संख्याओं के संभावित संयोजनों की संख्या कैसे गिनें। कॉम्बिनेटरिक्स: बुनियादी नियम और सूत्र

साहचर्य

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो दिए गए नियमों के अनुसार एक निश्चित मूल सेट से तत्वों को चुनने और व्यवस्थित करने की समस्याओं का अध्ययन करती है। यादृच्छिक घटनाओं की संभावना की गणना करने और तदनुसार, यादृच्छिक चर के वितरण के नियम प्राप्त करने के लिए कॉम्बिनेटरिक्स के सूत्रों और सिद्धांतों का उपयोग संभाव्यता सिद्धांत में किया जाता है। यह, बदले में, हमें बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करने की अनुमति देता है, जो प्रकृति और प्रौद्योगिकी में प्रकट होने वाले सांख्यिकीय पैटर्न की सही समझ के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

कॉम्बिनेटरिक्स में जोड़ और गुणा के नियम

योग नियम. यदि दो क्रियाएं ए और बी परस्पर अनन्य हैं, और क्रिया ए को एम तरीकों से और बी को एन तरीकों से किया जा सकता है, तो इनमें से एक क्रिया (या तो ए या बी) एन + एम तरीकों से की जा सकती है।

उदाहरण 1।

कक्षा में 16 लड़के और 10 लड़कियाँ हैं। आप एक अधिकारी की ड्यूटी कितने प्रकार से लगा सकते हैं?

समाधान

या तो एक लड़के या लड़की को ड्यूटी पर नियुक्त किया जा सकता है, यानी। ड्यूटी अधिकारी 16 लड़कों में से कोई भी या 10 लड़कियों में से कोई भी हो सकता है।

योग नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि एक कर्तव्य अधिकारी को 16+10=26 तरीकों से नियुक्त किया जा सकता है।

प्रॉडक्ट नियम। मान लीजिए कि k क्रियाएँ क्रमिक रूप से निष्पादित की जानी आवश्यक हैं। यदि पहली क्रिया n 1 तरीकों से की जा सकती है, दूसरी क्रिया n 2 तरीकों से, तीसरी क्रिया n 3 तरीकों से की जा सकती है, और इसी तरह kवीं क्रिया तक n k तरीकों से की जा सकती है, तो सभी k क्रियाएं एक साथ की जा सकती हैं :

तौर तरीकों।

उदाहरण 2.

कक्षा में 16 लड़के और 10 लड़कियाँ हैं। दो ड्यूटी अधिकारी कितने प्रकार से नियुक्त किये जा सकते हैं?

समाधान

किसी लड़के या लड़की को ड्यूटी पर पहले व्यक्ति के रूप में नियुक्त किया जा सकता है। क्योंकि कक्षा में 16 लड़के और 10 लड़कियाँ हैं, तो आप 16+10=26 तरीकों से पहले व्यक्ति को ड्यूटी पर नियुक्त कर सकते हैं।

पहला कर्तव्य अधिकारी चुनने के बाद, हम शेष 25 लोगों में से दूसरे को चुन सकते हैं, अर्थात। 25 तरीके.

गुणन प्रमेय के अनुसार, दो परिचारकों को 26*25=650 तरीकों से चुना जा सकता है।

दोहराव के बिना संयोजन. दोहराव के साथ संयोजन

कॉम्बिनेटरिक्स में एक क्लासिक समस्या दोहराव के बिना संयोजनों की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तौर तरीकों कर सकना चुनना मैं वहां से हूँ n विभिन्न आइटम?

उदाहरण 3.

आपको उपहार के रूप में उपलब्ध 10 विभिन्न पुस्तकों में से 4 का चयन करना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान

हमें 10 में से 4 किताबें चुननी हैं, और पसंद का क्रम कोई मायने नहीं रखता। इस प्रकार, आपको 4 में से 10 तत्वों के संयोजन की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है:

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दोहराव के साथ संयोजनों की संख्या की समस्या पर विचार करें: प्रत्येक n विभिन्न प्रकार की समान वस्तुएँ हैं; कितने तौर तरीकों कर सकना चुनना मैं वहां से हूँ इन (एन*आर) आइटम?

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उदाहरण 4.

