Proračun čvora. Najveći zajednički djelitelj (GCD) – definicija, primjeri i svojstva

Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka najveći zajednički djelitelj ovi brojevi. Označimo GCD(a, b).

Razmotrimo pronalaženje GCD na primjeru dva prirodna broja 18 i 60:

324 , 111 I 432

Razložimo brojeve u proste faktore:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Precrtavajući iz prvog broja faktore kojih nema u drugom i trećem broju, dobijamo:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Kao rezultat, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Pronalaženje GCD pomoću Euklidovog algoritma

Drugi način da se pronađe najveći zajednički djelitelj je korištenje Euklidski algoritam. Euklidski algoritam je najefikasniji način za pronalaženje GCD, koristeći ga morate stalno pronaći ostatak dijeljenih brojeva i primijeniti formula recidiva.

Formula recidiva za GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), gdje je mod b ostatak a podijeljen sa b.

Euklidov algoritam

Primjer Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 7920 I 594

Nađimo GCD( 7920 , 594 ) koristeći Euklidski algoritam, izračunat ćemo ostatak dijeljenja pomoću kalkulatora.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Kao rezultat, dobijamo GCD( 7920 , 594 ) = 198

Najmanji zajednički višekratnik

Da biste pronašli zajednički imenilac pri sabiranju i oduzimanju razlomaka sa različitim nazivnicima, morate znati i moći izračunati najmanji zajednički višekratnik(NOK).

Višekratnik broja “a” je broj koji je i sam djeljiv brojem “a” bez ostatka.

Brojevi koji su višestruki od 8 (tj. ovi brojevi su djeljivi sa 8 bez ostatka): to su brojevi 16, 24, 32...

Višestruki od 9: 18, 27, 36, 45…

Postoji beskonačno mnogo višekratnika datog broja a, za razliku od djelitelja istog broja. Postoji konačan broj djelitelja.

Zajednički višekratnik dva prirodna broja je broj koji je djeljiv sa oba ova broja..

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) od dva ili više prirodnih brojeva je najmanji prirodan broj koji je i sam djeljiv sa svakim od ovih brojeva.

Kako pronaći NOC

LCM se može naći i napisati na dva načina.

Prvi način da pronađete LOC

Ova metoda se obično koristi za male brojeve.

1. Zapisujemo višekratnike za svaki broj na liniji dok ne nađemo višekratnik koji je isti za oba broja.
2. Višekratnik broja “a” označava se velikim slovom “K”.

Primjer. Pronađite LCM 6 i 8.

Drugi način da pronađete LOC

Ovu metodu je pogodno koristiti za pronalaženje LCM-a za tri ili više brojeva.

Broj identičnih faktora u dekompozicijama brojeva može biti različit.

Također možete formalizirati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) na sljedeći način. Nađimo LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Kao što vidimo iz dekompozicije brojeva, svi faktori od 12 su uključeni u dekompoziciju 24 (najveći od brojeva), tako da dodajemo samo jedan 2 iz dekompozicije broja 16 u LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48

Posebni slučajevi pronalaska NPL-a

Na primjer, LCM (60, 15) = 60
Budući da zajednički prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je proizvodu ovih brojeva.

Na našoj web stranici također možete koristiti poseban kalkulator da pronađete najmanji zajednički višekratnik na mreži kako biste provjerili svoje izračune.

Ako je prirodan broj djeljiv samo sa 1 i samim sobom, onda se naziva prostim.

Svaki prirodan broj je uvijek djeljiv sa 1 i samim sobom.

Broj 2 je najmanji prost broj. Ovo je jedini paran prost broj, ostali prosti brojevi su neparni.

Postoji mnogo prostih brojeva, a prvi među njima je broj 2. Međutim, ne postoji posljednji prost broj. U odjeljku “Za učenje” možete preuzeti tabelu prostih brojeva do 997.

Ali mnogi prirodni brojevi su također djeljivi sa drugim prirodnim brojevima.

• broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;
• Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cjelinom (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djeliteljima broja.

Delitelj prirodnog broja a je prirodan broj koji dijeli dati broj “a” bez ostatka.

Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni.

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12.

Zajednički djelitelj dva data broja “a” i “b” je broj kojim su oba data broja “a” i “b” podijeljena bez ostatka.

Najveći zajednički djelitelj(GCD) dva data broja “a” i “b” je najveći broj kojim su oba broja “a” i “b” djeljiva bez ostatka.

