KOMBINATORIKA
Kombinatorika je oblasť matematiky, ktorá študuje problémy výberu a usporiadania prvkov z určitého základného súboru v súlade s danými pravidlami. Vzorce a princípy kombinatoriky sa používajú v teórii pravdepodobnosti na výpočet pravdepodobnosti náhodných udalostí a podľa toho na získanie zákonov rozdelenia náhodných premenných. To nám zase umožňuje študovať vzorce hromadných náhodných javov, čo je veľmi dôležité pre správne pochopenie štatistických vzorcov, ktoré sa prejavujú v prírode a technike.
Pravidlá sčítania a násobenia v kombinatorike
Pravidlo súčtu. Ak sa dve akcie A a B navzájom vylučujú a akciu A možno vykonať m spôsobmi a B n spôsobmi, potom jednu z týchto akcií (buď A alebo B) možno vykonať n + m spôsobmi.
Príklad 1
V triede je 16 chlapcov a 10 dievčat. Koľkými spôsobmi môžete prideliť jedného dôstojníka?
Riešenie
Do služby môže byť zaradený buď chlapec alebo dievča, t.j. dôstojníkom môže byť ktorýkoľvek zo 16 chlapcov alebo ktorékoľvek z 10 dievčat.
Pomocou pravidla súčtu zistíme, že jedného dôstojníka možno prideliť 16+10=26 spôsobmi.
Produktové pravidlo. Nech existuje k akcií, ktoré je potrebné vykonať postupne. Ak je možné prvú akciu vykonať n 1 spôsobmi, druhú akciu n 2 spôsobmi, tretiu n 3 spôsobmi atď., až do k-tej akcie, ktorú možno vykonať n k spôsobmi, potom možno vykonať všetkých k akcií spolu. :
spôsoby.
Príklad 2
V triede je 16 chlapcov a 10 dievčat. Koľkými spôsobmi môžu byť vymenovaní dvaja dôstojníci?
Riešenie
Ako prvá osoba v službe môže byť určený chlapec alebo dievča. Pretože V triede je 16 chlapcov a 10 dievčat, prvú službukonajúcu osobu potom môžete určiť 16+10=26 spôsobmi.
Po tom, čo sme si vybrali prvého strážnika, môžeme zo zvyšných 25 ľudí vybrať druhého, t.j. 25 spôsobov.
Podľa násobiacej vety je možné vybrať dvoch účastníkov 26*25=650 spôsobmi.
Kombinácie bez opakovania. Kombinácie s opakovaním
Klasickým problémom v kombinatorike je problém počtu kombinácií bez opakovaní, ktorého obsah možno vyjadriť otázkou: koľko spôsoby Môcť vyberte si m od n rôznych položiek?
Príklad 3
Musíte si vybrať 4 z 10 rôznych kníh dostupných ako darček. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?
Riešenie
Musíme vybrať 4 knihy z 10, pričom na poradí výberu nezáleží. Preto musíte nájsť počet kombinácií 10 prvkov zo 4:
.
Zvážte problém počtu kombinácií s opakovaniami: existuje r rovnakých objektov každého z n rôznych typov; koľko spôsoby Môcť vyberte si m() od títo (n*r) položiek?
.
Príklad 4.
V cukrárni sa predávali 4 druhy koláčov: napoleonky, zákusky, krehké a lístkové pečivo. Koľkými spôsobmi si môžete kúpiť 7 koláčov?
Riešenie
Pretože Medzi 7 koláčmi môžu byť koláče rovnakého druhu, potom počet spôsobov, na ktoré možno kúpiť 7 koláčov, je určený počtom kombinácií s opakovaním 7 až 4.
.
Umiestnenia bez opakovania. Umiestnenia s opakovaniami
Klasickým problémom v kombinatorike je problém počtu umiestnení bez opakovaní, ktorého obsah možno vyjadriť otázkou: koľko spôsoby Môcť vyberte si A príspevok Autor: m iný Miesta m od n rôzne položky?
Príklad 5.