पेस्ट्री की दुकान ने 4 प्रकार के केक बेचे: नेपोलियन, एक्लेयर्स, शॉर्टब्रेड और पफ पेस्ट्री। आप कितने तरीकों से 7 केक खरीद सकते हैं?

समाधान

क्योंकि 7 केक के बीच एक ही प्रकार के केक हो सकते हैं, फिर 7 केक खरीदने के तरीकों की संख्या 7 से 4 की पुनरावृत्ति वाले संयोजनों की संख्या से निर्धारित होती है।

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दोहराव के बिना प्लेसमेंट. दोहराव के साथ प्लेसमेंट

कॉम्बिनेटरिक्स में एक क्लासिक समस्या दोहराव के बिना प्लेसमेंट की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तौर तरीकों कर सकना चुनना और डाक द्वारा मैं अलग हूं स्थानों मैं वहां से हूँ n अलग सामान?

उदाहरण 5.

कुछ अखबार 12 पेज के होते हैं. इस अखबार के पन्नों पर चार तस्वीरें लगाना जरूरी है. यदि समाचार पत्र के किसी भी पृष्ठ पर एक से अधिक तस्वीरें न हों तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान।

इस कार्य में, हम केवल तस्वीरों का चयन नहीं करते हैं, बल्कि उन्हें अखबार के कुछ पन्नों पर रखते हैं, और अखबार के प्रत्येक पृष्ठ पर एक से अधिक तस्वीरें नहीं होनी चाहिए। इस प्रकार, समस्या 4 तत्वों में से 12 तत्वों की पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट की संख्या निर्धारित करने की शास्त्रीय समस्या तक कम हो गई है:

इस प्रकार, 12 पृष्ठों पर 4 फ़ोटो को 11,880 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

इसके अलावा कॉम्बिनेटरिक्स में एक क्लासिक समस्या दोहराव के साथ प्लेसमेंट की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तौर तरीकों कर सकना आपबीसेना और डाक द्वारा मैं अलग हूं स्थानों मैं वहां से हूँ n आइटम,साथतैयार कौन वहाँ है जो उसी?

उदाहरण 6.

लड़के के पास अभी भी उसके बोर्ड गेम सेट से नंबर 1, 3 और 7 वाले टिकट थे। उसने एक कैटलॉग बनाने के लिए सभी किताबों पर पांच अंकों की संख्या डालने के लिए इन टिकटों का उपयोग करने का फैसला किया। एक लड़का पाँच अंकों की कितनी अलग-अलग संख्याएँ बना सकता है?

पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन. दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन

कॉम्बिनेटरिक्स में एक क्लासिक समस्या पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन की संख्या की समस्या है, जिसकी सामग्री को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: कितने तौर तरीकों कर सकना डाक एन विभिन्न सामान पर n अलग स्थानों?

उदाहरण 7.

आप "विवाह" शब्द के अक्षरों से कितने चार अक्षर वाले "शब्द" बना सकते हैं?

समाधान

सामान्य जनसंख्या "विवाह" शब्द के 4 अक्षर (बी, पी, ए, के) हैं। "शब्दों" की संख्या इन 4 अक्षरों के क्रमपरिवर्तन से निर्धारित होती है, अर्थात।

उस स्थिति के लिए जब चयनित n तत्वों में समान तत्व हों (वापसी के साथ चयन), पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या की समस्या को प्रश्न द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: n विभिन्न स्थानों पर स्थित n वस्तुओं को कितने तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है यदि n वस्तुओं में k विभिन्न प्रकार (k) हैं< n), т. е. есть одинаковые предметы.

उदाहरण 8.

"मिसिसिपी" शब्द के अक्षरों से कितने अलग-अलग अक्षर संयोजन बनाए जा सकते हैं?

समाधान

कुल 9 अक्षरों में 1 अक्षर "m", 4 अक्षर "i", 3 अक्षर "c" और 1 अक्षर "p" है। इसलिए, पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या बराबर है

"कॉम्बिनेटरिक्स" अनुभाग के लिए पृष्ठभूमि सारांश

इस लेख में हम गणित की एक विशेष शाखा कॉम्बिनेटरिक्स के बारे में बात करेंगे। सूत्र, नियम, समस्या समाधान के उदाहरण - यह सब आप यहां लेख को अंत तक पढ़कर पा सकते हैं।

