Sčítanie čísel s rôznymi znakmi, pravidlá, príklady. Sčítanie čísel s rôznymi znakmi

Zanechať komentár 6,950

„Pridávanie čísel s rôznymi znakmi“ - učebnica matematiky, ročník 6 (Vilenkin)

Stručný opis:

V tejto časti sa naučíte pravidlá sčítania čísel s rôznymi znamienkami: to znamená, že sa naučíte sčítať záporné a kladné čísla.
Už viete, ako ich pridať na súradnicovú čiaru, ale v každom príklade nebudete kresliť rovnú čiaru a počítať pomocou nej? Preto sa musíte naučiť skladať bez neho.
Skúsme s vami pridať záporné číslo ku kladnému číslu, napríklad osem sčítajte mínus šesť: 8+(-6). Už viete, že pridanie záporného čísla zníži pôvodné číslo o zápornú hodnotu. To znamená, že osem musí byť znížené o šesť, to znamená, že šesť sa musí odpočítať od ôsmich: 8-6 = 2, čo dáva dva. V tomto príklade sa zdá byť všetko jasné, odpočítame šesť od ôsmich.
A ak vezmeme tento príklad: pridajte kladné číslo k zápornému číslu. Napríklad mínus osem pridajte šesť: -8+6. Podstata zostáva rovnaká: kladné číslo redukujeme o hodnotu záporného čísla, dostaneme šesť, odčítame osem je mínus dva: -8+6=-2.
Ako ste si všimli, v prvom aj druhom príklade s číslami sa vykonáva odčítanie. prečo? Pretože majú rôzne znamienka (plus a mínus). Aby ste sa vyhli chybám pri pridávaní čísel s rôznymi znakmi, mali by ste vykonať nasledujúci algoritmus:
1. nájdite moduly čísel;
2. odčítajte menší modul od väčšieho modulu;
3. Pred získaný výsledok vložte znamienko čísla s veľkou absolútnou hodnotou (zvyčajne sa vkladá iba znamienko mínus a znamienko plus sa nevkladá).
Ak pridáte čísla s rôznymi znakmi podľa tohto algoritmu, budete mať oveľa menšiu šancu urobiť chybu.

rozvíjanie vedomostí o pravidle na sčítanie čísel s rôznymi znakmi, schopnosť ich aplikovať v najjednoduchších prípadoch;

rozvoj schopností porovnávať, identifikovať vzory, zovšeobecňovať;

pestovanie zodpovedného prístupu k vzdelávacej práci.

Vybavenie: multimediálny projektor, plátno.

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment.

Postavte sa rovno

Ticho si sadli.

Zvonček už zazvonil,

Začnime našu lekciu.

Chlapci! Dnes na našu lekciu prišli hostia. Otočme sa k nim a usmejme sa na seba. Takže začíname našu lekciu.

Snímka 2- Epigraf lekcie: „Kto si nič nevšíma, nič neštuduje.

Kto nič neštuduje, vždy fňuká a nudí sa."

Roman Sef (spisovateľ pre deti)

Slad 3 - Odporúčam zahrať si hru „Naopak“. Pravidlá hry: slová musíte rozdeliť do dvoch skupín: vyhrať, klamať, teplo, dal, pravda, dobro, strata, vzal, zlo, chlad, pozitívny, negatívny.

V živote je veľa rozporov. S ich pomocou definujeme okolitú realitu. Pre našu lekciu potrebujem posledný: pozitívny - negatívny.

O čom hovoríme v matematike, keď používame tieto slová? (O číslach.)

Veľký Pytagoras povedal: „Čísla vládnu svetu. Navrhujem hovoriť o najzáhadnejších číslach vo vede - číslach s rôznymi znakmi. - Záporné čísla sa vo vede objavili ako opak kladných čísel. Ich cesta k vede bola náročná, pretože ani mnohí vedci nepodporovali myšlienku ich existencie.

Aké pojmy a veličiny ľudia merajú kladnými a zápornými číslami? (náboje elementárnych častíc, teplota, straty, výška a hĺbka atď.)

Snímka 4- Slová s opačným významom sú antonymá (tabuľka).