Niektoré noviny majú 12 strán. Na stránky týchto novín je potrebné umiestniť štyri fotografie. Koľkými spôsobmi to možno urobiť, ak žiadna strana novín nesmie obsahovať viac ako jednu fotografiu?
Riešenie.
V tejto úlohe fotografie nielen nevyberáme, ale umiestňujeme ich na určité strany novín, pričom každá strana novín by nemala obsahovať viac ako jednu fotografiu. Problém sa teda redukuje na klasický problém určenia počtu umiestnení bez opakovania 12 prvkov zo 4 prvkov:
4 fotografie na 12 stranách sa teda dajú usporiadať 11 880 spôsobmi.
Klasickým problémom v kombinatorike je aj problém počtu umiestnení s opakovaním, ktorého obsah možno vyjadriť otázkou: koľko spôsoby Môcť vybarmády A príspevok Autor: m iný Miesta m od n položiek,spripravený ktoré Existuje rovnaký?
Príklad 6.
Chlapec mal ešte pečiatky s číslami 1, 3 a 7 zo svojej sady spoločenských hier. Rozhodol sa použiť tieto pečiatky na umiestnenie päťciferných čísel na všetky knihy, aby vytvoril katalóg. Koľko rôznych päťciferných čísel dokáže chlapec vytvoriť?
Permutácie bez opakovania. Permutácie s opakovaniami
Klasickým problémom v kombinatorike je problém počtu permutácií bez opakovania, ktorého obsah možno vyjadriť otázkou: koľko spôsoby Môcť príspevok n rôzne položky na n rôzne Miesta?
Príklad 7.
Koľko štvorpísmenových „slov“ dokážete vytvoriť z písmen slova „manželstvo“?
Riešenie
Všeobecnú populáciu tvoria 4 písmená slova „manželstvo“ (b, p, a, k). Počet „slov“ je určený permutáciami týchto 4 písmen, t.j.
Pre prípad, že medzi vybranými n prvkami sú identické prvky (výber s návratom), problém počtu permutácií s opakovaniami možno vyjadriť otázkou: Koľkými spôsobmi možno preusporiadať n objektov umiestnených na n rôznych miestach, ak medzi n objektmi existuje k rôznych typov (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.
Príklad 8.
Koľko rôznych kombinácií písmen možno vytvoriť z písmen slova „Mississippi“?
Riešenie
Existuje 1 písmeno "m", 4 písmená "i", 3 písmená "c" a 1 písmeno "p", spolu 9 písmen. Preto je počet permutácií s opakovaniami rovný
ZHRNUTIE ZÁKLADNÝCH PODMIENOK PRE SEKCIU "KOMBINATORIKA"
V tomto článku budeme hovoriť o špeciálnom odbore matematiky, ktorý sa nazýva kombinatorika. Vzorce, pravidlá, príklady riešenia problémov - to všetko nájdete tu, keď si prečítate článok až do konca.
Čo je teda táto sekcia? Kombinatorika sa zaoberá problematikou počítania akýchkoľvek predmetov. Ale v tomto prípade nie sú predmetmi slivky, hrušky alebo jablká, ale niečo iné. Kombinatorika nám pomáha nájsť pravdepodobnosť udalosti. Napríklad pri hraní kariet – aká je pravdepodobnosť, že súper má tromf? Alebo tento príklad: aká je pravdepodobnosť, že z vrecka s dvadsiatimi guľôčkami dostanete bielu? Práve na tento druh problémov potrebujeme poznať aspoň základy tohto odvetvia matematiky.
Kombinatorické konfigurácie
Vzhľadom na problematiku základných pojmov a vzorcov kombinatoriky nám nedá nevenovať pozornosť kombinatorickým konfiguráciám. Používajú sa nielen na formulovanie, ale aj na riešenie rôznych príkladov.
- ubytovanie;
- preskupenie;
- kombinácia;
- zloženie čísla;
- rozdelenie čísla.
