Kako nacrtati os simetrije. Simetrično crtanje objekata pravilnog oblika

Ostavite komentar 6,950

I . Simetrija u matematici :

Osnovni pojmovi i definicije.

Aksijalna simetrija (definicije, plan konstrukcije, primjeri)

Centralna simetrija (definicije, plan izgradnje, kadamjere)

Tabela sažetka (sva svojstva, karakteristike)

II . Primjene simetrije:

1) iz matematike

2) u hemiji

3) iz biologije, botanike i zoologije

4) u umjetnosti, književnosti i arhitekturi

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Osnovni pojmovi simetrije i njeni tipovi.

Koncept simetrije R seže kroz čitavu istoriju čovečanstva. Nalazi se već u izvorima ljudskog znanja. Nastala je u vezi s proučavanjem živog organizma, naime čovjeka. A koristili su ga vajari još u 5. veku pre nove ere. e. Riječ "simetrija" je grčka i znači "proporcionalnost, proporcionalnost, istovjetnost u rasporedu dijelova". Široko ga koriste sve oblasti moderne nauke bez izuzetka. Mnogi veliki ljudi su razmišljali o ovom obrascu. Na primjer, L.N. Tolstoj je rekao: „Stojeći ispred crne ploče i crtajući kredom na njoj različite figure, iznenada me je pogodila misao: zašto je simetrija jasna oku? Šta je simetrija? Ovo je urođeno osećanje, odgovorio sam sebi. Na čemu se zasniva?" Simetrija je zaista ugodna za oko. Ko se nije divio simetriji prirodnih kreacija: lišće, cvijeće, ptice, životinje; ili ljudske kreacije: zgrade, tehnologija, sve što nas okružuje od djetinjstva, sve što teži ljepoti i harmoniji. Hermann Weyl je rekao: “Simetrija je ideja kroz koju je čovjek kroz vijekove pokušavao da shvati i stvori red, ljepotu i savršenstvo.” Hermann Weyl je njemački matematičar. Njegove aktivnosti obuhvataju prvu polovinu dvadesetog veka. On je bio taj koji je formulirao definiciju simetrije, utvrdio po kojim kriterijima se može odrediti prisutnost ili, obrnuto, odsutnost simetrije u datom slučaju. Dakle, matematički rigorozan koncept je formiran relativno nedavno - početkom dvadesetog veka. Prilično je komplikovano. Okrenimo se i još jednom se prisjetimo definicija koje su nam date u udžbeniku.

2. Aksijalna simetrija.

2.1 Osnovne definicije

Definicija. Dvije tačke A i A 1 nazivaju se simetričnima u odnosu na pravu a ako ova prava prolazi sredinom segmenta AA 1 i okomita je na nju. Svaka tačka prave a smatra se simetričnom za sebe.

Definicija. Za figuru se kaže da je simetrična u odnosu na pravu liniju A, ako za svaku tačku figure postoji tačka koja joj je simetrična u odnosu na pravu liniju A takođe pripada ovoj figuri. Pravo A zove se osa simetrije figure. Takođe se kaže da figura ima aksijalnu simetriju.

2.2 Plan izgradnje

I tako, da bismo konstruirali simetričnu figuru u odnosu na ravnu liniju, iz svake tačke povlačimo okomitu na ovu ravnu liniju i produžavamo je na istu udaljenost, označavamo rezultirajuću tačku. To radimo sa svakom tačkom i dobivamo simetrične vrhove nove figure. Zatim ih povezujemo u seriju i dobijemo simetričnu figuru date relativne ose.

2.3 Primjeri figura sa aksijalnom simetrijom.

3. Centralna simetrija

3.1 Osnovne definicije

Definicija. Dvije tačke A i A 1 nazivaju se simetričnim u odnosu na tačku O ako je O sredina segmenta AA 1. Tačka O se smatra simetričnom samoj sebi.

Definicija. Za figuru se kaže da je simetrična u odnosu na tačku O ako za svaku tačku figure, tačka simetrična u odnosu na tačku O takođe pripada ovoj figuri.

3.2 Plan izgradnje

Konstrukcija trougla simetričnog prema datom u odnosu na centar O.