Ukratko, najveći zajednički djelitelj brojeva “a” i “b” piše se na sljedeći način::

Primjer: gcd (12; 36) = 12.

Delitelji brojeva u zapisu rješenja označeni su velikim slovom “D”.

Brojevi 7 i 9 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju koprosti brojevi.

Koprosti brojevi- to su prirodni brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Njihov gcd je 1.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj

Da biste pronašli gcd dva ili više prirodnih brojeva, trebate:

• rastaviti djelitelje brojeva na proste faktore;

Pogodno je pisati proračune pomoću vertikalne trake. Lijevo od reda prvo zapisujemo dividendu, desno - djelitelj. Zatim u lijevom stupcu zapisujemo vrijednosti količnika.

Objasnimo to odmah na primjeru. Razložimo brojeve 28 i 64 u proste faktore.

Ističemo iste proste faktore u oba broja.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Pronađite proizvod identičnih prostih faktora i zapišite odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Odgovor: GCD (28; 64) = 4

Lokaciju GCD-a možete formalizirati na dva načina: u stupcu (kao što je gore urađeno) ili "u nizu".

Prvi način za pisanje gcd-a

Pronađite gcd 48 i 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Drugi način za pisanje gcd-a

Sada zapišimo rješenje GCD pretrage u red. Pronađite gcd 10 i 15.

Na našoj informativnoj stranici također možete koristiti online pomoćnik Greatest Common Divisor da provjerite svoje izračune.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, metode, primjeri pronalaženja LCM.

Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), And Posebna pažnja Fokusirajmo se na rješavanje primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračunavanje LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD

Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD nam omogućava da izračunamo najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Pogledajmo primjere pronalaženja LCM-a pomoću date formule.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.

U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo vezu između LCM i GCD, izraženu formulom LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva koristeći napisanu formulu.

Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Čemu je jednako LCM(68, 34)?

Pošto je 68 deljivo sa 34, onda je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je a djeljivo sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Drugi način za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako sastavite proizvod od svih prostih faktora datih brojeva, a zatim iz ovog proizvoda isključite sve zajedničke proste faktore prisutne u dekompozicijama datih brojeva, tada će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku datih brojeva .

Navedeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD pomoću proširenja brojeva u proste faktore).

Dajemo primjer. Javite nam da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo proizvod od svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog proizvoda isključujemo sve faktore prisutne u proširenju broja 75 i proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, odnosno LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Faktorite brojeve 441 i 700 u proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Razložimo brojeve 441 i 700 u proste faktore:

Dobijamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Sada napravimo proizvod od svih faktora uključenih u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Dakle, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM koristeći faktorizaciju brojeva u proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako se faktori koji nedostaju iz proširenja broja b dodaju faktorima iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihove dekompozicije na proste faktore su sljedeće: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijamo proizvod 2·3·5·5·7, čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Prvo dobijamo dekompozicije brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik od 84 i 648 je 4,536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Prvo nalazimo m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Da bismo to uradili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1, od čega je LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Odnosno, m 2 =1 260.

Sada nalazimo m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Izračunajmo ga kroz GCD(1 260, 54), koji takođe određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, od čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.

Ostaje da se pronađe m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Da bismo to uradili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dakle, GCD(3,780, 250)=10, od čega je GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To jest, m 4 =94,500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500 .

U mnogim slučajevima, zgodno je pronaći najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju morate se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje rezultujućim faktorima, i tako dalje.

Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću faktorizacije.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Prvo dobijamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se sa njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11·13.

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Dekompozicija broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u dekompoziciji prvog broja 84. Zatim, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebe za dodavanjem množitelja ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.

Dakle, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Ponekad postoje zadaci u kojima je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva, među kojima su jedan, nekoliko ili svi brojevi negativni. U tim slučajevima, svi negativni brojevi moraju biti zamijenjeni njihovim suprotnim brojevima, a zatim se mora pronaći LCM pozitivnih brojeva. Ovo je način da se pronađe LCM negativnih brojeva. Na primjer, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

To možemo učiniti jer je skup višekratnika a isti kao skup višekratnika od −a (a i −a su suprotni brojevi). Zaista, neka je b neki višekratnik a, tada je b djeljivo sa a, a koncept djeljivosti navodi postojanje cijelog broja q takvog da je b=a·q. Ali jednakost b=(−a)·(−q) će takođe biti tačna, što, zbog istog koncepta deljivosti, znači da je b deljivo sa −a, odnosno da je b višekratnik od −a. I obrnuto: ako je b neki višekratnik od −a, onda je i b višekratnik od a.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva −145 i −45.

