Egyszerű lineáris egyenletek megoldása. Lineáris egyenletek megoldása példákkal Egyenlet 5-tel

33. lecke

Téma: Egyenletek

Az óra céljai:

Foglalja össze és rendszerezze a tanulók tudását a vizsgált témában, folytassa a munkát az egyenletek és problémák megoldási képességének fejlesztésén egyenletalkotással.

Javítani kell a tanulók számítástechnikai készségeit

A tanulás iránti felelősségteljes hozzáállás kialakítása.

A siker feltételei

Tudom …

Megértem …

Meg tudom csinálni ….

Az órák alatt

Bevezető – motivációs pillanat

Matek, barátok,
Abszolút mindenkinek szüksége van rá.
Dolgozz szorgalmasan az órán
És biztos, hogy siker vár rád!

Ma továbbra is megtanuljuk, hogyan lehet egyenleteket és problémákat megoldani az egyenlet módszerrel.

Az ismeretek frissítése

A feladatok elvégzéséhez áttekintjük az egyenletek megoldásához szükséges alapfogalmakat és az egyenletalkotással megoldandó feladatokat.

( )

Milyen egyenlőséget nevezünk egyenletnek?

Melyik számot nevezzük az egyenlet gyökének?

Mit jelent egy egyenlet megoldása?

Hogyan ellenőrizhető, hogy egy egyenlet helyesen van-e megoldva?

Házi feladat teljesítésének ellenőrzése (2. dia)

(a házi feladat teljesítésének ellenőrzése önteszttel történik)

Megoldás a tanulók által kiejtéssel

(x – 87) – 27 = 36

87 – (41 + y) = 22

x – 87 = 36 + 27

41 + y = 87 - 22

x – 87 = 63

41 + y = 65

x = 63 + 87

y = 65-41

x = 150

y = 24

Vizsgálat

Vizsgálat

(150 – 87) - = 36

87 – (41 + 24) = 22

63 – 27 = 36

87 – 65 = 22

36 = 36 (helyes)

22 = 22 (helyes)

Szóbeli munka

1.Nevezd meg azoknak az egyenleteknek a számait (az egyenletek fel vannak írva a táblára), amelyekben a kifejezést meg kell találni!
Mely egyenletekben ismeretlen a minuend?
Mely egyenletekben kell megtalálni a részrészt?
Mely egyenletekben ismeretlen a kifejezés?
Keresse meg az egyenletek gyökereit!

x + 21 = 40; 2) a – 21 = 40; 3) 50 = a + 31; 4) s – 23 = 61; 5) 42 = 70 – y;

6) 38 - x = 38; 7) 25 – a = 25; 8) x + 32 = 32; 9) y – 0 = 27; 10) 60 – s = 35

(3. dia)

Csoportmunka
Ismeretlen szám keresése:

1) 71-et adtunk az ismeretlenhez, és 100-at kaptunk.
(x + 71 = 100)
x = 100–71
x = 29
2) Két szám szorzata 72, az egyik tényező 12, keresse meg a második tényezőt.
12*X = 72
X = 72:12
X = 6
3) Ha egy bizonyos számot elosztunk 9-cel, a hányados 11. Keresse meg ezt a számot.
x: 9 = 31
x = 31* 9
x = 279

Egyenletek munkája (5. dia)

A tanulókat megkérjük, hogy hozzanak létre három egyenletet a feltételeknek megfelelően, és oldják meg ezeket az egyenleteket a következő sorrendben:
1) Az „x” és a 40 számok összege közötti különbség 50-szer nagyobb, mint a 31.
(Az egyenletet kommentárral oldjuk meg)
2) A 70-es szám nagyobb, mint a 25-ös szám és az „y” összege 38-cal.
(A tanulók önállóan oldják meg az egyenletet, és az egyik tanuló felírja a megoldást a tábla hátuljára)
3) A 120-as szám és az „a” szám közötti különbség 53-mal kisebb, mint a 65-ös szám.
(Az egyenlet megoldása teljesen fel van írva a táblára, majd az egész osztály megbeszéli az egyenlet megoldását)

Feladatokon dolgozni (6. dia)

1. számú feladat
A dobozban több alma is volt. Miután még 32 almát tettek bele, 81 volt. Hány alma volt eredetileg a dobozban?