2. Stanovenie témy lekcie.

Snímka 5 (práca so stolom)– Aké čísla ste študovali v predchádzajúcich lekciách?
– Aké úlohy súvisiace s kladnými a zápornými číslami môžete vykonávať?
– Pozornosť na obrazovku. (Snímka 5)
– Aké čísla sú uvedené v tabuľke?
– Pomenujte moduly čísel písaných vodorovne.
– Uveďte najväčšie číslo, uveďte číslo s najväčším modulom.
– Odpovedzte na rovnaké otázky pre čísla písané zvisle.
– Zhoduje sa vždy najväčšie číslo a číslo s najväčšou absolútnou hodnotou?
– Nájdite súčet kladných čísel, súčet záporných čísel.
– Formulujte pravidlo pre sčítanie kladných čísel a pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
– Aké čísla ešte treba pridať?
– Viete, ako ich zložiť?
– Poznáte pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami?
– Formulujte tému hodiny.
– Aký cieľ si stanovíte? .Premýšľajte, čo budeme dnes robiť? (Odpovede detí). Dnes pokračujeme v oboznamovaní sa s kladnými a zápornými číslami. Témou našej lekcie je „Pridávanie čísel s rôznymi znamienkami“. Naším cieľom je naučiť sa sčítať čísla s rôznymi znamienkami bez chýb. Zapíšte si dátum a tému lekcie do zošita.

3.Spracujte tému vyučovacej hodiny.

Snímka 6.– Pomocou týchto konceptov nájdite na obrazovke výsledky sčítania čísel s rôznymi znakmi.
– Aké čísla sú výsledkom sčítania kladných a záporných čísel?
– Aké čísla sú výsledkom sčítania čísel s rôznymi znamienkami?
– Čo určuje znamienko súčtu čísel s rôznymi znamienkami? (Snímka 5)
– Z termínu s najväčším modulom.
- Je to ako preťahovanie lanom. Najsilnejší vyhráva.

Snímka 7- Poďme hrať. Predstavte si, že ste v ťahanici. . učiteľ. Súperi sa väčšinou stretávajú na súťažiach. A dnes s vami navštívime niekoľko turnajov. Ako prvé nás čaká finále súťaže v preťahovaní lanom. Zoznámte sa s Ivanom Minusovom na čísle -7 a Petrom Plyusovom na čísle +5. Kto podľa vás vyhrá? prečo? Ivan Minusov teda vyhral, skutočne sa ukázal byť silnejší ako jeho súper a dokázal ho pretiahnuť na negatívnu stranu presne o dva kroky.

Snímka 8.- . Teraz poďme k ďalším súťažiam. Pred vami je finále streleckej súťaže. Najlepší v tejto forme boli Mínus Troikin s tromi balónmi a Plus Chetverikov, ktorý mal v zálohe štyri balóny. A chlapci, kto bude podľa vás víťazom?

Snímka 9- Súťaže ukázali, že najsilnejší vyhráva. Tak je to aj pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami: -7 + 5 = -2 a -3 + 4 = +1. Chlapci, ako sa sčítavajú čísla s rôznymi znakmi, študenti ponúkajú svoje vlastné možnosti?

Učiteľ sformuluje pravidlo a uvedie príklady.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Počas ukážky môžu žiaci komentovať riešenie zobrazené na snímke.

Snímka 10- Učiteľ, zahrajme si ďalšiu hru „Bojová loď“. Nepriateľská loď sa blíži k nášmu pobrežiu, treba ju vyradiť a potopiť. Na to máme zbraň. Ale aby ste dosiahli cieľ, musíte urobiť presné výpočty. Ktoré z nich teraz uvidíte. pripravený? Potom pokračujte! Nenechajte sa rozptyľovať, príklady sa menia presne po 3 sekundách. Sú všetci pripravení?

Študenti striedavo prichádzajú k tabuli a počítajú príklady, ktoré sú na snímke. – Vymenujte fázy dokončenia úlohy.

Snímka 11- Pracujte podľa učebnice: str. 180 s. 33, prečítajte si pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami. Komentáre k pravidlu.
– Aký je rozdiel medzi pravidlom navrhnutým v učebnici a algoritmom, ktorý ste zostavili? Zvážte príklady v učebnici s komentárom.