Zamijenimo negativne brojeve −145 i −45 njihovim suprotnim brojevima 145 i 45. Imamo LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Odredivši GCD(145, 45)=5 (na primjer, korištenjem Euklidovog algoritma), izračunavamo GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Dakle, najmanji zajednički višekratnik negativnih cijelih brojeva −145 i −45 je 1,305.

www.cleverstudents.ru

Nastavljamo sa učenjem odjeljenja. U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na koncepte kao što su GCD I NOC.

GCD je najveći zajednički djelitelj.

NOC je najmanji zajednički višekratnik.

Tema je prilično dosadna, ali svakako je morate razumjeti. Bez razumevanja ove teme nećete moći efikasno da radite sa razlomcima, koji su prava prepreka u matematici.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija. Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b a I b podijeljeno bez ostatka.

Da bismo dobro razumjeli ovu definiciju, zamijenimo varijable a I b bilo koja dva broja, na primjer, umjesto varijable a Zamenimo broj 12, i umesto varijable b broj 9. Pokušajmo sada pročitati ovu definiciju:

Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 I 9 se naziva najvećim brojem kojim 12 I 9 podijeljeno bez ostatka.

Iz definicije je jasno da je riječ o zajedničkom djelitelju brojeva 12 i 9, a ovaj djelitelj je najveći od svih postojećih djelitelja. Ovaj najveći zajednički djelitelj (GCD) treba pronaći.

Za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja koriste se tri metode. Prva metoda je prilično radno intenzivna, ali vam omogućava da jasno shvatite suštinu teme i osjetite njeno puno značenje.

Druga i treća metoda su prilično jednostavne i omogućavaju brzo pronalaženje GCD-a. Pogledaćemo sve tri metode. A koji ćete koristiti u praksi, na vama je da odaberete.

Prva metoda je pronaći sve moguće djelitelje dva broja i odabrati najveći. Pogledajmo ovu metodu koristeći sljedeći primjer: pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9.

Prvo ćemo pronaći sve moguće djelitelje broja 12. Da bismo to učinili, podijelit ćemo 12 sa svim djeliteljima u rasponu od 1 do 12. Ako nam djelitelj dozvoljava da podijelimo 12 bez ostatka, tada ćemo ga istaknuti u plavo i dajte odgovarajuće objašnjenje u zagradi.

12: 1 = 12
(12 je podijeljeno sa 1 bez ostatka, što znači da je 1 djelitelj broja 12)

12: 2 = 6
(12 je podijeljeno sa 2 bez ostatka, što znači da je 2 djelitelj broja 12)

12: 3 = 4
(12 je podijeljeno sa 3 bez ostatka, što znači da je 3 djelitelj broja 12)

12: 4 = 3
(12 je podijeljeno sa 4 bez ostatka, što znači da je 4 djelitelj broja 12)

12: 5 = 2 (2 preostalo)
(12 nije podijeljeno sa 5 bez ostatka, što znači da 5 nije djelitelj broja 12)

12: 6 = 2
(12 je podijeljeno sa 6 bez ostatka, što znači da je 6 djelitelj broja 12)

12: 7 = 1 (5 preostalih)
(12 nije podijeljeno sa 7 bez ostatka, što znači da 7 nije djelitelj broja 12)

12: 8 = 1 (4 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 8 bez ostatka, što znači da 8 nije djelitelj od 12)

12: 9 = 1 (3 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 9 bez ostatka, što znači da 9 nije djelitelj broja 12)

12: 10 = 1 (2 preostala)
(12 nije podijeljeno sa 10 bez ostatka, što znači da 10 nije djelitelj broja 12)

12: 11 = 1 (1 ostatak)
(12 nije podijeljeno sa 11 bez ostatka, što znači da 11 nije djelitelj od 12)

12: 12 = 1
(12 je podijeljeno sa 12 bez ostatka, što znači da je 12 djelitelj broja 12)

Sada pronađimo djelitelje broja 9. Da biste to učinili, provjerite sve djelitelje od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 je podijeljeno sa 1 bez ostatka, što znači da je 1 djelitelj broja 9)

9: 2 = 4 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 2 bez ostatka, što znači da 2 nije djelitelj broja 9)

9: 3 = 3
(9 je podijeljeno sa 3 bez ostatka, što znači da je 3 djelitelj broja 9)

9: 4 = 2 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 4 bez ostatka, što znači da 4 nije djelitelj broja 9)