Mit mond a probléma? Milyen műveleteket végzett az almával? Mit kell tudni a problémáról? Mit ábrázoljon a betű?
Legyen x alma a kosárban. Miután további 32 alma került bele, (x + 32) alma volt, a probléma körülményei szerint pedig 81 alma volt a kosárban.
Tehát létrehozhatunk egy egyenletet:
x + 32 = 81,
x = 81-32,
x = 49

Kezdetben 49 alma volt a kosárban.
Válasz: 49 alma.

2. probléma
A stúdióban 70 (m) szövet volt. A szövet egy részéből ruhákat készítettek, és további 18 (m) nadrágot használtak fel, ami után 23 (m) maradt. Hány méter szövetet használtak a ruhákhoz?

Mit mond a probléma? Milyen műveleteket végzett az anyaggal? Mit kell tudni a problémáról? Mit ábrázoljon a betű?
Legyen x (m) anyag a ruhákhoz. Ezután (x + 18) méter szövetet használtak fel ruhák és nadrágok varrására. A probléma körülményei szerint ismert, hogy 23 m van hátra.
Tehát létrehozhatunk egy egyenletet:
70 – (x + 18) = 23,
x + 18 = 70-23,
x + 18 = 47,
x = 47-18,
x = 29.

A ruhákhoz 29 méter szövetet használtak fel.
Válasz: 29 méter.

Önálló munkavégzés (7. dia)

Az önálló munkavégzés két lehetőség közül választható.

1 lehetőség

2. lehetőség

Oldja meg az egyenleteket:

Oldja meg az egyenleteket:

1) 320 – x = 176

1) 450 – y = 246

2) y + 294 = 501

2) x + 386 = 602

Makarova T.P., GBOU 618. számú középiskola, „Egyenletek” képzés 5. osztály

Képzés 5. évfolyamnak „Egyenletek” témában 2 változatban

Makarova Tatyana Pavlovna,

Tanár, 618-as középiskola, Moszkva

Kontingens: 5. évfolyam

A képzés célja, hogy tesztelje a hallgatók tudását és készségeit az „Egyenletek” témában. A képzés az 5. osztályos tanulók számára készült: N.Ya, V.I. Zsokhova és mások. – M.: Mnemosyne, 2013. – 288 p. A teszt két párhuzamos, azonos nehézségű, kilenc feladatot tartalmaz (4 feleletválasztós feladat, 3 rövid válaszfeladat, 2 bővített megoldású feladat).

Ez a képzés teljes mértékben megfelel a szövetségi állam oktatási szabványának (második generáció), felhasználható a tantermi monitorozás során, valamint az 5. osztályos tanulók is használhatják a témával kapcsolatos önálló munkára.

A teszt kitöltésére 15-25 perc óra áll rendelkezésre. Kulcsok mellékelve.

Képzés az 5. osztály számára „Egyenletek” témában. 1.opció.

№p/p

Gyakorlat

Válasz

Oldja meg az egyenletet

574

1124

1114

1024

Keresse meg az egyenlet gyökerét

(156-x )+43=170.

1) Az egyenlet gyöke egy betű értéke.

2) A (23-as) egyenlet gyöke x) – 21 = 2 nem természetes szám.

3) Az ismeretlen részrész megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.

4) Egyenlet x – x= 0-nak pontosan egy gyöke van.

Petya gondolt egy számra. Ha ehhez a számhoz hozzáadunk 43-at, és a kapott összeghez 77-et, akkor 258-at kapunk. Milyen számra gondolt Petya?

1) (x + 43) – 77 = 258

2) (x + 43) + 77 = 258

3) (x – 43) + 77 = 258

4) (x – 43) – 77 = 258

Oldja meg az egyenletet: (5· Val vel – 8) : 2 = 121: 11.

Oldja meg az egyenletet: 821 – ( m + 268) = 349.

Keresse meg a szám értékét A, ha 8 A + 9x= 60 és x=4.