Snímka 12- Učiteľ - Teraz, chlapci, poďme dirigovať experimentovať. Ale nie chemická, ale matematická! Vezmime si čísla 6 a 8, plus a mínus a všetko dobre premiešame. Zoberme si štyri experimentálne príklady. Urobte si ich vo svojom notebooku. (dvaja žiaci riešia na krídlach tabule, potom sa odpovede kontrolujú). Aké závery možno vyvodiť z tohto experimentu?(Úloha znakov). Urobme ďalšie 2 experimenty , ale s vašimi číslami (na tabuľu ide vždy 1 osoba). Poďme si navzájom vymyslieť čísla a skontrolovať výsledky experimentu (vzájomná kontrola).

Snímka 13 .- Pravidlo sa zobrazuje na obrazovke v poetickej podobe .

4. Upevnenie témy vyučovacej hodiny.

Snímka 14 – Učiteľ - "Sú potrebné všetky druhy znamení, dôležité sú všetky druhy!" Teraz vás, chlapci, rozdelíme do dvoch tímov. Chlapci budú v tíme Santa Clausa a dievčatá budú v tíme Sunny. Vašou úlohou bez počítania príkladov je určiť, ktoré z nich budú mať záporné odpovede a ktoré kladné a zapísať si písmená týchto príkladov do zošita. Chlapci sú negatívni a dievčatá sú pozitívne (vydávajú sa karty z aplikácie). Prebieha autotest.

Výborne! Tvoj zmysel pre znamenia je vynikajúci. To vám pomôže dokončiť ďalšiu úlohu

Snímka 15 - Telesná výchova. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5 atď. (záporné čísla - drep, kladné čísla - ťah hore, skok)

Snímka 16-Vyriešte 9 príkladov sami (úloha na kartách v aplikácii). 1 osoba v rade. Urobte si autotest. Odpovede sa zobrazujú na obrazovke a žiaci opravujú chyby v zošitoch. Zdvihnite ruky, ak to máte správne. (Značky sa udeľujú len za dobré a vynikajúce výsledky)

Snímka 17-Pravidlá nám pomáhajú správne riešiť príklady. Zopakujme si ich Na obrazovke je algoritmus na sčítanie čísel s rôznymi znakmi.

5.Organizácia samostatnej práce.

Snímka 18 -Fonline práca prostredníctvom hry „Hádaj slovo“(úloha na kartičkách v prílohe).

Snímka 19 - Skóre hry by malo byť „A“

Snímka 20 -A teraz pozor. Domáca úloha. Domáce úlohy by vám nemali spôsobovať ťažkosti.

Snímka 21 - Zákony sčítania vo fyzikálnych javoch. Vymyslite príklady sčítania čísel s rôznymi znamienkami a spýtajte sa ich navzájom. Čo nové ste sa naučili? Dosiahli sme svoj cieľ?

Snímka 22 - To je koniec lekcie, teraz si to zhrnieme. Reflexia. Učiteľ hodinu komentuje a hodnotí.

Snímka 23 -Ďakujem za tvoju pozornosť!

Prajem vám, aby ste mali v živote viac pozitívneho a menej negatívneho, chcem vám povedať, ďakujem vám za vašu aktívnu prácu. Myslím si, že nadobudnuté vedomosti ľahko uplatníte v ďalších lekciách. Lekcia sa skončila. Všetkým vám veľmi pekne ďakujem. Zbohom!

Zlomky sú obyčajné čísla a možno ich aj sčítať a odčítať. Ale keďže majú menovateľa, vyžadujú si zložitejšie pravidlá ako pre celé čísla.

Uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený.

Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.

V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:

Ako vidíte, nie je to nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa a je to.

Ale aj pri takýchto jednoduchých činoch sa ľuďom darí robiť chyby. Najčastejšie sa zabúda na to, že menovateľ sa nemení. Napríklad pri ich pridávaní sa začnú aj sčítavať, a to je zásadne nesprávne.

Zbaviť sa zlozvyku pridávania menovateľov je celkom jednoduché. Skúste to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.

Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!

Mnoho ľudí robí chyby aj pri sčítaní niekoľkých záporných zlomkov. Nastáva zmätok so znamienkami: kde dať mínus a kde plus.

