Najväčší spoločný deliteľ
Definícia 2
Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a $a$ sa nazýva násobok $b$.
Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ $a$ a $b$.
Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je jeden najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a označuje sa nasledujúcim zápisom:
$GCD\(a;b)\ alebo \D\(a;b)$
Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel potrebujete:
- Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
Príklad 1
Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
$GCD=2\cdot 11=22$
Príklad 2
Nájdite gcd monomiálií $ 63 $ a $ 81 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:
Zoberme si čísla do prvočísel
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
$GCD=3\cdot 3=9$
Gcd dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.
Príklad 3
Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.
Riešenie:
Nájdite množinu deliteľov čísla $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz nájdime množinu deliteľov čísla $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. To znamená, že najväčší spoločný deliteľ čísel $48$ a $60$ je $12$.
Definícia NPL
Definícia 3
Spoločné násobky prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.
Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné pôvodnými číslami Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločné násobky čísla $50,100,150,200 $ atď.
Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a bude označený LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$
Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, musíte:
- Rozdeľte čísla na prvočísla
- Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nie sú súčasťou prvého
Príklad 4
Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to
Rozdeľte čísla na prvočísla
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom
pridajte k nim multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhého a nie sú súčasťou prvého
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často veľmi pracná úloha. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidovský algoritmus.
Tvrdenia, na ktorých je založený euklidovský algoritmus:
Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$
Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b
Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne zmenšovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.
Vlastnosti GCD a LCM
- Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
- Ak $a\vdots b$ , potom К$(a;b)=a$
Ak K$(a;b)=k$ a $m$ je prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$
Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $a$ a $b$ platí rovnosť
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Akýkoľvek spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ je deliteľom čísla $D(a;b)$
Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, vďaka ktorým je práca so zlomkami jednoduchá. LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.
Základné pojmy
Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým sa X delí bez zanechania zvyšku. Napríklad deliteľ čísla 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bez zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.
Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže výpočty používajú najväčšieho deliteľa GCD a najmenšieho násobku LCM.
Najmenší deliteľ nemá význam, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov siaha do nekonečna.
Hľadá sa gcd
Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:
- postupné vyhľadávanie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
- rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
- euklidovský algoritmus;
- binárny algoritmus.
Dnes sú vo vzdelávacích inštitúciách najpopulárnejšími metódami rozklad na hlavné faktory a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice na možnosť rozlíšenia v celých číslach.
Nájdenie NOC
Najmenší spoločný násobok sa určí aj postupným vyhľadávaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Ak napríklad GCM(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším príkladom použitia LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorým je najmenší spoločný násobok dané zlomky.
Coprime čísla
Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. Gcd pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia medzi deliteľmi a násobkami sa gcd pre párové páry rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú relatívne prvočísla, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy relatívne prvočísla.
Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka
Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy týkajúce sa výpočtu spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike 5. a 6. ročníka, ale GCD a LCM sú kľúčové pojmy v matematike a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.
Príklady zo života
Spoločný menovateľ zlomkov
Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa viacerých zlomkov. Povedzme, že v aritmetickom probléme potrebujete sčítať 5 zlomkov:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte v kalkulačke 5 čísel a do príslušných buniek zadajte hodnoty menovateľov. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Takže dodatočné multiplikátory budú vyzerať takto:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Takéto zlomky môžeme ľahko sčítať a dostaneme výsledok 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.
Riešenie lineárnych diofantických rovníc
Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na pár rovníc, aby sme zistili, či majú celočíselné riešenie. Najprv skontrolujme rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme GCD (150,8) = 2. Vydelíme 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.
Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite GCD(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica riešiteľná v .
Záver
GCD a LCM zohrávajú veľkú úlohu v teórii čísel a samotné koncepty sa široko používajú v širokej škále oblastí matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.
Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým číslom v skupine bez zanechania zvyšku. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť prvočísla daných čísel. LCM možno vypočítať aj pomocou množstva iných metód, ktoré sa vzťahujú na skupiny dvoch alebo viacerých čísel.
Kroky
Séria násobkov
- Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok 5 a 8. Sú to malé čísla, takže môžete použiť túto metódu.
-
Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Násobky nájdete v tabuľke násobenia.
- Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dve sady čísel.
- Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.
-
Nájdite najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov. Možno budete musieť napísať dlhé série násobkov, aby ste našli celkové číslo. Najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov, je najmenší spoločný násobok.
- Napríklad najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v rade násobkov 5 a 8, je číslo 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.
Prvotná faktorizácia
-
Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je väčšie ako 10. Ak sú zadané menšie čísla, použite inú metódu.
- Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, takže môžete použiť túto metódu.
-
Rozdeľte prvé číslo na prvočísla. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, z ktorých po vynásobení vznikne dané číslo. Keď nájdete hlavné faktory, napíšte ich ako rovnosti.
- Napríklad, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) A 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísla čísla 20 sú teda čísla 2, 2 a 5. Napíšte ich ako výraz: .
-
Faktor druhé číslo do prvočiniteľov. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite také prvočísla, ktoré po vynásobení dajú dané číslo.
- Napríklad, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) A 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísla čísla 84 sú teda čísla 2, 7, 3 a 2. Napíšte ich ako výraz: .
-
Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte také faktory ako operáciu násobenia. Pri písaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré popisujú rozklad čísel na prvočísla).
- Napríklad obe čísla majú spoločný faktor 2, tak napíšte 2 × (\displaystyle 2\times ) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
- Čo majú obe čísla spoločné, je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) a prečiarknite druhé 2 v oboch výrazoch.
-
Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.
- Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) Obidve dvojky (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
- Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obe dvojky (2) sú tiež prečiarknuté. Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).
-
Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v písomnej operácii násobenia.
- Napríklad, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.
Hľadanie spoločných faktorov
-
Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s ďalšími dvoma rovnobežnými čiarami. Získate tak tri riadky a tri stĺpce (mriežka sa veľmi podobá na ikonu #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadku a tretieho stĺpca.
- Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 18 a 30. Do prvého riadka a druhého stĺpca napíšte číslo 18 a do prvého riadka a tretieho stĺpca napíšte číslo 30.
-
Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to do prvého riadku a prvého stĺpca. Je lepšie hľadať hlavné faktory, ale nie je to podmienkou.
- Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný činiteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.
-
Vydeľte každé číslo prvým deliteľom. Každý podiel napíšte pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.
- Napríklad, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napíšte 9 pod 18.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napíšte 15 pod 30.
-
Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade napíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.
- Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.
-
Vydeľte každý podiel jeho druhým deliteľom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný kvocient.
- Napríklad, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napíšte 3 pod 9.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napíšte 5 pod 15.
-
V prípade potreby pridajte do mriežky ďalšie bunky. Opakujte opísané kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.
-
Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte vybrané čísla ako operáciu násobenia.
- Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).
-
Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.
- Napríklad, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.
Euklidov algoritmus
-
Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo, ktorým sa delí. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zvyšok je číslo, ktoré zostane po delení dvoch čísel.
- Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
15 je dividenda
6 je deliteľ
2 je kvocient
3 je zvyšok.
- Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je menšie ako 10. Ak sú uvedené väčšie čísla, použite inú metódu.