Oldja meg a feladatot az egyenlet segítségével. A könyvtárban 125 matematikai könyv volt. Miután a diákok elvittek több könyvet, majd visszavittek 3 könyvet, 116 könyv volt összesen Hány könyvet vittek el a tanulók?

Oldja meg az egyenletet:

456 + (x – 367) – 225 =898

Képzés az 5. osztály számára „Egyenletek” témában. 2. lehetőség.

№p/p

Gyakorlat

Válasz

1. rész Feleletválasztós feladat

Oldja meg az egyenletet

525

1081

535

1071

Keresse meg az egyenlet gyökerét

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

Adja meg a helyes állítások számát:

1) Az egyenlet egy olyan betűt tartalmazó egyenlőség, amelynek értékét meg kell találni.

2) Bármely természetes szám az egyenlet gyöke

3) Az egyenlet gyöke annak a betűnek az értéke, amelynél a megfelelő numerikus kifejezést kapjuk az egyenletből.

4) Az ismeretlen osztalék megtalálásához hozzá kell adni egy osztót a hányadoshoz.

Dasha eszébe jutott egy szám. Ha ehhez a számhoz hozzáadunk 43-at, és a kapott összegből kivonunk 77-et, akkor 258-at kapunk. Milyen számra gondolt Dasha?

1) (x + 43) – 77 = 258

2) (x + 43) + 77 = 258

3) (x – 43) + 77 = 258

4) (x – 43) – 77 = 258

2. rész Rövid válaszfeladat

Oldja meg az egyenletet: 63: (2· x – 1) = 21: 3.

Oldja meg az egyenletet: 748 – ( b +248) = 300.

Keresse meg a szám értékét A, ha 7 A – 3x= 41 és x=5.

3. rész Feladatok részletes megoldásokkal

Oldja meg a feladatot az egyenlet segítségével. A raktárban 197 gép volt. Miután néhányat eladtak és további 86-ot behoztak, még 115 gép maradt a raktárban. Hány gépet adtak el összesen?

Az egyenlet egy olyan egyenlőség, amelyben van egy ismeretlen tag - x. Meg kell találni a jelentését.

Az ismeretlen mennyiséget az egyenlet gyökének nevezzük. Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni a gyökerét, ehhez pedig ismerni kell az egyenletek tulajdonságait. Az 5. évfolyam egyenletei nem nehezek, de ha megtanulod helyesen megoldani, akkor a jövőben nem lesz gondod velük.

Az egyenletek fő tulajdonsága

Ha egy egyenlet mindkét oldala azonos mértékben változik, akkor továbbra is ugyanaz az egyenlet ugyanazzal a gyökkel. Oldjunk meg néhány példát a szabály jobb megértése érdekében.

Egyenletek megoldása: Összeadás vagy kivonás

Tegyük fel, hogy van egy ilyen alakú egyenletünk:

• a + x = b - itt a és b számok, x pedig az egyenlet ismeretlen tagja.

Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk (vagy kivonjuk belőlük) a c értéket, az nem fog változni:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

1. példa

Használjuk ezt a tulajdonságot az egyenlet megoldására:

• 37+x=51

Vonjuk le a 37-et mindkét oldalról:

• 37+x-37=51-37

kapunk:

• x=51-37.

Az egyenlet gyöke x=14.

Ha alaposan megnézzük az utolsó egyenletet, láthatjuk, hogy az megegyezik az elsővel. Egyszerűen áthelyeztük a 37-es tagot az egyenlet egyik oldaláról a másikra, és a pluszt mínuszra cseréltük.

Kiderült, hogy bármely szám átvihető az egyenlet egyik részéből a másikba ellenkező előjellel.

2. példa

• 37+x=37+22

Végezzük el ugyanazt a műveletet, mozgassuk a 37-es számot az egyenlet bal oldaláról jobbra:

• x=37-37+22

Mivel 37-37=0, egyszerűen csökkentjük ezt, és megkapjuk:

• x =22.

Egy egyenlet azonos előjelű, az egyenlet különböző részein elhelyezkedő, azonos tagjai redukálhatók (áthúzhatók).

