.

इसके विपरीत, यदि एक गैर-नकारात्मक ae है। ऐसे कार्य करें , तो इस पर एक बिल्कुल निरंतर संभाव्यता माप है जैसे कि यह इसका घनत्व है।

लेब्सेग इंटीग्रल में माप को बदलना:

,

कोई बोरेल फ़ंक्शन कहां है जो संभाव्यता माप के संबंध में एकीकृत है।

फैलाव, प्रकार और फैलाव के गुण फैलाव की अवधारणा

आंकड़ों में बिखरावअंकगणित माध्य से विशेषता वर्ग के व्यक्तिगत मूल्यों के मानक विचलन के रूप में पाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, यह सरल और भारित विचरण सूत्रों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

1. सरल विचरण(असमूहीकृत डेटा के लिए) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

2. भारित विचरण (भिन्नता श्रृंखला के लिए):

जहां n आवृत्ति है (कारक X की पुनरावृत्ति)

भिन्नता खोजने का एक उदाहरण

यह पृष्ठ भिन्नता खोजने का एक मानक उदाहरण बताता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य समस्याओं को भी देख सकते हैं

उदाहरण 1. समूह, समूह औसत, अंतरसमूह और कुल विचरण का निर्धारण

उदाहरण 2. समूहीकरण तालिका में विचरण और भिन्नता का गुणांक ज्ञात करना

उदाहरण 3. एक असतत श्रृंखला में भिन्नता ढूँढना

उदाहरण 4. निम्नलिखित डेटा 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए उपलब्ध है। विशेषता के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करना, विशेषता के औसत मूल्य की गणना करना और उसके फैलाव का अध्ययन करना आवश्यक है

आइए एक अंतराल समूह बनाएं। आइए सूत्र का उपयोग करके अंतराल की सीमा निर्धारित करें:

जहां एक्स अधिकतम समूहीकरण विशेषता का अधिकतम मूल्य है; एक्स मिनट - समूहीकरण विशेषता का न्यूनतम मूल्य; n - अंतरालों की संख्या:

हम n=5 स्वीकार करते हैं। चरण है: h = (192 - 159)/5 = 6.6

आइए एक अंतराल समूह बनाएं

आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:

X"i - अंतराल का मध्य। (उदाहरण के लिए, अंतराल 159 - 165.6 = 162.3 का मध्य)

हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके छात्रों की औसत ऊंचाई निर्धारित करते हैं:

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण निर्धारित करें:

सूत्र को इस प्रकार बदला जा सकता है:

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है विचरण बराबर है विकल्पों के वर्गों के औसत और वर्ग तथा औसत के बीच का अंतर।

भिन्नता श्रृंखला में फैलावक्षणों की विधि का उपयोग करके समान अंतराल के साथ फैलाव की दूसरी संपत्ति (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करके) का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है। विचरण का निर्धारण, क्षणों की विधि का उपयोग करके गणना की गई, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना कम श्रमसाध्य है:

जहां i अंतराल का मान है; ए एक पारंपरिक शून्य है, जिसके लिए उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य का उपयोग करना सुविधाजनक है; m1 प्रथम क्रम क्षण का वर्ग है; एम2 - दूसरे क्रम का क्षण

वैकल्पिक गुण विचरण (यदि किसी सांख्यिकीय जनसंख्या में कोई विशेषता इस प्रकार बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

इस विचरण सूत्र में q = 1-p प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

विचरण के प्रकार

कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह x के समग्र माध्य मान से किसी विशेषता x के व्यक्तिगत मानों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे सरल विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

समूह के भीतर भिन्नता यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात भिन्नता का वह भाग जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव के कारण होता है और समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं होता है। ऐसा फैलाव समूह के अंकगणितीय माध्य से समूह X के भीतर विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना साधारण फैलाव या भारित फैलाव के रूप में की जा सकती है।

इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहां xi समूह का औसत है; ni समूह में इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, किसी कार्यशाला में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में इंट्राग्रुप भिन्नताएं निर्धारित की जानी चाहिए, जो सभी संभावित कारकों (उपकरणों की तकनीकी स्थिति, उपलब्धता) के कारण प्रत्येक समूह में आउटपुट में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरण और सामग्री, श्रमिकों की आयु, श्रम तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (एक समूह के भीतर सभी श्रमिकों की योग्यता समान होती है)।

समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत यादृच्छिक भिन्नता को दर्शाता है, अर्थात, भिन्नता का वह हिस्सा जो समूहीकरण कारक के अपवाद के साथ अन्य सभी कारकों के प्रभाव में हुआ। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

अंतरसमूह विचरणपरिणामी विशेषता की व्यवस्थित भिन्नता को दर्शाता है, जो समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता के प्रभाव के कारण होता है। यह समग्र माध्य से समूह माध्य के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है। अंतरसमूह विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

आँकड़ों में भिन्नता के मुख्य सामान्यीकरण संकेतक फैलाव और मानक विचलन हैं।

फैलावयह अंकगणित औसत समग्र औसत से प्रत्येक विशेषता मान का वर्ग विचलन। प्रसरण को आमतौर पर विचलन का माध्य वर्ग कहा जाता है और इसे  2 द्वारा दर्शाया जाता है। स्रोत डेटा के आधार पर, विचरण की गणना सरल या भारित अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके की जा सकती है:

 अभारित (सरल) विचरण;

 विचरण भारित।

मानक विचलन यह निरपेक्ष आकारों की एक सामान्यीकरण विशेषता है बदलाव समुच्चय में संकेत. इसे माप की समान इकाइयों में विशेषता के रूप में व्यक्त किया जाता है (मीटर, टन, प्रतिशत, हेक्टेयर, आदि में)।

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है और इसे  द्वारा दर्शाया जाता है:

 मानक विचलन अभारित;

 भारित मानक विचलन.

