الدرس رقم 33
الموضوع: المعادلات
أهداف الدرس:
تلخيص وتنظيم معارف الطلاب حول الموضوع قيد الدراسة، ومواصلة العمل على تنمية القدرة على حل المعادلات والمسائل من خلال تركيب المعادلات.
تحسين مهارات الحوسبة لدى الطلاب
تعزيز الموقف المسؤول تجاه التعلم.
معايير النجاح
أنا أعرف …
أفهم …
أنا استطيع ….
خلال الفصول الدراسية
تمهيدية - لحظة تحفيزية
الرياضيات يا اصدقاء,
بالتأكيد الجميع يحتاج إليها.
العمل بجد في الصف
ومن المؤكد أن النجاح في انتظارك!
واليوم نواصل تعلم كيفية حل المعادلات والمسائل باستخدام طريقة المعادلة.
تحديث المعرفة
ولإكمال المهام سنراجع المفاهيم الأساسية اللازمة لحل المعادلات والمسائل التي يتم حلها عن طريق تركيب المعادلات.
( )
أي نوع من المساواة يسمى المعادلة؟
ما هو الرقم الذي يسمى جذر المعادلة؟
ماذا يعني حل المعادلة؟
كيفية التحقق من حل المعادلة بشكل صحيح؟
التحقق من الانتهاء من الواجبات المنزلية (الشريحة رقم 2)
(يتم التحقق من إكمال الواجبات المنزلية باستخدام الاختبار الذاتي)
الحل من قبل الطلاب مع النطق
(س – 87) – 27 = 36
87 - (41 + ص) = 22
س – 87 = 36 + 27
41 + ص = 87 - 22
س – 87 = 63
41 + ص = 65
س = 63 + 87
ص = 65 - 41
س = 150
ص = 24
فحص
فحص
(150 – 87) - = 36
87 – (41 + 24) = 22
63 – 27 = 36
87 – 65 = 22
36 = 36 (صحيح)
22 = 22 (صحيح)
العمل الشفهي
1. قم بتسمية أرقام المعادلات (المعادلات مكتوبة على السبورة) التي يجب أن يوجد فيها الحد.
في أي المعادلات يكون الحد الأدنى غير معروف؟
في أي المعادلات عليك إيجاد المطروح؟
في أي المعادلات يكون المصطلح غير معروف؟
أوجد جذور المعادلات.
س + 21 = 40؛ 2) أ – 21 = 40؛ 3) 50 = أ + 31؛ 4) ق - 23 = 61؛ 5) 42 = 70 - ص؛
6) 38 - س = 38؛ 7) 25 - أ = 25؛ 8) س + 32 = 32؛ 9) ص - 0 = 27؛ 10) 60 - س = 35
(الشريحة رقم 3)
مجموعة عمل
البحث عن رقم غير معروف:
1) أضفنا 71 إلى المجهول وحصلنا على 100.
(س + 71 = 100)
س = 100 - 71
س = 29
2) حاصل ضرب عددين هو 72، العامل الأول هو 12، أوجد العامل الثاني.
12*س = 72
س = 72:12
س = 6
3) عند قسمة عدد معين على 9 يكون الناتج 11. ابحث عن هذا الرقم.
س: 9 = 31
س = 31*9
س = 279
العمل على المعادلات (الشريحة رقم 5)
يطلب من الطلاب إنشاء ثلاث معادلات حسب الشروط وحل هذه المعادلات بالترتيب التالي:
1) الفرق بين مجموع الرقمين "x" و 40 أكبر من الرقم 31 في 50.
(تم حل المعادلة بالتعليق)
2) الرقم 70 أكبر من مجموع الرقم 25 و"ص" على 38.
(يحل الطلاب المعادلة بشكل مستقل، ويقوم أحد الطلاب بكتابة الحل على ظهر اللوحة)
3) الفرق بين الرقم 120 والرقم "أ" أقل من الرقم 65 في 53.
