Legnagyobb közös osztó
2. definíció
Ha egy a természetes szám osztható egy $b$ természetes számmal, akkor a $b$-t $a$ osztójának, az $a$-t pedig a $b$ többszörösének nevezzük.
Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. A $c$ számot mind az $a$, mind a $b$ közös osztójának nevezzük.
Az $a$ és $b$ számok közös osztóinak halmaza véges, mivel ezen osztók egyike sem lehet nagyobb $a$-nál. Ez azt jelenti, hogy ezen osztók között van egy legnagyobb, amelyet az $a$ és $b$ számok legnagyobb közös osztójának neveznek, és a következő jelöléssel jelöljük:
$GCD\(a;b)\ vagy \D\(a;b)$
Két szám legnagyobb közös osztójának megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.
1. példa
Keresse meg a $121$ és a $132.$ számok gcd-jét
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Válassza ki azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a kibontásában szerepelnek
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.
$GCD=2\cdot 11=22$
2. példa
Keresse meg a $63$ és $81$ monomok gcd-jét.
A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ezért:
Tekintsük a számokat prímtényezőkbe
$63=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében szerepelnek
$63=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Keressük meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.
$GCD=3\cdot 3=9$
Két szám gcd-jét más módon is megtalálhatja, számosztókészlet használatával.
3. példa
Keresse meg a $48$ és $60$ számok gcd-jét.
Megoldás:
Keressük meg a $48$ szám osztókészletét: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Most keressük meg a $60$ szám osztókészletét:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Keressük meg ezeknek a halmazoknak a metszetét: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ez a halmaz határozza meg a $48$ és $60 számok közös osztóinak halmazát $. A készlet legnagyobb eleme a $12$ szám lesz. Ez azt jelenti, hogy a $48$ és a 60$ számok legnagyobb közös osztója 12$.
Az NPL meghatározása
3. definíció
Természetes számok közös többszörösei Az $a$ és a $b$ egy természetes szám, amely mind az $a$, mind a $b$ többszöröse.
A számok közös többszörösei olyan számok, amelyek maradék nélkül oszthatók az eredeti számokkal. Például a $25$ és a $50$ számok közös többszörösei a $50,100,150,200$ stb.
A legkisebb közös többszöröst a legkisebb közös többszörösnek nevezzük, és LCM$(a;b)$ vagy K$(a;b).$
Két szám LCM-jének megkereséséhez a következőket kell tennie:
- A faktorszámok prímtényezőkké
- Írd le azokat a tényezőket, amelyek az első szám részét képezik, és add hozzá azokat a tényezőket, amelyek a második részei, és nem részei az elsőnek
4. példa
Keresse meg a $99$ és a $77$ számok LCM-jét.
A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ezért
A faktorszámok prímtényezőkké
99 USD=3\cdot 3\cdot 11 USD
Írja le az elsőben szereplő tényezőket!
adjunk hozzájuk olyan szorzószámokat, amelyek a második részét képezik, és nem az elsőnek
Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legkisebb közös többszörös
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
A számok osztóinak listáinak összeállítása gyakran igen munkaigényes feladat. Van egy módszer a GCD megtalálására, az úgynevezett euklideszi algoritmus.
Állítások, amelyeken az euklideszi algoritmus alapul:
Ha $a$ és $b$ természetes számok, és $a\vdots b$, akkor $D(a;b)=b$
Ha $a$ és $b$ természetes számok, így $b
A $D(a;b)= D(a-b;b)$ használatával egymás után csökkenthetjük a vizsgált számokat, amíg el nem érünk egy olyan számpárt, amelyik osztható a másikkal. Ekkor ezek közül a számok közül a kisebb lesz az $a$ és $b$ számok kívánt legnagyobb közös osztója.
A GCD és az LCM tulajdonságai
- $a$ és $b$ bármely közös többszöröse osztható K$(a;b)$-tal
- Ha $a\vdots b$ , akkor К$(a;b)=a$
Ha K$(a;b)=k$ és $m$ természetes szám, akkor K$(am;bm)=km$
Ha $d$ az $a$ és a $b$ közös osztója, akkor K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ha $a\vdots c$ és $b\vdots c$ , akkor a $\frac(ab)(c)$ $a$ és $b$ közös többszöröse
Minden $a$ és $b$ természetes számra érvényes az egyenlőség
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Az $a$ és $b$ számok bármely közös osztója a $D(a;b)$ szám osztója
A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös kulcsfontosságú aritmetikai fogalmak, amelyek megkönnyítik a törtekkel való munkát. LCM és leggyakrabban több tört közös nevezőjének megtalálására használják.