9: 5 = 1 (4 preostala)
(9 nije podijeljeno sa 5 bez ostatka, što znači da 5 nije djelitelj broja 9)

9: 6 = 1 (3 preostala)
(9 nije podijeljeno sa 6 bez ostatka, što znači da 6 nije djelitelj broja 9)

9: 7 = 1 (2 preostala)
(9 nije podijeljeno sa 7 bez ostatka, što znači da 7 nije djelitelj broja 9)

9: 8 = 1 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 8 bez ostatka, što znači da 8 nije djelitelj broja 9)

9: 9 = 1
(9 je podijeljeno sa 9 bez ostatka, što znači da je 9 djelitelj broja 9)

Zapišimo sada djelitelje oba broja. Brojevi označeni plavom bojom su djelitelji. Hajde da ih zapišemo:

Nakon što ste ispisali djelitelje, možete odmah odrediti koji je najveći i najčešći.

Po definiciji, najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je broj koji dijeli 12 i 9 bez ostatka. Najveći i zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je broj 3

I broj 12 i broj 9 su djeljivi sa 3 bez ostatka:

Dakle, gcd (12 i 9) = 3

Drugi način da pronađete GCD

Pogledajmo sada drugu metodu pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja. Suština ove metode je da se oba broja razlože na proste faktore i pomnože uobičajeni.

Primjer 1. Pronađite gcd brojeva 24 i 18

Prvo, hajde da činimo oba broja u proste faktore:

Sada pomnožimo njihove zajedničke faktore. Kako bi se izbjegla zabuna, mogu se naglasiti uobičajeni faktori.

Gledamo proširenje broja 24. Njegov prvi faktor je 2. Tražimo isti faktor u proširenju broja 18 i vidimo da je i on tu. Ističemo oba dva:

Ponovo gledamo proširenje broja 24. Njegov drugi faktor je također 2. Tražimo isti faktor u proširenju broja 18 i vidimo da ga po drugi put više nema. Tada ništa ne naglašavamo.

Sljedeća dva u proširenju broja 24 također nema u proširenju broja 18.

Pređimo na posljednji faktor u proširenju broja 24. Ovo je faktor 3. Tražimo isti faktor u proširenju broja 18 i vidimo da je i tu. Ističemo obe trojke:

Dakle, zajednički faktori brojeva 24 i 18 su faktori 2 i 3. Da biste dobili GCD, ovi faktori se moraju pomnožiti:

Dakle, gcd (24 i 18) = 6

Treći način da pronađete GCD

Pogledajmo sada treći način pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja. Suština ove metode je da se brojevi koji se mogu naći za najveći zajednički djelitelj razlažu na proste faktore. Zatim se iz proširenja prvog broja precrtavaju faktori koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Preostali brojevi u prvom proširenju se množe i dobije se GCD.

Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 28 i 16 koristeći ovu metodu. Prije svega, ove brojeve dekomponujemo na proste faktore:

Dobili smo dva proširenja: i

Sada ćemo iz dekompozicije prvog broja izbrisati faktore koji nisu uključeni u dekompoziciju drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje sedam. Prekrižimo to iz prvog proširenja:

Sada pomnožimo preostale faktore i dobijemo GCD:

Broj 4 je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 16. Oba ova broja su djeljiva sa 4 bez ostatka:

Primjer 2. Pronađite gcd brojeva 100 i 40

Rastavljanje broja 100 na faktore

Rastavljanje broja 40 na faktore

Imamo dva proširenja:

Sada ćemo iz dekompozicije prvog broja izbrisati faktore koji nisu uključeni u dekompoziciju drugog broja. Proširivanje drugog broja ne uključuje jednu peticu (postoji samo jedna petica). Prekrižimo to iz prve ekspanzije

Pomnožimo preostale brojeve:

Dobili smo odgovor 20. To znači da je broj 20 najveći zajednički djelitelj brojeva 100 i 40. Ova dva broja su djeljiva sa 20 bez ostatka:

GCD (100 i 40) = 20.

Primjer 3. Pronađite gcd brojeva 72 i 128

Rastavljanje broja 72 na faktore

Rastavljanje broja 128 na faktore

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Sada ćemo iz dekompozicije prvog broja izbrisati faktore koji nisu uključeni u dekompoziciju drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje dvije trojke (njih uopće nema). Prekrižimo ih iz prve ekspanzije:

Dobili smo odgovor 8. To znači da je broj 8 najveći zajednički djelitelj brojeva 72 i 128. Ova dva broja su djeljiva sa 8 bez ostatka:

GCD (72 i 128) = 8

Pronalaženje GCD za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj se razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva.

Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 18, 24 i 36

Razložimo broj 18 na faktore

Razložimo broj 24 na faktore

Razložimo broj 36 na faktore

Imamo tri proširenja:

Hajde sada da istaknemo i podvučemo zajedničke faktore u ovim brojevima. Zajednički faktori moraju se pojaviti u sva tri broja:

Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 18, 24 i 36 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobijamo gcd koji tražimo:

Dobili smo odgovor 6. To znači da je broj 6 najveći zajednički djelitelj brojeva 18, 24 i 36. Ova tri broja su djeljiva sa 6 bez ostatka:

GCD (18, 24 i 36) = 6

Primjer 2. Pronađite GCD za brojeve 12, 24, 36 i 42

Razložimo svaki broj u proste faktore. Zatim nalazimo proizvod zajedničkih faktora ovih brojeva.

Razložimo broj 12 na faktore

Razložimo broj 42 na faktore

Imamo četiri proširenja:

Hajde sada da istaknemo i podvučemo zajedničke faktore u ovim brojevima. Zajednički faktori moraju se pojaviti u sva četiri broja:

Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 12, 24, 36 i 42 faktori 2 i 3. Pomnožeći ove faktore zajedno, dobijamo gcd koji tražimo:

Dobili smo odgovor 6. To znači da je broj 6 najveći zajednički djelitelj brojeva 12, 24, 36 i 42. Ovi brojevi su djeljivi sa 6 bez ostatka:

GCD (12, 24, 36 i 42) = 6

Iz prethodne lekcije znamo da ako je broj podijeljen s drugim bez ostatka, naziva se višekratnik ovog broja.

Ispada da nekoliko brojeva može imati zajednički višekratnik. A sada će nas zanimati višekratnik dva broja, a trebao bi biti što manji.

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva a I b- a I b a i broj b.

Definicija sadrži dvije varijable a I b. Zamijenimo bilo koja dva broja umjesto ovih varijabli. Na primjer, umjesto varijable a Zamenimo broj 9, i umesto varijable b Zamijenimo broj 12. Pokušajmo sada pročitati definiciju:

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 9 I 12 - je najmanji broj koji je višekratnik 9 I 12 . Drugim riječima, ovo je tako mali broj koji je bez ostatka djeljiv brojem 9 i po broju 12 .

Iz definicije je jasno da je LCM najmanji broj koji je djeljiv sa 9 i 12 bez ostatka.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM), možete koristiti dvije metode. Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim između tih višekratnika izabrati broj koji će biti zajednički i brojevima i malim. Hajde da primenimo ovu metodu.

Prvo, hajde da pronađemo prve višekratnike broja 9. Da biste pronašli višekratnike broja 9, morate pomnožiti ovu devetku jedan po jedan brojevima od 1 do 9. Dobijeni odgovori će biti višekratnici broja 9. Dakle, počnimo. Crvenom bojom ćemo istaknuti višekratnike:

Sada nalazimo višekratnike broja 12. Da bismo to učinili, množimo 12 jedan po jedan sa svim brojevima od 1 do 12.

Hajde da rešimo problem. Imamo dvije vrste kolačića. Neki su čokoladni, a drugi obični. Čokoladnih ima 48, a običnih 36. Od ovih kolačića potrebno je napraviti maksimalan broj poklona i sve ih iskoristiti.

Prvo, zapišimo sve djelitelje svakog od ova dva broja, jer oba ova broja moraju biti djeljiva brojem darova.

Dobijamo

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Nađimo među zajedničkim djeliteljima koje imaju i prvi i drugi broj.

Uobičajeni faktori će biti: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Najveći zajednički faktor od svih je broj 12. Ovaj broj se zove najveći zajednički faktor brojeva 36 i 48.

Na osnovu dobijenih rezultata možemo zaključiti da se od svih kolačića može napraviti 12 poklona. Jedan takav poklon će sadržavati 4 čokoladna kolačića i 3 obična kolačića.

Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja

• Najveći prirodni broj koji dijeli dva broja a i b bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj ovih brojeva.

Ponekad se skraćenica GCD koristi za skraćenje unosa.

Neki parovi brojeva imaju jedan kao najveći zajednički djelitelj. Takvi brojevi se nazivaju međusobno prosti brojevi. Na primjer, brojevi 24 i 35 imaju GCD =1.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj

Da bismo pronašli najveći zajednički djelitelj, nije potrebno zapisati sve djelitelje datih brojeva.

