले शरीर द्वारा तय किए गए पथ के बराबर होते हैं। ), 3 सेकंड (3-III), आदि। हम बिंदु 0, I, II, III, IV, आदि को एक चिकने वक्र से जोड़ते हैं।

पिंड का प्रक्षेपवक्र बिंदु IV से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के सापेक्ष सममित है।

वायु प्रतिरोध उड़ान सीमा और अधिकतम उड़ान ऊंचाई दोनों को कम कर देता है, और प्रक्षेप पथ असममित हो जाता है। उदाहरण के लिए, ये गोले और गोलियों के प्रक्षेप पथ हैं। चित्र में, ठोस वक्र योजनाबद्ध रूप से हवा में एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है, और बिंदीदार वक्र वायुहीन अंतरिक्ष में दिखाता है। वायु प्रतिरोध से उड़ान सीमा में कितना परिवर्तन होता है, इसे निम्नलिखित उदाहरण से देखा जा सकता है। वायु प्रतिरोध के अभाव में, क्षैतिज से 20° के कोण पर दागा गया 76-मिमी तोप का गोला 24 किमी तक उड़ान भरेगा। हवा में यह प्रक्षेप्य लगभग 7 कि.मी. तक उड़ान भरता है।

न्यूटन का तीसरा नियम

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति

आंदोलनों की स्वतंत्रता

कोई भी वक्रीय गति एक जटिल गति है जिसमें जड़ता द्वारा गति और शरीर की गति के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में गति शामिल होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया जा सकता है।

आइए मान लें कि गेंद मेज के चारों ओर समान रूप से और सीधी रेखा में चलती है। जब गेंद मेज से लुढ़कती है, तो उसका वजन मेज के दबाव बल से संतुलित नहीं होता है और जड़ता द्वारा, एक समान और रैखिक गति बनाए रखते हुए, एक साथ गिरना शुरू हो जाता है। गतिविधियों के योग के परिणामस्वरूप - जड़ता द्वारा एकसमान सीधा और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में समान रूप से त्वरित - गेंद एक घुमावदार रेखा के साथ चलती है।

यह प्रयोगात्मक रूप से दिखाया जा सकता है कि ये आंदोलन एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

चित्र में एक स्प्रिंग दिखाया गया है, जो हथौड़े के प्रहार के नीचे झुककर, एक गेंद को क्षैतिज दिशा में गति में सेट कर सकता है और साथ ही दूसरी गेंद को छोड़ सकता है, ताकि वे दोनों एक ही क्षण में चलना शुरू कर सकें : पहला वक्र के अनुदिश, दूसरा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर। दोनों गेंदें एक ही समय में फर्श पर गिरेंगी; इसलिए, दोनों गेंदों का गिरने का समय समान है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गेंद की गति इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि गेंद शुरुआती क्षण में आराम की स्थिति में थी या क्षैतिज दिशा में घूम रही थी।

यह प्रयोग यांत्रिकी में एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु को दर्शाता है, जिसे कहा जाता है आंदोलनों की स्वतंत्रता का सिद्धांत.

एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति

वक्रीय गति के सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकारों में से एक एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति है। उदाहरण के लिए, उड़ने वाले पहियों के हिस्से, पृथ्वी की सतह पर बिंदु पृथ्वी के दैनिक घूर्णन के दौरान एक वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, आदि।

आइए हम उन मात्राओं का परिचय दें जो इस आंदोलन की विशेषता बताती हैं। आइए ड्राइंग को देखें. मान लीजिए कि जब कोई पिंड घूमता है, तो समय t के दौरान उसका एक बिंदु A से B की ओर गति करता है। बिंदु A को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या एक कोण से घूमती है? (ग्रीक "फी")। किसी बिंदु के घूमने की गति को कोण अनुपात के परिमाण द्वारा दर्शाया जा सकता है? समय t के अनुसार, अर्थात ? /टी।

कोणीय वेग

गतिमान बिंदु को घूर्णन के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या के घूर्णन कोण और उस समयावधि का अनुपात, जिसके दौरान यह घूर्णन होता है, कहलाता है कोणीय वेग.