Alapfogalmak
Egy X egész szám osztója egy másik Y egész szám, amellyel X-et maradék nélkül osztjuk. Például 4 osztója 2, 36 pedig 4, 6, 9. Egy X egész szám többszöröse egy Y szám, amely maradék nélkül osztható X-szel. Például a 3 a 15 többszöröse, a 6 pedig a 12 többszöröse.
Bármely számpárhoz megtalálhatjuk közös osztójukat és többszöröseiket. Például 6 és 9 esetén a közös többszörös 18, a közös osztó pedig 3. Nyilvánvaló, hogy a pároknak több osztója és többszöröse is lehet, ezért a számítások a legnagyobb osztó GCD-t és a legkisebb többszörös LCM-et használják.
A legkisebb osztó értelmetlen, mivel bármely szám esetén mindig egy. A legnagyobb többszörös is értelmetlen, hiszen a többszörösek sorozata a végtelenbe megy.
Gcd keresése
Számos módszer létezik a legnagyobb közös osztó megtalálására, amelyek közül a leghíresebbek:
- osztók szekvenciális keresése, közösek kiválasztása egy párhoz és a legnagyobb keresése;
- a számok felosztása oszthatatlan tényezőkre;
- Euklideszi algoritmus;
- bináris algoritmus.
Ma az oktatási intézményekben a legelterjedtebb módszerek a prímtényezőkre bontás és az euklideszi algoritmus. Utóbbit pedig a diofantini egyenletek megoldásakor használjuk: a GCD keresése szükséges ahhoz, hogy ellenőrizzük az egyenlet egész számokban történő felbontásának lehetőségét.
A NOC megtalálása
A legkisebb közös többszöröst a szekvenciális keresés vagy oszthatatlan tényezőkre bontás is meghatározza. Ezenkívül könnyű megtalálni az LCM-et, ha a legnagyobb osztó már meg van határozva. Az X és Y számok esetében az LCM és a GCD a következő összefüggéssel függ össze:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Például, ha GCM(15,18) = 3, akkor LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Az LCM használatának legnyilvánvalóbb példája a közös nevező megtalálása, amely a legkisebb közös többszöröse. adott törtek.
Második prímszámok
Ha egy számpárnak nincs közös osztója, akkor az ilyen párokat koprímnek nevezzük. Az ilyen párok gcd értéke mindig eggyel egyenlő, és az osztók és többszörösek közötti kapcsolat alapján a koprím párok gcd-je megegyezik a szorzatukkal. Például a 25 és 28 számok viszonylag prímszámok, mivel nincs közös osztójuk, és LCM(25, 28) = 700, ami megfelel a szorzatuknak. Bármely két oszthatatlan szám mindig viszonylag prím lesz.
Közös osztó és többszörös számológép
Számológépünk segítségével tetszőleges számú számra számíthatja ki a GCD-t és az LCM-et. A közös osztók és többszörösek kiszámítására vonatkozó feladatok az 5. és 6. osztályos aritmetikában találhatók, de a GCD és az LCM kulcsfogalmak a matematikában, és a számelméletben, a planimetriában és a kommunikációs algebrában használatosak.
Példák az életből
Törtek közös nevezője
A legkisebb közös többszöröst a többszörös törtek közös nevezőjének megtalálásakor használjuk. Tegyük fel, hogy egy aritmetikai feladatban 5 törtet kell összeadni:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Törtek hozzáadásához a kifejezést közös nevezőre kell redukálni, ami az LCM megtalálásának problémáját jelenti. Ehhez válasszon ki 5 számot a számológépben, és írja be a nevezők értékeit a megfelelő cellákba. A program kiszámítja az LCM-et (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Most minden törthez további tényezőket kell kiszámítania, amelyek az LCM és a nevező arányaként vannak meghatározva. Tehát a további szorzók így néznek ki:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Ezt követően az összes törtet megszorozzuk a megfelelő kiegészítő tényezővel, és megkapjuk:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Az ilyen törteket könnyen összeadhatjuk, és az eredményt 159/360-nak kapjuk. Csökkentjük a törtet 3-mal, és látjuk a végső választ - 53/120.
