Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi. Rješavanje linearnih jednadžbi s primjerima Jednačina po 5

Ostavite komentar 6,950

Lekcija #33

Tema: Jednačine

Ciljevi lekcije:

Sumirati i sistematizovati znanja učenika o temi koja se proučava, nastaviti rad na razvijanju sposobnosti rješavanja jednačina i zadataka sastavljanjem jednačina.

Poboljšati računarske vještine učenika

Negujte odgovoran odnos prema učenju.

Kriterijumi uspeha

Znam …

Razumijem …

Mogu ….

Tokom nastave

Uvodno – motivacioni momenat

matematika, prijatelji,
Apsolutno svima treba.
Radite vrijedno na času
A uspjeh vas sigurno čeka!

Danas nastavljamo da učimo kako rješavati jednadžbe i probleme koristeći metodu jednačina.

Ažuriranje znanja

Da bismo završili zadatke, razmotrit ćemo osnovne pojmove potrebne za rješavanje jednačina i probleme koji se rješavaju sastavljanjem jednačina.

( )

Koja se vrsta jednakosti naziva jednačina?

Koji se broj naziva korijenom jednadžbe?

Šta znači riješiti jednačinu?

Kako provjeriti da li je jednačina ispravno riješena?

Provjera završetka domaće zadaće (Slajd br. 2)

(provjera ispunjenosti domaće zadaće vrši se samotestiranjem)

Rješenje učenika sa izgovorom

(x – 87) – 27 = 36

87 – (41 + y) = 22

x – 87 = 36 + 27

41 + y = 87 - 22

x – 87 = 63

41 + y = 65

x = 63 + 87

y = 65 - 41

x = 150

y = 24

Ispitivanje

(150 – 87) - = 36

87 – (41 + 24) = 22

63 – 27 = 36

87 – 65 = 22

36 = 36 (tačno)

22 = 22 (tačno)

Usmeni rad

1. Imenujte brojeve jednačina (jednačine su napisane na tabli) u kojima se pojam mora naći.
U kojim je jednačinama minus nepoznat?
U kojim jednačinama trebate pronaći subtrahend?
U kojim je jednačinama pojam nepoznat?
Pronađite korijene jednadžbi.

x + 21 = 40; 2) a – 21 = 40; 3) 50 = a + 31; 4) s – 23 = 61; 5) 42 = 70 – y;

6) 38 - x = 38; 7) 25 – a = 25; 8) x + 32 = 32; 9) y – 0 = 27; 10) 60 – s = 35

(Slajd br. 3)

Grupni rad
Pronađite nepoznati broj:

1) Nepoznatom smo dodali 71 i dobili 100.
(x + 71 = 100)
x = 100 – 71
x = 29
2) Proizvod dva broja je 72, jedan faktor je 12, pronađite drugi faktor.
12*X = 72
X = 72:12
X = 6
3) Kada se određeni broj podijeli sa 9, količnik je 11. Pronađite ovaj broj.
x: 9 = 31
x = 31* 9
x = 279

Rad na jednačinama (Slajd br. 5)

Od učenika se traži da naprave tri jednačine prema uslovima i da ih riješe sljedećim redoslijedom:
1) Razlika između zbira brojeva “x” i 40 veća je od broja 31 za 50.
(jednačina je riješena uz komentar)
2) Broj 70 je veći od zbira broja 25 i "y" za 38.
(Učenici samostalno rješavaju jednačinu, a jedan od učenika zapisuje rješenje na poleđini ploče)
3) Razlika između broja 120 i broja “a” je manja od broja 65 za 53.
(Rješenje jednadžbe je u potpunosti napisano na tabli, nakon čega cijeli razred razgovara o rješenju jednačine)

Rad na zadacima (slajd broj 6)

Zadatak br. 1
U kutiji je bilo nekoliko jabuka. Nakon što su u njega stavljene još 32 jabuke, bilo ih je 81. Koliko je jabuka prvobitno bilo u kutiji?