Konstruisati tačku simetričnu tački A u odnosu na tačku O, dovoljno je nacrtati pravu liniju OA(Sl. 46 ) i sa druge strane tačke O odvojite segment jednak segmentu OA. Drugim riječima , tačke A i ; U i ; C i simetrično oko neke tačke O. Na sl. 46 konstruiran je trokut koji je simetričan trokutu ABC u odnosu na tačku O. Ovi trouglovi su jednaki.

Konstrukcija simetričnih tačaka u odnosu na centar.

Na slici tačke M i M 1, N i N 1 su simetrične u odnosu na tačku O, ali tačke P i Q nisu simetrične u odnosu na ovu tačku.

Općenito, figure koje su simetrične oko određene tačke su jednake .

3.3 Primjeri

Navedimo primjere figura koje imaju centralnu simetriju. Najjednostavnije figure sa centralnom simetrijom su krug i paralelogram.

Tačka O se naziva središtem simetrije figure. U takvim slučajevima, figura ima centralnu simetriju. Centar simetrije kružnice je centar kružnice, a centar simetrije paralelograma je tačka preseka njegovih dijagonala.

Prava linija takođe ima centralnu simetriju, ali za razliku od kružnice i paralelograma, koji imaju samo jedno središte simetrije (tačka O na slici), prava ima beskonačan broj njih - bilo koja tačka na pravoj je njeno središte simetrije.

Slike pokazuju ugao simetričan u odnosu na vrh, segment simetričan u odnosu na drugi segment u odnosu na centar A i četvorougao simetričan oko svog vrha M.

Primjer figure koja nema centar simetrije je trokut.

4. Sažetak lekcije

Hajde da sumiramo stečeno znanje. Danas smo na času učili o dvije glavne vrste simetrije: centralnoj i aksijalnoj. Pogledajmo ekran i sistematizujmo stečeno znanje.

Tabela sažetka

	Aksijalna simetrija	Centralna simetrija
Posebnost	Sve tačke na slici moraju biti simetrične u odnosu na neku pravu liniju.	Sve tačke na slici moraju biti simetrične u odnosu na tačku odabranu kao centar simetrije.
Svojstva	1. Simetrične tačke leže na okomitima na pravu. 3. Prave se pretvaraju u prave, a uglovi u jednake uglove. 4. Veličine i oblici figura su sačuvani.	1. Simetrične tačke leže na pravoj koja prolazi kroz centar i datu tačku figure. 2. Udaljenost od tačke do prave je jednaka udaljenosti od prave do simetrične tačke. 3. Veličine i oblici figura su sačuvani.

II. Primjena simetrije

Matematika

Na časovima algebre proučavali smo grafove funkcija y=x i y=x

Slike prikazuju različite slike prikazane pomoću grana parabola.

(a) oktaedar,

(b) rombični dodekaedar, (c) heksagonalni oktaedar.

ruski jezik

Štampana slova ruske abecede takođe imaju različite vrste simetrija.

U ruskom jeziku postoje "simetrične" riječi - palindromi, koji se može čitati podjednako u oba smjera.

A D L M P T F W– vertikalna osa

V E Z K S E Y - horizontalna osa

F N O X- i vertikalno i horizontalno

B G I Y R U C CH SCHY- nema osovine

Radarska koliba Alla Anna

Književnost

Rečenice mogu biti i palindromske. Brjusov je napisao pesmu „Mjesečev glas“, u kojoj je svaki red palindrom.

Pogledajte četvorke A.S. Puškina "Bronzani konjanik". Ako povučemo liniju iza druge linije možemo uočiti elemente aksijalne simetrije

I ruža je pala na Azorovu šapu.

Dolazim sa mačem sudije. (Deržavin)

"Traži taksi"

"Argentina mami crnce"

“Argentinac cijeni crnca,”

"Lesha je pronašao bubu na polici."

Neva je odjevena u granit;

Mostovi su visjeli nad vodama;

Tamnozelene bašte

Ostrva su ga prekrila...

Biologija

Ljudsko tijelo je izgrađeno na principu bilateralne simetrije. Većina nas na mozak gleda kao na jednu strukturu, u stvarnosti je podijeljena na dvije polovine. Ova dva dijela - dvije hemisfere - čvrsto pristaju jedan uz drugi. U potpunom skladu sa opštom simetrijom ljudskog tela, svaka hemisfera je skoro tačna zrcalna slika druge

Kontrola osnovnih pokreta ljudskog tijela i njegovih senzornih funkcija ravnomjerno je raspoređena između dvije hemisfere mozga. Lijeva hemisfera kontrolira desnu stranu mozga, a desna lijevu.