मानक विचलन माध्य की विश्वसनीयता का माप है। मानक विचलन जितना छोटा होगा, अंकगणितीय माध्य उतना ही बेहतर होगा जो संपूर्ण प्रतिनिधित्व वाली जनसंख्या को दर्शाता है।

मानक विचलन की गणना विचरण की गणना से पहले की जाती है।

भारित विचरण की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1) भारित अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें:

2) औसत से विकल्पों के विचलन की गणना करें:

3) औसत से प्रत्येक विकल्प के विचलन का वर्ग करें:

4) विचलन के वर्गों को भार (आवृत्तियों) से गुणा करें:

5) परिणामी उत्पादों का सारांश प्रस्तुत करें:

6) परिणामी राशि को वज़न के योग से विभाजित किया जाता है:

उदाहरण 2.1

आइए भारित अंकगणितीय माध्य की गणना करें:

माध्य और उनके वर्गों से विचलन के मान तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। आइए विचरण को परिभाषित करें:

मानक विचलन इसके बराबर होगा:

यदि स्रोत डेटा को अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है वितरण श्रृंखला , तो आपको पहले विशेषता का अलग मान निर्धारित करने की आवश्यकता है, और फिर वर्णित विधि लागू करें।

उदाहरण 2.2

आइए हम गेहूं की उपज के अनुसार सामूहिक खेत के बोए गए क्षेत्र के वितरण पर डेटा का उपयोग करके एक अंतराल श्रृंखला के लिए भिन्नता की गणना दिखाएं।

अंकगणितीय माध्य है:

आइए विचरण की गणना करें:

6.3. व्यक्तिगत डेटा के आधार पर एक सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना

गणना तकनीक प्रसरण जटिल, और विकल्पों और आवृत्तियों के बड़े मूल्यों के साथ यह बोझिल हो सकता है। फैलाव के गुणों का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है।

फैलाव में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. किसी भिन्न विशेषता के भार (आवृत्तियों) को एक निश्चित संख्या तक कम करने या बढ़ाने से फैलाव नहीं बदलता है।

2. किसी विशेषता के प्रत्येक मान को समान स्थिर मात्रा से घटाना या बढ़ाना एफैलाव नहीं बदलता.

3. किसी विशेषता के प्रत्येक मान को एक निश्चित संख्या में घटाना या बढ़ाना कक्रमशः विचरण को कम या बढ़ा देता है क 2 बार मानक विचलन  में कएक बार।

4. एक मनमाने मूल्य के सापेक्ष किसी विशेषता का फैलाव हमेशा औसत और मनमाना मूल्यों के बीच अंतर के प्रति वर्ग अंकगणित माध्य के सापेक्ष फैलाव से अधिक होता है:

अगर ए 0, तो हम निम्नलिखित समानता पर पहुंचते हैं:

अर्थात्, विशेषता का विचरण, विशेषता मानों के माध्य वर्ग और माध्य के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है।

विचरण की गणना करते समय प्रत्येक संपत्ति का उपयोग स्वतंत्र रूप से या दूसरों के साथ संयोजन में किया जा सकता है।

विचरण की गणना की प्रक्रिया सरल है:

1) निर्धारित करें अंकगणित औसत :

2) अंकगणितीय माध्य का वर्ग करें:

3) श्रृंखला के प्रत्येक प्रकार के विचलन का वर्ग करें:

एक्स मैं 2 .

4) विकल्पों के वर्गों का योग ज्ञात करें:

5) विकल्पों के वर्गों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करें, यानी औसत वर्ग निर्धारित करें:

6) विशेषता के माध्य वर्ग और माध्य के वर्ग के बीच अंतर निर्धारित करें:

उदाहरण 3.1श्रमिक उत्पादकता पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है:

आइए निम्नलिखित गणना करें:

समाधान।

यादृच्छिक चर मानों के फैलाव के माप के रूप में, हम उपयोग करते हैं फैलाव

फैलाव (फैलाव शब्द का अर्थ है "बिखरना") है यादृच्छिक चर मानों के फैलाव का मापइसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष। फैलाव एक यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है

यदि यादृच्छिक चर मानों के अनंत लेकिन गणनीय सेट के साथ असतत है, तो

यदि समानता के दाहिनी ओर की श्रृंखला अभिसरण करती है।

फैलाव के गुण.

• 1. एक स्थिर मान का प्रसरण शून्य है
• 2. यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण प्रसरणों के योग के बराबर होता है
• 3. अचर गुणनखंड को वर्ग विचरण के चिह्न से निकाला जा सकता है

यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण प्रसरणों के योग के बराबर होता है

यह गुण दूसरे और तीसरे गुण का परिणाम है। भिन्नताएं केवल जोड़ सकती हैं।

किसी सूत्र का उपयोग करके फैलाव की गणना करना सुविधाजनक है जिसे फैलाव के गुणों का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है

भिन्नता सदैव सकारात्मक होती है.

भिन्नता है आयामयादृच्छिक चर का वर्ग आयाम, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। इसलिए, मात्रा

मानक विचलनकिसी यादृच्छिक चर का (मानक विचलन या मानक) उसके विचरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है

2 और 5 रूबल मूल्यवर्ग के दो सिक्के फेंकें। यदि सिक्का हथियारों के कोट के रूप में उतरता है, तो शून्य अंक दिए जाते हैं, और यदि यह एक संख्या के रूप में उतरता है, तो अंकों की संख्या सिक्के के मूल्य के बराबर होती है। अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए सबसे पहले यादृच्छिक चर X का वितरण ज्ञात करें - अंकों की संख्या। सभी संयोजन - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - समान रूप से संभावित हैं और वितरण कानून है:

अपेक्षित मूल्य:

हम सूत्र का उपयोग करके विचरण ज्ञात करते हैं

हम गणना क्यों करते हैं

उदाहरण 2.