Tento problém je tiež veľmi ľahko riešiteľný. Stačí si zapamätať, že mínus pred znamienkom zlomku možno vždy preniesť do čitateľa - a naopak. A samozrejme, nezabudnite na dve jednoduché pravidlá:

Plus mínus dáva mínus;
Dva zápory potvrdzujú.

Pozrime sa na to všetko na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V prvom prípade je všetko jednoduché, ale v druhom pridajme mínusy k čitateľom zlomkov:

Čo robiť, ak sa menovatelia líšia

Zlomky s rôznymi menovateľmi nemôžete pridávať priamo. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.

Existuje mnoho spôsobov, ako previesť zlomky. Tri z nich sú diskutované v lekcii „Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa“, takže sa nimi tu nebudeme zaoberať. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V prvom prípade zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa pomocou metódy „krížom“. V druhom budeme hľadať NOC. Všimnite si, že 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Posledné faktory v týchto rozšíreniach sú rovnaké a prvé sú relatívne prvočísla. Preto LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Čo robiť, ak má zlomok celočíselnú časť

Môžem vás potešiť: rôzni menovatelia v zlomkoch nie sú najväčšie zlo. Oveľa viac chýb sa vyskytuje, keď je v sčítacích zlomkoch zvýraznená celá časť.

Samozrejme, že existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania pre takéto zlomky, ale sú dosť zložité a vyžadujú si dlhé štúdium. Je lepšie použiť jednoduchú schému nižšie:

Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa vyššie uvedených pravidiel;
V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. V dôsledku toho prakticky nájdeme odpoveď;
Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. Nevlastného zlomku sa zbavíme zvýraznením celej časti.

Pravidlá prechodu na nesprávne zlomky a zvýraznenie celej časti sú podrobne popísané v lekcii „Čo je to číselný zlomok“. Ak si to nepamätáte, určite si to zopakujte. Príklady:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva len previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:

Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.

Malá poznámka k posledným dvom príkladom, kde sa odčítavajú zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. Mínus pred druhým zlomkom znamená, že sa odpočíta celý zlomok, nielen jeho časť.

Znova si prečítajte túto vetu, pozrite sa na príklady - a premýšľajte o tom. Tu robia začiatočníci obrovské množstvo chýb. Radi dávajú takéto problémy na testy. Viackrát sa s nimi stretnete aj v testoch k tejto lekcii, ktoré budú čoskoro zverejnené.

Zhrnutie: všeobecná schéma výpočtu

Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov:

Ak má jeden alebo viacero zlomkov celočíselnú časť, preveďte tieto zlomky na nesprávne;
Priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje (pokiaľ to, samozrejme, neurobili autori úloh);
Výsledné čísla sčítajte alebo odčítajte podľa pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi;
Ak je to možné, skráťte výsledok. Ak je zlomok nesprávny, vyberte celú časť.

Pamätajte, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, bezprostredne pred zapísaním odpovede.

V tejto lekcii sa naučíme sčítanie a odčítanie celých čísel, ako aj pravidlá ich sčítania a odčítania.

Pripomeňme, že celé čísla sú všetky kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0. Napríklad nasledujúce čísla sú celé čísla:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Kladné čísla sú jednoduché a. To sa, žiaľ, nedá povedať o záporných číslach, ktoré svojimi mínuskami pred každým číslom mätie nejedného začiatočníka. Ako ukazuje prax, študentov najviac frustrujú chyby spôsobené zápornými číslami.

Obsah lekcie

Príklady sčítania a odčítania celých čísel

Prvá vec, ktorú by ste sa mali naučiť, je sčítať a odčítať celé čísla pomocou súradnicovej čiary. Vôbec nie je potrebné kresliť súradnicovú čiaru. Stačí si to predstaviť v myšlienkach a vidieť, kde sa nachádzajú záporné čísla a kde kladné.

Zoberme si najjednoduchší výraz: 1 + 3. Hodnota tohto výrazu je 4:

Tento príklad možno pochopiť pomocou súradnicovej čiary. Ak to chcete urobiť, z bodu, kde sa nachádza číslo 1, musíte prejsť o tri kroky doprava. V dôsledku toho sa ocitneme v bode, kde sa nachádza číslo 4 Na obrázku môžete vidieť, ako sa to deje:

Znamienko plus vo výraze 1 + 3 nám hovorí, že sa máme pohybovať doprava v smere rastúcich čísel.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 1 − 3.