Szorzó- és osztásegyenletek

Az egyenlőség mindkét oldala szorozható vagy osztható ugyanazzal a számmal:

Ha az a = b egyenlőséget elosztjuk vagy szorozzuk c-vel, az nem változik:

• a/c = b/c,
• ac = bс.

3. példa

• 5x = 20

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 5-tel:

• 5x/5 = 20/5.

Mivel 5/5 = 1, csökkentjük ezeket a szorzókat és osztókat az egyenlet bal oldalán, és megkapjuk:

• x = 20/5, x = 4

4. példa

• 5x = 5a

Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 5-tel, akkor a következőt kapjuk:

• 5x/5 = 5a/5.

A bal és a jobb oldal számlálójában és nevezőjében szereplő 5-ös törlődik, így x = a. Ez azt jelenti, hogy az egyenletek bal és jobb oldalán lévő azonos tényezők érvénytelenítenek.

Oldjunk meg egy másik példát:

• 13 + 2x = 21

A 13-as tagot az egyenlet bal oldaláról jobbra mozgatjuk ellentétes előjellel:

• 2x = 21-13
• 2x = 8.

Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 2-vel, a következőt kapjuk:

• x = 4.

Ebben a videóban egy sor lineáris egyenletet elemezünk, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.

Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?

Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokig.

A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:

Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:

1. Bontsa ki a zárójeleket, ha vannak;
2. Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
3. Adjon hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalán;
4. A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.

Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:

1. Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például amikor valami olyasmi kiderül, hogy $0\cdot x=8$, pl. a bal oldalon a nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
2. A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.

Most pedig nézzük meg, hogyan működik mindez, valós példák segítségével.

Példák egyenletek megoldására

Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.

Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:

1. Először is ki kell bővítenie a zárójeleket, ha vannak (mint legutóbbi példánkban);
2. Akkor hozzon hasonlót
3. Végül izoláljuk a változót, azaz. vigyen át mindent, ami a változóval kapcsolatos – a kifejezéseket, amelyekben szerepel – az egyik oldalra, és helyezzen át mindent, ami nélküle marad.

Ezután általában hasonlókat kell hozni a kapott egyenlőség mindkét oldalára, és ezután már csak az „x” együtthatóval kell osztani, és megkapjuk a végső választ.

Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. A hibák jellemzően a zárójelek megnyitásakor vagy a „plusz” és „mínusz” kiszámításakor történnek.

Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy a megoldás a teljes számegyenes, i.e. bármilyen szám. A mai leckében ezeket a finomságokat nézzük meg. De amint azt már megértette, a legegyszerűbb feladatokkal kezdjük.

Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására

Először is hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:

1. Bontsa ki a zárójeleket, ha vannak.
2. Elkülönítjük a változókat, azaz. Mindent, ami „X”-et tartalmaz, áthelyezünk az egyik oldalra, és mindent, amiben nincs „X” a másik oldalra.
3. Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
4. Mindent elosztunk „x” együtthatóval.

Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak benne bizonyos finomságok és trükkök, és most megismerjük őket.

Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre

1. számú feladat

Az első lépéshez meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk ezt a lépést. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Kérjük, vegye figyelembe: csak egyedi kifejezésekről beszélünk. Írjuk fel:

Hasonló kifejezéseket mutatunk be a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért továbblépünk a negyedik lépésre: osszuk el az együtthatóval:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tehát megkaptuk a választ.

2. feladat

Ebben a feladatban láthatjuk a zárójeleket, ezért bővítsük ki őket:

A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a kialakítást látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. a változók szétválasztása:

Íme néhány hasonló:

Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.

3. feladat

A harmadik lineáris egyenlet érdekesebb:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, egyszerűen csak különböző jelek előzik meg őket. Bontsuk fel őket:

Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Számoljuk ki:

Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az „x” együtthatóval:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során

Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, a következőket szeretném mondani:

• Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
• Még ha vannak is gyökerek, nulla lehet köztük – nincs ezzel semmi baj.

A nulla ugyanaz, mint a többi; semmilyen módon nem szabad megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kap, akkor valamit rosszul csinált.