(يتم كتابة حل المعادلة بالكامل على السبورة، وبعد ذلك يناقش الفصل بأكمله حل المعادلة)
العمل على المهام (الشريحة رقم 6)
المهمة رقم 1
كان هناك العديد من التفاح في الصندوق. وبعد وضع 32 تفاحة أخرى في الصندوق، أصبح العدد 81. ما عدد التفاحات الموجودة في الصندوق في الأصل؟
ماذا تقول المشكلة؟ ما هي الإجراءات التي قمت بها مع التفاح؟ ماذا تريد أن تعرف في المشكلة؟ ماذا يجب أن تمثل الرسالة؟
يجب أن يكون هناك × تفاحات في السلة. وبعد أن تم وضع 32 تفاحة أخرى فيها، كان هناك (س + 32) تفاحة، وحسب شروط المشكلة، كان هناك 81 تفاحة في السلة.
لذلك يمكننا إنشاء معادلة:
س + 32 = 81،
س = 81 - 32،
س = 49
في البداية كان هناك 49 تفاحة في السلة.
الجواب: 49 تفاحة.
المشكلة رقم 2
كان الاستوديو يحتوي على 70 (م) من القماش. تم صنع الفساتين من جزء من القماش واستخدم 18 (م) أخرى للسراويل وبقي بعد ذلك 23 (م). ما هو عدد أمتار القماش المستخدمة في صناعة الفساتين؟
ماذا تقول المشكلة؟ ما هي الإجراءات التي قمت بها مع القماش؟ ماذا تريد أن تعرف في المشكلة؟ ماذا يجب أن تمثل الرسالة؟
دع x (m) من القماش يستخدم للفساتين. ثم تم استخدام (× + 18) متر من القماش لخياطة الفساتين والسراويل. ووفقا لظروف المشكلة، من المعروف أن هناك 23 م متبقية.
لذلك يمكننا إنشاء معادلة:
70 - (س + 18) = 23،
س + 18 = 70 – 23،
س + 18 = 47،
س = 47 - 18،
س = 29.
تم استخدام 29 متراً من القماش في صناعة الفساتين.
الجواب: 29 مترا.
عمل مستقل (الشريحة رقم 7)
يتم تقديم العمل المستقل للطلاب في خيارين.
1 خيار
الخيار 2
حل المعادلات:
حل المعادلات:
1) 320 - س = 176
1) 450 - ص = 246
2) ص + 294 = 501
2) س + 386 = 602
ماكاروفا تي بي، مدرسة GBOU الثانوية رقم 618 تدريب "المعادلات" الصف الخامس
تدريب للصف الخامس حول موضوع "المعادلات" في نسختين
ماكاروفا تاتيانا بافلوفنا,
مدرس، المدرسة الثانوية رقم 618، موسكو
الوحدة: الصف الخامس
يهدف التدريب إلى اختبار معارف ومهارات الطلاب حول موضوع "المعادلات". التدريب مخصص لطلاب الصف الخامس للكتاب المدرسي من تأليف N.Ya Vilenkin و V.I Zhokhova وآخرين. – م: منيموسين، 2013. – 288 ص. يحتوي الاختبار على خيارين متوازيين متساويين في الصعوبة، تسع مهام لكل منهما (4 مهام متعددة الاختيارات، 3 مهام ذات إجابات قصيرة، 2 مهمات ذات حلول موسعة).
يتوافق هذا التدريب تمامًا مع المعايير التعليمية الفيدرالية للولاية (الجيل الثاني)، ويمكن استخدامه أثناء مراقبة الفصل الدراسي، ويمكن استخدامه أيضًا من قبل طلاب الصف الخامس للعمل المستقل حول الموضوع.
يتم تخصيص 15 إلى 25 دقيقة من وقت الدرس لإكمال الاختبار. المفاتيح متضمنة.
تدريب للصف الخامس حول موضوع "المعادلات". الخيار 1.
№ص / ص
يمارس
إجابة
حل المعادلة
574
1124
1114
1024
أوجد جذر المعادلة
(156-س )+43=170.