Hodnota tohto výrazu je -2

Tento príklad možno opäť pochopiť pomocou súradnicovej čiary. Ak to chcete urobiť, z bodu, kde sa nachádza číslo 1, musíte prejsť doľava o tri kroky. V dôsledku toho sa ocitneme v bode, kde sa nachádza záporné číslo -2. Na obrázku môžete vidieť, ako sa to deje:

Znamienko mínus vo výraze 1 − 3 nám hovorí, že sa máme pohybovať doľava v smere klesajúcich čísel.

Vo všeobecnosti si musíte pamätať, že ak sa vykoná pridanie, musíte sa posunúť doprava v smere zvyšovania. Ak sa vykoná odčítanie, musíte sa posunúť doľava v smere poklesu.

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu −2 + 4

Hodnota tohto výrazu je 2

Tento príklad možno opäť pochopiť pomocou súradnicovej čiary. Ak to chcete urobiť, z bodu, kde sa nachádza záporné číslo -2, musíte posunúť štyri kroky doprava. V dôsledku toho sa ocitneme v bode, kde sa nachádza kladné číslo 2.

Je vidieť, že sme sa z bodu, kde sa nachádza záporné číslo −2, posunuli na pravú stranu o štyri kroky a skončili sme v bode, kde sa nachádza kladné číslo 2.

Znamienko plus vo výraze −2 + 4 nám hovorí, že by sme sa mali pohybovať doprava v smere rastúcich čísel.

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu −1 − 3

Hodnota tohto výrazu je -4

Tento príklad možno opäť vyriešiť pomocou súradnicovej čiary. Aby ste to dosiahli, z bodu, kde sa nachádza záporné číslo -1, musíte prejsť o tri kroky doľava. V dôsledku toho sa ocitneme v bode, kde sa nachádza záporné číslo -4

Je vidieť, že sme sa z bodu, kde sa nachádza záporné číslo −1, posunuli o tri kroky doľava a skončili sme v bode, kde sa nachádza záporné číslo −4.

Znamienko mínus vo výraze −1 − 3 nám hovorí, že sa máme pohybovať doľava v smere klesajúcich čísel.

Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu −2 + 2

Hodnota tohto výrazu je 0

Tento príklad je možné vyriešiť pomocou súradnicovej čiary. Aby ste to dosiahli, z bodu, kde sa nachádza záporné číslo -2, musíte prejsť o dva kroky doprava. V dôsledku toho sa ocitneme v bode, kde sa nachádza číslo 0

Je vidieť, že sme sa z bodu, kde sa nachádza záporné číslo −2, posunuli o dva kroky na pravú stranu a skončili sme v bode, kde sa nachádza číslo 0.

Znamienko plus vo výraze −2 + 2 nám hovorí, že by sme sa mali pohybovať doprava v smere rastúcich čísel.

Pravidlá pre sčítanie a odčítanie celých čísel

Na sčítanie alebo odčítanie celých čísel nie je vôbec potrebné zakaždým si predstavovať súradnicovú čiaru, tým menej ju kresliť. Je vhodnejšie použiť hotové pravidlá.

Pri uplatňovaní pravidiel je potrebné venovať pozornosť znaku operácie a znakom čísel, ktoré je potrebné pridať alebo odčítať. To určí, ktoré pravidlo sa má použiť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu −2 + 5

Tu sa kladné číslo pripočítava k zápornému číslu. Inými slovami, pridávajú sa čísla s rôznymi znamienkami. −2 je záporné číslo a 5 je kladné číslo. Pre takéto prípady platí nasledovné pravidlo:

Ak chcete pridať čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď vložiť znamienko čísla, ktorého modul je väčší.

Pozrime sa teda, ktorý modul je väčší:

Modul čísla 5 je väčší ako modul čísla −2. Pravidlo vyžaduje odčítanie menšieho modulu od väčšieho modulu. Preto musíme od 5 odčítať 2 a pred výslednú odpoveď dať znamienko čísla, ktorého modul je väčší.

