कम से कम सामान्य एकाधिक कैलकुलेटर। संख्याओं का नोड और नोड - कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृतिक संख्या a, एक प्राकृतिक संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों का सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सामान्य भाजक का सेट सीमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन विभाजकों में से एक सबसे बड़ा विभाजक है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कहा जाता है और इसे निम्नलिखित संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है:

$GCD\(a;b)\ या \D\(a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

1. चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132.$ संख्याओं की gcd ज्ञात कीजिए

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनें जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$GCD=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की gcd ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में प्राप्त संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$GCD=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के विभाजक के एक सेट का उपयोग करके, दो संख्याओं की जीसीडी दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ संख्याओं की gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए $48$ संख्या के विभाजकों का समुच्चय ज्ञात करें: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

आइए अब संख्या के भाजक का समुच्चय ज्ञात करें $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

आइए इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट संख्याओं $48$ और $60 के सामान्य विभाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व संख्या $12$ होगी। इसका मतलब यह है कि संख्याओं $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनपीएल की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ हैं जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं $25$ और $50$ के लिए, सामान्य गुणज संख्याएँ $50,100,150,200$ आदि होंगी।

सबसे छोटे समापवर्त्य को लघुत्तम समापवर्तक कहा जाएगा और उसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b).$ दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. गुणनखंड संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें
2. उन कारकों को लिखें जो पहली संख्या का हिस्सा हैं और उनमें उन कारकों को जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले का हिस्सा नहीं हैं

उदाहरण 4

$99$ और $77$ संख्याओं का LCM ज्ञात करें।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

गुणनखंड संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उनमें ऐसे गुणक जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हों और पहले का हिस्सा न हों

चरण 2 में प्राप्त संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्तक होगी

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के विभाजकों की सूची संकलित करना अक्सर बहुत श्रमसाध्य कार्य होता है। जीसीडी को खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिडियन एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिडियन एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते, ताकि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

जीसीडी और एलसीएम के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी उभयनिष्ठ गुणज K$(a;b)$ से विभाज्य है
2. यदि $a\vdots b$ , तो К$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$, $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d )$

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता कायम है

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ और $b$ संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक संख्या $D(a;b)$ का भाजक होता है

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएँ हैं जो भिन्नों के साथ काम करना आसान बनाती हैं। एलसीएम और का उपयोग अक्सर कई भिन्नों के सामान्य हर को खोजने के लिए किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का विभाजक एक अन्य पूर्णांक Y होता है जिससे X को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 का भाजक 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का गुणज एक संख्या Y है जो बिना किसी शेषफल के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3, 15 का गुणज है और 6, 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी जोड़े के लिए हम उनके सामान्य भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणज 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़ियों में कई भाजक और गुणज हो सकते हैं, इसलिए गणना सबसे बड़े भाजक जीसीडी और सबसे छोटे गुणज एलसीएम का उपयोग करती है।

सबसे छोटा भाजक अर्थहीन है, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक ही होता है। सबसे बड़ा गुणज भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणजों का क्रम अनंत तक जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• विभाजकों की क्रमिक खोज, एक जोड़ी के लिए सामान्य विभाजकों का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• संख्याओं का अविभाज्य कारकों में अपघटन;
• यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिदम.

आज शैक्षणिक संस्थानों में सबसे लोकप्रिय तरीके अभाज्य कारकों में अपघटन और यूक्लिडियन एल्गोरिदम हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करते समय उपयोग किया जाता है: पूर्णांकों में संकल्प की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने के लिए जीसीडी की खोज करना आवश्यक है।

एनओसी ढूंढी जा रही है

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण अनुक्रमिक खोज या अविभाज्य कारकों में अपघटन द्वारा भी किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है तो एलसीएम ढूंढना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीडी(एक्स,वाई) = एक्स × वाई / जीसीडी(एक्स,वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि जीसीएम(15,18) = 3, तो एलसीएम(15,18) = 15 × 18/3 = 90। एलसीएम का उपयोग करने का सबसे स्पष्ट उदाहरण सामान्य हर को ढूंढना है, जो कि सबसे छोटा सामान्य गुणक है। दिए गए भिन्न.

