La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.
Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.
Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.
Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».
Désignation:
De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.
À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.
Par définition nous avons :
Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives
Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.
S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :
- Plus par moins donne moins ;
- Deux négatifs font un affirmatif.
Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :
- On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
- S'il ne reste plus d'inconvénients, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n'est pas barré, parce qu'il n'y avait pas de paire pour lui, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On a:
Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).
Faites également attention aux nombres négatifs : lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.
Réduire les fractions à la volée
La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Par définition nous avons :
Dans tous les exemples, les chiffres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.
Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.
Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :
Vous ne pouvez pas faire ça !
L'erreur est due au fait que lors de l'addition du numérateur d'une fraction, la somme apparaît, et non le produit des nombres. Il est donc impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.
Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :
Bonne solution :
Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.
) et dénominateur par dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).
Formule pour multiplier des fractions :
Par exemple:
Avant de commencer à multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vous devez vérifier si la fraction peut être réduite. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de faire d'autres calculs.
Diviser une fraction commune par une fraction.
Division de fractions impliquant des nombres naturels.
Ce n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît. Comme dans le cas de l’addition, on convertit l’entier en une fraction avec un au dénominateur. Par exemple:
Multiplier des fractions mixtes.
Règles de multiplication des fractions (mixtes) :
- convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
- multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions ;
- réduire la fraction;
- Si vous obtenez une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en fraction mixte.
Note! Pour multiplier une fraction mixte par une autre fraction mixte, vous devez d'abord les convertir sous forme de fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.
La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.
Il peut être plus pratique d'utiliser la deuxième méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.
Note! Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre et laisser le numérateur inchangé.
D'après l'exemple ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.
Fractions à plusieurs étages.
Au lycée, on rencontre souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:
Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, utilisez la division par 2 points :
Note! Lors de la division de fractions, l’ordre de division est très important. Attention, il est facile de se tromper ici.
Note, Par exemple:
En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :
Conseils pratiques pour multiplier et diviser des fractions :
1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, de manière concentrée et claire. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans votre brouillon plutôt que de se perdre dans des calculs mentaux.
2. Dans les tâches avec différents types de fractions, accédez au type de fractions ordinaires.
3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de réduire.
4. Nous transformons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux en expressions ordinaires en utilisant la division par 2 points.
5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.
Les nombres fractionnaires ordinaires rencontrent d'abord les écoliers dès la 5e année et les accompagnent tout au long de leur vie, car dans la vie de tous les jours il est souvent nécessaire de considérer ou d'utiliser un objet non pas dans son ensemble, mais en morceaux séparés. Commencez à étudier ce sujet - partages. Les actions sont à parts égales, en lequel tel ou tel objet est divisé. Après tout, il n'est pas toujours possible d'exprimer, par exemple, la longueur ou le prix d'un produit sous forme de nombre entier ou de fractions d'une certaine mesure ; Formé du verbe « diviser » - diviser en parties, et ayant des racines arabes, le mot « fraction » lui-même est apparu dans la langue russe au VIIIe siècle.
Les expressions fractionnaires ont longtemps été considérées comme la branche la plus difficile des mathématiques. Au XVIIe siècle, lorsque les premiers manuels de mathématiques parurent, on les appelait « nombres brisés », ce qui était très difficile à comprendre.
La forme moderne des restes fractionnaires simples, dont les parties sont séparées par une ligne horizontale, a été promue pour la première fois par Fibonacci - Léonard de Pise. Ses œuvres sont datées de 1202. Mais le but de cet article est d'expliquer simplement et clairement au lecteur comment se multiplient les fractions mixtes avec des dénominateurs différents.
Multiplier des fractions avec différents dénominateurs
Dans un premier temps, il convient de déterminer types de fractions:
- correct;
- Incorrect;
- mixte.
Ensuite, vous devez vous rappeler comment les nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs sont multipliés. La règle même de ce processus n'est pas difficile à formuler indépendamment : le résultat de la multiplication de fractions simples avec des dénominateurs identiques est une expression fractionnaire dont le numérateur est le produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions . Autrement dit, le nouveau dénominateur est le carré de l'un des dénominateurs existants.