1) جذر المعادلة هو قيمة الحرف.
2) جذر المعادلة (23 – X) – 21 = 2 ليس عدداً طبيعياً.
3) للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من المطرح.
4) المعادلة س – س= 0 له جذر واحد بالضبط.
فكرت بيتيا في الرقم. إذا أضفت 43 إلى هذا الرقم، وأضفت 77 إلى المبلغ الناتج، فستحصل على 258. ما هو الرقم الذي كان يدور في ذهن بيتيا؟
1) (X + 43) – 77 = 258
2) (X + 43) + 77 = 258
3) (X – 43) + 77 = 258
4) (X – 43) – 77 = 258
حل المعادلة: (5· مع – 8) : 2 = 121: 11.
حل المعادلة : 821 – ( م + 268) = 349.
أوجد قيمة الرقم أ، إذا 8 أ + 9X= 60 و X=4.
حل المشكلة باستخدام المعادلة. تحتوي المكتبة على 125 كتابًا في الرياضيات. بعد أن أخذ الطلاب عدة كتب ثم أعادوا 3 كتب، كان هناك 116 كتابًا، ما إجمالي عدد الكتب التي أخذها الطلاب؟
حل المعادلة:
456 + (X – 367) – 225 =898
تدريب للصف الخامس حول موضوع "المعادلات". الخيار 2.
№ص / ص
يمارس
إجابة
الجزء 1. مهمة الاختيار من متعدد
حل المعادلة 
525
1081
535
1071
أوجد جذر المعادلة
942 – (ذ + 142) = 419.
391
481
1219
381
اذكر أرقام العبارات الصحيحة:
1) المعادلة هي مساواة تحتوي على حرف يجب إيجاد قيمته.
2) أي عدد طبيعي هو جذر المعادلة
3) جذر المعادلة هو قيمة الحرف الذي يتم الحصول على التعبير العددي الصحيح من المعادلة.
4) للعثور على المقسوم المجهول، عليك إضافة المقسوم عليه إلى حاصل القسمة.
فكرت داشا في رقم. إذا أضفت 43 إلى هذا الرقم وطرحت 77 من المبلغ الناتج، فستحصل على 258. ما الرقم الذي كان يدور في ذهن داشا؟
1) (X + 43) – 77 = 258
2) (X + 43) + 77 = 258
3) (X – 43) + 77 = 258
4) (X – 43) – 77 = 258
الجزء 2. مهمة الإجابة القصيرة
حل المعادلة : 63 : (2· X – 1) = 21: 3.
حل المعادلة : 748 – ( ب +248) = 300.
أوجد قيمة الرقم أ، إذا 7 أ – 3X= 41 و X=5.
الجزء 3. المهام مع الحلول التفصيلية
حل المشكلة باستخدام المعادلة. كان هناك 197 آلة في المستودع. وبعد بيع بعضها وجلب 86 آلة أخرى، لا يزال هناك 115 آلة متبقية في المستودع. كم عدد الآلات التي تم بيعها في المجموع؟
المعادلة هي مساواة يوجد فيها حد مجهول - x. ويجب العثور على معناها.
الكمية المجهولة تسمى جذر المعادلة. حل المعادلة يعني إيجاد جذرها، وللقيام بذلك عليك معرفة خصائص المعادلات. معادلات الصف الخامس ليست صعبة، ولكن إذا تعلمت حلها بشكل صحيح، فلن تواجه مشاكل معها في المستقبل.
الخاصية الرئيسية للمعادلات
عندما يتغير طرفا المعادلة بنفس المقدار، فإنها تظل نفس المعادلة بنفس الجذر. دعونا نحل بعض الأمثلة لفهم هذه القاعدة بشكل أفضل.
كيفية حل المعادلات: الجمع أو الطرح
لنفترض أن لدينا معادلة من الشكل:
- a + x = b - هنا a وb أرقام، وx هو الحد المجهول للمعادلة.