Šta kaže problem? Koje ste radnje izvodili sa jabukama? Šta trebate znati u problemu? Šta to pismo treba da predstavlja?
Neka u korpi bude x jabuka. Nakon što su u njega stavljene još 32 jabuke, bilo je (x + 32) jabuka, a prema uslovima zadatka u korpi je bila 81 jabuka.
Tako možemo kreirati jednačinu:
x + 32 = 81,
x = 81 – 32,
x = 49

U početku je u korpi bilo 49 jabuka.
Odgovor: 49 jabuka.

Problem br. 2
Studio je imao 70 (m) tkanine. Haljine su rađene od dijela tkanine i još 18 (m) je utrošeno za pantalone, nakon čega je ostalo 23 (m). Koliko metara tkanine je utrošeno za haljine?

Šta kaže problem? Koje ste radnje izvodili s tkaninom? Šta trebate znati u problemu? Šta to pismo treba da predstavlja?
Neka se x (m) tkanine koristi za haljine. Zatim je (x + 18) metara tkanine korišteno za šivenje haljina i pantalona. Prema uslovima problema poznato je da je ostalo još 23 m.
Tako možemo kreirati jednačinu:
70 – (x + 18) = 23,
x + 18 = 70 – 23,
x + 18 = 47,
x = 47 – 18,
x = 29.

Za haljine je utrošeno 29 metara tkanine.
Odgovor: 29 metara.

Samostalan rad (Slajd br. 7)

Samostalni rad se nudi studentima u dvije opcije.

1 opcija

Opcija 2

Riješite jednačine:

1) 320 – x = 176

1) 450 – y = 246

2) y + 294 = 501

2) x + 386 = 602

Makarova T.P., GBOU srednja škola br. 618 Obuka „Jednačine“ 5. razred

Obuka za 5. razred na temu “Jednačine” u 2 verzije

Makarova Tatjana Pavlovna,

Učitelj, srednja škola br. 618, Moskva

Kontingent: 5. razred

Obuka je usmjerena na provjeru znanja i vještina učenika na temu „Jednačine“. Obuka je namenjena učenicima 5. razreda za udžbenike N.Ya, Zhokhova i dr. – M.: Mnemosyne, 2013. – 288 str. Test sadrži dvije paralelne opcije jednake težine, po devet zadataka (4 zadatka višestrukog izbora, 3 zadatka s kratkim odgovorom, 2 zadatka sa proširenim rješenjem).

Ova obuka je u potpunosti usklađena sa saveznim državnim obrazovnim standardom (druga generacija), može se koristiti prilikom praćenja učionice, a mogu je koristiti i učenici 5. razreda za samostalan rad na temu.

Od 15 do 25 minuta časa predviđeno je za završetak testa. Ključevi uključeni.

Obuka za 5. razred na temu Jednačine. Opcija 1.

№p/p

Vježbajte

Odgovori

Riješite jednačinu

574

1124

1114

1024

Pronađite korijen jednačine

(156-x )+43=170.

1) Koren jednačine je vrijednost slova.

2) Koren jednačine (23 – X) – 21 = 2 nije prirodan broj.

3) Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

4) Jednačina x – x= 0 ima tačno jedan korijen.

Petya je smislila broj. Ako ovom broju dodate 43, a dobijenom iznosu dodate 77, dobit ćete 258. Koji broj je Petya imao na umu?

1) (X + 43) – 77 = 258

2) (X + 43) + 77 = 258

3) (X – 43) + 77 = 258

4) (X – 43) – 77 = 258

Riješite jednačinu: (5· With – 8) : 2 = 121: 11.

Riješite jednačinu: 821 – ( m + 268) = 349.

Pronađite vrijednost broja A, ako je 8 A + 9X= 60 i X=4.