तो यह अनुभाग क्या है? कॉम्बिनेटरिक्स किसी भी वस्तु को गिनने के मुद्दे से संबंधित है। लेकिन इस मामले में, वस्तुएँ प्लम, नाशपाती या सेब नहीं हैं, बल्कि कुछ और हैं। कॉम्बिनेटरिक्स हमें किसी घटना की संभावना खोजने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, ताश खेलते समय - इसकी क्या संभावना है कि प्रतिद्वंद्वी के पास तुरुप का पत्ता है? या यह उदाहरण: इसकी क्या प्रायिकता है कि आपको बीस कंचों के थैले में से एक सफेद मार्बल मिलेगा? इस प्रकार की समस्या के लिए हमें कम से कम गणित की इस शाखा की मूल बातें जानने की आवश्यकता है।

संयुक्त विन्यास

कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाओं और सूत्रों के मुद्दे पर विचार करते हुए, हम कॉम्बिनेटरी कॉन्फ़िगरेशन पर ध्यान देने के अलावा कुछ नहीं कर सकते। इनका उपयोग न केवल तैयार करने के लिए, बल्कि विभिन्न उदाहरणों को हल करने के लिए भी किया जाता है:

• आवास;
• पुनर्व्यवस्था;
• संयोजन;
• संख्या रचना;
• किसी संख्या को विभाजित करना.

हम पहले तीन के बारे में बाद में अधिक विस्तार से बात करेंगे, लेकिन हम इस खंड में रचना और विभाजन पर ध्यान देंगे। जब वे किसी निश्चित संख्या (उदाहरण के लिए, ए) की संरचना के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब संख्या ए को कुछ सकारात्मक संख्याओं के क्रमबद्ध योग के रूप में प्रस्तुत करना होता है। और विभाजन एक अव्यवस्थित योग है।

धारा

इससे पहले कि हम सीधे कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों और समस्याओं पर विचार करें, इस तथ्य पर ध्यान देना उचित है कि गणित की अन्य शाखाओं की तरह, कॉम्बिनेटरिक्स के भी अपने उपखंड हैं। इसमे शामिल है:

• गणनात्मक;
• संरचनात्मक;
• चरम;
• रैमसे सिद्धांत;
• संभाव्य;
• टोपोलॉजिकल;
• अनन्त.

पहले मामले में, हम गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स के बारे में बात कर रहे हैं; समस्याएं सेट के तत्वों द्वारा गठित विभिन्न कॉन्फ़िगरेशन की गणना या गणना पर विचार करती हैं। एक नियम के रूप में, इन सेटों पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं (विशिष्टता, अविभाज्यता, पुनरावृत्ति की संभावना, और इसी तरह)। और इन विन्यासों की संख्या की गणना जोड़ या गुणा के नियमों का उपयोग करके की जाती है, जिसके बारे में हम थोड़ी देर बाद बात करेंगे। स्ट्रक्चरल कॉम्बिनेटरिक्स में ग्राफ़ और मैट्रोइड्स के सिद्धांत शामिल हैं। एक्सट्रीमल कॉम्बिनेटरिक्स समस्या का एक उदाहरण यह है कि ग्राफ का सबसे बड़ा आयाम क्या है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है... चौथे पैराग्राफ में, हमने रैमसे सिद्धांत का उल्लेख किया है, जो यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन में नियमित संरचनाओं की उपस्थिति का अध्ययन करता है। संभाव्य संयोजन विज्ञान प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम है - क्या संभावना है कि किसी दिए गए सेट में एक निश्चित संपत्ति है। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स टोपोलॉजी में तरीकों को लागू करता है। और अंत में, सातवां बिंदु - इनफ़िनिटरी कॉम्बिनेटरिक्स अनंत सेटों के लिए कॉम्बिनेटरिक्स विधियों के अनुप्रयोग का अध्ययन करता है।

अतिरिक्त नियम

कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों में से आप काफी सरल फ़ॉर्मूले पा सकते हैं, जिनसे हम काफी लंबे समय से परिचित हैं। एक उदाहरण योग नियम है. मान लीजिए कि हमें दो क्रियाएं (सी और ई) दी गई हैं, यदि वे परस्पर अनन्य हैं, तो क्रिया सी को कई तरीकों से किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, ए), और क्रिया ई को बी-तरीके से किया जा सकता है, तो उनमें से कोई भी ( C या E) को a + b तरीकों से किया जा सकता है।

