Plus grand diviseur commun
Définition 2
Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$ et $a$ est appelé un multiple de $b$.
Soit $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé le diviseur commun de $a$ et de $b$.
L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisqu'aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y en a un plus grand, qui est appelé le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$ et est noté par la notation suivante :
$PGCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$
Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, il vous faut :
- Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.
Exemple 1
Trouvez le pgcd des nombres $121$ et $132.$
242$=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Choisissez les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres
242$=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.
$PGCD=2\cdot 11=22$
Exemple 2
Trouvez le pgcd des monômes $63$ et $81$.
Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça:
Factorisons les nombres en facteurs premiers
63$=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres
63$=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.
$PGCD=3\cdot 3=9$
Vous pouvez trouver le pgcd de deux nombres d’une autre manière, en utilisant un ensemble de diviseurs de nombres.
Exemple 3
Trouvez le pgcd des nombres 48$ et 60$.
Solution:
Trouvons l'ensemble des diviseurs du nombre $48$ : $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. L'élément le plus important de cet ensemble sera le nombre $12$. Cela signifie que le plus grand diviseur commun des nombres 48$ et 60$ est 12$.
Définition du NPL
Définition 3
Multiples communs de nombres naturels$a$ et $b$ sont un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.
Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par les nombres d'origine sans reste. Par exemple, pour les nombres 25$ et 50$, les multiples communs seront les nombres 50,100,150,200$, etc.
Le plus petit commun multiple sera appelé plus petit commun multiple et sera noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$
Pour trouver le LCM de deux nombres, vous devez :
- Factoriser les nombres en facteurs premiers
- Notez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier.
Exemple 4
Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.
Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça
Factoriser les nombres en facteurs premiers
99$=3\cdot 3\cdot 11$
Notez les facteurs inclus dans le premier
ajoutez-y des multiplicateurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier
Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compiler des listes de diviseurs de nombres est souvent une tâche très laborieuse. Il existe un moyen de trouver GCD appelé algorithme euclidien.
Énoncés sur lesquels est basé l'algorithme euclidien :
Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels et $a\vdots b$, alors $D(a;b)=b$
Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b
En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut réduire successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun souhaité pour les nombres $a$ et $b$.
Propriétés de GCD et LCM
- Tout multiple commun de $a$ et $b$ est divisible par K$(a;b)$
- Si $a\vdots b$ , alors К$(a;b)=a$
Si K$(a;b)=k$ et $m$ est un nombre naturel, alors K$(am;bm)=km$
Si $d$ est un diviseur commun pour $a$ et $b$, alors K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d )$
Si $a\vdots c$ et $b\vdots c$ , alors $\frac(ab)(c)$ est le multiple commun de $a$ et $b$
Pour tout nombre naturel $a$ et $b$, l'égalité est vraie
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Tout diviseur commun des nombres $a$ et $b$ est un diviseur du nombre $D(a;b)$
Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple sont des concepts arithmétiques clés qui facilitent le travail avec les fractions. LCM et sont le plus souvent utilisés pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.
Concepts de base
Le diviseur d'un entier X est un autre entier Y par lequel X est divisé sans laisser de reste. Par exemple, le diviseur de 4 est 2 et 36 est 4, 6, 9. Un multiple d'un entier X est un nombre Y divisible par X sans reste. Par exemple, 3 est un multiple de 15 et 6 est un multiple de 12.
Pour toute paire de nombres, nous pouvons trouver leurs diviseurs et multiples communs. Par exemple, pour 6 et 9, le commun multiple est 18 et le commun diviseur est 3. Évidemment, les paires peuvent avoir plusieurs diviseurs et multiples, donc les calculs utilisent le plus grand diviseur GCD et le plus petit multiple LCM.
Le plus petit diviseur n’a aucun sens puisque pour tout nombre, il vaut toujours un. Le plus grand multiple n’a également aucun sens, puisque la séquence des multiples va vers l’infini.
Trouver pgcd
Il existe de nombreuses méthodes pour trouver le plus grand diviseur commun, dont les plus connues sont :
- recherche séquentielle de diviseurs, sélection des diviseurs communs pour une paire et recherche du plus grand d'entre eux ;
- décomposition des nombres en facteurs indivisibles ;
- Algorithme euclidien ;
- algorithme binaire.
Aujourd'hui, dans les établissements d'enseignement, les méthodes les plus populaires sont la décomposition en facteurs premiers et l'algorithme euclidien. Ce dernier, à son tour, est utilisé lors de la résolution d'équations diophantiennes : la recherche de GCD est nécessaire pour vérifier l'équation pour la possibilité de résolution en nombres entiers.