Riješite zadatak pomoću jednačine. Biblioteka je imala 125 knjiga iz matematike. Nakon što su učenici uzeli nekoliko knjiga, a zatim vratili 3 knjige, bilo je 116 knjiga. Koliko su učenici ukupno uzeli?

Riješite jednačinu:

456 + (X – 367) – 225 =898

Obuka za 5. razred na temu Jednačine. Opcija 2.

№p/p

Vježbajte

Odgovori

Dio 1. Zadatak višestrukog izbora

Riješite jednačinu

525

1081

535

1071

Pronađite korijen jednačine

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

Navedite brojeve tačnih tvrdnji:

1) Jednačina je jednakost koja sadrži slovo čija se vrijednost mora pronaći.

2) Bilo koji prirodan broj je korijen jednačine

3) Koren jednačine je vrijednost slova na kojoj se iz jednačine dobija tačan numerički izraz.

4) Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate dodati djelitelj količniku.

Daša je smislila broj. Ako ovom broju dodate 43 i od dobijenog iznosa oduzmete 77, dobićete 258. Koji broj je Daša imala na umu?

1) (X + 43) – 77 = 258

2) (X + 43) + 77 = 258

3) (X – 43) + 77 = 258

4) (X – 43) – 77 = 258

Dio 2. Zadatak kratkog odgovora

Riješite jednačinu: 63: (2· X – 1) = 21: 3.

Riješite jednačinu: 748 – ( b +248) = 300.

Pronađite vrijednost broja A, ako 7 A – 3X= 41 i X=5.

Dio 3. Zadaci sa detaljnim rješenjima

Riješite zadatak pomoću jednačine. U skladištu je bilo 197 mašina. Nakon što su neke prodate i dovezeno još 86, u skladištu je ostalo još 115 mašina. Koliko mašina je ukupno prodato?

Jednačina je jednakost u kojoj postoji nepoznati pojam - x. Mora se pronaći njegovo značenje.

Nepoznata veličina se naziva korijenom jednačine. Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje njenog korijena, a da biste to učinili morate znati svojstva jednačina. Jednačine za 5. razred nisu teške, ali ako naučite da ih pravilno rješavate, nećete imati problema s njima u budućnosti.

Glavno svojstvo jednačina

Kada se obje strane jednačine promijene za isti iznos, ona nastavlja biti ista jednačina s istim korijenom. Hajde da riješimo nekoliko primjera kako bismo bolje razumjeli ovo pravilo.

Kako riješiti jednadžbe: sabiranje ili oduzimanje

Pretpostavimo da imamo jednačinu oblika:

a + x = b - ovdje su a i b brojevi, a x je nepoznati član jednačine.

Ako dodamo (ili oduzmemo od njih) vrijednost c na obje strane jednačine, ona se neće promijeniti:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

Primjer 1

Koristimo ovo svojstvo da riješimo jednačinu:

37+x=51

Oduzmite broj 37 sa obe strane:

37+x-37=51-37

dobijamo:

x=51-37.

Koren jednačine je x=14.

Ako pažljivo pogledamo posljednju jednačinu, možemo vidjeti da je ista kao i prva. Jednostavno smo pomjerili član 37 s jedne strane jednačine na drugu, zamijenivši plus sa minusom.

Ispostavilo se da se bilo koji broj može prenijeti iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotnim predznakom.

Primjer 2

37+x=37+22

Izvršimo istu radnju, pomjerimo broj 37 s lijeve strane jednadžbe udesno:

x=37-37+22

Pošto je 37-37=0, jednostavno smanjimo ovo i dobijemo:

x =22.

Identični članovi jednačine sa istim predznakom, koji se nalaze u različitim dijelovima jednačine, mogu se reducirati (precrtati).

Jednačine za množenje i dijeljenje

Obje strane jednakosti se također mogu pomnožiti ili podijeliti istim brojem:

Ako se jednakost a = b podijeli ili pomnoži sa c, ona se ne mijenja:

a/c = b/c,
ac = bs.