Lineáris diofantikus egyenletek megoldása
A lineáris diofantin egyenletek ax + by = d alakú kifejezések. Ha a d / gcd(a, b) arány egész szám, akkor az egyenlet egész számokban megoldható. Nézzünk meg néhány egyenletet, hogy van-e egész megoldásuk. Először ellenőrizzük a 150x + 8y = 37 egyenletet. Számológép segítségével azt találjuk, hogy GCD (150,8) = 2. Osztás 37/2 = 18,5. A szám nem egész szám, ezért az egyenletnek nincs egész gyöke.
Ellenőrizzük az 1320x + 1760y = 10120 egyenletet. Számológép segítségével keressük meg a GCD(1320, 1760) = 440 értéket. Oszd meg 10120/440 = 23. Ennek eredményeként egy egész számot kapunk, tehát a Diofantin együttható egyenlege. .
Következtetés
A GCD és az LCM nagy szerepet játszik a számelméletben, és magukat a fogalmakat széles körben használják a matematika legkülönbözőbb területein. Számológépünk segítségével számíthatja ki tetszőleges számú szám legnagyobb osztóit és legkisebb többszöröseit.
A többszörös olyan szám, amely maradék nélkül osztható egy adott számmal. Egy számcsoport legkisebb közös többszöröse (LCM) az a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható a csoport minden számával. A legkisebb közös többszörös megtalálásához meg kell találni az adott számok prímtényezőit. Az LCM számos más módszerrel is kiszámítható, amelyek két vagy több számból álló csoportokra vonatkoznak.
Lépések
Többszörös sorozat
- Például keresse meg 5 és 8 legkisebb közös többszörösét. Ezek kis számok, így használhatja ezt a módszert.
-
A többszörös olyan szám, amely maradék nélkül osztható egy adott számmal. A többszörösek a szorzótáblában találhatók.
- Például azok a számok, amelyek 5 többszörösei: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Írjon fel egy olyan számsorozatot, amely az első szám többszöröse. Tegye ezt az első szám többszöröse alatt a két számkészlet összehasonlításához.
- Például azok a számok, amelyek 8 többszörösei: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 és 64.
-
Keresse meg a legkisebb számot, amely mindkét többszöröshalmazban megtalálható. Lehetséges, hogy hosszú többszörös sorozatot kell írnia, hogy megtalálja a teljes számot. A legkisebb szám, amely mindkét többszöröshalmazban jelen van, a legkisebb közös többszörös.
- Például az 5 és 8 többszöröseinek sorozatában a legkisebb szám a 40. Ezért a 40 5 és 8 legkisebb közös többszöröse.
Prímfaktorizálás
-
Nézd meg ezeket a számokat. Az itt leírt módszer a legjobb, ha két számot ad meg, amelyek mindegyike nagyobb, mint 10. Ha kisebb számokat ad meg, használjon más módszert.
- Például keresse meg a 20 és 84 számok legkisebb közös többszörösét. Mindegyik szám nagyobb 10-nél, így használhatja ezt a módszert.
-
Tényező az első számot prímtényezőkké. Vagyis olyan prímszámokat kell találni, amelyeket szorozva adott számot kapunk. Ha megtalálta a prímtényezőket, írja le őket egyenlőségként.
- Például, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)És 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Így a 20-as szám prímtényezői a 2, 2 és 5 számok. Írjuk fel kifejezésként: .
-
Tényező a második szám prímtényezőkké. Tegye ezt ugyanúgy, mint ahogy az első számot faktorálta, azaz keressen olyan prímszámokat, amelyek szorzásakor az adott számot kapják.
- Például, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)És 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Így a 84-es szám prímtényezői a 2, 7, 3 és 2 számok. Írd le ezeket kifejezésként: .
-
Írja fel mindkét számra közös tényezőket!Írjon ilyen tényezőket szorzási műveletként! Az egyes tényezők írása közben húzza át mindkét kifejezésben (olyan kifejezésekben, amelyek a számok prímtényezőkké alakítását írják le).
- Például mindkét szám közös tényezője 2, ezért írjon 2 × (\displaystyle 2\times)és mindkét kifejezésben húzd át a 2-t.
- Ami a két számban közös, az egy másik 2-es tényező, ezért írd 2 × 2 (\displaystyle 2\x 2)és mindkét kifejezésben húzd át a második 2-t.