Botanika

Cvijet se smatra simetričnim kada se svaki perianth sastoji od jednakog broja dijelova. Cvijeće koje ima uparene dijelove smatra se cvijećem dvostruke simetrije, itd. Trostruka simetrija je uobičajena za jednosobne biljke, peterostruka - za dvosupne biljke. Karakteristična karakteristika strukture biljaka i njihovog razvoja je spiralnost.

Obratite pažnju na raspored listova izdanaka - ovo je također osebujna vrsta spirale - spiralna. Čak je i Gete, koji je bio ne samo veliki pesnik, već i prirodni naučnik, smatrao spiralnost jednom od karakterističnih osobina svih organizama, manifestacijom najdublje suštine života. Vitice biljaka se uvijaju u spiralu, rast tkiva u stablima drveća odvija se spiralno, sjemenke u suncokretu su raspoređene u spiralu, a spiralna kretanja se uočavaju tokom rasta korijena i izdanaka.

Karakteristična karakteristika strukture biljaka i njihovog razvoja je spiralnost.

Pogledaj šišarku. Vage na njegovoj površini su raspoređene strogo pravilno - duž dvije spirale koje se sijeku približno pod pravim kutom. Broj takvih spirala u šišarkama je 8 i 13 ili 13 i 21.

Zoologija

Simetrija kod životinja znači podudarnost veličine, oblika i obrisa, kao i relativni raspored dijelova tijela koji se nalaze na suprotnim stranama razdjelne linije. Kod radijalne ili radijalne simetrije tijelo ima oblik kratkog ili dugačkog cilindra ili posude sa središnjom osom, iz koje se radijalno protežu dijelovi tijela. To su koelenterati, bodljikaši i morske zvijezde. Kod bilateralne simetrije postoje tri ose simetrije, ali samo jedan par simetričnih stranica. Jer druge dvije strane - trbušna i dorzalna - nisu slične jedna drugoj. Ova vrsta simetrije je karakteristična za većinu životinja, uključujući insekte, ribe, vodozemce, gmizavce, ptice i sisare.

Aksijalna simetrija

Različite vrste simetrije fizičkih pojava: simetrija električnih i magnetskih polja (slika 1)

U međusobno okomitim ravninama, širenje elektromagnetnih talasa je simetrično (slika 2)

Sl.1 Sl.2

Art

Zrcalna simetrija se često može uočiti u umjetničkim djelima. Zrcalna simetrija se široko nalazi u umjetničkim djelima primitivnih civilizacija i na antičkim slikama. Ova vrsta simetrije karakteriše i srednjovjekovne religiozne slike.

Jedno od najboljih Rafaelovih ranih djela, "Marijina zaruka", nastalo je 1504. Pod sunčano plavim nebom nalazi se dolina na kojoj se nalazi hram od bijelog kamena. U prvom planu je obred vjere. Prvosveštenik spaja Marije i Josipove ruke. Iza Marije je grupa djevojaka, iza Josipa grupa mladića. Oba dijela simetrične kompozicije drže zajedno protupokretom likova. Za moderne ukuse, kompozicija takve slike je dosadna, jer je simetrija previše očigledna.

hemija

Molekula vode ima ravan simetrije (ravna vertikalna linija). Molekuli DNK (dezoksiribonukleinska kiselina) igraju izuzetno važnu ulogu u svijetu žive prirode. To je dvolančani visokomolekularni polimer, čiji su monomer nukleotidi. Molekuli DNK imaju strukturu dvostruke spirale izgrađenu na principu komplementarnosti.

Architekulture

Čovjek je dugo koristio simetriju u arhitekturi. Antički arhitekti su posebno briljantno koristili simetriju u arhitektonskim strukturama. Štoviše, drevni grčki arhitekti bili su uvjereni da su se u svojim djelima rukovodili zakonima koji upravljaju prirodom. Odabirom simetričnih formi umjetnik je time izrazio svoje razumijevanje prirodnog sklada kao stabilnosti i ravnoteže.

Grad Oslo, glavni grad Norveške, ima izražajan ansambl prirode i umjetnosti. Ovo je Frogner park - kompleks pejzažnih vrtlarskih skulptura koji je nastajao tokom 40 godina.