En multipliant fractions simples avec différents dénominateurs pour deux facteurs ou plus, la règle ne change pas :
un/b * c/d = a*c / b*d.
La seule différence est que le nombre formé sous la ligne fractionnaire sera le produit de différents nombres et, bien entendu, il ne peut pas être appelé le carré d'une expression numérique.
Il vaut la peine d'envisager la multiplication de fractions avec des dénominateurs différents à l'aide d'exemples :
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Les exemples utilisent des méthodes pour réduire les expressions fractionnaires. Vous ne pouvez réduire que les nombres du numérateur avec les nombres du dénominateur ; les facteurs adjacents au-dessus ou au-dessous de la ligne de fraction ne peuvent pas être réduits.
Outre les fractions simples, il existe le concept de fractions mixtes. Un nombre fractionnaire est constitué d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire, c'est-à-dire qu'il est la somme de ces nombres :
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Comment fonctionne la multiplication ?
Plusieurs exemples sont proposés à titre de réflexion.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
L'exemple utilise la multiplication d'un nombre par partie fractionnaire ordinaire, la règle de cette action peut s'écrire :
un* b/c = un B /c.
En fait, un tel produit est la somme de restes fractionnaires identiques, et le nombre de termes indique cet nombre naturel. Cas particulier:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Il existe une autre solution pour multiplier un nombre par un reste fractionnaire. Il vous suffit de diviser le dénominateur par ce nombre :
d* e/F = e/f : d.
Cette technique est utile lorsque le dénominateur est divisé par un nombre naturel sans reste ou, comme on dit, par un nombre entier.
Convertissez les nombres fractionnaires en fractions impropres et obtenez le produit de la manière décrite précédemment :
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Cet exemple implique une manière de représenter une fraction mixte comme une fraction impropre, et peut également être représenté sous la forme d'une formule générale :
un bc = a*b+ c / c, où le dénominateur de la nouvelle fraction est formé en multipliant la partie entière par le dénominateur et en l'ajoutant au numérateur du reste fractionnaire d'origine, et le dénominateur reste le même.
Ce processus fonctionne également dans le sens inverse. Pour séparer la partie entière et le reste fractionnaire, il faut diviser le numérateur d'une fraction impropre par son dénominateur à l'aide d'un « coin ».
Multiplier des fractions impropres produit d'une manière généralement acceptée. Lorsque vous écrivez sous une seule ligne de fraction, vous devez réduire les fractions si nécessaire afin de réduire les nombres à l'aide de cette méthode et de faciliter le calcul du résultat.
Il existe de nombreuses aides sur Internet pour résoudre des problèmes mathématiques même complexes dans diverses variantes de programmes. Un nombre suffisant de ces services proposent leur aide pour calculer la multiplication de fractions avec des nombres différents dans les dénominateurs - ce qu'on appelle les calculateurs en ligne pour calculer des fractions. Ils sont capables non seulement de multiplier, mais aussi d'effectuer toutes les autres opérations arithmétiques simples avec des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires. C'est facile à utiliser : vous remplissez les champs appropriés sur la page du site Web, sélectionnez le signe de l'opération mathématique et cliquez sur "calculer". Le programme calcule automatiquement.
Le thème des opérations arithmétiques avec des fractions est d'actualité tout au long de l'enseignement des collégiens et lycéens. Au lycée, on ne considère plus les espèces les plus simples, mais expressions fractionnaires entières, mais la connaissance des règles de transformation et de calcul obtenues précédemment est appliquée sous sa forme originale. Des connaissances de base bien maîtrisées donnent une totale confiance pour résoudre avec succès les problèmes les plus complexes.
En conclusion, il est logique de citer les mots de Lev Nikolaïevitch Tolstoï, qui a écrit : « L'homme est une fraction. Il n'est pas au pouvoir d'une personne d'augmenter son numérateur - ses mérites - mais n'importe qui peut réduire son dénominateur - son opinion sur lui-même, et avec cette diminution se rapprocher de sa perfection.