Trouver le CNO
Le multiple le plus petit commun est également déterminé par recherche séquentielle ou décomposition en facteurs indivisibles. De plus, il est facile de trouver le LCM si le plus grand diviseur a déjà été déterminé. Pour les nombres X et Y, le LCM et le GCD sont liés par la relation suivante :
LCD(X,Y) = X × Y / PGCD(X,Y).
Par exemple, si GCM(15,18) = 3, alors LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'exemple le plus évident d'utilisation de LCM consiste à trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit commun multiple de fractions données.
Nombres premiers entre eux
Si une paire de nombres n’a pas de diviseur commun, alors une telle paire est appelée premier entre eux. Le pgcd de ces paires est toujours égal à un, et sur la base de la relation entre les diviseurs et les multiples, le pgcd des paires premières entre elles est égal à leur produit. Par exemple, les nombres 25 et 28 sont relativement premiers, car ils n'ont pas de diviseur commun, et LCM(25, 28) = 700, ce qui correspond à leur produit. Deux nombres indivisibles seront toujours premiers relativement.
Diviseur commun et calculateur multiple
À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer GCD et LCM pour un nombre arbitraire de nombres parmi lesquels choisir. Les tâches de calcul des diviseurs communs et des multiples se trouvent en arithmétique de 5e et 6e années, mais GCD et LCM sont des concepts clés en mathématiques et sont utilisés en théorie des nombres, en planimétrie et en algèbre communicative.
Exemples concrets
Dénominateur commun des fractions
Le plus petit commun multiple est utilisé pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions. Disons que dans un problème arithmétique, vous devez additionner 5 fractions :
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Pour additionner des fractions, l'expression doit être réduite à un dénominateur commun, ce qui se réduit au problème de trouver le LCM. Pour ce faire, sélectionnez 5 nombres dans la calculatrice et saisissez les valeurs des dénominateurs dans les cellules appropriées. Le programme calculera le LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Vous devez maintenant calculer des facteurs supplémentaires pour chaque fraction, qui sont définis comme le rapport du LCM au dénominateur. Les multiplicateurs supplémentaires ressembleraient donc à :
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Après cela, nous multiplions toutes les fractions par le facteur supplémentaire correspondant et obtenons :
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Nous pouvons facilement additionner ces fractions et obtenir le résultat 159/360. Nous réduisons la fraction de 3 et voyons la réponse finale - 53/120.
Résolution d'équations diophantiennes linéaires
Les équations diophantiennes linéaires sont des expressions de la forme ax + by = d. Si le rapport d / pgcd(a, b) est un nombre entier, alors l'équation peut être résolue en nombres entiers. Vérifions quelques équations pour voir si elles ont une solution entière. Vérifions d'abord l'équation 150x + 8y = 37. À l'aide d'une calculatrice, nous trouvons PGCD (150,8) = 2. Divisons 37/2 = 18,5. Le nombre n’est pas un nombre entier, donc l’équation n’a pas de racines entières.
Vérifions l'équation 1320x + 1760y = 10120. Utilisez une calculatrice pour trouver PGCD(1320, 1760) = 440. Divisons 10120/440 = 23. En conséquence, nous obtenons un nombre entier, par conséquent, l'équation diophantienne peut être résolue en coefficients entiers. .
Conclusion
GCD et LCM jouent un rôle important dans la théorie des nombres, et les concepts eux-mêmes sont largement utilisés dans une grande variété de domaines mathématiques. Utilisez notre calculatrice pour calculer les plus grands diviseurs et les plus petits multiples d'un nombre quelconque de nombres.
Un multiple est un nombre divisible par un nombre donné sans reste. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre divisible par chaque nombre du groupe sans laisser de reste. Pour trouver le plus petit commun multiple, vous devez trouver les facteurs premiers de nombres donnés. Le LCM peut également être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes qui s'appliquent à des groupes de deux nombres ou plus.
Pas
Série de multiples
- Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 5 et 8. Ce sont de petits nombres, vous pouvez donc utiliser cette méthode.
-
Un multiple est un nombre divisible par un nombre donné sans reste. Les multiples peuvent être trouvés dans la table de multiplication.
- Par exemple, les nombres multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Écrivez une série de nombres multiples du premier nombre. Faites cela sous des multiples du premier nombre pour comparer deux ensembles de nombres.
