Legutóbb megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a „Törtek összeadása és kivonása”). Ezeknek az akcióknak a legnehezebb része az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.
Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. A jó hír az, hogy ezek a műveletek még az összeadásnál és a kivonásnál is egyszerűbbek. Először nézzük a legegyszerűbb esetet, amikor két pozitív tört van elválasztott egész rész nélkül.
Két tört szorzásához külön kell szoroznia a számlálójukat és a nevezőiket. Az első szám az új tört számlálója, a második pedig a nevező.
Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a „fordított” második törttel.
Kijelölés:
A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukál. Tört „átforgatásához” csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért a leckében elsősorban a szorzást fogjuk figyelembe venni.
A szorzás eredményeként redukálható tört keletkezhet (és gyakran előfordul is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört helytelennek bizonyul, a teljes részt ki kell emelni. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztmetszetek, a legnagyobb tényezők és a legkisebb közös többszörösek.
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Törtek szorzása egész részekkel és negatív törtekkel
Ha a törtek egész részt tartalmaznak, akkor azokat nem megfelelő részekre kell konvertálni - és csak ezután kell megszorozni a fent vázolt sémák szerint.
Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az alábbi szabályok szerint kivehető a szorzásból vagy teljesen eltávolítható:
- Plusz mínuszra mínuszt ad;
- Két negatívum igenlővé tesz.
Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől kellett megszabadulni. Egy mű esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több hátrányt is „égessenek”:
- Páronként áthúzzuk a negatívokat, amíg teljesen el nem tűnnek. Szélsőséges esetekben egy mínusz maradhat fenn - az, amelyikhez nem volt párja;
- Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mert nem volt hozzá pár, akkor a szorzás határain kívülre vesszük. Az eredmény egy negatív tört.
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Az összes törtet helytelenné alakítjuk, majd kivesszük a mínuszokat a szorzásból. A maradékot a szokásos szabályok szerint megszorozzuk. Kapunk:
Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a kiemelt egész részt tartalmazó tört előtt megjelenő mínusz kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak a teljes részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).
Ügyeljünk a negatív számokra is: szorzáskor zárójelben szerepelnek. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és a teljes jelölés pontosabb legyen.
Törtszámok csökkentése menet közben
A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt elég nagynak bizonyulnak, és a probléma egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja tovább csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a megmaradt számokat.
Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Helyükön olyan egységek maradnak, amelyeket általában véve nem kell írni. A második példában nem sikerült teljes csökkentést elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.
Ezt a technikát azonban soha ne használja törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:
Ezt nem teheted!
A hiba abból adódik, hogy a tört számlálójának összeadásakor az összeg jelenik meg, nem pedig a számok szorzata. Következésképpen a tört alaptulajdonságát nem lehet alkalmazni, mivel ez a tulajdonság kifejezetten a számok szorzására vonatkozik.
Egyszerűen nincs más oka a törtek csökkentésének, így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:
Helyes megoldás:
Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.
) és nevezőről nevezőt (a szorzat nevezőjét kapjuk).
A törtek szorzásának képlete:
Például:
Mielőtt elkezdené a számlálók és nevezők szorzását, ellenőriznie kell, hogy a tört csökkenthető-e. Ha csökkenteni tudja a törtet, akkor könnyebb lesz további számításokat végeznie.
Közönséges tört elosztása törttel.
Természetes számokat tartalmazó törtek osztása.
Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan az egész számot olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy. Például:
Vegyes törtek szorzása.
A törtek szorzásának szabályai (vegyes):
- vegyes frakciókat nem megfelelő frakciókká alakítani;
- a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzása;
- csökkentse a frakciót;
- Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.
Jegyzet! Egy vegyes tört egy másik vegyes törttel való szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtek formájába, majd meg kell szorozni a közönséges törtek szorzására vonatkozó szabály szerint.
A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.
Kényelmesebb lehet a második módszert használni a közönséges tört számmal való szorzására.