إذا أضفنا (أو طرحنا منها) القيمة c إلى طرفي المعادلة، فلن تتغير:
- أ + س + ج = ب + ج
- أ + س - ج = ب - ج.
مثال 1
دعونا نستخدم هذه الخاصية لحل المعادلة:
- 37+س=51
اطرح العدد 37 من الطرفين:
- 37+س-37=51-37
نحن نحصل:
- س = 51-37.
جذر المعادلة هو س=14.
إذا نظرنا جيدًا إلى المعادلة الأخيرة، فسنرى أنها مماثلة للمعادلة الأولى. لقد قمنا ببساطة بنقل الحد 37 من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر، مع استبدال علامة الزائد بالسالب.
اتضح أنه يمكن نقل أي رقم من جزء من المعادلة إلى جزء آخر بإشارة معاكسة.
مثال 2
- 37+س=37+22
لننفذ نفس الإجراء، ننقل الرقم 37 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين:
- س=37-37+22
بما أن 37-37=0، فإننا ببساطة نختصر ذلك ونحصل على:
- س = 22.
يمكن اختزال (شطب) الحدود المتطابقة للمعادلة التي لها نفس الإشارة، والموجودة في أجزاء مختلفة من المعادلة.
ضرب وقسمة المعادلات
يمكن أيضًا ضرب طرفي المساواة أو قسمتهما على نفس الرقم:
إذا قسمت المساواة a = b أو ضربت بـ c فإنها لا تتغير:
- أ/ج = ب/ج،
- التيار المتردد = بكالوريوس.
مثال 3
- 5س = 20
نقسم طرفي المعادلة على 5:
- 5س/5 = 20/5.
بما أن 5/5 = 1، فإننا نقوم بتبسيط هذه المضاعف والمقسوم على الجانب الأيسر من المعادلة ونحصل على:
- س = 20/5، س = 4
مثال 4
- 5س = 5أ
إذا قسمنا طرفي المعادلة على 5 نحصل على:
- 5س/5 = 5أ/5.
يتم إلغاء الرقم 5 الموجود في البسط والمقام على الجانبين الأيمن والأيسر، مما يؤدي إلى x = a. وهذا يعني أن العوامل المتطابقة على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلات تلغي.
دعونا نحل مثالا آخر:
- 13 + 2س = 21
ننقل الحد 13 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين بإشارة معاكسة:
- 2س = 21 - 13
- 2س = 8.
وبقسمة طرفي المعادلة على 2 نحصل على:
- س = 4.
في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.
أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟
المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.
أبسط معادلة تعني البناء:
يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:
- قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
- نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
- أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
- اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.
وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:
- المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
- الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة
الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.
أمثلة على حل المعادلات
اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.
يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:
- أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
- ثم أحضر مثلها
- وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.
بعد ذلك، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.
من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".
بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، بأبسط المهام.
مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة
أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:
- قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
- نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
- نقدم مصطلحات مماثلة.
- نقسم كل شيء على معامل "x".
وبطبيعة الحال، هذا المخطط لا يعمل دائما؛ هناك بعض الخفايا والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.
حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة
المهمة رقم 1
الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:
نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
لذلك حصلنا على الجواب.
المهمة رقم 2
يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:
نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:
وهنا بعض منها مماثلة:
في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.
المهمة رقم 3
المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:
نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
دعونا نفعل الرياضيات:
ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية
إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:
- كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
- وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.
الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأ ما.
ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.
إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.
حل المعادلات الخطية المعقدة
دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن سوف تصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وعند إجراء تحويلات مختلفة ستظهر دالة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فمن المؤكد أنه أثناء عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية.
المثال رقم 1
من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:
والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
وهنا بعض منها مماثلة:
ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:
\[\varnothing\]
أو لا توجد جذور.
المثال رقم 2
نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:
دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:
وهنا بعض منها مماثلة:
من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:
\[\فارنوثينغ\]،
أو لا توجد جذور.