Egy másik jellemző a zárójelek nyitásához kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. Ezután pedig szabványos algoritmusok segítségével megnyithatjuk: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.

Ennek az egyszerű ténynek a megértése segít elkerülni az ostoba és bántó hibákat a középiskolában, amikor az ilyen dolgokat magától értetődőnek tekintik.

Összetett lineáris egyenletek megoldása

Térjünk át az összetettebb egyenletekre. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és különféle transzformációk végrehajtásakor egy kvadratikus függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijednünk, mert ha a szerző terve szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformációs folyamat során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom biztosan törlődik.

1. számú példa

Nyilvánvaló, hogy az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:

Most pedig vessünk egy pillantást az adatvédelemre:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Íme néhány hasonló:

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, ezért ezt írjuk a válaszba:

\[\varnothing\]

vagy nincsenek gyökerei.

2. példa

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre. Első lépés:

Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:

Íme néhány hasonló:

Nyilvánvaló, hogy ennek a lineáris egyenletnek nincs megoldása, ezért a következőképpen írjuk fel:

\[\varnothing\],

vagy nincsenek gyökerei.

A megoldás árnyalatai

Mindkét egyenlet teljesen megoldott. Ezt a két kifejezést példaként használva ismét meggyőződhettünk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy vagy egy sem, vagy végtelen sok gyök. Esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, amelyeknek egyszerűen nincs gyökere.

De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan kell megnyitni, ha mínusz jel van előtte. Fontolja meg ezt a kifejezést:

Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni „X”-szel. Figyelem: szoroz minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.

És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet kinyitni a zárójelet abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, amikor az átalakítások befejeződtek, eszünkbe jut, hogy a zárójelek előtt egy mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy az alábbiakban minden egyszerűen előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.

Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:

Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig elemi átalakítások sorozata, ahol az egyszerű műveletek világos és hozzáértő végrehajtásának képtelensége oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulnak ilyen egyszerű egyenleteket megoldani.

Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket az automatizmusig csiszolod. Többé nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.

Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása

Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.

1. számú feladat

\[\bal(7x+1 \jobb)\bal(3x-1 \jobb)-21((x)^(2))=3\]

Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:

Tegyünk egy kis magánéletet:

Íme néhány hasonló:

Végezzük el az utolsó lépést:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során másodfokú függvényű együtthatók voltak, ezek kioltották egymást, ami lineárissá teszi az egyenletet, és nem másodfokú.

2. feladat

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Óvatosan hajtsuk végre az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelből származó minden elemet a másodikból származó minden elemmel. Az átalakítások után összesen négy új kifejezésnek kell lennie:

Most óvatosan hajtsuk végre a szorzást minden egyes tagban:

Vigyük át az „X”-szel jelölt kifejezéseket balra, a nem - jobbra pedig a nem szereplő kifejezéseket:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Itt vannak hasonló kifejezések:

Ismét megkaptuk a végső választ.

A megoldás árnyalatai

A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban a következő: amint elkezdjük szorozni azokat a zárójeleket, amelyek egynél több tagot tartalmaznak, ez a következő szabály szerint történik: az első tagot vesszük az elsőből, és szorozunk minden elemmel a második; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból származó minden elemmel. Ennek eredményeként négy ciklusunk lesz.

Az algebrai összegről

Ezzel az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mi az algebrai összeg. A klasszikus matematikában 1-7 $ alatt egy egyszerű konstrukciót értünk: vonjunk ki hetet egyből. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az „egy” számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a „mínusz hetest”. Így különbözik az algebrai összeg a közönséges számtani összegtől.

Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.

Végül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.

Egyenletek megoldása törtekkel

Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadnunk az algoritmusunkhoz. De először hadd emlékeztesselek az algoritmusunkra:

1. Nyissa ki a zárójeleket.
2. Külön változók.
3. Hozz hasonlókat.
4. Oszd el az aránnyal.

Sajnos, ez a csodálatos algoritmus, minden hatékonysága ellenére, nem bizonyul teljesen megfelelőnek, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben a bal és a jobb oldalon is van egy tört.

Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet az első művelet előtt és után is meg lehet tenni, nevezetesen a törtektől való megszabadulást. Tehát az algoritmus a következő lesz:

1. Megszabadulni a törtektől.
2. Nyissa ki a zárójeleket.
3. Külön változók.
4. Hozz hasonlókat.
5. Oszd el az aránnyal.

Mit jelent „megszabadulni a törtektől”? És miért lehet ezt megtenni az első standard lépés után és előtt is? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevezőjében, azaz. A nevező mindenhol csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezzel a számmal, megszabadulunk a törtektől.

1. számú példa

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \jobbra)\cdot 4\]

Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert van két zárójel, nem jelenti azt, hogy mindegyiket "néggyel" kell szoroznia. Írjuk fel:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Most bővítsük ki:

A változót elkülönítjük:

Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Megkaptuk a végső megoldást, térjünk át a második egyenletre.

2. példa

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

A probléma megoldódott.

Tulajdonképpen ez minden, amit ma el akartam mondani.

Főbb pontok

A legfontosabb megállapítások a következők:

• Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
• A zárójelek kinyitásának képessége.
• Ne aggódjon, ha valahol másodfokú függvényei vannak, ezek a további átalakítások során csökkenni fognak.
• A lineáris egyenletekben háromféle gyök található, még a legegyszerűbbek is: egyetlen gyök, az egész számegyen gyök, és nincs gyök.

Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, és oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!

Lineáris egyenletek. Megoldás, példák.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Lineáris egyenletek.

A lineáris egyenletek nem a legnehezebb téma az iskolai matematikában. De vannak olyan trükkök, amelyek még egy képzett diákot is megzavarhatnak. Találjuk ki?)

A lineáris egyenletet általában a következő alakú egyenletként határozzák meg:

fejsze + b = 0 Ahol a és b– bármilyen szám.

2x + 7 = 0. Itt a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Itt a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Itt a=12, b = 1/2

Semmi bonyolult, igaz? Főleg, ha nem veszi észre a következő szavakat: "ahol a és b tetszőleges számok"... És ha észreveszi és hanyagul meggondolja?) Végül is, ha a=0, b=0(bármilyen szám lehetséges?), akkor kapunk egy vicces kifejezést:

De ez még nem minden! Ha mondjuk a=0, A b=5, Ez valami teljesen abszurdnak bizonyul:

Ami bosszantó és aláássa a matematikába vetett bizalmat, igen...) Főleg vizsgák közben. De ezek közül a furcsa kifejezések közül meg kell találni X-et is! Ami egyáltalán nem létezik. És meglepő módon ezt az X-et nagyon könnyű megtalálni. Megtanuljuk ezt csinálni. Ebben a leckében.

Hogyan lehet felismerni egy lineáris egyenletet a megjelenése alapján? Megjelenéstől függ.) A trükk az, hogy a lineáris egyenletek nem csak a forma egyenletei. fejsze + b = 0 , hanem minden olyan egyenletet is, amely átalakításokkal és egyszerűsítésekkel ebbe a formába redukálható. És ki tudja, hogy lejön-e vagy sem?)

A lineáris egyenlet bizonyos esetekben egyértelműen felismerhető. Tegyük fel, ha van egy egyenletünk, amelyben csak elsőfokú ismeretlenek és számok vannak. És az egyenletben nincs törtek osztva ismeretlen , fontos! És osztás szerint szám, vagy numerikus tört – ez örvendetes! Például:

Ez egy lineáris egyenlet. Itt vannak törtek, de nincs x a négyzetben, kockában stb., és nincs x a nevezőkben, azaz. Nem osztás x-szel. És itt van az egyenlet

nem nevezhető lineárisnak. Itt az X-ek mind első fokon vannak, de vannak osztás kifejezéssel x-szel. Egyszerűsítések és átalakítások után megkaphat lineáris egyenletet, másodfokú egyenletet vagy bármit, amit akar.

Kiderült, hogy lehetetlen felismerni a lineáris egyenletet néhány bonyolult példában, amíg majdnem meg nem oldja. Ez felháborító. De a feladatoknál általában nem kérdeznek az egyenlet alakjáról, igaz? A feladatok egyenleteket kérnek döntsd el. Ez boldoggá tesz.)