अज्ञात संभावना ज्ञात करें आर, संभाव्यता वितरण तालिका द्वारा निर्दिष्ट एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता

हम गणितीय अपेक्षा और विचरण पाते हैं:

एम(एक्स) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

फैलाव की गणना करने के लिए, हम सूत्र (19.4) का उपयोग करते हैं

डी(एक्स) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

उदाहरण 3.दो समान रूप से मजबूत एथलीट एक टूर्नामेंट आयोजित करते हैं जो या तो उनमें से एक की पहली जीत तक, या पांच गेम खेले जाने तक चलता है। प्रत्येक एथलीट के लिए एक गेम जीतने की संभावना 0.3 है, और ड्रॉ की संभावना 0.4 है। खेले गए खेलों की संख्या का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा और फैलाव ज्ञात करें।

समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्स- खेले गए खेलों की संख्या, 1 से 5 तक मान लेती है, अर्थात।

आइए मैच ख़त्म होने की संभावनाएँ निर्धारित करें। यदि उनका कोई एथलीट जीतता है तो मैच पहले सेट पर समाप्त हो जाएगा। जीतने की संभावना है

आर(1) = 0,3+0,3 =0,6.

यदि कोई ड्रा होता (ड्रा की संभावना 1 - 0.6 = 0.4 है), तो मैच जारी रहता है। यदि पहला गेम ड्रा रहा और दूसरा किसी ने जीत लिया तो मैच दूसरे गेम में ख़त्म हो जाएगा। संभावना

आर(2) = 0,4 0,6=0,24.

इसी तरह, यदि लगातार दो मैच ड्रा रहे और फिर से कोई जीत गया तो मैच तीसरे गेम पर समाप्त हो जाएगा

आर(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. आर(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

पांचवां गेम किसी भी संस्करण में आखिरी गेम है।

आर(5)= 1 - (आर(1)+आर(2)+आर(3)+आर(4)) = 0,0256.

आइए सब कुछ एक तालिका में रखें। यादृच्छिक चर के वितरण नियम "जीते गए खेलों की संख्या" का रूप है

अपेक्षित मूल्य

हम सूत्र (19.4) का उपयोग करके विचरण की गणना करते हैं

मानक असतत वितरण.

द्विपद वितरण।आइए बर्नौली की प्रायोगिक योजना को लागू करें: एनसमान स्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में घटना एनिरंतर संभावना के साथ प्रकट हो सकता है पीऔर संभावना के साथ प्रकट नहीं होगा

(व्याख्यान 18 देखें)।

घटना के घटित होने की संख्या एइन मे एनप्रयोगों में एक असतत यादृच्छिक चर होता है एक्स, जिसके संभावित मान हैं:

0; 1; 2; ... ;एम; ... ; एन।

घटना की संभावना एमकी एक विशिष्ट श्रृंखला में घटनाएँ ए एनऐसे यादृच्छिक चर के साथ प्रयोग और वितरण कानून बर्नौली सूत्र द्वारा दिया गया है (व्याख्यान 18 देखें)

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ एक्सद्विपद नियम के अनुसार वितरित:

अगर एनमहान है (), तब, जब, सूत्र (19.6) सूत्र में जाता है

और सारणीबद्ध गाऊसी फ़ंक्शन (गाऊसी फ़ंक्शन के मूल्यों की तालिका व्याख्यान 18 के अंत में दी गई है)।

व्यवहार में, जो अक्सर महत्वपूर्ण होता है वह घटित होने की संभावना नहीं होती। एमआयोजन एसे एक विशिष्ट श्रृंखला में एनप्रयोग, और संभावना है कि घटना एकोई कम दिखाई नहीं देगा

बार और बार से अधिक नहीं, यानी संभावना है कि एक्स मान लेता है

ऐसा करने के लिए, हमें संभावनाओं का योग करना होगा

अगर एनमहान है (), तब, जब, सूत्र (19.9) एक अनुमानित सूत्र में बदल जाता है

सारणीबद्ध कार्य. तालिकाएँ व्याख्यान 18 के अंत में दी गई हैं।

तालिकाओं का उपयोग करते समय इसे ध्यान में रखना आवश्यक है

उदाहरण 1. एक चौराहे के पास आने वाली कार समान संभावना के साथ तीन सड़कों ए, बी या सी में से किसी एक पर चलती रह सकती है। पाँच गाड़ियाँ चौराहे पर आती हैं। सड़क A पर चलने वाली कारों की औसत संख्या और सड़क B पर तीन कारों के चलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।प्रत्येक सड़क पर गुजरने वाली कारों की संख्या एक यादृच्छिक चर है। यदि हम मान लें कि चौराहे पर आने वाली सभी कारें एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से यात्रा करती हैं, तो यह यादृच्छिक चर द्विपद कानून के अनुसार वितरित किया जाता है

एन= 5 और पी = .

इसलिए, सड़क A का अनुसरण करने वाली कारों की औसत संख्या सूत्र (19.7) के अनुसार है

और वांछित संभावना पर

उदाहरण 2.प्रत्येक परीक्षण के दौरान डिवाइस के विफल होने की संभावना 0.1 है। डिवाइस के 60 परीक्षण किए गए। क्या संभावना है कि उपकरण विफल हो जाएगा: ए) 15 बार; बी) 15 बार से अधिक नहीं?