सिद्धांत रूप में, इसे समझना काफी कठिन है, हम एक सरल उदाहरण का उपयोग करके पूरी बात बताने का प्रयास करेंगे। आइए एक कक्षा में छात्रों की औसत संख्या लें - मान लें कि यह पच्चीस है। इनमें पंद्रह लड़कियां और दस लड़के हैं। प्रत्येक कक्षा के लिए प्रतिदिन एक व्यक्ति की ड्यूटी लगाई जाती है। आज क्लास मॉनिटर नियुक्त करने के कितने तरीके हैं? समस्या का समाधान काफी सरल है; हम जोड़ नियम का सहारा लेंगे। समस्या का पाठ यह नहीं कहता कि केवल लड़के या केवल लड़कियाँ ही ड्यूटी पर हो सकती हैं। इसलिए, यह पंद्रह लड़कियों में से कोई भी या दस लड़कों में से कोई भी हो सकता है। योग नियम को लागू करने पर, हमें एक काफी सरल उदाहरण मिलता है जिसे प्राथमिक विद्यालय का छात्र आसानी से संभाल सकता है: 15 + 10। गिनने के बाद, हमें उत्तर मिलता है: पच्चीस। अर्थात्, आज के लिए किसी वर्ग को ड्यूटी पर नियुक्त करने के केवल पच्चीस तरीके हैं।

गुणन नियम

कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्रों में गुणन नियम भी शामिल है। आइए सिद्धांत से शुरू करें। मान लीजिए कि हमें कई क्रियाएं करने की आवश्यकता है (ए): पहली क्रिया 1 तरीकों से की जाती है, दूसरी - 2 तरीकों से, तीसरी - 3 तरीकों से, और इसी तरह अंतिम ए-क्रिया तक, 3 तरीकों से की जाती है। फिर ये सभी क्रियाएं (जिनका हमारे पास कुल है) एन तरीकों से की जा सकती हैं। अज्ञात एन की गणना कैसे करें? सूत्र इसमें हमारी सहायता करेगा: N = c1 * c2 * c3 *…* ca.

फिर, सिद्धांत में कुछ भी स्पष्ट नहीं है, तो आइए गुणन नियम को लागू करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करें। चलिए पच्चीस लोगों की वही कक्षा लेते हैं, जिसमें पंद्रह लड़कियाँ और दस लड़के हैं। केवल इस बार हमें ड्यूटी पर दो लोगों को चुनने की जरूरत है। वे या तो सिर्फ लड़के या लड़कियां, या एक लड़का और एक लड़की हो सकते हैं। आइए समस्या के प्राथमिक समाधान की ओर आगे बढ़ें। हम ड्यूटी पर पहले व्यक्ति को चुनते हैं, जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ में तय किया था, हमें पच्चीस संभावित विकल्प मिलते हैं। ड्यूटी पर दूसरा व्यक्ति बचे हुए लोगों में से कोई भी हो सकता है। हमारे पास पच्चीस छात्र थे, हमने एक को चुना, जिसका मतलब है कि ड्यूटी पर दूसरा व्यक्ति शेष चौबीस लोगों में से कोई भी हो सकता है। अंत में, हम गुणन नियम लागू करते हैं और पाते हैं कि ड्यूटी पर तैनात दो अधिकारियों को छह सौ तरीकों से चुना जा सकता है। हमने यह संख्या पच्चीस और चौबीस को गुणा करके प्राप्त की।

विपर्यय

अब हम एक और कॉम्बिनेटरिक्स फॉर्मूला देखेंगे। लेख के इस भाग में हम क्रमपरिवर्तन के बारे में बात करेंगे। हम एक उदाहरण का उपयोग करके समस्या पर तुरंत विचार करने का प्रस्ताव करते हैं। आइए बिलियर्ड गेंदें लें, हमारे पास उनकी nवीं संख्या है। हमें यह गिनने की ज़रूरत है कि उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के लिए कितने विकल्प हैं, यानी एक क्रमबद्ध सेट बनाने के लिए।