Číslo 5 má väčší modul, takže v odpovedi bude znamienko tohto čísla. To znamená, že odpoveď bude kladná:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Zvyčajne sa píše kratšie: −2 + 5 = 3

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 3 + (-2)

Tu, rovnako ako v predchádzajúcom príklade, sa pridávajú čísla s rôznymi znakmi. 3 je kladné číslo a −2 je záporné číslo. Všimnite si, že −2 je uzavreté v zátvorkách, aby bol výraz jasnejší. Tento výraz je oveľa ľahšie pochopiteľný ako výraz 3+−2.

Aplikujme teda pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami. Ako v predchádzajúcom príklade, odčítajte menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď dáme znamienko čísla, ktorého modul je väčší:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Modul čísla 3 je väčší ako modul čísla −2, preto sme od 3 odčítali 2 a výslednú odpoveď sme predpísali znamienkom čísla, ktorého modul je väčší. Číslo 3 má väčší modul, preto je v odpovedi zahrnuté znamienko tohto čísla. To znamená, že odpoveď je kladná.

Zvyčajne sa píše kratšie 3 + (−2) = 1

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 3 − 7

V tomto výraze sa väčšie číslo odčíta od menšieho čísla. V takom prípade platí nasledovné pravidlo:

Ak chcete odčítať väčšie číslo od menšieho čísla, musíte odpočítať menšie číslo od väčšieho čísla a pred výslednú odpoveď dať mínus.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Tento výraz má malý háčik. Pripomeňme si, že znamienko rovnosti (=) sa umiestňuje medzi veličiny a výrazy, keď sa navzájom rovnajú.

Hodnota výrazu 3 − 7, ako sme sa dozvedeli, sa rovná −4. To znamená, že všetky transformácie, ktoré vykonáme v tomto výraze, sa musia rovnať −4

Vidíme však, že v druhom štádiu existuje výraz 7 − 3, ktorý sa nerovná −4.

Aby ste túto situáciu napravili, musíte do zátvoriek vložiť výraz 7 − 3 a pred túto zátvorku dať mínus:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

V tomto prípade sa bude dodržiavať rovnosť v každej fáze:

Po výpočte výrazu je možné zátvorky odstrániť, čo sme urobili.

Aby sme boli presnejší, riešenie by malo vyzerať takto:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Toto pravidlo je možné napísať pomocou premenných. Bude to vyzerať takto:

a − b = − (b − a)

Veľké množstvo zátvoriek a operačných znakov môže skomplikovať riešenie zdanlivo jednoduchého problému, preto je vhodnejšie naučiť sa takéto príklady písať stručne, napríklad 3 − 7 = − 4.

V skutočnosti sčítanie a odčítanie celých čísel neznamená nič iné ako sčítanie. To znamená, že ak potrebujete čísla odčítať, túto operáciu možno nahradiť sčítaním.

Poďme sa teda zoznámiť s novým pravidlom:

Odčítanie jedného čísla od druhého znamená pridanie čísla, ktoré je opačné k tomu, ktoré sa odčítava.

Uvažujme napríklad najjednoduchší výraz 5 − 3. V počiatočných fázach štúdia matematiky sme dali znamienko rovnosti a zapísali odpoveď:

Teraz však v štúdiu napredujeme, takže sa musíme prispôsobiť novým pravidlám. Nové pravidlo hovorí, že odčítanie jedného čísla od druhého znamená pridanie do mínusu rovnaké číslo, aké má podpočet.

Skúsme toto pravidlo pochopiť na príklade výrazu 5 − 3. Minuend v tomto výraze je 5 a subtrahend je 3. Pravidlo hovorí, že ak chcete odpočítať 3 od 5, musíte k 5 pridať číslo, ktoré je opakom 3. Opakom čísla 3 je −3 . Napíšeme nový výraz:

A už vieme nájsť významy pre takéto výrazy. Toto je sčítanie čísel s rôznymi znakmi, na ktoré sme sa pozreli skôr. Ak chcete pridať čísla s rôznymi znamienkami, odčítame menší modul od väčšieho modulu a pred výslednú odpoveď vložíme znamienko čísla, ktorého modul je väčší:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Modul čísla 5 je väčší ako modul čísla −3. Preto sme od 5 odčítali 3 a dostali sme 2. Číslo 5 má väčší modul, preto sme do odpovede dali znamienko tohto čísla. To znamená, že odpoveď je kladná.