-
Adja hozzá a fennmaradó tényezőket a szorzási művelethez. Ezek olyan tényezők, amelyek nincsenek áthúzva mindkét kifejezésben, vagyis olyan tényezők, amelyek nem közösek mindkét számban.
- Például a kifejezésben 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\x 2\x 5) Mindkét kettő (2) át van húzva, mert közös tényezők. Az 5-ös tényező nincs áthúzva, ezért írja le a szorzási műveletet a következőképpen: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\x 2\x 5)
- Kifejezésben 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\x 7\x 3\x 2) mindkét kettes (2) szintén át van húzva. A 7-es és a 3-as tényező nincs áthúzva, ezért írja le a szorzási műveletet így: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\xx 2\x 5\x 7\x 3).
-
Számítsa ki a legkisebb közös többszöröst! Ehhez szorozza meg a számokat az írott szorzási műveletben.
- Például, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\x 2\x 5\x 7\x 3 = 420). Tehát 20 és 84 legkisebb közös többszöröse 420.
A közös tényezők megtalálása
-
Rajzolj rácsot, mint egy tic-tac-toe játékhoz. Egy ilyen rács két párhuzamos egyenesből áll, amelyek (derékszögben) metszik egymást két párhuzamos egyenessel. Ez három sort és három oszlopot kap (a rács nagyon hasonlít a # ikonra). Írja be az első számot az első sorba és a második oszlopba! Írja be a második számot az első sorba és a harmadik oszlopba!
- Például keresse meg a 18 és 30 számok legkisebb közös többszörösét. Írja be a 18-as számot az első sorba és a második oszlopba, és írja be a 30-as számot az első sorba és a harmadik oszlopba.
-
Keresse meg mindkét szám közös osztóját!Írja le az első sorba és az első oszlopba. Jobb, ha elsődleges tényezőket keresünk, de ez nem követelmény.
- Például 18 és 30 páros számok, így közös tényezőjük 2. Tehát az első sorba és az első oszlopba írjon 2-t.
-
Minden számot el kell osztani az első osztóval.Írjon minden hányadost a megfelelő szám alá! A hányados két szám elosztásának eredménye.
- Például, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tehát 9-et írj 18 alá.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tehát 30 alá írj 15-öt.
-
Keresse meg a mindkét hányadosra közös osztót! Ha nincs ilyen osztó, hagyja ki a következő két lépést. Ellenkező esetben írja be az osztót a második sorba és az első oszlopba.
- Például a 9 és a 15 osztható 3-mal, ezért írjon 3-at a második sorba és az első oszlopba.
-
Minden hányadost el kell osztani a második osztójával.Írja be az egyes osztási eredményeket a megfelelő hányados alá!
- Például, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tehát 9 alá írjon 3-at.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), ezért írj 5-öt 15 alá.
-
Ha szükséges, adjon hozzá további cellákat a rácshoz. Addig ismételjük a leírt lépéseket, amíg a hányadosoknak közös osztója nem lesz.
-
Karikázd be a rács első oszlopában és utolsó sorában lévő számokat! Ezután írja be a kiválasztott számokat szorzási műveletként.
- Például a 2-es és 3-as számok az első oszlopban, a 3-as és 5-ös számok pedig az utolsó sorban vannak, ezért írja be a szorzási műveletet a következőképpen: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\x 3\x 3\x 5).
-
Keresse meg a számok szorzásának eredményét. Ez kiszámítja két megadott szám legkisebb közös többszörösét.
- Például, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\x 3\x 3\x 5 = 90). Tehát 18 és 30 legkisebb közös többszöröse 90.
Euklidész algoritmusa
-
Ne feledje az osztási művelethez kapcsolódó terminológiát. Az osztalék az a szám, amelyet felosztanak. Az osztó az a szám, amellyel elosztjuk. A hányados két szám elosztásának eredménye. A maradék az a szám, amely két szám felosztása után marad.
- Például a kifejezésben 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
15 az osztalék
6 egy osztó
2 a hányados
3 a maradék.
- Például a kifejezésben 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
Nézd meg ezeket a számokat. Az itt leírt módszer a legjobb, ha két számot ad meg, amelyek mindegyike kisebb, mint 10. Ha nagyobb számokat ad meg, használjon más módszert.