O prvých troch si povieme podrobnejšie neskôr, no v tejto časti sa budeme venovať kompozícii a deleniu. Keď hovoria o zložení určitého čísla (napríklad a), majú na mysli reprezentáciu čísla a ako usporiadaného súčtu určitých kladných čísel. A oddiel je neusporiadaná suma.
Sekcie
Predtým, ako prejdeme priamo k vzorcom kombinatoriky a úvahám o problémoch, stojí za to venovať pozornosť skutočnosti, že kombinatorika, podobne ako iné odvetvia matematiky, má svoje vlastné podsekcie. Tie obsahujú:
- enumeratívne;
- štrukturálne;
- extrémny;
- Ramseyho teória;
- pravdepodobnostný;
- topologické;
- nekonečný.
V prvom prípade hovoríme o kalkulatívnej kombinatorike, problém sa týka enumerácie alebo počítania rôznych konfigurácií, ktoré sú tvorené prvkami množín. Na tieto zostavy sú spravidla uvalené určité obmedzenia (rozlišnosť, nerozlíšiteľnosť, možnosť opakovania a pod.). A počet týchto konfigurácií sa vypočíta pomocou pravidiel sčítania alebo násobenia, o ktorých budeme hovoriť o niečo neskôr. Štrukturálna kombinatorika zahŕňa teórie grafov a matroidov. Príkladom problému extrémnej kombinatoriky je, aký je najväčší rozmer grafu, ktorý spĺňa nasledujúce vlastnosti... Vo štvrtom odseku sme spomenuli Ramseyho teóriu, ktorá študuje prítomnosť pravidelných štruktúr v náhodných konfiguráciách. Pravdepodobnostná kombinatorika je schopná odpovedať na otázku – aká je pravdepodobnosť, že daná množina má určitú vlastnosť. Ako možno uhádnete, topologická kombinatorika aplikuje metódy v topológii. A napokon siedmy bod – nekonečná kombinatorika študuje aplikáciu kombinatoriky na nekonečné množiny.
Pravidlo sčítania
Medzi kombinatorikovými vzorcami nájdete celkom jednoduché vzorce, ktoré poznáme už pomerne dlho. Príkladom je pravidlo súčtu. Predpokladajme, že máme dve akcie (C a E), ak sa navzájom vylučujú, akciu C možno vykonať niekoľkými spôsobmi (napríklad a) a akciu E možno vykonať spôsobmi b, potom ktorýkoľvek z nich ( C alebo E) sa môže uskutočniť spôsobmi a + b.
Teoreticky je to dosť ťažké pochopiť, pokúsime sa to vysvetliť na jednoduchom príklade. Vezmime si priemerný počet žiakov v jednej triede – povedzme dvadsaťpäť. Medzi nimi je pätnásť dievčat a desať chlapcov. Každý deň je do každej triedy pridelená jedna osoba v službe. Koľko spôsobov dnes existuje na vymenovanie dozorcu triedy? Riešenie problému je celkom jednoduché, uchýlime sa k pravidlu sčítania. V texte problému sa nehovorí, že službu môžu mať len chlapci alebo len dievčatá. Preto to môže byť ktorékoľvek z pätnástich dievčat alebo ktorýkoľvek z desiatich chlapcov. Aplikovaním súčtového pravidla dostaneme celkom jednoduchý príklad, ktorý bez problémov zvládne aj žiak základnej školy: 15 + 10. Po spočítaní dostaneme odpoveď: dvadsaťpäť. To znamená, že na dnešný deň existuje iba dvadsaťpäť spôsobov, ako prideliť triedu v službe.
Pravidlo násobenia
K základným vzorcom kombinatoriky patrí aj pravidlo násobenia. Začnime teóriou. Povedzme, že potrebujeme vykonať niekoľko akcií (a): prvá akcia sa vykoná 1 spôsobmi, druhá - 2 spôsobmi, tretia - 3 spôsobmi a tak ďalej až do poslednej a-akcie, vykonanej 3 spôsobmi. Potom je možné všetky tieto akcie (ktorých máme celkom) vykonať N spôsobmi. Ako vypočítať neznáme N? Pomôže nám k tomu vzorec: N = c1 * c2 * c3 *…* cca.