الفروق الدقيقة في الحل
تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.
لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:
قبل الفتح، تحتاج إلى ضرب كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.
وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.
ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:
ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائما سلسلة من التحولات الأولية، حيث يؤدي عدم القدرة على تنفيذ إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.
وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة؛ بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.
حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا
ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.
المهمة رقم 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:
دعونا نفعل بعض الخصوصية:
وهنا بعض منها مماثلة:
فلنكمل الخطوة الأخيرة:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.
المهمة رقم 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:
الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:
لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
وهنا مصطلحات مماثلة:
ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.
الفروق الدقيقة في الحل
وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.
حول المجموع الجبري
بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.
بمجرد إجراء جميع التحولات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.
أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.
حل المعادلات بالكسور
لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:
- افتح الأقواس.
- متغيرات منفصلة.
- جلب مماثلة.
- القسمة على النسبة.
للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.
كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:
- تخلص من الكسور.
- افتح الأقواس.
- متغيرات منفصلة.
- جلب مماثلة.
- القسمة على النسبة.
ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.
المثال رقم 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعونا نكتب:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
الآن دعونا نتوسع:
نعزل المتغير:
نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.
المثال رقم 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
حلت المشكلة.
وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.
النقاط الرئيسية
النتائج الرئيسية هي:
- معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
- القدرة على فتح الأقواس.
- لا تقلق إذا كانت لديك دوال تربيعية في مكان ما، فمن المرجح أن يتم تقليلها أثناء عملية التحويلات الإضافية.
- هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.
آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!
المعادلات الخطية. الحل، الأمثلة.
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
المعادلات الخطية.
المعادلات الخطية ليست الموضوع الأكثر صعوبة في الرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المتدرب. دعونا معرفة ذلك؟)
عادة يتم تعريف المعادلة الخطية كمعادلة من النموذج:
فأس + ب = 0 أين أ و ب– أي أرقام.
2س + 7 = 0. هنا أ = 2، ب=7
0.1x - 2.3 = 0 هنا أ = 0.1، ب=-2.3
12س + 1/2 = 0 هنا أ = 12، ب=1/2
لا شيء معقد، أليس كذلك؟ خاصة إذا كنت لا تلاحظ الكلمات: "حيث a و b عبارة عن أي أرقام"... وإذا لاحظت ذلك وفكرت فيه بلا مبالاة؟) بعد كل شيء، إذا أ = 0، ب=0(أي أرقام ممكنة؟)، ثم نحصل على تعبير مضحك:
ولكن هذا ليس كل شيء! إذا، قل، أ = 0،أ ب = 5،يبدو أن هذا شيء خارج عن المألوف تمامًا:
وهو أمر مزعج ويقوض الثقة في الرياضيات، نعم...) خاصة أثناء الامتحانات. ولكن من بين هذه التعبيرات الغريبة، عليك أيضًا العثور على X! وهو ما لا وجود له على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على علامة X هذه. سوف نتعلم القيام بذلك. في هذا الدرس.
كيف تتعرف على المعادلة الخطية من مظهرها؟ يعتمد ذلك على المظهر.) الحيلة هي أن المعادلات الخطية ليست مجرد معادلات من النموذج فأس + ب = 0 ولكن أيضًا أي معادلات يمكن اختزالها إلى هذا الشكل عن طريق التحويلات والتبسيطات. ومن يعلم هل ينزل أم لا؟)
يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض أنه إذا كانت لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجاهيل من الدرجة الأولى وأرقام. وفي المعادلة لا يوجد الكسور مقسومة على مجهول , انه مهم! والقسمة على رقم،أو كسرًا رقميًا - هذا مرحب به! على سبيل المثال:
هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا، ولكن لا توجد علامة x في المربع أو المكعب وما إلى ذلك، ولا توجد علامة x في المقامات، أي. لا القسمة على x. وهنا المعادلة
لا يمكن أن يسمى الخطية. هنا جميع علامات X في الدرجة الأولى، ولكن هناك القسمة على التعبير مع x. بعد التبسيط والتحويل، يمكنك الحصول على معادلة خطية أو معادلة تربيعية أو أي شيء تريده.