Spočiatku nie každý dokáže rýchlo nahradiť odčítanie sčítaním. Kladné čísla sa totiž píšu bez znamienka plus.

Napríklad vo výraze 3 − 1 je znamienko mínus označujúce odčítanie operačným znamienkom a netýka sa žiadneho. Jednotka v v tomto prípade je kladné číslo a má svoje vlastné znamienko plus, ale nevidíme ho, pretože plus sa nepíše pred kladnými číslami.

Preto pre prehľadnosť môže byť tento výraz napísaný takto:

(+3) − (+1)

Pre pohodlie sú čísla s vlastnými znakmi umiestnené v zátvorkách. V tomto prípade je nahradenie odčítania sčítaním oveľa jednoduchšie.

Vo výraze (+3) − (+1) je odčítané číslo (+1) a opačné číslo je (−1).

Odčítanie nahradíme sčítaním a namiesto odčítača (+1) napíšeme opačné číslo (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Ďalšie výpočty nebudú ťažké.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že tieto pohyby navyše nemajú zmysel, ak môžete použiť starú dobrú metódu na uvedenie znamienka rovnosti a okamžite zapísať odpoveď 2. V skutočnosti nám toto pravidlo pomôže viackrát.

Vyriešme predchádzajúci príklad 3 − 7 pomocou pravidla odčítania. Najprv uvedieme výraz do jasnej podoby, pričom každému číslu priradíme jeho vlastné znaky.

Trojka má znamienko plus, pretože ide o kladné číslo. Znamienko mínus označujúce odčítanie neplatí pre sedmičku. Sedmička má znamienko plus, pretože je to kladné číslo:

Nahraďte odčítanie sčítaním:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Ďalší výpočet nie je ťažký:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Príklad 7. Nájdite hodnotu výrazu −4 − 5

Opäť tu máme operáciu odčítania. Túto operáciu je potrebné nahradiť pridaním. K minuendu (−4) pripočítame číslo opačné k subtrahendu (+5). Opačné číslo pre subtrahend (+5) je číslo (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Dostali sme sa do situácie, kedy potrebujeme sčítať záporné čísla. Pre takéto prípady platí nasledovné pravidlo:

Ak chcete pridať záporné čísla, musíte pridať ich moduly a dať mínus pred výslednú odpoveď.

Sčítajme teda moduly čísel, ako to vyžaduje pravidlo, a pred prijatú odpoveď dáme mínus:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Záznam s modulmi musí byť uzavretý v zátvorkách a pred týmito zátvorkami musí byť umiestnené znamienko mínus. Týmto spôsobom poskytneme mínus, ktoré by sa malo objaviť pred odpoveďou:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Riešenie tohto príkladu možno stručne napísať:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

alebo ešte kratšie:

−4 − 5 = −9

Príklad 8. Nájdite hodnotu výrazu −3 − 5 − 7 − 9

Uveďme výraz do jasnej podoby. Tu sú všetky čísla okrem −3 kladné, takže budú mať znamienka plus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Nahraďte odčítanie sčítaním. Všetky mínusy, okrem mínus pred tromi, sa zmenia na plusy a všetky kladné čísla sa zmenia na opak:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Teraz aplikujme pravidlo na sčítanie záporných čísel. Ak chcete pridať záporné čísla, musíte pridať ich moduly a dať mínus pred výslednú odpoveď:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Riešenie tohto príkladu možno stručne napísať:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

alebo ešte kratšie:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Príklad 9. Nájdite hodnotu výrazu −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Uveďme výraz do jasnej podoby:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Existujú dve operácie: sčítanie a odčítanie. Sčítanie necháme nezmenené a odčítanie nahradíme sčítaním:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Pozorovaním vykonáme každú akciu postupne na základe predtým naučených pravidiel. Záznamy s modulmi je možné preskočiť:

Prvá akcia:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Druhá akcia:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Tretia akcia:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Štvrtá akcia:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Hodnota výrazu −10 + 6 − 15 + 11 − 7 je teda −15

Poznámka. Vôbec nie je potrebné uvádzať výraz do zrozumiteľnej podoby uzatváraním čísel do zátvoriek. Keď dôjde k návyku na záporné čísla, tento krok možno preskočiť, pretože je časovo náročný a môže byť mätúci.