सहअभाज्य संख्याएँ

यदि संख्याओं के किसी युग्म में कोई उभयनिष्ठ भाजक न हो तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए gcd हमेशा एक के बराबर होता है, और विभाजक और गुणकों के बीच संबंध के आधार पर, सहअभाज्य युग्मों के लिए gcd उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, क्योंकि उनमें कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और एलसीएम(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाता है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ हमेशा अपेक्षाकृत अभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करके आप मनमाने ढंग से चुनने योग्य संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना करने के कार्य 5वीं और 6वीं कक्षा के अंकगणित में पाए जाते हैं, लेकिन जीसीडी और एलसीएम गणित में प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, प्लैनिमेट्री और संचारी बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य हर

एकाधिक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते समय लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में आपको 5 भिन्नों का योग करना है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जिससे एलसीएम खोजने की समस्या कम हो जाती है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 संख्याओं का चयन करें और उचित कक्षों में हर के मान दर्ज करें। प्रोग्राम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम और हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेंगे:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

इसके बाद, हम सभी भिन्नों को संबंधित अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों का योग आसानी से कर सकते हैं और परिणाम 159/360 प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप की अभिव्यक्ति हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए यह देखने के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें कि क्या उनके पास पूर्णांक समाधान है। सबसे पहले, आइए समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम GCD (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 से विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जांच करें। जीसीडी (1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाओं का गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और सबसे छोटे गुणज की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह की प्रत्येक संख्या से बिना कोई शेष बचे विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। एलसीएम की गणना कई अन्य तरीकों का उपयोग करके भी की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की शृंखला

इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम होती है। यदि बड़ी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

1. गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन सारणी में गुणज पाए जा सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 5 के गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं के दो सेटों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणजों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद हो।कुल संख्या ज्ञात करने के लिए आपको गुणजों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद सबसे छोटी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणजों की श्रृंखला में आने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से बड़ी होती है। यदि छोटी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

   2. पहली संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें.अर्थात्, आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर एक निश्चित संख्या प्राप्त होगी। एक बार जब आपको मुख्य कारक मिल जाएं, तो उन्हें समानता के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें जिन्हें गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त हो।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   4. दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखिए।ऐसे कारकों को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए। जैसे ही आप प्रत्येक गुणनखंड लिखते हैं, उसे दोनों अभिव्यक्तियों में काट दें (ऐसी अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन का वर्णन करती हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखें 2 × (\प्रदर्शन शैली 2\बार)और दोनों भावों में से 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं में जो समानता है वह 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखें 2 × 2 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2)और दोनों भावों में दूसरे 2 को काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंड जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जिन्हें दोनों अभिव्यक्तियों में नहीं काटा गया है, यानी वे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 20=2\गुना 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों दो (2) भी काट दिए गए हैं। गुणनखंड 7 और 3 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य कारक ढूँढना

   1. टिक-टैक-टो के खेल की तरह एक ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएं होती हैं जो अन्य दो समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इससे आपको तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम मिलेंगे (ग्रिड काफी हद तक # आइकन जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहला नंबर लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरा नंबर लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में संख्या 18 लिखें, और पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में संख्या 30 लिखें।

   2. दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें। अभाज्य कारकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई आवश्यकता नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका सार्व गुणनखंड 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को प्रथम भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को उचित संख्या के अंतर्गत लिखें। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 18 के अंतर्गत 9 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), इसलिए 15 को 30 के नीचे लिखें।

   4. दोनों भागफलों में उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, विभाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को उसके दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 को 9 के नीचे लिखें।
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), इसलिए 15 के अंतर्गत 5 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो ग्रिड में अतिरिक्त सेल जोड़ें।वर्णित चरणों को तब तक दोहराएँ जब तक कि भागफल में एक उभयनिष्ठ भाजक न आ जाए।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं पर गोला बनाएं।फिर चयनित संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे विभाजित किया जा रहा है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेषफल वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बचती है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ओस्ट. 3:
        15 लाभांश है
        6 एक भाजक है
        2 भागफल है
        3 शेषफल है.