اتضح أنه من المستحيل التعرف على المعادلة الخطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تتمكن من حلها تقريبًا. هذا مزعج. لكن في المهام، كقاعدة عامة، لا يسألون عن شكل المعادلة، أليس كذلك؟ المهام تطلب المعادلات يقرر.هذا يجعلني سعيدا.)
حل المعادلات الخطية. أمثلة.
يتكون الحل الكامل للمعادلات الخطية من تحويلات متطابقة للمعادلات. وبالمناسبة، هذه التحولات (اثنان منها!) هي أساس الحلول جميع معادلات الرياضيات.بمعنى آخر الحل أيتبدأ المعادلة بهذه التحولات ذاتها. وفي حالة المعادلات الخطية فهو (الحل) يعتمد على هذه التحويلات وينتهي بالإجابة الكاملة. من المنطقي اتباع الرابط، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية هناك.
أولا، دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال. دون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة.
س - 3 = 2 - 4س
هذه معادلة خطية. علامات X كلها في القوة الأولى، ولا يوجد قسمة على X. لكن في الواقع، لا يهمنا نوع المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء به علامات X على الجانب الأيسر من المعادلة، وكل شيء بدون علامات X على الجانب الأيمن.
للقيام بذلك تحتاج إلى نقل - 4x إلى الجانب الأيسر، مع تغيير الإشارة، بالطبع، و - 3 - إلى اليمين. بالمناسبة، هذا هو أول تحويل متطابق للمعادلات.متفاجئ؟ هذا يعني أنك لم تتبع الرابط ولكن عبثا...) نحصل على:
س + 4س = 2 + 3
وهنا مماثلة، ونحن نعتبر:
ماذا نحتاج لتحقيق السعادة الكاملة؟ نعم، بحيث يكون هناك علامة X نقية على اليسار! خمسة في الطريق. التخلص من الخمس بالمساعدة التحويل المتطابق الثاني للمعادلات.وهي أننا نقسم طرفي المعادلة على 5. ونحصل على إجابة جاهزة:
مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح تمامًا لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. دعونا نمسك الثور من قرونه.) دعونا نقرر شيئًا أكثر صلابة.
على سبيل المثال، إليك المعادلة:
من اين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين؟ يمكن أن يكون الأمر كذلك. خطوات صغيرة على طريق طويل. أو يمكنك القيام بذلك على الفور، بطريقة عالمية وقوية. إذا كان لديك، بالطبع، تحويلات متطابقة للمعادلات في ترسانتك.
أطرح عليك سؤالا رئيسيا: ما هو أكثر ما لا يعجبك في هذه المعادلة؟
95 من 100 شخص سيجيبون: الكسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. ولذلك، نبدأ على الفور مع تحويل الهوية الثانية. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر الموجود على اليسار بحيث يتم تقليل المقام بالكامل؟ هذا صحيح، عند الساعة 3. وعلى اليمين؟ بواسطة 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين نفس العدد. كيف يمكننا الخروج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم سيتم تخفيض كل من الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:
توسيع الأقواس:
ملحوظة! البسط (س+2)لقد وضعته بين قوسين! وذلك لأنه عند ضرب الكسور، يتم ضرب البسط بأكمله! الآن يمكنك تقليل الكسور:
قم بتوسيع الأقواس المتبقية:
ليس مثالاً، بل متعة خالصة!) الآن دعونا نتذكر تعويذة من المدرسة الابتدائية: بعلامة X - إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين!وتطبيق هذا التحول:
وهنا بعض منها مماثلة:
ونقسم كلا الجزأين على 25 أي: قم بتطبيق التحويل الثاني مرة أخرى:
هذا كل شئ. إجابة: X=0,16
يرجى ملاحظة: لجلب المعادلة المربكة الأصلية إلى شكل جميل، استخدمنا اثنين (اثنين فقط!) تحولات الهوية– الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير الإشارة وقسمة الضرب للمعادلة على نفس الرقم. هذه طريقة عالمية! سوف نعمل بهذه الطريقة مع أي معادلات! أي شخص على الاطلاق. ولهذا السبب أكرر بشكل مضجر هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت.)