Jegyzet! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztania a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagynia.
A fenti példából jól látható, hogy ezt a lehetőséget kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.
Többemeletes törtek.
A középiskolában gyakran találkoznak háromemeletes (vagy több) törtekkel. Példa:
Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, használjon 2 pontra osztást:
Jegyzet! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.
Jegyzet, Például:
Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:
Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:
1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha írsz néhány plusz sort a piszkozatodba, mint eltévedni a gondolati számításokban.
2. A különböző típusú törteket tartalmazó feladatoknál lépjen a közönséges törtek típusára.
3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.
4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé alakítjuk.
5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.
A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket életükön keresztül, hiszen a mindennapi életben gyakran nem egészben, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet például egy termék hosszát vagy árát egész számban kifejezni, vagy valamilyen mértéket kell figyelembe venni. A „osztani” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó az orosz nyelvben a 8. században keletkezett.
A törtkifejezéseket régóta a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.
Az egyszerű törtmaradványok modern formáját, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci - Pisa Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan szorozzák a különböző nevezőkkel rendelkező vegyes törteket.
Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása
Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:
- helyes;
- helytelen;
- vegyes.
Ezután emlékeznie kell arra, hogyan szorozzák meg az azonos nevezővel rendelkező törtszámokat. Ennek a folyamatnak a szabályát nem nehéz önállóan megfogalmazni: az azonos nevezővel rendelkező egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, amelynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Azaz valójában az új nevező az eredetileg meglévők valamelyikének négyzete.
Szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Az egyetlen különbség az, hogy a törtvonal alatt képzett szám különböző számok szorzata lesz, és természetesen nem nevezhető egyetlen numerikus kifejezés négyzetének.
Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket használnak. Csak azokat a számlálószámokat csökkentheti, amelyeknél a szomszédos tényezők a törtvonal felett vagy alatt vannak, nem csökkenthetők.
Az egyszerű törtek mellett létezik a vegyes törtek fogalma. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Hogyan működik a szorzás?
Több példa is megfontolandó.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, a művelet szabálya a következőképpen írható fel:
a* b/c = a*b /c.
Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Van egy másik megoldás is egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:
d* e/f = e/f: d.
Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt egy maradék nélküli természetes számmal osztjuk, vagy ahogy mondják, egész számmal.
Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ez a példa egy vegyes tört helytelen törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, és általános képletként is ábrázolható:
a bc = a*b+ c / c, ahol az új tört nevezőjét úgy alakítjuk ki, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel, és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.
Ez a folyamat az ellenkező irányba is működik. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.
Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.
Az interneten számos segítő található még bonyolult matematikai problémák megoldására is a programok különféle változataiban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a nevezőkben különböző számokkal rendelkező törtek szorzásának kiszámításához - az úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nemcsak szorozni, hanem minden más egyszerű aritmetikai műveletet is végrehajtani közönséges törtekkel és vegyes számokkal. Könnyű vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a weboldalon, válassza ki a matematikai művelet jelét, és kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.
A törtekkel végzett aritmetikai műveletek témája a közép- és középiskolások oktatásában végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész számú tört kifejezések, de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. A jól elsajátított alapismeretek teljes önbizalmat adnak a legbonyolultabb problémák sikeres megoldásában.
Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.
A tört egy egész egy vagy több része, általában egynek (1) vesszük. A természetes számokhoz hasonlóan a törtekkel is elvégezhet minden alapvető aritmetikai műveletet (összeadás, kivonás, osztás, szorzás), ehhez ismerni kell a törtekkel való munka jellemzőit, és meg kell különböztetni a típusukat. Többféle tört létezik: tizedes és közönséges, vagy egyszerű. Minden törttípusnak megvannak a maga sajátosságai, de miután alaposan megértette, hogyan kell kezelni őket, képes lesz bármilyen példát megoldani törtekkel, mivel ismeri a törtekkel végzett számtani számítások alapelveit. Nézzünk példákat arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal különböző típusú törtek használatával.