एक।चूँकि परीक्षणों की संख्या 60 है, हम सूत्र (19.8) का उपयोग करते हैं

व्याख्यान 18 के परिशिष्ट की तालिका 1 के अनुसार हम पाते हैं

बी. हम सूत्र (19.10) का उपयोग करते हैं।

व्याख्यान 18 के परिशिष्ट की तालिका 2 के अनुसार

• - 0,495
• 0,49995

पॉइसन वितरण) दुर्लभ घटनाओं का नियम)।अगर एनबड़ा और आरथोड़ा (), और उत्पाद वगैरहएक स्थिर मान बनाए रखता है, जिसे हम l द्वारा निरूपित करते हैं,

तब सूत्र (19.6) पॉइसन का सूत्र बन जाता है

पॉइसन वितरण कानून का रूप है:

जाहिर है, पॉइसन के नियम की परिभाषा सही है, क्योंकि वितरण श्रृंखला की मुख्य संपत्ति

हो गया, क्योंकि श्रृंखला का योग

फ़ंक्शन का श्रृंखला विस्तार

प्रमेय. पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण मेल खाते हैं और इस कानून के पैरामीटर के बराबर हैं, अर्थात।

सबूत।

उदाहरण।अपने उत्पादों को बाज़ार में प्रचारित करने के लिए, कंपनी मेलबॉक्सों में फ़्लायर्स लगाती है। पिछला अनुभव बताता है कि 2,000 में से लगभग एक मामले में ऑर्डर का पालन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 10,000 विज्ञापन लगाने पर कम से कम एक ऑर्डर आएगा, प्राप्त ऑर्डरों की औसत संख्या और प्राप्त ऑर्डरों की संख्या में अंतर होगा।

समाधान. यहाँ

हम इसकी प्रायिकता ज्ञात करेंगे कि विपरीत घटना की प्रायिकता के माध्यम से कम से कम एक ऑर्डर आएगा, अर्थात।

घटनाओं का यादृच्छिक प्रवाह.घटनाओं की एक धारा उन घटनाओं का एक क्रम है जो यादृच्छिक समय पर घटित होती हैं। प्रवाह के विशिष्ट उदाहरण कंप्यूटर नेटवर्क में विफलता, टेलीफोन एक्सचेंजों पर कॉल, उपकरण मरम्मत के लिए अनुरोधों का प्रवाह आदि हैं।

प्रवाहघटनाओं को कहा जाता है अचल, यदि लंबाई के एक समय अंतराल में घटनाओं की एक विशेष संख्या के आने की संभावना केवल अंतराल की लंबाई पर निर्भर करती है और समय अक्ष पर समय अंतराल के स्थान पर निर्भर नहीं करती है।

स्थिरता की स्थिति अनुरोधों के प्रवाह से संतुष्ट होती है, जिसकी संभाव्य विशेषताएं समय पर निर्भर नहीं होती हैं। विशेष रूप से, एक स्थिर प्रवाह को एक स्थिर घनत्व (समय की प्रति इकाई अनुरोधों की औसत संख्या) की विशेषता होती है। व्यवहार में, अक्सर ऐसे अनुरोधों का प्रवाह होता है जिन्हें (कम से कम सीमित समय के लिए) स्थिर माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, शहर के टेलीफोन एक्सचेंज पर 12 से 13 घंटे की समयावधि में कॉल के प्रवाह को लैंडलाइन माना जा सकता है। पूरे दिन के दौरान समान प्रवाह को अब स्थिर नहीं माना जा सकता है (रात में कॉल घनत्व दिन की तुलना में काफी कम है)।

प्रवाहघटनाओं को स्ट्रीम कहा जाता है बिना किसी दुष्प्रभाव के, यदि किसी गैर-अतिव्यापी समय अवधि के लिए उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या दूसरों पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

आफ्टरइफेक्ट की अनुपस्थिति की स्थिति - सरलतम प्रवाह के लिए सबसे आवश्यक - का अर्थ है कि एप्लिकेशन एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से सिस्टम में प्रवेश करते हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रो स्टेशन में प्रवेश करने वाले यात्रियों के प्रवाह को बिना किसी दुष्प्रभाव के प्रवाह माना जा सकता है क्योंकि जिन कारणों से एक विशेष क्षण में एक व्यक्तिगत यात्री का आगमन निर्धारित होता है और दूसरे का नहीं, एक नियम के रूप में, अन्य यात्रियों के समान कारणों से संबंधित नहीं होते हैं . हालाँकि, इस तरह की निर्भरता के प्रकट होने के कारण किसी भी परिणाम की स्थिति का आसानी से उल्लंघन नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मेट्रो स्टेशन छोड़ने वाले यात्रियों के प्रवाह को अब बिना किसी प्रभाव के प्रवाह नहीं माना जा सकता है, क्योंकि एक ही ट्रेन से आने वाले यात्रियों के निकास क्षण एक-दूसरे पर निर्भर होते हैं।

प्रवाहघटनाओं को कहा जाता है साधारण, यदि कम समय अंतराल टी के भीतर दो या दो से अधिक घटनाओं के घटित होने की संभावना एक घटना के घटित होने की संभावना की तुलना में नगण्य है (इस संबंध में, पॉइसन के नियम को दुर्लभ घटनाओं का नियम कहा जाता है)।

सामान्यता की स्थिति का अर्थ है कि ऑर्डर अकेले आते हैं, न कि जोड़े, तीन, आदि में। विचरण विचलन बर्नौली वितरण

उदाहरण के लिए, हेयरड्रेसिंग सैलून में प्रवेश करने वाले ग्राहकों का प्रवाह लगभग सामान्य माना जा सकता है। यदि असाधारण प्रवाह में अनुप्रयोग केवल जोड़े में, केवल त्रिक आदि में आते हैं, तो असाधारण प्रवाह को आसानी से सामान्य में कम किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, व्यक्तिगत अनुरोधों की एक धारा के बजाय जोड़े, त्रिक आदि की एक धारा पर विचार करना पर्याप्त है। यह अधिक कठिन होगा यदि प्रत्येक अनुरोध यादृच्छिक रूप से दोगुना, तिगुना, आदि हो सकता है सजातीय नहीं, बल्कि विषम घटनाओं की एक धारा से निपटें।