Une fraction est une ou plusieurs parties d'un tout, généralement considérée comme une (1). Comme pour les nombres naturels, vous pouvez effectuer toutes les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, division, multiplication) avec des fractions ; pour ce faire, vous devez connaître les caractéristiques du travail avec les fractions et distinguer leurs types. Il existe plusieurs types de fractions : décimales et ordinaires, ou simples. Chaque type de fraction a ses propres spécificités, mais une fois que vous aurez bien compris comment les gérer, vous serez en mesure de résoudre n'importe quel exemple avec des fractions, puisque vous connaîtrez les principes de base pour effectuer des calculs arithmétiques avec des fractions. Examinons des exemples montrant comment diviser une fraction par un nombre entier en utilisant différents types de fractions.
Comment diviser une fraction simple par un nombre naturel ?Les fractions ordinaires ou simples sont des fractions qui s'écrivent sous la forme d'un rapport de nombres dans lequel le dividende (numérateur) est indiqué en haut de la fraction et le diviseur (dénominateur) de la fraction est indiqué en bas. Comment diviser une telle fraction par un nombre entier ? Regardons un exemple ! Disons que nous devons diviser 8/12 par 2.
Pour ce faire, nous devons effectuer un certain nombre d'actions :
Ainsi, si nous sommes confrontés à la tâche de diviser une fraction par un nombre entier, le diagramme de solution ressemblera à ceci : 
De la même manière, vous pouvez diviser n’importe quelle fraction ordinaire (simple) par un nombre entier.
Comment diviser un nombre décimal par un nombre entier ?
Un nombre décimal est une fraction obtenue en divisant une unité en dix, mille, etc. L'arithmétique avec les décimales est assez simple.
Regardons un exemple de comment diviser une fraction par un nombre entier. Disons que nous devons diviser la fraction décimale 0,925 par l'entier naturel 5.
Pour résumer, attardons-nous sur deux points principaux qui sont importants lors de la réalisation de l'opération de division de fractions décimales par un nombre entier : - pour diviser une fraction décimale par un nombre naturel, une division longue est utilisée ;
- Une virgule est placée dans un quotient lorsque la division de la totalité du dividende est terminée.
Pour résoudre divers problèmes des cours de mathématiques et de physique, vous devez diviser des fractions. C'est très simple à faire si vous connaissez certaines règles pour effectuer cette opération mathématique.
Avant de passer à la formulation de la règle de division des fractions, rappelons quelques termes mathématiques :
- La partie supérieure de la fraction s’appelle le numérateur et la partie inférieure, le dénominateur.
- Lors de la division, les nombres sont appelés comme suit : dividende : diviseur = quotient
Comment diviser des fractions : fractions simples
Pour diviser deux fractions simples, multipliez le dividende par l'inverse du diviseur. Cette fraction est aussi appelée inversée car elle est obtenue en échangeant le numérateur et le dénominateur. Par exemple:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Comment diviser des fractions : fractions mixtes
Si nous devons diviser des fractions mixtes, alors tout ici est également assez simple et clair. Tout d’abord, nous convertissons la fraction mixte en une fraction impropre régulière. Pour ce faire, multipliez le dénominateur d'une telle fraction par un nombre entier et ajoutez le numérateur au produit obtenu. De ce fait, nous avons reçu un nouveau numérateur de la fraction mixte, mais son dénominateur restera inchangé. De plus, la division des fractions s'effectuera exactement de la même manière que la division des fractions simples. Par exemple:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Comment diviser une fraction par un nombre
Afin de diviser une fraction simple par un nombre, ce dernier doit être écrit sous forme de fraction (irrégulière). C'est très simple à faire : ce nombre s'écrit à la place du numérateur, et le dénominateur d'une telle fraction est égal à un. La division ultérieure est effectuée de la manière habituelle. Regardons cela avec un exemple :
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Comment diviser des décimales
Souvent, un adulte a de la difficulté à diviser un nombre entier ou une fraction décimale par une fraction décimale sans l’aide d’une calculatrice.
Ainsi, pour diviser des nombres décimaux, il suffit de rayer la virgule dans le diviseur et d’arrêter d’y prêter attention. Dans le dividende, la virgule doit être déplacée vers la droite d'exactement autant de places qu'elle l'était dans la partie fractionnaire du diviseur, en ajoutant des zéros si nécessaire. Et puis ils effectuent la division habituelle par un nombre entier. Pour que cela soit plus clair, considérons l'exemple suivant.