आइए शुरू करें, यदि हमारे पास गेंदें नहीं हैं, तो हमारे पास प्लेसमेंट के लिए शून्य विकल्प भी हैं। और यदि हमारे पास एक गेंद है, तो व्यवस्था भी वही है (गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: P1 = 1)। दोनों गेंदों को दो अलग-अलग तरीकों से रखा जा सकता है: 1,2 और 2,1। इसलिए, P2 = 2. तीन गेंदों को छह तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. क्या होगा अगर ऐसी गेंदें तीन नहीं, बल्कि दस या पंद्रह हों? सभी संभावित विकल्पों को सूचीबद्ध करने में बहुत लंबा समय लगेगा, तब कॉम्बिनेटरिक्स हमारी सहायता के लिए आता है। क्रमपरिवर्तन सूत्र हमें उस प्रश्न का उत्तर खोजने में मदद करेगा जिसमें हमारी रुचि है। पीएन = एन *पी (एन-1)। यदि हम सूत्र को सरल बनाने का प्रयास करें, तो हमें मिलता है: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. और यह पहली प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है। इस संख्या को फैक्टोरियल कहा जाता है, और इसे n के रूप में दर्शाया जाता है!

आइए समस्या पर विचार करें. हर सुबह काउंसलर अपने दस्ते (बीस लोगों) को इकट्ठा करता है। टीम में तीन सबसे अच्छे दोस्त हैं - कोस्त्या, साशा और लेशा। इसकी क्या प्रायिकता है कि वे एक दूसरे के बगल में खड़े होंगे? प्रश्न का उत्तर खोजने के लिए, आपको "अच्छे" परिणाम की संभावना को परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करना होगा। क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या 20 है! = 2.5 क्विंटिलियन. "अच्छे" परिणामों की संख्या कैसे गिनें? आइए मान लें कि कोस्त्या, साशा और लेशा एक सुपरमैन हैं। फिर हमारे पास केवल अठारह विषय हैं। इस मामले में क्रमपरिवर्तन की संख्या 18 = 6.5 क्वाड्रिलियन है। इस सब के साथ, कोस्त्या, साशा और लेशा मनमाने ढंग से अपने अविभाज्य तीन में एक दूसरे के साथ आगे बढ़ सकते हैं, और वह 3 और हैं! = 6 विकल्प. इसका मतलब है कि हमारे पास कुल 18 "अच्छी" व्यवस्थाएँ हैं! *3! हमें बस वांछित संभाव्यता ज्ञात करनी है: (18! *3!)/20! जो लगभग 0.016 के बराबर है. यदि इसे प्रतिशत में बदलें तो यह मात्र 1.6% ही निकलता है।

आवास

अब हम एक और बहुत ही महत्वपूर्ण और आवश्यक कॉम्बिनेटरिक्स फॉर्मूला देखेंगे। प्लेसमेंट हमारा अगला अंक है, जिस पर हम आपको लेख के इस भाग में विचार करने के लिए आमंत्रित करते हैं। हम जटिलताओं के लिए जा रहे हैं. मान लीजिए कि हम संपूर्ण समुच्चय (n) से नहीं, बल्कि छोटे समुच्चय (m) से संभावित क्रमपरिवर्तन पर विचार करना चाहते हैं। अर्थात्, हम m द्वारा n वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन पर विचार कर रहे हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्रों को न केवल याद रखना चाहिए, बल्कि समझना भी चाहिए। भले ही वे अधिक जटिल हो जाते हैं, क्योंकि हमारे पास एक नहीं, बल्कि दो पैरामीटर हैं। मान लीजिए कि m = 1, फिर A = 1, m = 2, फिर A = n * (n - 1)। यदि हम सूत्र को और सरल बनाते हैं और फैक्टोरियल का उपयोग करके अंकन पर स्विच करते हैं, तो हमें एक पूरी तरह से संक्षिप्त सूत्र मिलेगा: ए = एन! / (एन - एम)!

संयोजन

हमने उदाहरणों के साथ लगभग सभी बुनियादी कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों की समीक्षा की है। आइए अब बुनियादी कॉम्बिनेटरिक्स पाठ्यक्रम पर विचार करने के अंतिम चरण पर आगे बढ़ें - संयोजनों को जानना। अब हम अपने पास मौजूद n में से m आइटम चुनेंगे, और हम हर संभव तरीके से सब कुछ चुनेंगे। फिर यह प्लेसमेंट से किस प्रकार भिन्न है? हम आदेश को ध्यान में नहीं रखेंगे. यह अव्यवस्थित सेट एक संयोजन होगा.