यदि घटनाओं की एक धारा में तीनों गुण होते हैं (अर्थात, स्थिर, सामान्य, और इसका कोई परिणाम नहीं होता है), तो इसे सरल (या स्थिर पॉइसन) धारा कहा जाता है। "पॉइसन" नाम इस तथ्य के कारण है कि यदि सूचीबद्ध शर्तों को पूरा किया जाता है, तो किसी भी निश्चित समय अंतराल पर होने वाली घटनाओं की संख्या वितरित की जाएगी पॉइसन का नियम

यहां घटनाओं की औसत संख्या है ए, समय की प्रति इकाई प्रदर्शित हो रहा है।

यह कानून एक-पैरामीटर है, अर्थात। इसे सेट करने के लिए, आपको केवल एक पैरामीटर जानने की आवश्यकता है। यह दिखाया जा सकता है कि पॉइसन के नियम में अपेक्षा और भिन्नता संख्यात्मक रूप से बराबर हैं:

उदाहरण. मान लीजिए कि कार्य दिवस के मध्य में अनुरोधों की औसत संख्या 2 प्रति सेकंड है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 1) एक सेकंड में कोई आवेदन प्राप्त नहीं होगा, 2) दो सेकंड में 10 आवेदन आ जायेंगे?

समाधान।चूँकि पॉइसन के नियम के अनुप्रयोग की वैधता संदेह से परे है और इसका पैरामीटर (= 2) दिया गया है, समस्या का समाधान पॉइसन के सूत्र (19.11) के अनुप्रयोग तक सिमट कर रह गया है।

1) टी = 1, एम = 0:

2) टी = 2, एम = 10:

बड़ी संख्या का नियम.इस तथ्य का गणितीय आधार कि कुछ स्थिर मानों के आसपास एक यादृच्छिक चर क्लस्टर का मान बड़ी संख्या का नियम है।

ऐतिहासिक रूप से, बड़ी संख्या के नियम का पहला सूत्रीकरण बर्नौली का प्रमेय था:

"समान और स्वतंत्र प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, घटना ए की घटना की आवृत्ति इसकी संभावना की संभावना में परिवर्तित हो जाती है," यानी।

n प्रयोगों में घटना A के घटित होने की आवृत्ति कहां है,

संक्षेप में, अभिव्यक्ति (19.10) का अर्थ है कि बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, घटना की घटना की आवृत्ति एइस घटना की अज्ञात संभावना को प्रतिस्थापित कर सकता है, और किए गए प्रयोगों की संख्या जितनी अधिक होगी, p* से p उतना ही करीब होगा। एक दिलचस्प ऐतिहासिक तथ्य. के. पियर्सन ने एक सिक्का 12,000 बार उछाला और उसके हथियारों का कोट 6,019 बार ऊपर आया (आवृत्ति 0.5016)। एक ही सिक्के को 24,000 बार फेंकने पर, उसे हथियारों के 12,012 कोट मिले, यानी। आवृत्ति 0.5005.

बड़ी संख्या के नियम का सबसे महत्वपूर्ण रूप चेबीशेव का प्रमेय है: परिमित विचरण वाले और समान परिस्थितियों में किए गए स्वतंत्र प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा की संभावना में परिवर्तित हो जाता है. विश्लेषणात्मक रूप में इस प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अपने मौलिक सैद्धांतिक महत्व के अलावा, चेबीशेव के प्रमेय के महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं, उदाहरण के लिए, माप सिद्धांत में। एक निश्चित मात्रा का n माप लेने के बाद एक्स, विभिन्न गैर-मिलान मान प्राप्त करें एक्स 1, एक्स 2, ..., xn. मापी गई मात्रा के अनुमानित मूल्य के लिए एक्सप्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य लें

वहीं, जितने अधिक प्रयोग किये जायेंगे परिणाम उतने ही सटीक होंगे।तथ्य यह है कि प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ मात्रा का फैलाव कम हो जाता है, क्योंकि

डी(एक्स 1) = डी(एक्स 2)=…= डी(xn) डी(एक्स) , वह

संबंध (19.13) से पता चलता है कि माप उपकरणों की उच्च अशुद्धि (बड़े मूल्य) के साथ भी, माप की संख्या बढ़ाकर, मनमाने ढंग से उच्च सटीकता के साथ परिणाम प्राप्त करना संभव है।

सूत्र (19.10) का उपयोग करके आप संभावना पा सकते हैं कि सांख्यिकीय आवृत्ति संभावना से अधिक नहीं भटकती है

उदाहरण।प्रत्येक परीक्षण में एक घटना की संभावना 0.4 है। 0.8 से कम की संभावना के साथ, यह अपेक्षा करने के लिए आपको कितने परीक्षण करने की आवश्यकता है कि किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति पूर्ण मूल्य में संभावना से 0.01 से कम भटक जाएगी?

समाधान।सूत्र के अनुसार (19.14)

इसलिए, तालिका के अनुसार दो अनुप्रयोग हैं

इस तरह, एन 3932.