कोणीय वेग को ग्रीक अक्षर से निरूपित करें? ("ओमेगा"), आप लिख सकते हैं:

? = ? /टी

कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में घूर्णन के कोण के बराबर है।

एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, कोणीय वेग एक स्थिर मात्रा है।

कोणीय वेग की गणना करते समय, घूर्णन कोण को आमतौर पर रेडियन में मापा जाता है। रेडियन एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई उस चाप की त्रिज्या के बराबर होती है।

गति के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत पिंडों की गति

सीधीरेखीय गति पर विचार करने पर यह ज्ञात हुआ कि यदि किसी पिंड पर गति की दिशा में कोई बल कार्य करता है तो पिंड की गति सीधीरेखीय ही रहेगी। केवल गति बदलेगी. इसके अलावा, यदि बल की दिशा गति की दिशा से मेल खाती है, तो गति सीधी और त्वरित होगी। बल की विपरीत दिशा की स्थिति में गति सीधी और धीमी होगी। ये हैं, उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर फेंके गए किसी पिंड की गति और ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर फेंके गए शरीर की गति।

आइए अब विचार करें कि वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में कोई पिंड कैसे गति करेगा।

आइए पहले अनुभव को देखें। आइए एक चुंबक के पास स्टील की गेंद की गति का एक प्रक्षेप पथ बनाएं। हमने तुरंत देखा कि चुंबक से दूर गेंद एक सीधी रेखा में चली गई, लेकिन चुंबक के पास आने पर, गेंद का प्रक्षेप पथ मुड़ गया और गेंद एक वक्र के साथ चली गई। उसकी गति की दिशा लगातार बदल रही थी. इसका कारण गेंद पर चुम्बक की क्रिया थी।

यदि हम एक सीधी रेखा में गतिमान वस्तु को धक्का देते हैं, उससे बंधे धागे को खींचते हैं, इत्यादि, तब तक हम एक सीधी रेखा में गतिमान पिंड को घुमा सकते हैं, जब तक कि बल को पिंड की गति की गति के कोण पर निर्देशित किया जाता है।

तो, किसी पिंड की वक्ररेखीय गति पिंड के वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत होती है।

शरीर पर लगने वाले बल की दिशा और परिमाण के आधार पर, वक्रीय गतियाँ बहुत विविध हो सकती हैं। वक्ररेखीय गतियों का सबसे सरल प्रकार एक वृत्त, परवलय और दीर्घवृत्त में गतियाँ हैं।

अभिकेन्द्रीय बल की क्रिया के उदाहरण

कुछ मामलों में, अभिकेन्द्रीय बल एक वृत्त में घूम रहे किसी पिंड पर कार्य करने वाले दो बलों का परिणाम होता है।

आइए ऐसे कुछ उदाहरण देखें.

1. एक कार अवतल पुल पर v गति से चल रही है, कार का द्रव्यमान t है, और पुल की वक्रता त्रिज्या R है। पुल के निम्नतम बिंदु पर कार द्वारा लगाए गए दबाव का बल क्या है?

आइए सबसे पहले यह स्थापित करें कि कार पर कौन सी ताकतें कार्य करती हैं। ऐसे दो बल हैं: कार का वजन और कार पर पुल का दबाव बल। (हम इसमें घर्षण बल और इसके बाद के सभी विजेताओं को विचार से बाहर रखते हैं)।

जब कार स्थिर होती है, तो ये बल, परिमाण में समान और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होने के कारण, एक दूसरे को संतुलित करते हैं।