كما ترون، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها باستخدام التحويلات المتطابقة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات، وليس في مبدأ الحل.
لكن... هناك مثل هذه المفاجآت في عملية حل أبسط المعادلات الخطية التي يمكن أن تقودك إلى ذهول قوي...) لحسن الحظ، لا يمكن أن يكون هناك سوى مفاجأتين من هذا القبيل. دعونا نسميها حالات خاصة.
حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.
المفاجأة الأولى.
لنفترض أنك صادفت معادلة أساسية جدًا، مثل:
2س+3=5س+5 - 3س - 2
بالملل قليلاً، نحركها بعلامة X إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين... مع تغيير العلامة، كل شيء على ما يرام... نحصل على:
2س-5س+3س=5-2-3
نحن نحسب، و... عفوًا!!! نحن نحصل:
وهذه المساواة في حد ذاتها ليست مرفوضة. الصفر هو في الواقع صفر. لكن X مفقود! وعلينا أن نكتب في الجواب ما هو x يساوي؟وإلا الحل ما يحسب صح...) طريق مسدود؟
هادئ! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها، ستوفر لك القواعد الأكثر عمومية. كيفية حل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، أوجد جميع قيم x التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطينا المساواة الصحيحة.
لكن لدينا مساواة حقيقية بالفعلحدث! 0=0، كم أكثر دقة؟! يبقى أن نعرف لماذا يحدث هذا. ما هي قيم X التي يمكن استبدالها إبداعيالمعادلة إذا كانت هذه x هل سيتم تخفيضها إلى الصفر؟تعال؟)
نعم!!! يمكن استبدال X أي!تلك التي تريد؟ على الأقل 5، على الأقل 0.05، على الأقل -220. وسوف لا تزال تتقلص. إذا كنت لا تصدقني، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم لـ X بها إبداعيالمعادلة وحساب. في كل وقت سوف تحصل على الحقيقة النقية: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1، وهكذا.
وهنا إجابتك: س - أي رقم.
يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة، ولا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.
المفاجأة الثانية.
لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها رقمًا واحدًا فقط. وهذا ما سنقرره:
2س+1=5س+5 - 3س - 2
وبعد نفس التحولات المتطابقة، نحصل على شيء مثير للاهتمام:
مثله. لقد حللنا معادلة خطية وحصلنا على مساواة غريبة. من الناحية الرياضية، حصلنا على المساواة الزائفةلكن بعبارات بسيطة، هذا ليس صحيحا. الهذيان. ولكن مع ذلك، فإن هذا الهراء يعد سببًا وجيهًا جدًا للحل الصحيح للمعادلة.)
مرة أخرى، نفكر بناءً على القواعد العامة. ما هو x، عند استبداله في المعادلة الأصلية، سوف يعطينا حقيقيالمساواة؟ نعم، لا شيء! لا يوجد مثل هذه العلامات X. بغض النظر عما قدمته، سيتم تقليل كل شيء، وسيبقى فقط الهراء.)
وهنا إجابتك: لا توجد حلول.
وهذه أيضًا إجابة كاملة تمامًا. في الرياضيات، غالبا ما توجد مثل هذه الإجابات.
مثله. الآن، آمل ألا يربكك اختفاء X أثناء حل أي معادلة (وليس فقط خطية) على الإطلاق. هذه مسألة مألوفة بالفعل.)
الآن بعد أن تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية، فمن المنطقي حلها.
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