Primjer 3

5x = 20

Podijelimo obje strane jednačine sa 5:

5x/5 = 20/5.

Kako je 5/5 = 1, smanjimo ove množitelje i djelitelje na lijevoj strani jednačine i dobijemo:

x = 20/5, x=4

Primjer 4

5x = 5a

Ako se obje strane jednačine podijele sa 5, dobijamo:

5x/5 = 5a/5.

5 u brojniku i nazivniku lijeve i desne strane se poništavaju, što rezultira x = a. To znači da se identični faktori na lijevoj i desnoj strani jednadžbe poništavaju.

Hajde da riješimo još jedan primjer:

13 + 2x = 21

Pomjeramo član 13 s lijeve strane jednačine udesno sa suprotnim predznakom:

2x = 21 - 13
2x = 8.

Podijeleći obje strane jednačine sa 2, dobijamo:

x = 4.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:

Proširite zagrade, ako ih ima;
Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
Dajte slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je "nula jednaka nuli", tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Uopšteno govoreći, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu varijablu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije rješavaju se na približno isti način:

Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
Onda donesi slično
Konačno, izolirajte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje premjestite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Razmotrićemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

Proširite zagrade, ako ih ima.
Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
Predstavljamo slične termine.
Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova šema ne funkcionira uvijek u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične pojmove predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekih sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, jednostavno im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste učinili nešto pogrešno.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, tada će se tokom procesa transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno poništiti.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenje, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva člana - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno da obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Nećete više morati da izvodite toliko transformacija svaki put; Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekih sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; onda uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

Otvorite zagrade.
Odvojene varijable.
Donesite slične.
Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

Riješite se razlomaka.
Otvorite zagrade.
Odvojene varijable.
Donesite slične.
Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su:

Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
Mogućnost otvaranja zagrada.
Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, one će se smanjiti u procesu daljnjih transformacija.
Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Ostanite sa nama, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Linearne jednadžbe.

Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hajde da to shvatimo?)

Obično se linearna jednačina definira kao jednadžba oblika:

sjekira + b = 0 Gdje a i b– bilo koji broj.

2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2

Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite i nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:

Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, A b=5, Ovo se ispostavilo kao nešto potpuno apsurdno:

Što je dosadno i podriva samopouzdanje u matematiku, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza također morate pronaći X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučićemo to da radimo. U ovoj lekciji.

Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi od izgleda.) Trik je u tome da linearne jednadžbe nisu samo jednadžbe oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama mogu svesti na ovaj oblik. I ko zna da li pada ili ne?)

Linearna jednačina se može jasno prepoznati u nekim slučajevima. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznanice prvog stepena i brojevi. A u jednačini nema razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je dobrodošlo! Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, kocki, itd., i nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine

ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi X u prvom stepenu, ali ih ima podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti linearnu jednačinu, kvadratnu jednačinu ili bilo šta što želite.

Ispada da je nemoguće prepoznati linearnu jednačinu u nekom komplikovanom primjeru dok je gotovo ne riješite. Ovo je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? Zadaci traže jednačine odlučiti. Ovo me čini srećnom.)

Rješavanje linearnih jednadžbi. Primjeri.

Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (njih dvije!) su osnova rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, rješenje bilo koji jednadžba počinje upravo ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rešenje) se zasniva na ovim transformacijama i završava se punim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, tamo postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.

Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer. Bez ikakvih zamki. Pretpostavimo da trebamo riješiti ovu jednačinu.

x - 3 = 2 - 4x

Ovo je linearna jednadžba. Svi X su u prvom stepenu, nema podjele na X. Ali, u stvari, nije nam važno kakva je to jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa X-ovima na lijevoj strani jednadžbe, sve bez X-ova (brojeva) na desnoj strani.

Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu znaka, naravno, i - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? To znači da niste pratili link, ali uzalud...) Dobijamo:

x + 4x = 2 + 3

Evo sličnih, smatramo:

Šta nam je potrebno za potpunu sreću? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet je na putu. Riješite se petorice uz pomoć druga identična transformacija jednačina. Naime, obje strane jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:

Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzmimo bika za rogove.) Odlučimo nešto solidnije.