जब एक कार किसी पुल पर चलती है, तो, एक वृत्त में घूमने वाले किसी भी पिंड की तरह, उस पर एक अभिकेन्द्रीय बल कार्य करता है। इस शक्ति का स्रोत क्या है? इस बल का स्रोत केवल कार पर पुल की क्रिया ही हो सकती है। वह बल Q जिसके साथ पुल चलती कार पर दबाव डालता है, उसे न केवल कार P के वजन को संतुलित करना चाहिए, बल्कि उसे एक सर्कल में घूमने के लिए भी मजबूर करना चाहिए, जिसके लिए आवश्यक सेंट्रिपेटल बल F का निर्माण हो सकता है बल P और Q, क्योंकि यह एक गतिशील वाहन और एक पुल के बीच परस्पर क्रिया का परिणाम है।

किनेमेटिक्स इस गति का कारण बनने वाले कारणों की पहचान किए बिना गति का अध्ययन करता है। किनेमेटिक्स यांत्रिकी की एक शाखा है। किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य समय में बिंदुओं या पिंडों की गति की स्थिति और विशेषताओं का गणितीय निर्धारण है।

मूल गतिक मात्राएँ:

- कदम() -आरंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाला एक वेक्टर।

आर - त्रिज्या वेक्टर, अंतरिक्ष में एमटी की स्थिति निर्धारित करता है।

- रफ़्तार- पथ और समय का अनुपात .

- पथ- बिंदुओं का समूह जिससे होकर शरीर गुजरा।

- त्वरण -गति के परिवर्तन की दर, यानी गति का पहला व्युत्पन्न।

2. घुमावदार गति के दौरान त्वरण: सामान्य और स्पर्शरेखीय त्वरण। सपाट घुमाव. कोणीय वेग, त्वरण.

वक्ररेखीय गतिएक गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है। वक्ररेखीय गति का एक उदाहरण ग्रहों की गति, डायल के साथ घड़ी की सुई का अंत आदि है।

वक्ररेखीय गति- यह सदैव त्वरित गति है। अर्थात्, वक्रीय गति के दौरान त्वरण हमेशा मौजूद रहता है, भले ही वेग मॉड्यूल नहीं बदलता है, लेकिन केवल वेग की दिशा बदलती है।

प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन - यह स्पर्शरेखा त्वरण है:

जहां 𝛖 τ , 𝛖 0 क्रमशः समय t 0 + Δt और t 0 पर गति मान हैं। स्पर्शरेखीय त्वरणप्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर, दिशा शरीर की गति की गति की दिशा से मेल खाती है या इसके विपरीत है।

सामान्य त्वरणप्रति इकाई समय दिशा में गति में परिवर्तन है:

सामान्य त्वरणप्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश (घूर्णन अक्ष की ओर) निर्देशित। सामान्य त्वरण वेग की दिशा के लंबवत होता है।

पूर्ण त्वरणशरीर की समान रूप से परिवर्तनशील वक्ररेखीय गति के साथ यह बराबर है:

-कोणीय वेगवह कोण दर्शाता है जिससे एक बिंदु प्रति इकाई समय में एक वृत्त में एकसमान गति के दौरान घूमता है। एसआई इकाई रेड/एस है।

सपाट घुमावएक तल में शरीर बिंदुओं के सभी वेग सदिशों का घूमना है।

3. किसी भौतिक बिंदु के वेग सदिशों और कोणीय वेग के बीच संबंध। सामान्य, स्पर्शरेखा और पूर्ण त्वरण।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण- यह गति प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। स्पर्शरेखीय त्वरण वक्ररेखीय गति के दौरान गति मापांक में परिवर्तन की विशेषता बताता है।

सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरणशरीर के प्रक्षेप पथ पर किसी दिए गए बिंदु पर गति के प्रक्षेप पथ के सामान्य के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। अर्थात्, सामान्य त्वरण वेक्टर गति की रैखिक गति के लंबवत है (चित्र 1.10 देखें)। सामान्य त्वरण दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है और इसे अक्षर n द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य त्वरण वेक्टर प्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है।

पूर्ण त्वरणवक्रीय गति में, इसमें वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण होते हैं और यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।