Opäť nie je nič jasné v teórii, takže poďme zvážiť jednoduchý príklad použitia pravidla násobenia. Zoberme si rovnakú triedu dvadsiatich piatich ľudí, v ktorej je pätnásť dievčat a desať chlapcov. Tentoraz musíme vybrať dvoch ľudí v službe. Môžu to byť buď len chlapci alebo dievčatá, alebo chlapec a dievča. Prejdime k elementárnemu riešeniu problému. Vyberáme si prvého v službe, ako sme sa rozhodli v poslednom odseku, dostaneme dvadsaťpäť možných možností. Druhá osoba v službe môže byť ktorákoľvek zo zostávajúcich osôb. Mali sme dvadsaťpäť študentov, vybrali sme si jedného, čo znamená, že druhou osobou v službe mohol byť ktorýkoľvek zo zvyšných dvadsiatich štyroch ľudí. Nakoniec použijeme pravidlo násobenia a zistíme, že dvoch dôstojníkov v službe možno zvoliť šesťsto spôsobmi. Toto číslo sme získali vynásobením dvadsiatich piatich a dvadsiatich štyroch.
Preskupenie
Teraz sa pozrieme na ďalší kombinatorický vzorec. V tejto časti článku budeme hovoriť o permutáciách. Navrhujeme okamžite zvážiť problém pomocou príkladu. Zoberme si biliardové gule, máme ich n-té číslo. Musíme spočítať, koľko je možností usporiadať ich za sebou, teda vytvoriť usporiadanú zostavu.
Začnime, ak nemáme gule, tak máme aj nulové možnosti umiestnenia. A ak máme jednu guľu, potom je usporiadanie tiež rovnaké (matematicky to možno zapísať takto: P1 = 1). Dve loptičky môžu byť umiestnené dvoma rôznymi spôsobmi: 1,2 a 2,1. Preto P2 = 2. Tri gule môžu byť usporiadané šiestimi spôsobmi (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. Čo ak takýchto loptičiek nie sú tri, ale desať alebo pätnásť? Vymenovať všetky možné možnosti by trvalo veľmi dlho, potom nám prichádza na pomoc kombinatorika. Permutačný vzorec nám pomôže nájsť odpoveď na otázku, ktorá nás zaujíma. Pn = n*P (n-1). Ak sa pokúsime vzorec zjednodušiť, dostaneme: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. A toto je súčin prvých prirodzených čísel. Toto číslo sa nazýva faktoriál a označuje sa ako n!
Uvažujme o probléme. Každé ráno poradca zoradí svoj tím (dvadsať ľudí). V tíme sú traja najlepší priatelia - Kostya, Sasha a Lesha. Aká je pravdepodobnosť, že budú stáť vedľa seba? Ak chcete nájsť odpoveď na otázku, musíte vydeliť pravdepodobnosť „dobrého“ výsledku celkovým počtom výsledkov. Celkový počet permutácií je 20! = 2,5 quintilióna. Ako spočítať počet „dobrých“ výsledkov? Predpokladajme, že Kosťa, Sasha a Lesha sú jeden superman. Potom máme len osemnásť predmetov. Počet permutácií je v tomto prípade 18 = 6,5 kvadriliónov. S tým všetkým sa Kostya, Sasha a Lesha môžu ľubovoľne pohybovať medzi sebou vo svojich nedeliteľných troch, a to sú ešte 3! = 6 možností. To znamená, že máme celkom 18 „dobrých“ usporiadaní! *3! Všetko, čo musíme urobiť, je nájsť požadovanú pravdepodobnosť: (18! * 3!) / 20! Čo sa rovná približne 0,016. Ak sa prepočítajú na percentá, vyjde to len na 1,6 %.