आइए हम तुरंत संकेतन का परिचय दें: C. हम n में से m गेंदों का स्थान लेते हैं। हम ऑर्डर पर ध्यान देना बंद कर देते हैं और बार-बार संयोजन दोहराने लगते हैं। संयोजनों की संख्या प्राप्त करने के लिए हमें प्लेसमेंट की संख्या को m से विभाजित करना होगा! (एम फैक्टोरियल)। यानी सी = ए/एम! इस प्रकार, n गेंदों में से चयन करने के केवल कुछ ही तरीके हैं, जो लगभग सभी को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर है। इसके लिए एक तार्किक अभिव्यक्ति है: थोड़ा सा चुनना लगभग हर चीज़ को बाहर फेंकने के समान है। इस बिंदु पर यह उल्लेख करना भी महत्वपूर्ण है कि आधी वस्तुओं का चयन करने का प्रयास करते समय संयोजनों की अधिकतम संख्या प्राप्त की जा सकती है।

किसी समस्या को हल करने के लिए सूत्र कैसे चुनें?

हमने कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्रों की विस्तार से जांच की: प्लेसमेंट, क्रमपरिवर्तन और संयोजन। अब हमारा कार्य कॉम्बिनेटरिक्स समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र के चयन को सुविधाजनक बनाना है। आप निम्नलिखित काफी सरल योजना का उपयोग कर सकते हैं:

1. अपने आप से पूछें: क्या समस्या के पाठ में तत्वों को रखे जाने के क्रम को ध्यान में रखा गया है?
2. यदि उत्तर नहीं है, तो संयोजन सूत्र (C = n! / (m! * (n - m)!)) का उपयोग करें।
3. यदि उत्तर नहीं है, तो एक और प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: क्या संयोजन में सभी तत्व शामिल हैं?
4. यदि उत्तर हाँ है, तो क्रमपरिवर्तन सूत्र (पी = एन!) का उपयोग करें।
5. यदि उत्तर नहीं है, तो प्लेसमेंट फॉर्मूला (ए = एन! / (एन - एम)!) का उपयोग करें।

उदाहरण

हमने कॉम्बिनेटरिक्स के तत्वों, सूत्रों और कुछ अन्य मुद्दों पर गौर किया। अब आइए वास्तविक समस्या पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि आपके सामने एक कीवी, एक संतरा और एक केला है।

प्रश्न एक: उन्हें कितने तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है? ऐसा करने के लिए, हम क्रमपरिवर्तन सूत्र का उपयोग करेंगे: पी = 3! = 6 तरीके.

प्रश्न दो: आप एक फल को कितने तरीकों से चुन सकते हैं? यह स्पष्ट है, हमारे पास केवल तीन विकल्प हैं - कीवी, संतरा या केला चुनें, लेकिन आइए संयोजन सूत्र लागू करें: सी = 3! / (2! *1!) = 3.

प्रश्न तीन: आप कितने तरीकों से दो फल चुन सकते हैं? हमारे पास विकल्प ही क्या हैं? कीवी और संतरा; कीवी और केला; संतरा और केला. यानी, तीन विकल्प हैं, लेकिन संयोजन सूत्र का उपयोग करके इसे जांचना आसान है: सी = 3! / (1! *2!) = 3

प्रश्न चार: आप तीन फलों को कितने तरीकों से चुन सकते हैं? जैसा कि आप देख सकते हैं, तीन फल चुनने का केवल एक ही तरीका है: कीवी, संतरा और केला लें। सी = 3! / (0! * 3!) = 1.

प्रश्न पाँच: आप कितने तरीकों से कम से कम एक फल चुन सकते हैं? इस शर्त का मतलब है कि हम एक, दो या तीनों फल ले सकते हैं। इसलिए, हम C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7 जोड़ते हैं। यानी, हमारे पास टेबल से कम से कम एक फल लेने के सात तरीके हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो इस सवाल का अध्ययन करती है कि दी गई वस्तुओं से कुछ शर्तों के अधीन कितने अलग-अलग संयोजन बनाए जा सकते हैं। यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए कॉम्बिनेटरिक्स की मूल बातें बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि यह वे हैं जो हमें घटनाओं के विकास के लिए विभिन्न परिदृश्यों की मौलिक रूप से संभावित संख्या की गणना करने की अनुमति देते हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स का मूल सूत्र