Lineáris egyenletek megoldása. Példák.

A lineáris egyenletek teljes megoldása az egyenletek azonos transzformációiból áll. A megoldások alapját egyébként ezek az átalakítások (két darab!) képezik a matematika összes egyenlete. Más szóval a megoldás Bármi az egyenlet éppen ezekkel a transzformációkkal kezdődik. Lineáris egyenletek esetén ez (a megoldás) ezeken a transzformációkon alapul, és teljes válasszal zárul. Van értelme követni a linket, nem?) Sőt, van ott példa a lineáris egyenletek megoldására is.

Először nézzük a legegyszerűbb példát. Minden buktató nélkül. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt az egyenletet.

x - 3 = 2 - 4x

Ez egy lineáris egyenlet. Az X-ek mind az első hatványban vannak, nincs X-szel való osztás. De valójában nem mindegy számunkra, hogy milyen egyenletről van szó. Meg kell oldanunk. A séma itt egyszerű. Gyűjts össze mindent az egyenlet bal oldalán lévő X-ekkel, a jobb oldalon pedig mindent, ahol nincs X (számok).

Ehhez át kell vinni - 4x bal oldalra, persze jelzésváltással, ill - 3 - jobbra. Mellesleg ez az az egyenletek első azonos transzformációja. Meglepődött? Ez azt jelenti, hogy nem követted a linket, de hiába...) Ezt kapjuk:

x + 4x = 2 + 3

Itt vannak hasonlók, figyelembe vesszük:

Mi kell a teljes boldogsághoz? Igen, hogy a bal oldalon tiszta X legyen! Öt útban van. Megszabadulni az öttől a segítséggel az egyenletek második azonos transzformációja. Ugyanis az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 5-tel. Kész választ kapunk:

Természetesen egy elemi példa. Ez bemelegítésre szolgál.) Nem egészen világos, hogy miért emlékeztem itt azonos átalakításokra? RENDBEN. Fogjuk meg a bikát a szarvánál.) Döntsünk valami szilárdabbat.

Például itt van az egyenlet:

Hol kezdjük? X-szel - balra, X nélkül - jobbra? Lehet így. Kis lépések egy hosszú úton. Vagy megteheti azonnal, univerzális és erőteljes módon. Ha természetesen azonos egyenlettranszformációk vannak az arzenáljában.

Felteszek egy kulcskérdést: Mit nem szeretsz a legjobban ebben az egyenletben?

100 emberből 95 válaszol: törtek ! A válasz helyes. Tehát szabaduljunk meg tőlük. Ezért azonnal kezdjük azzal második identitástranszformáció. Mi kell ahhoz, hogy a bal oldali törtet megszorozzuk, hogy a nevező teljesen lecsökkenjen? Így van, 3-nál. És a jobb oldalon? 4-gyel. De a matematika lehetővé teszi, hogy mindkét oldalt megszorozzuk ugyanaz a szám. Hogyan juthatunk ki? Szorozzuk meg mindkét oldalt 12-vel! Azok. közös nevezőre. Ekkor a három és a négy is csökkenni fog. Ne felejtse el, hogy minden részt meg kell szoroznia teljesen. Így néz ki az első lépés:

A zárójelek bővítése:

Jegyzet! Számláló (x+2) zárójelbe teszem! Törtszámok szorzásakor ugyanis a teljes számlálót megszorozzuk! Most csökkentheti a törteket:

Bontsa ki a fennmaradó zárójeleket:

Nem példa, hanem tiszta öröm!) Most pedig emlékezzünk egy varázslatra az általános iskolából: X-szel - balra, X nélkül - jobbra!És alkalmazza ezt az átalakítást:

Íme néhány hasonló:

És mindkét részt elosztjuk 25-tel, azaz. alkalmazza újra a második transzformációt:

Ez minden. Válasz: x=0,16

Kérjük, vegye figyelembe: hogy az eredeti zavaró egyenletet szép formába hozzuk, kettőt (csak kettőt!) identitás-transzformációk– balra-jobbra fordítása előjelváltással és egy egyenlet azonos számmal való szorzásával-osztásával. Ez egy univerzális módszer! Ezzel együtt fogunk dolgozni Bármi egyenletek! Teljesen bárki. Ezért unalmasan ismétlem ezeket az azonos átalakulásokat állandóan.)