- Par exemple, les nombres multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.
-
Trouvez le plus petit nombre présent dans les deux ensembles de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver le nombre total. Le plus petit nombre présent dans les deux ensembles de multiples est le plus petit commun multiple.
- Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans la série des multiples de 5 et 8 est le nombre 40. Par conséquent, 40 est le plus petit commun multiple de 5 et 8.
Factorisation première
-
Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu’on lui donne deux nombres, chacun étant supérieur à 10. Si des nombres plus petits sont donnés, utilisez une méthode différente.
- Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, vous pouvez donc utiliser cette méthode.
-
Factorisez le premier nombre en facteurs premiers. Autrement dit, vous devez trouver des nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront un nombre donné. Une fois que vous avez trouvé les facteurs premiers, écrivez-les sous forme d’égalités.
- Par exemple, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 10=20) Et 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 20 sont les nombres 2, 2 et 5. Écrivez-les sous forme d'expression : .
-
Factorisez le deuxième nombre en facteurs premiers. Faites cela de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez des nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront le nombre donné.
- Par exemple, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7))\times 6=42) Et 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 84 sont les nombres 2, 7, 3 et 2. Écrivez-les sous forme d'expression : .
-
Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez des facteurs tels qu’une opération de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent les factorisations de nombres en facteurs premiers).
- Par exemple, les deux nombres ont un facteur commun de 2, alors écrivez 2 × (\displaystyle 2\times) et rayez le 2 dans les deux expressions.
- Ce que les deux nombres ont en commun est un autre facteur de 2, alors écrivez 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) et rayez le deuxième 2 dans les deux expressions.
-
Ajoutez les facteurs restants à l’opération de multiplication. Il s’agit de facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c’est-à-dire qui ne sont pas communs aux deux nombres.
- Par exemple, dans l'expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Les deux deux (2) sont barrés car ce sont des facteurs communs. Le facteur 5 n'est pas barré, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
- En expression 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) les deux deux (2) sont également barrés. Les facteurs 7 et 3 ne sont pas barrés, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
-
Calculez le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication écrite.
- Par exemple, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Le plus petit commun multiple de 20 et 84 est donc 420.
Trouver des facteurs communs
-
Dessinez une grille comme pour un jeu de tic-tac-toe. Une telle grille se compose de deux lignes parallèles qui se croisent (à angle droit) avec deux autres lignes parallèles. Cela vous donnera trois lignes et trois colonnes (la grille ressemble beaucoup à l'icône #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre dans la première ligne et la troisième colonne.
- Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 18 et 30. Écrivez le nombre 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez le nombre 30 dans la première ligne et la troisième colonne.
-
Trouvez le diviseur commun aux deux nombres. Notez-le dans la première ligne et la première colonne. Il est préférable de rechercher des facteurs premiers, mais ce n'est pas une obligation.
- Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, donc leur facteur commun est 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.
-
Divisez chaque nombre par le premier diviseur.Écrivez chaque quotient sous le numéro approprié. Un quotient est le résultat de la division de deux nombres.
- Par exemple, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), alors écrivez 9 sous 18 ans.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), alors notez 15 sous 30.
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Trouvez le diviseur commun aux deux quotients. S'il n'existe pas de diviseur de ce type, ignorez les deux étapes suivantes. Sinon, écrivez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.
- Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.
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Divisez chaque quotient par son deuxième diviseur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.
- Par exemple, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), alors écrivez 3 sous 9.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), alors écrivez 5 sous 15.
-
Si nécessaire, ajoutez des cellules supplémentaires à la grille. Répétez les étapes décrites jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.
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Encerclez les nombres dans la première colonne et la dernière ligne de la grille.Écrivez ensuite les nombres sélectionnés sous forme d’opération de multiplication.
- Par exemple, les nombres 2 et 3 sont dans la première colonne, et les nombres 3 et 5 sont dans la dernière ligne, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).
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Trouvez le résultat de la multiplication de nombres. Cela calculera le plus petit commun multiple de deux nombres donnés.
- Par exemple, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Le plus petit commun multiple de 18 et 30 est donc 90.
L'algorithme d'Euclide
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N'oubliez pas la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre par lequel on divise. Un quotient est le résultat de la division de deux nombres. Un reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.
- Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3 :
15 est le dividende
6 est un diviseur
2 est le quotient
3 est le reste.
- Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3 :
Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu’on lui donne deux nombres, chacun étant inférieur à 10. Si des nombres plus grands sont donnés, utilisez une méthode différente.