मान लीजिए कि तत्वों के k समूह हैं, और i-वें समूह में n i तत्व शामिल हैं। आइए प्रत्येक समूह से एक तत्व का चयन करें। फिर जिन तरीकों से ऐसा विकल्प चुना जा सकता है, उनकी कुल संख्या N, संबंध N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k द्वारा निर्धारित की जाती है।

उदाहरण 1।आइये इस नियम को एक सरल उदाहरण से समझाते हैं। मान लीजिए कि तत्वों के दो समूह हैं, और पहले समूह में n 1 तत्व हैं, और दूसरे में n 2 तत्व हैं। इन दो समूहों से तत्वों के कितने अलग-अलग जोड़े बनाए जा सकते हैं, ताकि जोड़े में प्रत्येक समूह से एक तत्व शामिल हो? मान लीजिए कि हमने पहले समूह से पहला तत्व लिया और, उसे बदले बिना, सभी संभावित जोड़ियों से गुजरे, केवल दूसरे समूह के तत्वों को बदला। इस तत्व के लिए n 2 ऐसे जोड़े हो सकते हैं। फिर हम पहले समूह से दूसरा तत्व लेते हैं और उसके लिए सभी संभावित जोड़े भी बनाते हैं। ऐसे 2 जोड़े भी होंगे. चूँकि पहले समूह में केवल n 1 तत्व हैं, इसलिए कुल संभावित विकल्प n 1 *n 2 होंगे।

उदाहरण 2.अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी तीन अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों को दोहराया जा सके?
समाधान: n 1 = 6 (क्योंकि आप 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या पहले अंक के रूप में ले सकते हैं), n 2 = 7 (क्योंकि आप 0 में से कोई भी संख्या दूसरे अंक के रूप में ले सकते हैं, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (चूंकि 0, 2, 4, 6 में से कोई भी संख्या तीसरे अंक के रूप में ली जा सकती है)।
तो, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

उस स्थिति में जब सभी समूहों में समान संख्या में तत्व होते हैं, अर्थात। n 1 =n 2 =...n k =n हम मान सकते हैं कि प्रत्येक चयन एक ही समूह से किया गया है, और चयन के बाद तत्व समूह में वापस आ जाता है। तब सभी चयन विधियों की संख्या n k है। कॉम्बिनेटरिक्स में चयन की इस पद्धति को कहा जाता है वापसी के साथ नमूने.

उदाहरण 3.अंक 1, 5, 6, 7, 8 से चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
समाधान।चार अंकों की संख्या के प्रत्येक अंक के लिए पाँच संभावनाएँ हैं, जिसका अर्थ है N=5*5*5*5=5 4 =625.

n तत्वों से युक्त एक समुच्चय पर विचार करें। कॉम्बिनेटरिक्स में इस सेट को कहा जाता है सामान्य जनसंख्या.

m द्वारा n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या

परिभाषा 1.से रखा गया एनतत्वों द्वारा एमकॉम्बिनेटरिक्स में कोई भी आदेशित सेटसे एमजनसंख्या में से विभिन्न तत्वों का चयन किया गया एनतत्व.

उदाहरण 4.तीन तत्वों (1, 2, 3) की दो से भिन्न व्यवस्थाएँ समुच्चय (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) होंगी , 2 ). प्लेसमेंट तत्वों और उनके क्रम दोनों में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स में प्लेसमेंट की संख्या ए एन एम द्वारा निरूपित की जाती है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

टिप्पणी: n!=1*2*3*...*n (पढ़ें: "एन फैक्टोरियल"), इसके अलावा, यह माना जाता है कि 0!=1।

उदाहरण 5. ऐसी दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ हैं जिनमें दहाई का अंक और इकाई का अंक भिन्न और विषम हैं?
समाधान:क्योंकि यदि पांच विषम अंक हैं, अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9, तो यह कार्य पांच अलग-अलग अंकों में से दो को चुनने और दो अलग-अलग स्थितियों में रखने के लिए आता है, यानी। संकेतित संख्याएँ होंगी:

परिभाषा 2. संयोजनसे एनतत्वों द्वारा एमकॉम्बिनेटरिक्स में कोई भी अव्यवस्थित सेटसे एमजनसंख्या में से विभिन्न तत्वों का चयन किया गया एनतत्व.