Ubytovanie
Teraz sa pozrieme na ďalší veľmi dôležitý a potrebný kombinatorikový vzorec. Umiestnenie je naším ďalším problémom, ktorý vám odporúčame zvážiť v tejto časti článku. Ideme na komplikácie. Predpokladajme, že chceme zvážiť možné permutácie nie z celej množiny (n), ale z menšej (m). To znamená, že uvažujeme o permutáciách n položiek podľa m.
Základné vzorce kombinatoriky si treba nielen zapamätať, ale aj pochopiť. Aj keď sa stávajú komplikovanejšími, keďže nemáme jeden parameter, ale dva. Predpokladajme, že m = 1, potom A = 1, m = 2, potom A = n * (n - 1). Ak vzorec ešte zjednodušíme a prejdeme na zápis pomocou faktoriálov, dostaneme úplne lakonický vzorec: A = n! / (n - m)!
Kombinácia
Zopakovali sme si takmer všetky základné kombinatorické vzorce s príkladmi. Teraz prejdime do záverečnej fázy zvažovania základného kurzu kombinatoriky – spoznávania kombinácií. Teraz vyberieme m položiek z n, ktoré máme, a vyberieme všetko všetkými možnými spôsobmi. Ako sa to potom líši od umiestnenia? Na objednávku nebudeme brať ohľad. Tento neusporiadaný set bude kombináciou.
Hneď zavedieme zápis: C. Z n vyberieme umiestnenie m guľôčok. Prestávame dbať na poriadok a končíme s opakujúcimi sa kombináciami. Aby sme získali počet kombinácií, musíme počet umiestnení vydeliť m! (m faktoriál). To znamená, že C = A / m! Existuje teda len niekoľko spôsobov výberu z n loptičiek, čo sa približne rovná počtu spôsobov, ako vybrať takmer všetky. Existuje na to logické vyjadrenie: vybrať si trochu je to isté, ako vyhodiť takmer všetko. Na tomto mieste je tiež dôležité spomenúť, že maximálny počet kombinácií možno dosiahnuť pri pokuse o výber polovice položiek.
Ako si vybrať vzorec na vyriešenie problému?
Podrobne sme preskúmali základné vzorce kombinatoriky: umiestnenie, permutáciu a kombináciu. Teraz je našou úlohou uľahčiť výber potrebného vzorca na riešenie kombinatoriky. Môžete použiť nasledujúcu pomerne jednoduchú schému:
- Opýtajte sa sami seba: Zohľadňuje sa poradie, v ktorom sú prvky umiestnené v texte problému?
- Ak je odpoveď nie, použite kombinovaný vzorec (C = n! / (m! * (n - m)!)).
- Ak je odpoveď nie, potom je potrebné odpovedať na ďalšiu otázku: sú všetky prvky zahrnuté v kombinácii?
- Ak je odpoveď áno, použite permutačný vzorec (P = n!).
- Ak je odpoveď nie, použite vzorec umiestnenia (A = n! / (n - m)!).
Príklad
Pozreli sme sa na prvky kombinatoriky, vzorce a niektoré ďalšie problémy. Teraz prejdime k skutočnému problému. Predstavte si, že máte pred sebou kiwi, pomaranč a banán.
Prvá otázka: Koľkými spôsobmi je možné ich preusporiadať? Na to použijeme permutačný vzorec: P = 3! = 6 spôsobov.
Otázka druhá: na koľko spôsobov si môžete vybrať jedno ovocie? To je zrejmé, máme len tri možnosti - vybrať si kiwi, pomaranč alebo banán, ale použime kombinačný vzorec: C = 3! / (2! * 1!) = 3.
Otázka tretia: Koľkými spôsobmi si môžete vybrať dva druhy ovocia? Aké možnosti vôbec máme? Kiwi a pomaranč; kivi a banán; pomaranč a banán. To znamená, že existujú tri možnosti, ale je ľahké to skontrolovať pomocou kombinovaného vzorca: C = 3! / (1! * 2!) = 3
Otázka štvrtá: Koľkými spôsobmi si môžete vybrať tri druhy ovocia? Ako vidíte, existuje len jeden spôsob, ako si vybrať tri druhy ovocia: vezmite si kiwi, pomaranč a banán. C = 3! / (0! * 3!) = 1.