Možete to učiniti drugačije. Prvo, razdijelite oba broja u proste faktore.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Sada ćemo od faktora koji su uključeni u proširenje prvog broja precrtati sve one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. U našem slučaju to su dvije dvojke.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Preostali faktori su 2, 2 i 3. Njihov proizvod je 12. Ovaj broj će biti najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36.

Ovo pravilo se može proširiti na slučaj tri, četiri, itd. brojevi.

Opća shema za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja

• 1. Podijelite brojeve na proste faktore.
• 2. Od faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtajte one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva.
• 3. Izračunajte proizvod preostalih faktora.

Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički umnožak za dva ili bilo koji drugi broj brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM

Pronađite GCD i LOC

Pronađeno GCD i LOC: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• Ako unesete netačne znakove, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
• kliknite na dugme "Pronađi GCD i LOC".

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmakom, tačkom ili zarezom
• Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško

Šta su GCD i NOC?

Najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim, njihovim kombinovanjem, možete provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Test djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: Gledamo posljednju cifru: 8 - to znači da je broj djeljiv sa dva.

2. Test djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa tri. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako je zbir cifara vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.

3. Test djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.

4. Test djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći gcd dva broja

Najlakši način da izračunate najveći zajednički djelitelj dva broja je da pronađete sve moguće djelitelje tih brojeva i odaberete najveći.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Faktoriramo oba broja: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 = 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik od dva broja. Prva metoda je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj se razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također možete koristiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Sličan odnos se primjenjuje na najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov proizvod će dati GCD: 1·2·2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo pronađimo LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, morate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Definicija. Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka najveći zajednički djelitelj (GCD) ovi brojevi.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Delitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju uzajamno prime.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju uzajamno prime, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (GCD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) može se naći bez ispisivanja svih djelitelja datih brojeva.

Rastavljajući na faktore brojeve 48 i 36, dobijamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva, precrtavamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov proizvod je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Naći najveći zajednički djelitelj

2) iz faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) naći proizvod preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi sa jednim od njih, onda je i ovaj broj najveći zajednički djelitelj date brojeve.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su svi ostali brojevi djeljivi s njim: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to uradili, razložimo 75 i 60 u proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5, i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja drugog broja (tj. kombinujemo faktore).
Dobijamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je proizvod 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

To pronađite najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) razvrstati ih u proste faktore;
2) zapisati faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) naći proizvod rezultujućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je ovaj broj najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI vek pne) i njegovi učenici proučavali su pitanje deljivosti brojeva. Nazvali su broj jednak zbiru svih njegovih djelitelja (bez samog broja) savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33,550,336 Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. vijeku. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. vijeku. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali naučnici još uvijek ne znaju da li postoje neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Interes starih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerovatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih ima više, u drugim - manje. Ali što se dalje krećemo duž niza brojeva, prosti brojevi su manje uobičajeni. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najveći) prost broj? Drevni grčki matematičar Euklid (3. vek pre nove ere), u svojoj knjizi „Elementi“, koja je dve hiljade godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja postoji još veći prosti broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složen broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojeve koji su višekratni od 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze iza 3 (brojevi koji su višekratni od 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su precrtani. na kraju su samo prosti brojevi ostali neukršteni.

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma „višestruko“.

Višekratnik A je prirodan broj koji je djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, brojevi koji su višekratnici broja 5 mogu se smatrati 15, 20, 25 itd.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je djeljiv s njima bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svim ovim brojevima.

Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve, zgodno je zapisati sve višekratnike ovih brojeva na liniji dok ne nađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ova notacija se radi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu izračunavanja LCM-a.

Da biste izvršili zadatak, potrebno je da date brojeve rastavite u proste faktore.

Prvo trebate zapisati dekompoziciju najvećeg broja na liniji, a ispod njega - ostatak.

Dekompozicija svakog broja može sadržavati različit broj faktora.

Na primjer, razložimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba istaknuti faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim mu ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako će proizvod prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja koji nisu uključeni u proširenje većeg broja biti najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, trebali biste ih sve rastaviti u proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz proširenja šesnaest nisu uključene u faktorizaciju većeg broja (jedan je u proširenju dvadeset četiri).

Stoga ih je potrebno dodati proširenju većeg broja.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od ovih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset četiri je dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik koprostih brojeva koji nemaju identične djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM (10, 11) = 110.