Na primjer, evo jednadžbe:

Gdje da počnemo? Sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno? Moglo bi biti tako. Malim koracima duž dugog puta. Ili to možete učiniti odmah, na univerzalan i moćan način. Ako, naravno, imate identične transformacije jednačina u svom arsenalu.

Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa kod ove jednačine?

95 od 100 ljudi će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se rešimo. Stoga odmah počinjemo sa druga transformacija identiteta. Čime je potrebno pomnožiti razlomak na lijevoj strani tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, u 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da obje strane pomnožimo sa isti broj. Kako možemo izaći? Pomnožimo obje strane sa 12! One. na zajednički imenilac. Tada će se i tri i četiri smanjiti. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:

Proširivanje zagrada:

Bilješka! Brojač (x+2) Stavio sam to u zagrade! To je zato što se pri množenju razlomaka množi cijeli brojilac! Sada možete smanjiti razlomke:

Proširite preostale zagrade:

Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Prisjetimo se sada čarolije iz osnovne škole: sa X - lijevo, bez X - desno! I primijenite ovu transformaciju:

Evo nekih sličnih:

I podijelite oba dijela sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:

To je sve. odgovor: X=0,16

Imajte na umu: da bismo originalnu zbunjujuću jednadžbu doveli u lijep oblik, koristili smo dva (samo dva!) transformacije identiteta– prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalna metoda! Na ovaj način ćemo raditi sa bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koga. Zato stalno zamorno ponavljam ove identične transformacije.)

Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je koristeći identične transformacije dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.

Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednačina ima takvih iznenađenja da vas mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.

Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.

Prvo iznenađenje.

Pretpostavimo da naiđete na vrlo osnovnu jednačinu, nešto poput:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pomalo dosadno, pomeramo ga sa X ulevo, bez X - udesno... Sa promenom predznaka sve je savršeno... Dobijamo:

2x-5x+3x=5-2-3

Računamo, i... ups!!! Dobijamo:

Ova jednakost sama po sebi nije sporna. Nula je zaista nula. Ali X nedostaje! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako? Inače, rješenje se ne računa, zar ne...) Zastoj?

Miran! U takvim sumnjivim slučajevima, najopštija pravila će vas spasiti. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.

Ali mi imamo istinsku jednakost već dogodilo! 0=0, koliko tačnije?! Ostaje da shvatimo pri čemu se to događa. U koje se vrijednosti X mogu zamijeniti original jednadžba ako su ova x hoće li oni i dalje biti svedeni na nulu? Hajde?)

Da!!! X se mogu zamijeniti bilo koji! koje želite? Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koju vrijednost X u original jednačinu i izračunaj. Sve vreme ćete dobijati čistu istinu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.

Evo vašeg odgovora: x - bilo koji broj.

Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.

Drugo iznenađenje.

Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:

Volim ovo. Riješili smo linearnu jednačinu i dobili smo čudnu jednakost. U matematičkom smislu, dobili smo lažna jednakost. Ali jednostavno rečeno, to nije istina. Rave. Ali ipak, ova glupost je vrlo dobar razlog za ispravno rješenje jednadžbe.)

Opet razmišljamo na osnovu opštih pravila. Ono što će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu istinito jednakost? Da, nijedan! Ne postoje takvi X-ovi. Šta god da ubacite, sve će se smanjiti, samo će gluposti ostati.)

Evo vašeg odgovora: nema rješenja.

Ovo je također potpuno potpun odgovor. U matematici se takvi odgovori često nalaze.

Volim ovo. Sada se nadam da vas nestanak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednačine neće nimalo zbuniti. Ovo je već poznata stvar.)

Sada kada smo se pozabavili svim zamkama u linearnim jednačinama, ima smisla da ih riješimo.