भिन्नता सीमा (या भिन्नता की सीमा) -यह विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है:

हमारे उदाहरण में, श्रमिकों के शिफ्ट आउटपुट में भिन्नता की सीमा है: पहली ब्रिगेड में आर = 105-95 = 10 बच्चे, दूसरी ब्रिगेड में आर = 125-75 = 50 बच्चे। (5 गुना अधिक). इससे पता चलता है कि पहली ब्रिगेड का आउटपुट अधिक "स्थिर" है, लेकिन दूसरी ब्रिगेड के पास आउटपुट बढ़ाने के लिए अधिक भंडार है, क्योंकि यदि सभी कर्मचारी इस ब्रिगेड के लिए अधिकतम उत्पादन तक पहुँच जाते हैं, तो यह 3 * 125 = 375 भागों का उत्पादन कर सकता है, और पहली ब्रिगेड में केवल 105 * 3 = 315 भागों का उत्पादन कर सकता है।
यदि किसी विशेषता के चरम मूल्य जनसंख्या के लिए विशिष्ट नहीं हैं, तो चतुर्थक या दशमलव श्रेणियों का उपयोग किया जाता है। चतुर्थक श्रेणी RQ= Q3-Q1 50% जनसंख्या को कवर करती है, पहली दशमलव श्रेणी RD1 = D9-D1 80% डेटा को कवर करती है, दूसरी दशमक श्रेणी RD2= D8-D2 - 60% को कवर करती है।
भिन्नता सीमा संकेतक का नुकसान यह है कि इसका मूल्य विशेषता के सभी उतार-चढ़ाव को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
किसी विशेषता के सभी उतार-चढ़ाव को दर्शाने वाला सबसे सरल सामान्य संकेतक है औसत रैखिक विचलन, जो उनके औसत मूल्य से व्यक्तिगत विकल्पों के पूर्ण विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

,
समूहीकृत डेटा के लिए
,
जहां xi एक अलग श्रृंखला में या अंतराल वितरण में अंतराल के मध्य में विशेषता का मान है।
उपरोक्त सूत्रों में अंश के अंतर को मापांक के आधार पर लिया जाता है, अन्यथा अंकगणितीय माध्य के गुण के अनुसार अंश सदैव शून्य के बराबर होगा। इसलिए, सांख्यिकीय अभ्यास में औसत रैखिक विचलन का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, केवल उन मामलों में जहां संकेत को ध्यान में रखे बिना संकेतकों का योग आर्थिक समझ में आता है। इसकी मदद से, उदाहरण के लिए, कार्यबल की संरचना, उत्पादन की लाभप्रदता और विदेशी व्यापार कारोबार का विश्लेषण किया जाता है।
किसी गुण का भिन्न होनाउनके औसत मूल्य से विचलन का औसत वर्ग है:
सरल विचरण
,
विचरण भारित
.
विचरण की गणना के सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

इस प्रकार, विचरण विकल्प के वर्गों के औसत और जनसंख्या के विकल्प के औसत के वर्ग के बीच अंतर के बराबर है:
.
हालाँकि, वर्ग विचलन के योग के कारण, विचरण विचलन का एक विकृत विचार देता है, इसलिए औसत की गणना इसके आधार पर की जाती है मानक विचलन, जो दर्शाता है कि किसी विशेषता के विशिष्ट प्रकार उनके औसत मूल्य से औसतन कितना विचलित होते हैं। प्रसरण का वर्गमूल लेकर गणना की गई:
असमूहीकृत डेटा के लिए
,
विविधता श्रृंखला के लिए

विचरण और मानक विचलन का मान जितना छोटा होगा, जनसंख्या जितनी अधिक सजातीय होगी, औसत मान उतना ही अधिक विश्वसनीय (सामान्य) होगा।
औसत रैखिक और मानक विचलन को संख्याओं का नाम दिया गया है, अर्थात वे किसी विशेषता के माप की इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, सामग्री में समान होते हैं और अर्थ में समान होते हैं।
तालिकाओं का उपयोग करके पूर्ण विविधताओं की गणना करने की अनुशंसा की जाती है।
तालिका 3 - भिन्नता विशेषताओं की गणना (चालक दल के श्रमिकों के शिफ्ट आउटपुट पर डेटा की अवधि के उदाहरण का उपयोग करके)

	श्रमिकों की संख्या	अंतराल के मध्य	परिकलित मान
कुल:

श्रमिकों का औसत शिफ्ट आउटपुट:

औसत रैखिक विचलन:

उत्पादन विचरण:

औसत उत्पादन से व्यक्तिगत श्रमिकों के उत्पादन का मानक विचलन:
.

1 क्षणों की विधि का उपयोग करके फैलाव की गणना

भिन्नताओं की गणना में बोझिल गणनाएँ शामिल होती हैं (विशेषकर यदि औसत को कई दशमलव स्थानों के साथ बड़ी संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है)। सरलीकृत सूत्र और फैलाव गुणों का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है।
फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं:

1. यदि किसी विशेषता के सभी मानों को समान मान A से घटाया या बढ़ाया जाए, तो फैलाव कम नहीं होगा:

,

, फिर या
फैलाव के गुणों का उपयोग करके और पहले जनसंख्या के सभी प्रकारों को मान A से कम करके, और फिर अंतराल h के मान से विभाजित करके, हम समान अंतराल के साथ भिन्नता श्रृंखला में फैलाव की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। एक तरह से:
,
क्षणों की विधि का उपयोग करके फैलाव की गणना कहां की जाती है;
एच - भिन्नता श्रृंखला के अंतराल का मूल्य;
- नया (रूपांतरित) मान विकल्प;
ए एक स्थिर मान है, जिसका उपयोग उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य के रूप में किया जाता है; या उच्चतम आवृत्ति वाला विकल्प;
- पहले क्रम के क्षण का वर्ग;
– दूसरे क्रम का क्षण.
आइए टीम के श्रमिकों के शिफ्ट आउटपुट पर डेटा के आधार पर क्षणों की विधि का उपयोग करके फैलाव की गणना करें।
तालिका 4 - क्षणों की विधि का उपयोग करके विचरण की गणना