Otázka piata: na koľko spôsobov si môžete vybrať aspoň jedno ovocie? Tento stav znamená, že si môžeme vziať jeden, dva alebo všetky tri plody. Preto sčítame C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7. To znamená, že máme sedem spôsobov, ako zobrať aspoň jedno ovocie zo stola.
Kombinatorika je oblasť matematiky, ktorá študuje otázky o tom, koľko rôznych kombinácií možno za určitých podmienok vytvoriť z daných predmetov. Základy kombinatoriky sú veľmi dôležité pre odhad pravdepodobnosti náhodných udalostí, pretože Práve tie nám umožňujú vypočítať zásadne možný počet rôznych scenárov vývoja udalostí.
Základný vzorec kombinatoriky
Nech je k skupín prvkov a i-tá skupina pozostáva z n i prvkov. Z každej skupiny vyberieme jeden prvok. Potom celkový počet N spôsobov, ktorými je možné takúto voľbu uskutočniť, je určený vzťahom N=n 1 * n 2 * n 3 *...* n k .
Príklad 1 Vysvetlime si toto pravidlo na jednoduchom príklade. Nech sú dve skupiny prvkov a prvá skupina pozostáva z n 1 prvkov a druhá - z n 2 prvkov. Koľko rôznych párov prvkov možno vytvoriť z týchto dvoch skupín tak, aby pár obsahoval jeden prvok z každej skupiny? Povedzme, že sme vzali prvý prvok z prvej skupiny a bez toho, aby sme ho zmenili, prešli všetky možné dvojice, pričom sme zmenili iba prvky z druhej skupiny. Pre tento prvok môže byť n 2 takýchto párov. Potom vezmeme druhý prvok z prvej skupiny a tiež k nemu vytvoríme všetky možné dvojice. Bude tiež n 2 takýchto párov. Pretože v prvej skupine je iba n 1 prvkov, celkový počet možných možností bude n 1 * n 2 .
Príklad 2 Koľko trojciferných párnych čísel možno zostaviť z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa číslice môžu opakovať?
Riešenie: n 1 = 6 (pretože ako prvú číslicu môžete vziať akékoľvek číslo od 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 = 7 (pretože ako druhú číslicu môžete vziať akékoľvek číslo od 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 = 4 (keďže akékoľvek číslo od 0, 2, 4, 6 môže byť brané ako tretia číslica).
Takže, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
V prípade, keď všetky skupiny pozostávajú z rovnakého počtu prvkov, t.j. n 1 =n 2 =...n k =n môžeme predpokladať, že každý výber je urobený z tej istej skupiny a prvok po výbere je vrátený do skupiny. Potom je počet všetkých metód výberu n k . Tento spôsob výberu v kombinatorike je tzv vzorky s návratkou.
Príklad 3 Koľko štvorciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 5, 6, 7, 8?
Riešenie. Pre každú číslicu štvorciferného čísla existuje päť možností, čo znamená N=5*5*5*5=5 4 =625.
Uvažujme množinu pozostávajúcu z n prvkov. V kombinatorike sa táto množina tzv všeobecná populácia.
Počet umiestnení n prvkov na m
Definícia 1. Ubytovanie od n prvky podľa m v kombinatorike akýkoľvek objednaná sada od m rôzne prvky vybrané z populácie v n prvkov.
Príklad 4. Rôzne usporiadania troch prvkov (1, 2, 3) po dvoch budú množiny (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2). Umiestnenia sa môžu navzájom líšiť v prvkoch aj v poradí.
Počet umiestnení v kombinatorike sa označuje ako A n m a vypočíta sa podľa vzorca:
komentár: n!=1*2*3*...*n (čítaj: "en faktoriál"), navyše sa predpokladá, že 0!=1.
Príklad 5. Koľko je dvojciferných čísel, v ktorých sú desiatky a jednotka rôzne a nepárne?
Riešenie: pretože Ak existuje päť nepárnych číslic, konkrétne 1, 3, 5, 7, 9, potom táto úloha spočíva v výbere a umiestnení dvoch z piatich rôznych číslic na dve rôzne pozície, t.j. uvedené čísla budú:
Definícia 2. Kombinácia od n prvky podľa m v kombinatorike akýkoľvek neusporiadaná sada od m rôzne prvky vybrané z populácie v n prvkov.
Príklad 6. Pre množinu (1, 2, 3) sú kombinácie (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Počet kombinácií n prvkov, každý m
Počet kombinácií je označený C n m a vypočíta sa podľa vzorca:
Príklad 7. Koľkými spôsobmi si môže čitateľ vybrať dve knihy zo šiestich dostupných?
Riešenie: Počet metód sa rovná počtu kombinácií šiestich kníh po dvoch, t.j. rovná sa:
Permutácie n prvkov
Definícia 3. Permutácia od n prvky sa nazývajú ľubovoľné objednaná sada tieto prvky.
Príklad 7a. Všetky možné permutácie množiny pozostávajúcej z troch prvkov (1, 2, 3) sú: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Počet rôznych permutácií n prvkov sa označí P n a vypočíta sa podľa vzorca P n =n!.
Príklad 8. Koľkými spôsobmi možno sedem kníh od rôznych autorov usporiadať do jedného radu na poličke?
Riešenie: Tento problém sa týka počtu permutácií siedmich rôznych kníh. Existuje P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 spôsobov, ako usporiadať knihy.
Diskusia. Vidíme, že počet možných kombinácií možno vypočítať podľa rôznych pravidiel (permutácií, kombinácií, umiestnení) a výsledok bude iný, pretože Princíp výpočtu a samotné vzorce sú odlišné. Pri pozornom pohľade na definície si všimnete, že výsledok závisí od viacerých faktorov súčasne.
Po prvé, z koľkých prvkov môžeme kombinovať množiny (aký veľký je súčet prvkov).
Po druhé, výsledok závisí od veľkosti množín prvkov, ktoré potrebujeme.
Nakoniec je dôležité vedieť, či je pre nás dôležité poradie prvkov v súbore. Vysvetlime posledný faktor na nasledujúcom príklade.
Príklad 9. Na rodičovskom stretnutí je prítomných 20 ľudí. Koľko rôznych možností je na zloženie materského výboru, ak musí mať 5 ľudí?
Riešenie: V tomto príklade nás nezaujíma poradie mien na zozname komisie. Ak sa v dôsledku toho stanú jej súčasťou tí istí ľudia, znamená to pre nás rovnakú možnosť. Preto môžeme použiť vzorec na výpočet čísla kombinácie z 20 prvkov po 5.
Veci budú iné, ak bude každý člen výboru spočiatku zodpovedný za konkrétnu oblasť práce. Potom, s rovnakým zložením zoznamu v komisii, je v nej možno 5! možnosti permutácií na tom záleží. Počet rôznych možností (v zložení aj v oblasti zodpovednosti) je v tomto prípade určený počtom umiestnenia z 20 prvkov po 5.
Samotestovacie úlohy
1. Koľko trojciferných párnych čísel možno zostaviť z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa číslice môžu opakovať?
2. Koľko je päťciferných čísel, ktoré sa čítajú rovnako zľava doprava a sprava doľava?
3. V triede je desať predmetov a päť vyučovacích hodín denne. Koľkými spôsobmi môžete vytvoriť rozvrh na jeden deň?
4. Koľkými spôsobmi možno vybrať 4 delegátov na konferenciu, ak je v skupine 20 ľudí?
5. Koľkými spôsobmi možno vložiť osem rôznych listov do ôsmich rôznych obálok, ak je v každej obálke vložené iba jedno písmeno?
6. Komisia zložená z dvoch matematikov a šiestich ekonómov by mala byť zložená z troch matematikov a desiatich ekonómov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?