उदाहरण 6. सेट (1, 2, 3) के लिए, संयोजन (1, 2), (1, 3), (2, 3) हैं।

n तत्वों के संयोजन की संख्या, प्रत्येक m

संयोजनों की संख्या C n m द्वारा निरूपित की जाती है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण 7.एक पाठक कितने तरीकों से उपलब्ध छह पुस्तकों में से दो पुस्तकों का चयन कर सकता है?

समाधान:विधियों की संख्या दो की छह पुस्तकों के संयोजन की संख्या के बराबर है, अर्थात। बराबर:

n तत्वों का क्रमपरिवर्तन

परिभाषा 3. क्रमपरिवर्तनसे एनतत्वों को कोई भी कहा जाता है आदेशित सेटये तत्व.

उदाहरण 7ए.तीन तत्वों (1, 2, 3) से युक्त सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन हैं: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2)।

n तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या को P n द्वारा निरूपित किया जाता है और इसकी गणना सूत्र P n =n! द्वारा की जाती है।

उदाहरण 8.विभिन्न लेखकों की सात पुस्तकों को एक शेल्फ पर एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान:यह समस्या सात अलग-अलग पुस्तकों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बारे में है। पुस्तकों को व्यवस्थित करने के पी 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 तरीके हैं।

बहस।हम देखते हैं कि संभावित संयोजनों की संख्या की गणना विभिन्न नियमों (क्रमपरिवर्तन, संयोजन, प्लेसमेंट) के अनुसार की जा सकती है और परिणाम अलग होगा, क्योंकि गणना सिद्धांत और सूत्र स्वयं अलग-अलग हैं। परिभाषाओं को ध्यान से देखने पर आप देखेंगे कि परिणाम एक साथ कई कारकों पर निर्भर करता है।

सबसे पहले, हम कितने तत्वों से उनके सेट को जोड़ सकते हैं (तत्वों की समग्रता कितनी बड़ी है)।

दूसरे, परिणाम हमारे लिए आवश्यक तत्वों के सेट के आकार पर निर्भर करता है।

अंत में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि सेट में तत्वों का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण है या नहीं। आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके अंतिम कारक को समझाएं।

उदाहरण 9.अभिभावक बैठक में 20 लोग उपस्थित हैं। मूल समिति की संरचना के लिए कितने अलग-अलग विकल्प हैं यदि इसमें 5 लोगों को शामिल किया जाना चाहिए?
समाधान:इस उदाहरण में, हमें समिति सूची में नामों के क्रम में कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि, परिणामस्वरूप, वही लोग इसका हिस्सा बन जाते हैं, तो हमारे लिए अर्थ में यह वही विकल्प है। इसलिए, हम संख्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं युग्म 20 तत्वों में से प्रत्येक में 5.

यदि समिति का प्रत्येक सदस्य शुरू में कार्य के एक विशिष्ट क्षेत्र के लिए जिम्मेदार हो तो चीजें अलग होंगी। फिर, समिति की समान सूची संरचना के साथ, इसमें संभवतः 5 हैं! विकल्प क्रमपरिवर्तनवह मामला। इस मामले में विभिन्न (संरचना और जिम्मेदारी के क्षेत्र दोनों में) विकल्पों की संख्या संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है प्लेसमेंट 20 तत्वों में से प्रत्येक में 5.

स्व-परीक्षण कार्य
1. अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी तीन अंकों वाली सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों को दोहराया जा सके?

2. पाँच अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ एक समान पढ़ी जाती हैं?

3. कक्षा में दस विषय और एक दिन में पाँच पाठ होते हैं। आप कितने तरीकों से एक दिन का शेड्यूल बना सकते हैं?

4. यदि समूह में 20 लोग हैं तो सम्मेलन के लिए 4 प्रतिनिधियों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

5. आठ अलग-अलग लिफाफों में आठ अलग-अलग पत्र कितने तरीकों से रखे जा सकते हैं, यदि प्रत्येक लिफाफे में केवल एक पत्र रखा जाए?

6. दो गणितज्ञों और छह अर्थशास्त्रियों का एक आयोग बनाया जाए जिसमें तीन गणितज्ञ और दस अर्थशास्त्री हों। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?