उत्पादन श्रमिकों के समूह, पीसी।	श्रमिकों की संख्या	अंतराल के मध्य	परिकलित मान

गणना प्रक्रिया:

1. हम विचरण की गणना करते हैं:

2 एक वैकल्पिक विशेषता के विचरण की गणना

सांख्यिकी द्वारा अध्ययन की गई विशेषताओं में से कुछ ऐसी भी हैं जिनके केवल दो परस्पर अनन्य अर्थ हैं। ये वैकल्पिक संकेत हैं. उन्हें क्रमशः दो मात्रात्मक मान दिए गए हैं: विकल्प 1 और 0. विकल्प 1 की आवृत्ति, जिसे पी द्वारा दर्शाया गया है, इस विशेषता वाली इकाइयों का अनुपात है। अंतर 1-r=q विकल्प 0 की आवृत्ति है। इस प्रकार,

क्सी

वैकल्पिक चिह्न का अंकगणितीय माध्य
, क्योंकि p+q=1.

वैकल्पिक गुण विचरण
, क्योंकि 1-r=q
इस प्रकार, एक वैकल्पिक विशेषता का विचरण इस विशेषता को रखने वाली इकाइयों के अनुपात और इस विशेषता को न रखने वाली इकाइयों के अनुपात के उत्पाद के बराबर है।
यदि मान 1 और 0 समान रूप से बार-बार आते हैं, अर्थात p=q, तो विचरण अपने अधिकतम pq=0.25 तक पहुँच जाता है।
वैकल्पिक विशेषता के विचरण का उपयोग नमूना सर्वेक्षणों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, उत्पाद की गुणवत्ता का।

3 समूह के बीच विचरण। प्रसरण जोड़ नियम

भिन्नता की अन्य विशेषताओं के विपरीत, फैलाव एक योगात्मक मात्रा है। अर्थात समुच्चय में, जो कारक विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित होता है एक्स , परिणामी विशेषता का विचरण यप्रत्येक समूह के भीतर भिन्नता (समूहों के भीतर) और समूहों के बीच भिन्नता (समूहों के बीच) में विघटित किया जा सकता है। फिर, संपूर्ण जनसंख्या में किसी गुण की भिन्नता का अध्ययन करने के साथ-साथ, प्रत्येक समूह के साथ-साथ इन समूहों के बीच भी भिन्नता का अध्ययन करना संभव हो जाता है।

कुल विचरणकिसी गुण में भिन्नता को मापता है परपूरी तरह से उन सभी कारकों के प्रभाव में जो इस भिन्नता (विचलन) का कारण बने। यह विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के माध्य वर्ग विचलन के बराबर है परभव्य औसत से और इसकी गणना सरल या भारित विचरण के रूप में की जा सकती है।
अंतरसमूह विचरणपरिणामी विशेषता की भिन्नता को दर्शाता है परकारक-राशि के प्रभाव से होता है एक्स, जिसने समूहीकरण का आधार बनाया। यह समूह औसत की भिन्नता को दर्शाता है और समग्र औसत से समूह औसत के विचलन के औसत वर्ग के बराबर है:
,
i-वें समूह का अंकगणितीय माध्य कहाँ है;
- आई-वें समूह में इकाइयों की संख्या (आई-वें समूह की आवृत्ति);
- जनसंख्या का कुल औसत.
समूह के भीतर भिन्नतायादृच्छिक भिन्नता को दर्शाता है, अर्थात भिन्नता का वह भाग जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव के कारण होता है और उस कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं होता है जो समूहीकरण का आधार बनता है। यह समूह औसत के सापेक्ष व्यक्तिगत मूल्यों की भिन्नता को दर्शाता है और विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के औसत वर्ग विचलन के बराबर है परइस समूह के अंकगणितीय माध्य (समूह माध्य) से एक समूह के भीतर और प्रत्येक समूह के लिए एक सरल या भारित विचरण के रूप में गणना की जाती है:
या ,
समूह में इकाइयों की संख्या कहां है.
प्रत्येक समूह के लिए समूह के भीतर भिन्नताओं के आधार पर, कोई भी निर्धारित कर सकता है समूह के भीतर भिन्नताओं का समग्र माध्य:
.
तीन प्रकीर्णन के बीच का संबंध कहलाता है भिन्नताएं जोड़ने के नियम, जिसके अनुसार कुल विचरण मध्य-समूह विचरण के योग और भीतर-समूह विचरण के औसत के बराबर है:

उदाहरण. श्रमिकों की उत्पादकता के स्तर पर उनकी टैरिफ श्रेणी (योग्यता) के प्रभाव का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित डेटा प्राप्त हुए।
तालिका 5 - औसत प्रति घंटा उत्पादन के आधार पर श्रमिकों का वितरण।

№ पी/पी	चतुर्थ श्रेणी के श्रमिक				5वीं श्रेणी के श्रमिक
	उत्पादन कार्यकर्ता, पीसी।,				उत्पादन कार्यकर्ता, पीसी।,
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

इस उदाहरण में, श्रमिकों को कारक विशेषताओं के अनुसार दो समूहों में विभाजित किया गया है एक्स- योग्यताएं, जो उनकी रैंक से निर्धारित होती हैं। परिणामी विशेषता-उत्पादन-इसके प्रभाव (इंटरग्रुप भिन्नता) और अन्य यादृच्छिक कारकों (इंट्राग्रुप भिन्नता) दोनों के कारण भिन्न होता है। लक्ष्य तीन भिन्नताओं का उपयोग करके इन विविधताओं को मापना है: कुल, समूहों के बीच, और समूहों के भीतर। निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांक परिणामी विशेषता में भिन्नता के अनुपात को दर्शाता है परकिसी कारक चिन्ह के प्रभाव में एक्स. बाकी कुल भिन्नता परअन्य कारकों में परिवर्तन के कारण।
उदाहरण में, निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांक है:
या 66.7%,
इसका मतलब यह है कि श्रमिक उत्पादकता में 66.7% भिन्नता योग्यता में अंतर के कारण है, और 33.3% अन्य कारकों के प्रभाव के कारण है।
अनुभवजन्य सहसंबंध संबंधसमूहीकरण और प्रदर्शन विशेषताओं के बीच घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है। निर्धारण के अनुभवजन्य गुणांक के वर्गमूल के रूप में गणना की गई:

अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात, जैसे, 0 से 1 तक मान ले सकता है।
यदि कोई संबंध नहीं है, तो =0. इस मामले में =0, यानी, समूह के साधन एक दूसरे के बराबर हैं और कोई अंतरसमूह भिन्नता नहीं है। इसका मतलब यह है कि समूहीकरण विशेषता-कारक सामान्य भिन्नता के गठन को प्रभावित नहीं करता है।
यदि कनेक्शन क्रियाशील है, तो =1. इस मामले में, समूह माध्य का विचरण कुल विचरण () के बराबर है, अर्थात, समूह के भीतर कोई भिन्नता नहीं है। इसका मतलब यह है कि समूहीकरण विशेषता अध्ययन की जा रही परिणामी विशेषता की भिन्नता को पूरी तरह से निर्धारित करती है।
सहसंबंध अनुपात का मान एकता के जितना करीब होता है, विशेषताओं के बीच संबंध कार्यात्मक निर्भरता के उतना ही करीब होता है।
विशेषताओं के बीच संबंध की निकटता का गुणात्मक आकलन करने के लिए, चैडॉक के संबंधों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण में , जो श्रमिक उत्पादकता और उनकी योग्यता के बीच घनिष्ठ संबंध को इंगित करता है।

संपूर्ण जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता का अध्ययन करने के साथ-साथ, जिन समूहों में जनसंख्या विभाजित है, उनके साथ-साथ समूहों के बीच विशेषता में मात्रात्मक परिवर्तनों का पता लगाना अक्सर आवश्यक होता है। भिन्नता का यह अध्ययन विभिन्न प्रकार के भिन्नताओं की गणना और विश्लेषण करके प्राप्त किया जाता है।
कुल, अंतरसमूह और अंतःसमूह भिन्नताएं हैं.
कुल विचरण σ 2इस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता को मापता है।

अंतरसमूह विचरण (δ) व्यवस्थित भिन्नता की विशेषता बताता है, अर्थात। अध्ययन किए गए गुण के मूल्य में अंतर जो समूह का आधार बनाने वाले कारक गुण के प्रभाव में उत्पन्न होता है। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
.

समूह के भीतर विचरण (σ)यादृच्छिक भिन्नता को दर्शाता है, अर्थात भिन्नता का वह हिस्सा जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव में होता है और समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं करता है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
.

समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत: .

3 प्रकार के प्रकीर्णन को जोड़ने वाला एक नियम है। कुल विचरण समूह के भीतर और समूह के बीच विचरण के औसत के योग के बराबर है: .
इस अनुपात को कहा जाता है भिन्नताएं जोड़ने का नियम.

विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला संकेतक कुल भिन्नता में समूह-समूह भिन्नता का अनुपात है। यह कहा जाता है निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांक (η 2): .
निर्धारण के अनुभवजन्य गुणांक का वर्गमूल कहा जाता है अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात (η):
.
यह उस विशेषता के प्रभाव को दर्शाता है जो परिणामी विशेषता की भिन्नता पर समूह का आधार बनता है। अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात 0 से 1 तक होता है।
आइए हम निम्नलिखित उदाहरण (तालिका 1) का उपयोग करके इसका व्यावहारिक उपयोग प्रदर्शित करें।

उदाहरण क्रमांक 1. तालिका 1 - एनपीओ "साइक्लोन" की कार्यशालाओं में से एक में श्रमिकों के दो समूहों की श्रम उत्पादकता

आइए समग्र और समूह माध्यों और भिन्नताओं की गणना करें:

इंट्राग्रुप और इंटरग्रुप विचरण के औसत की गणना के लिए प्रारंभिक डेटा तालिका में प्रस्तुत किया गया है। 2.
तालिका 2
श्रमिकों के दो समूहों के लिए गणना और δ 2।

कार्यकर्ता समूह	श्रमिकों की संख्या, लोग	औसत, बच्चे/शिफ्ट	फैलाव
तकनीकी प्रशिक्षण पूर्ण	5	95	42,0
जिन्होंने तकनीकी प्रशिक्षण पूरा नहीं किया है	5	81	231,2
सभी कार्यकर्ता	10	88	185,6

आइए संकेतकों की गणना करें। समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत:
.
अंतरसमूह विचरण

कुल विचरण:
इस प्रकार, अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात:।

मात्रात्मक विशेषताओं में भिन्नता के साथ-साथ गुणात्मक विशेषताओं में भी भिन्नता देखी जा सकती है। भिन्नता का यह अध्ययन निम्नलिखित प्रकार की भिन्नताओं की गणना करके प्राप्त किया जाता है:

शेयर का भीतर-समूह फैलाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ एन मैं- अलग-अलग समूहों में इकाइयों की संख्या.
संपूर्ण जनसंख्या में अध्ययन की गई विशेषता का हिस्सा, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
तीन प्रकार के विचरण एक दूसरे से इस प्रकार संबंधित हैं:
.

प्रसरणों के इस संबंध को गुण अंश के प्रसरणों के योग का प्रमेय कहा जाता है।