Takže na sčítanie a odčítanie celých čísel si musíte pamätať na nasledujúce pravidlá:

Pripojte sa k našej novej skupine VKontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

V tomto článku sa budeme zaoberať sčítanie čísel s rôznymi znakmi. Tu uvedieme pravidlo na sčítanie kladných a záporných čísel a zvážime príklady použitia tohto pravidla pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami.

Navigácia na stránke.

Pravidlo pre sčítanie čísel s rôznymi znamienkami

Kladné a záporné čísla možno interpretovať ako majetok a dlh, zatiaľ čo moduly čísel zobrazujú výšku majetku a dlhu. Potom sčítanie čísel s rôznymi znamienkami možno považovať za sčítanie majetku a dlhu. Je jasné, že ak je majetok menší ako dlh, tak po započítaní vznikne dlh, ak je majetok väčší ako dlh, tak po započítaní bude majetok a ak sa majetok rovná dlhu, tak po vyrovnaní nebude dlh ani majetok.

Spojme vyššie uvedené argumenty do pravidlo pre sčítanie čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať kladné a záporné číslo, musíte:

nájsť moduly podmienok;
porovnať získané čísla, pričom
- ak sú výsledné čísla rovnaké, potom pôvodné členy sú opačné čísla a ich súčet je nula,
- ak sa výsledné čísla nerovnajú, musíte si zapamätať znamienko čísla, ktorého modul je väčší;
odčítajte menší od väčšieho modulu;
Pred výsledné číslo uveďte znamienko člena, ktorého modul je väčší.

Uvedené pravidlo redukuje sčítanie čísel s rôznymi znamienkami na odčítanie menšieho čísla od väčšieho kladného čísla. Je tiež jasné, že v dôsledku sčítania kladného a záporného čísla môžete získať buď kladné číslo, záporné číslo alebo nulu.

Všimnite si tiež, že pravidlo pre sčítanie čísel s rôznymi znamienkami platí pre celé čísla, pre racionálne čísla a pre reálne čísla.

Príklady sčítania čísel s rôznymi znakmi

Uvažujme príklady sčítania čísel s rôznymi znamienkami podľa pravidla uvedeného v predchádzajúcom odseku. Začnime jednoduchým príkladom.

www.cleverstudents.ru

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Zlomky sú obyčajné čísla a možno ich aj sčítať a odčítať. Ale keďže majú menovateľa, vyžadujú si zložitejšie pravidlá ako pre celé čísla.

Uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený.

Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:

Ako vidíte, nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa - to je všetko.

Zbaviť sa zlozvyku pridávania menovateľov je celkom jednoduché. Skúste to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.

Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!

Mnoho ľudí robí chyby aj pri sčítaní niekoľkých záporných zlomkov. Nastáva zmätok so znamienkami: kde dať mínus a kde plus.

Plus mínus dáva mínus;
Dva zápory potvrdzujú.

Pozrime sa na to všetko na konkrétnych príkladoch:

V prvom prípade je všetko jednoduché, ale v druhom pridajme mínusy k čitateľom zlomkov:

Čo robiť, ak sa menovatelia líšia

Zlomky s rôznymi menovateľmi nemôžete pridávať priamo. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.

Čo robiť, ak má zlomok celočíselnú časť

Môžem vás potešiť: rôzni menovatelia v zlomkoch nie sú najväčšie zlo. Oveľa viac chýb sa vyskytuje, keď je v sčítacích zlomkoch zvýraznená celá časť.

Samozrejme, že existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania pre takéto zlomky, ale sú dosť zložité a vyžadujú si dlhé štúdium. Je lepšie použiť jednoduchú schému nižšie:

Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa vyššie uvedených pravidiel;
V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. V dôsledku toho prakticky nájdeme odpoveď;
Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. Nevlastného zlomku sa zbavíme zvýraznením celej časti.

Pravidlá prechodu na nesprávne zlomky a zvýraznenie celej časti sú podrobne popísané v lekcii „Čo je to číselný zlomok“. Ak si to nepamätáte, určite si to zopakujte. Príklady:

Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva len previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:

Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.

Zhrnutie: všeobecná schéma výpočtu

Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov: