Jak obliczyć objętość wzoru równoległościennego. Wzory do obliczania objętości prostokąta i równoległościanu. Przykłady z życia

Zmierz wszystkie wymagane odległości w metrach. Objętość wielu figur trójwymiarowych można łatwo obliczyć za pomocą odpowiednich wzorów. Jednak wszystkie wartości podstawione do wzorów muszą być mierzone w metrach. Dlatego przed wstawieniem wartości do wzoru upewnij się, że wszystkie są mierzone w metrach lub że inne jednostki miary przeliczyłeś na metry.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Objętość równoległościanu

Rozmiar objętości daje nam wyobrażenie o tym, jaką część przestrzeni zajmuje interesujący nas obiekt, a aby znaleźć objętość prostokątnego równoległościanu, musimy pomnożyć jego powierzchnię podstawy przez jego wysokość.

W życiu codziennym najczęściej do pomiaru objętości cieczy używa się z reguły jednostki miary takiej jak litr = 1 dm3.

Oprócz tej jednostki miary do określenia objętości stosuje się:

Równoległościan jest jedną z najprostszych figur trójwymiarowych, dlatego znalezienie jego objętości nie jest trudne.

Objętość równoległościanu jest równa iloczynowi jego długości, szerokości i wysokości. Te. Aby znaleźć objętość prostokątnego równoległościanu, wystarczy pomnożyć wszystkie trzy jego wymiary.

Aby obliczyć objętość sześcianu, należy zmierzyć jego długość i podnieść do trzeciej potęgi.

Definicja równoległościanu

Przypomnijmy sobie teraz, czym jest równoległościan i czym różni się od sześcianu.

Równoległościan to trójwymiarowa figura, której podstawą jest wielokąt. Powierzchnia prostokątnego równoległościanu składa się z sześciu prostokątów, które są ścianami tego równoległościanu. Dlatego logiczne jest, że równoległościan ma sześć ścian, które składają się z równoległoboków. Wszystkie ściany tego wielokąta, które znajdują się naprzeciw siebie, mają te same wymiary.

Wszystkie krawędzie równoległościanu są bokami ścian. Ale punkty styku twarzy są wierzchołkami tej figury.

Ćwiczenia:

1. Przyjrzyj się uważnie rysunkowi i powiedz, co Ci przypomina?
2. Zastanów się i odpowiedz, gdzie na co dzień możesz spotkać taką postać?
3. Ile krawędzi ma równoległościan?

Rodzaje równoległościanów

Równoległościany dzielą się na kilka odmian, takich jak:

Prostokątny;
Skłonny;
Sześcian

Do równoległościanów prostokątnych zaliczają się figury, których ściany składają się z prostokątów.

Jeśli ściany boczne nie są prostopadłe do podstawy, wówczas masz nachylony równoległościan.

Figura taka jak sześcian jest również równoległościanem. Wszystkie jego ściany bez wyjątku mają kształt kwadratów.

Właściwości równoległościanu

Badana liczba ma wiele właściwości, o których teraz się dowiemy:

Po pierwsze, przeciwne strony tej figury są równe i równoległe do siebie;

Po drugie, jest symetryczny tylko względem środka dowolnej i wszystkich swoich przekątnych;

Po trzecie, jeśli weźmiesz i narysujesz przekątne między wszystkimi przeciwległymi wierzchołkami równoległoboku, wówczas będą one miały tylko jeden punkt przecięcia.

Po czwarte, kwadrat długości jego przekątnej jest równy sumie kwadratów jej 3 wymiarów.

Odniesienie historyczne

W różnych epokach historycznych różne kraje stosowały różne systemy pomiaru masy, długości i innych wielkości. Ponieważ jednak komplikowało to stosunki handlowe między krajami, a także utrudniało rozwój nauki, zaistniała potrzeba posiadania jednolitego międzynarodowego systemu środków, który byłby wygodny dla wszystkich krajów.

Metryczny system miar SI, który odpowiadał większości krajów, został opracowany we Francji. Dzięki Mendelejewowi w Rosji wprowadzono metryczny system miar.

Ale wiele zawodów do dziś posługuje się własnymi, specyficznymi metrykami, czasem jest to hołd dla tradycji, czasem kwestia wygody. Na przykład żeglarze nadal wolą mierzyć prędkość w węzłach, a odległość w milach – jest to dla nich tradycja. Ale jubilerzy na całym świecie preferują taką jednostkę miary jak karat - w ich przypadku jest to zarówno tradycja, jak i wygoda.

Pytania:

1. Kto wie, ile metrów mieści się w jednej mili? Co to jest jeden węzeł?
2. Dlaczego jednostką miary diamentów jest „karat”? Dlaczego w przeszłości jubilerom wygodnie było mierzyć masę w takich jednostkach?
3. Kto pamięta w jakich jednostkach mierzy się olej?

Dzień dobry wszystkim! Mam na imię Iwan i jestem ojcem ucznia, który nie jest zbyt dobry z matematyki. Niedawno mój syn otrzymał zadanie - znaleźć objętość równoległościanu i po małej majsterkowaniu i nie mogąc rozwiązać problemu, zwrócił się do mnie. Niewiele wiedzy szkolnej pozostało mi w pamięci, dlatego musiałam sięgnąć po podręczniki, przeczytać je na nowo, a następnie wytłumaczyć synowi przestudiowany materiał. Z pewnością moje doświadczenie przyda się innym rodzicom, dlatego napisałem ten artykuł, który zawiera szczegółowe informacje na temat rozwiązywania problemów dotyczących objętości tej figury geometrycznej.

Trochę teorii

Zanim powiem Ci, jak właściwie znaleźć objętość i pole równoległościanu i używając jakiego wzoru, przypomnijmy sobie wspólnie, co to jest. Ta figura geometryczna ma trzy równoważne interpretacje:

1. Równoległościan to wielościan o 6 ścianach, którego osobliwością jest to, że każda z nich jest równoległobokiem.
2. Termin ten obejmuje również sześciokąt z 3 parami ścian, które będą do siebie równoległe.
3. Pryzmat oparty na równoległoboku nazywany jest również równoległościanem.

Najczęściej konieczne jest obliczenie objętości równoległościanów kilku różnych typów. Każdy przypadek ma swój własny wzór i własne rozwiązanie, a poniżej szczegółowo wyjaśnię, jak rozwiązywać typowe problemy przy obliczaniu objętości różnych typów tej figury geometrycznej.

Przejdźmy do ćwiczeń

Jak rozwiązać problem znalezienia objętości prostokątnego równoległościanu? Osobliwością tego typu figur jest to, że każda z jej ścian jest prostokątem. Jeśli chcesz zrozumieć, jak wygląda prostokątny równoległościan, spójrz na najzwyklejsze pudełko na buty.

Aby rozwiązać problem, najpierw szukamy wartości dwóch boków podstawy figury. Boki są do siebie prostopadłe i wyznaczane są według wzoru: P-AxB, gdzie A to długość, a B to szerokość. Następnie odkrywamy kolejny kluczowy parametr, a mianowicie znajdź wysokość. A potem przechodzimy do obliczenia objętości, w której będzie działał wzór: V = PxH, czyli aby otrzymać objętość należy pomnożyć pole podstawy przez wysokość. Jak znaleźć wysokość - tutaj warto zajrzeć do podręcznika geometrii i napisać wzór na znalezienie krawędzi figury.

Aby znaleźć objętość prawego równoległościanu, przyjrzyjmy się, jak wygląda ta konkretna figura. Jej ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstawy, dlatego objętość zostanie obliczona identycznie jak w zadaniu powyżej, należy jednak wziąć pod uwagę jedynie, że wysokość nie będzie krawędzią figury, ale odcinkiem łączącym ściany przeciwne do siebie i prostopadle do podstawy. Podstawą jest tutaj równoległobok i dlatego wzór będzie nieco bardziej skomplikowany: P=AxBxsin(a). A, B to długość i szerokość podstawy, a „a” to kąt, jaki utworzą podczas przecięcia.

Objętość równoległościanu

Obliczmy objętość nachylonego typu figury. Ściany tego typu figury nie są prostopadłe do jej podstawy, dlatego obliczenia należy rozpocząć od znalezienia wysokości. Mnożymy wysokość przez pole podstawy i otrzymujemy objętość, czyli nasz wzór wygląda następująco: V = PxN.

Pozostaje dowiedzieć się, jak obliczyć objętość figury, której boki są kwadratowe. Figurę tę częściej nazywa się sześcianem, ale jednocześnie jest to równoległościan, którego każda ściana jest kwadratem. Dlatego wszystkie jego krawędzie będą sobie równe. Wzór na obliczenie objętości będzie tak prosty, jak to możliwe: musisz zmierzyć żebra i podnieść wynik obliczeń do trzeciej potęgi.

W ten sposób znajduje się objętość tak interesującej figury geometrycznej, jak równoległościan. Mam nadzieję, że napisana przeze mnie krótka ściągawka będzie dobrą pomocą dla uczniów i rodziców w rozwiązywaniu problemów z geometrii, a Twój uczeń nie napisze ani jednego sprawdzianu ze złą oceną!

Prostokątny równoległościan to figura mająca u podstawy prostokąt. Figura ma sześć boków. Przecinające się twarze tworzą żebra, jest ich 12.

Prostokątny równoległościan ma cztery ściany boczne. W życiu często spotykamy tę figurę: szafę, lodówkę, pudełko - wszystkie mają kształt prostokątnego równoległościanu.

Ryż. 1. Prostokątny równoległościan

Wzór na objętość danej figury

Objętość sześcianu (figury z kwadratem u podstawy) o boku 1 jednostki nazywa się 1 jednostką sześcienną.

Ryż. 2. Kostka jednostkowa

Jeśli chcesz ułożyć spód figury za pomocą takich kostek, będziesz potrzebować 4 kostek na długość i 3 na szerokość.

Ryż. 3. Prostokątny równoległościan wypełniony kulą sześcianów

Zatem, aby wypełnić bazę, potrzebujesz:

3 x 4 =12 - tak obliczyliśmy pole.

Aby wypełnić całą figurę i poznać objętość, musisz obliczyć, ile takich warstw kostek zmieści się na wysokości, na przykład, jeśli wynosi 2, wówczas objętość będzie wynosić:

3 x 4 x 2 = 24 kostki

Jeśli więc weźmiemy pod uwagę, że długość podstawy figury wynosi 4 jednostki, szerokość 3, a wysokość 2, to aby odjąć objętość prostokątnego równoległościanu, konieczne jest znalezienie iloczynu te ilości lub pomiary. Figurę, która ma trzy wymiary, nazywa się trójwymiarową lub wolumetryczną.

Litera V jest używana do oznaczenia objętości.

Wzór na objętość równoległościanu prostokątnego jest następujący:

$$V = a · b · c$$

W razie potrzeby wszystkie dane w zadaniu należy przeliczyć na te same jednostki miary.

Jednostki miary to $mm^3, cm^3, dm^3$ i tak dalej. Ważne jest, aby poprawnie przeczytać: 1 m^3$ i tak dalej.

Angielski iluzjonista spędził 44 dni w szklanym prostokątnym równoległościanie zawieszonym nad Tamizą. Do dyspozycji miał jedynie wodę, poduszkę, materac i przybory do pisania.

Ćwiczenia: Odejmij objętość figury, której szerokość wynosi 4 cm, długość 50 mm i wysokość 10 cm.

Rozwiązanie: Najpierw musisz przekonwertować wszystkie dane na jedną jednostkę miary.

4 dolary m. = 40 cm$;

50 dolarów. = 5 cm$.

$V = 40 5 10 = 200 cm^3$

Zatem objętość figury wynosi $V = 200 cm^3$

Do pomiaru objętości cieczy stosuje się specjalną jednostkę miary: litr - 1 litr.

Starożytne pomiary cieczy, na przykład kor = 220 l, baht = 22 l.

Pomiary objętości:

$$1 l = 1000 cm^3 = 1 dm^3$$

$$1 km^3 = 1000 000 000 m^3$$

$$1 m^3 = 1000 dm^3 = 1 000 000 cm^3$$

$$1 dm^3 = 1000 cm^3$$

UUD poznawczy:

Wyraź strukturę problemu na różne sposoby.

Wybierz, porównaj i uzasadnij metody rozwiązania problemu.

UUD regulacyjny:

porównać sposób i wynik swoich działań z zadanym standardem,

Wykrywaj odchylenia i różnice od normy.

UUD komunikacji:

Wyrażaj swoje myśli z wystarczającą kompletnością i dokładnością, zgodnie z zadaniami i warunkami komunikacji

Wynik tematu:

Określ rodzaj figur przestrzennych. Oblicz objętości sześcianu i równoległościanu prostokątnego, korzystając ze wzorów na objętość sześcianu i równoległościanu prostokątnego.

PODCZAS ZAJĘĆ:

Organizowanie czasu (sprawdzenie gotowości klasy i uczniów do zajęć)(slajd 1-2). (1 minuta)

Motywacja do lekcji (slajd 3)(1 minuta)

Wstali cicho, zamilkli,

Masz wszystko, czego potrzebujesz.

Przygotowany do lekcji

Inaczej nie ma z tego pożytku.

Witam, usiądź,

Nie odwracaj się więcej.

Zaczniemy teraz lekcję

On jest dla ciebie interesujący.

Słuchaj uważnie

Na pewno wszystko zrozumiesz.

Formułowanie tematu lekcji: (3 min)

Cieszę się, że cię widzę. Rozpoczynamy naszą lekcję.Chcę, aby ta lekcja przyniosła Ci nowe odkrycia i mam nadzieję, że z powodzeniem zastosujesz swoją istniejącą wiedzę do rozwiązywania praktycznych problemów. Zapraszam do odgadnięcia słowa, które mam na myśli, które będzie słowem kluczowym naszej lekcji.

Aktualizacja podstawowej wiedzy: (slajd 4)

Aby nazwać słowo, będziesz musiał wykonać trochę matematyki i ułożyć wartości w kolejności rosnącej:

(83)

(80)

Znajdź odległość, korzystając z danych:

(12)

(10)

Znajdź obszar figury:

(24)

Dobrze zrobiony. Temat naszej dzisiejszej lekcji brzmi: „Objętość. Objętość prostokątnego równoległościanu.”

Otwórzcie swoje zeszyty i zapiszcie dzisiejszą datę, temat lekcji i słowa fajna praca.

Praca domowa: (slajd 6)(1 minuta)

№ 843, nr 844, nr 848 (b)

Otwórz podręcznik za pomocą. 125-126, przygotuj się do odpowiedzi na moje pytania: (slajd 7-8)(3 minuty)

Jak rozumiesz słowo „objętość”?

Jakie znasz jednostki objętości? (mm 3 , dm 3 , cm 3 , M 3 , km 3 )

Jak inaczej nazywa się decymetr sześcienny? (litr)

Jak obliczyć objętość prostokątnego równoległościanu? (Aby znaleźć objętość prostokątnego równoległościanu, potrzebujeszdługość pomnożyć przezszerokość i dalejwysokość ).

Jaki jest wzór na obliczenie objętości równoległościanu prostokątnego? (GdzieV – tom, a, b, c - pomiary).

Jak myślisz, co oznacza ta praca?A IB, w tej formule? (powierzchnia bazowa) ()

Co możesz powiedzieć o objętości sześcianu? ()

Brawo, pomyślnie odpowiedziałeś na pytania.

Wykonywanie ćwiczeń: (slajd 9-11)(8 minut)

№ 822

Objętość pomieszczenia wynosi 60 m 2 . Wysokość pokoju wynosi 3 m, szerokość 4 m. Znajdź długość pokoju oraz powierzchnię podłogi, sufitu i ścian.

Co mówi problem?

Jaki kształt ma pokój?

V =60 m 2 , Z =3 m,B =4 m. Aby znaleźć długość pomieszczenia, potrzebujesz:

Długość pokoju;

Aby obliczyć powierzchnię podłogi, należy pomnożyć długość przez szerokość: . Powierzchnia sufitu będzie równa powierzchni podłogi, ponieważ są przeciwne, tj. Powierzchnia sufitu jest równa.

Aby obliczyć pole ścian, należy pomnożyć długość przez wysokość, a szerokość przez wysokość: wówczas pamiętajmy, że ściany są naprzeciwko siebie, czyli 2 ściany po 15 każdaM 2 i 2 ściany po 12M 2 . Następnie powierzchnia ścian:

№ 825 (a, b)

a) wyrazić w centymetrach sześciennych:

b) wyrazić w decymetrach sześciennych:

Zadanie. Oblicz objętość sześcianu o boku 15 cm. Wyraź odpowiedź w decymetrach sześciennych.

Informacje historyczne: (1 min 30 s)

Słowa nauczyciela.

Zagadnienie pomiaru objętości ciał stałych od dawna interesuje ludzkość. Wykorzystując fakt, że cieczy w normalnych warunkach nie da się sprężyć, można zmierzyć objętość ciał stałych poprzez umieszczenie ich w cieczy.

Archimedes jako pierwszy odkrył tę metodę ważenia.

(Slajd 12 – wideo.)

Rozwijając tę ​​myśl, Archimedes odkrył prawo unoszenia się ciał: ciało zanurzone w cieczy traci na wadze tyle, ile waży wypierana przez nie ciecz. Dlatego jeśli ciężar wypartej cieczy jest większy niż ciężar samego ciała, wówczas unosi się ona w górę.

i trochę się rozgrzejemy:

Minuta wychowania fizycznego (slajd 13)(1 minuta)

Niezależna praca nad opcjami, a następnie wzajemna poprzez sprawdzenie). (10 minut.) (slajd 14)

1. opcja.

A) S=vt;

B) V=abc;

V) P=2 (a+b);

d) V= 4a

2. Jaka jest objętość sześcianu, jeśli jego krawędź wynosi 5 cm?(125cm 3 )

3. Jaka jest długość boku kwadratu, jeśli jego pole wynosi 100 cm 2 ? (10cm)

Opcja II

1. Podaj wzór na obliczenie objętości równoległościanu prostokątnego

A) S=vt;

B) V=ab;

V) P=2 (a+b);

d) V = S podstawowy Z.

2. Jaka jest objętość prostokątnego równoległościanu, jeśli jego wymiary wynoszą 5 cm, 12 cm i 4 cm?(240cm 3 )

3. Jakie jest pole kwadratu o boku 6 cm?(36cm 2 )

Aby to sprawdzić, uczniowie wymieniają się zeszytami z sąsiadem, który sprawdza i ocenia na ekranie

Refleksja: (3 min)

Każdy uczeń wpisuje oceny do swojej wykresówki:

Nazwisko Imię _____________________________________