Mint látható, a lineáris egyenletek megoldásának elve egyszerű. Vegyük az egyenletet, és azonos transzformációkkal egyszerűsítjük, amíg meg nem kapjuk a választ. A fő problémák itt a számításokban vannak, nem a megoldás elvében.

De... Olyan meglepetések érik a legelemibb lineáris egyenletek megoldása során, hogy erős kábulatba kergethetnek...) Szerencsére csak két ilyen meglepetés lehet. Nevezzük őket különleges eseteknek.

Speciális esetek a lineáris egyenletek megoldásában.

Első meglepetés.

Tegyük fel, hogy egy nagyon alapvető egyenlettel találkozik, valami ilyesmi:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Kissé unottan X-szel mozgatjuk balra, X nélkül - jobbra... Jelváltással minden tökéletes... Kapunk:

2x-5x+3x=5-2-3

Számolunk, és... hopp!!! Kapunk:

Ez az egyenlőség önmagában nem kifogásolható. A nulla tényleg nulla. De X hiányzik! És le kell írnunk a válaszba, x mivel egyenlő? Különben a megoldás nem számít, ugye...) Holtpont?

Nyugodt! Ilyen kétes esetekben a legáltalánosabb szabályok megmentenek. Hogyan lehet egyenleteket megoldani? Mit jelent egy egyenlet megoldása? Ez azt jelenti, hogy, keresse meg x összes értékét, amelyet az eredeti egyenletbe behelyettesítve megadjuk a helyes egyenlőséget.

De van igazi egyenlőségünk már történt! 0=0, mennyivel pontosabb?! Azt kell kitalálni, hogy ez melyik x-nél történik. X milyen értékekkel helyettesíthető? eredeti egyenlet, ha ezek az x-ek akkor is nullára csökkennek? Gyerünk?)

Igen!!! Az X-ek helyettesíthetők Bármi! Melyiket szeretnéd? Legalább 5, legalább 0,05, legalább -220. Akkor is zsugorodnak. Ha nem hiszi, ellenőrizheti.) Cserélje be az X bármely értékét eredeti egyenletet és kiszámoljuk. Mindig megkapja a tiszta igazságot: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 és így tovább.

Íme a válaszod: x - tetszőleges szám.

A válasz különböző matematikai jelekkel írható, a lényeg nem változik. Ez egy teljesen helyes és teljes válasz.

Második meglepetés.

Vegyük ugyanazt az elemi lineáris egyenletet, és csak egy számot változtassunk meg benne. Ezt fogjuk eldönteni:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Ugyanezen azonos átalakítások után valami érdekeset kapunk:

Mint ez. Megoldottunk egy lineáris egyenletet, és furcsa egyenlőséget kaptunk. Matematikai értelemben megkaptuk hamis egyenlőség. De leegyszerűsítve ez nem igaz. Félrebeszél. De ennek ellenére ez a hülyeség nagyon jó ok az egyenlet helyes megoldására.)

Ismét általános szabályok alapján gondolkodunk. Ha az eredeti egyenletbe behelyettesítjük az x-eket, az adható meg nekünk igaz egyenlőség? Igen, egyik sem! Nincsenek ilyen X-ek. Mindegy mit teszel bele, minden lecsökken, csak a hülyeségek maradnak.)

Íme a válaszod: nincsenek megoldások.

Ez is teljesen teljes válasz. A matematikában gyakran találunk ilyen válaszokat.

Mint ez. Nos, remélem, az X-ek eltűnése bármely (nem csak lineáris) egyenlet megoldása során egyáltalán nem fogja megzavarni. Ez már ismerős dolog.)

Most, hogy a lineáris egyenletek összes buktatójával foglalkoztunk, van értelme megoldani őket.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.