Hogyan oszthatunk el egy egyszerű törtet természetes számmal?A közönséges vagy egyszerű törtek olyan törtek, amelyeket számarány formájában írnak fel, amelyben az osztalék (számláló) a tört tetején, a tört osztója (nevezője) pedig alul van feltüntetve. Hogyan lehet egy ilyen törtet elosztani egész számmal? Nézzünk egy példát! Tegyük fel, hogy a 8/12-t el kell osztanunk 2-vel.
Ehhez számos műveletet kell végrehajtanunk:
Így, ha azzal a feladattal állunk szemben, hogy egy törtet el kell osztani egy egész számmal, a megoldási diagram valahogy így fog kinézni: 
Hasonló módon bármely közönséges (egyszerű) törtet eloszthat egész számmal.
Hogyan kell elosztani egy tizedesjegyet egész számmal?
A tizedes tört egy olyan tört, amelyet úgy kapunk, hogy egy egységet tíz, ezer és így tovább osztunk. A tizedesjegyekkel végzett aritmetika meglehetősen egyszerű.
Nézzünk egy példát arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk a 0,925 tizedes törtet az 5-ös természetes számmal.
Összefoglalva, maradjunk két fő ponton, amelyek fontosak a tizedes törtek egész számmal való osztásakor: - a tizedes tört természetes számmal való osztásához hosszú osztást használunk;
- A hányadosba vessző kerül, amikor az osztalék teljes részének felosztása befejeződött.
A matematika és a fizika kurzusaiból származó különféle feladatok megoldásához törteket kell osztani. Ezt nagyon könnyű megtenni, ha ismeri a matematikai művelet végrehajtásának bizonyos szabályait.
Mielőtt rátérnénk a törtek osztására vonatkozó szabály megfogalmazására, emlékezzünk néhány matematikai kifejezésre:
- A tört felső részét számlálónak, az alsó részét nevezőnek nevezzük.
- Osztáskor a számokat a következőképpen hívjuk: osztó: osztó = hányados
Törtosztás: egyszerű törtek
Két egyszerű tört osztásához szorozzuk meg az osztalékot az osztó reciprokával. Ezt a törtet fordítottnak is nevezik, mert a számláló és a nevező felcserélésével kapjuk. Például:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
A törtek felosztása: vegyes törtek
Ha vegyes törteket kell osztanunk, akkor itt is minden elég egyszerű és világos. Először a kevert törtet alakítjuk át szabályos nem megfelelő törtté. Ehhez szorozzuk meg egy ilyen tört nevezőjét egy egész számmal, és adjuk hozzá a számlálót a kapott szorzathoz. Ennek eredményeként a vegyes tört új számlálóját kaptuk, de a nevezője változatlan marad. Továbbá a törtek felosztása pontosan ugyanúgy történik, mint az egyszerű törtek felosztása. Például:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Hogyan kell elosztani egy törtet egy számmal
Egy egyszerű tört számmal való osztásához az utóbbit törtként (szabálytalanul) kell írni. Ez nagyon egyszerű: ezt a számot írjuk a számláló helyére, és egy ilyen tört nevezője egyenlő eggyel. A további felosztás a szokásos módon történik. Nézzük ezt egy példával:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Hogyan kell osztani a tizedesjegyeket
Gyakran egy felnőttnek nehézséget okoz egy egész szám vagy egy tizedes tört elosztása tizedes törttel számológép segítsége nélkül.
Tehát a tizedesjegyek felosztásához csak át kell húzni a vesszőt az osztóban, és nem kell figyelni rá. Az osztalékban a vesszőt pontosan annyi helyen kell jobbra mozgatni, amennyi az osztó törtrészében volt, szükség esetén nullákat hozzáadva. Ezután elvégzik a szokásos egész számmal való osztást. Ennek egyértelműbbé tétele érdekében vegye figyelembe a következő példát.