Pashkov House Louvre (Pariz)

Životi ljudi ispunjeni su simetrijom. Zgodno je, lijepo i nema potrebe za izmišljanjem novih standarda. Ali šta je to zapravo i da li je tako lepo u prirodi kao što se veruje?

Simetrija

Od davnina, ljudi su nastojali da organizuju svet oko sebe. Stoga se neke stvari smatraju lijepim, a neke ne toliko. Sa estetske tačke gledišta, zlatni i srebrni omjeri, kao i, naravno, simetrija, smatraju se atraktivnim. Ovaj izraz je grčkog porijekla i doslovno znači "proporcionalnost". Naravno, ne govorimo samo o slučajnosti po ovom osnovu, već i po nekim drugim. U opštem smislu, simetrija je svojstvo objekta kada je, kao rezultat određenih formacija, rezultat jednak originalnim podacima. Nalazi se u živoj i neživoj prirodi, kao iu predmetima koje je napravio čovjek.

Prije svega, termin "simetrija" se koristi u geometriji, ali nalazi primjenu u mnogim naučnim oblastima, a njegovo značenje ostaje uglavnom nepromijenjeno. Ovaj fenomen se javlja prilično često i smatra se zanimljivim, jer se nekoliko njegovih tipova, kao i elemenata, razlikuje. Zanimljiva je i upotreba simetrije, jer se nalazi ne samo u prirodi, već iu šarama na tkanini, rubovima zgrada i mnogim drugim objektima koje je napravio čovjek. Vrijedno je detaljnije razmotriti ovaj fenomen, jer je izuzetno fascinantan.

Upotreba termina u drugim naučnim oblastima

U nastavku će se simetrija razmatrati sa stanovišta geometrije, ali je vrijedno napomenuti da se ova riječ ne koristi samo ovdje. Biologija, virologija, hemija, fizika, kristalografija - sve je to nepotpuna lista oblasti u kojima se ovaj fenomen proučava iz različitih uglova i pod različitim uslovima. Na primjer, klasifikacija ovisi o tome na koju se nauku ovaj izraz odnosi. Dakle, podjela na tipove uvelike varira, iako neke osnovne, možda, ostaju nepromijenjene.

Klasifikacija

Postoji nekoliko glavnih tipova simetrije, od kojih su tri najčešće:

Osim toga, u geometriji se razlikuju i sljedeće vrste, koje su mnogo manje uobičajene, ali ne manje zanimljive:

klizna;
rotacijski;
tačka;
progresivan;
vijak;
fraktal;
itd.

U biologiji se sve vrste nazivaju malo drugačije, iako u suštini mogu biti iste. Podjela na određene grupe se dešava na osnovu prisustva ili odsustva, kao i količine pojedinih elemenata, kao što su centri, ravni i osi simetrije. Treba ih razmotriti odvojeno i detaljnije.

Osnovni elementi

Fenomen ima određene karakteristike, od kojih je jedna nužno prisutna. Takozvani osnovni elementi uključuju ravnine, centre i ose simetrije. U skladu sa njihovim prisustvom, odsutnošću i količinom određuje se vrsta.

Centar simetrije je tačka unutar figure ili kristala u kojoj se konvergiraju linije koje spajaju u paru sve strane paralelne jedna s drugom. Naravno, ne postoji uvijek. Ako postoje strane na kojima ne postoji paralelni par, onda se takva tačka ne može naći, jer ne postoji. Prema definiciji, očigledno je da je centar simetrije ono kroz koje se figura može reflektovati na sebe. Primjer bi bio, na primjer, krug i tačka u njegovoj sredini. Ovaj element se obično označava kao C.

Ravan simetrije je, naravno, imaginarna, ali upravo ona dijeli figuru na dva jednaka dijela. Može prolaziti kroz jednu ili više strana, biti paralelan s njom ili ih dijeliti. Za istu figuru može postojati nekoliko ravni odjednom. Ovi elementi se obično označavaju kao P.

Ali možda je najčešće ono što se naziva “osom simetrije”. Ovo je uobičajena pojava koja se može vidjeti i u geometriji i u prirodi. I to je vrijedno posebnog razmatranja.

Osovine

Često je element u odnosu na koji se figura može nazvati simetričnim

pojavljuje se prava linija ili segment. U svakom slučaju, ne govorimo o tački ili ravni. Zatim se uzimaju u obzir brojke. Može ih biti puno, a mogu se locirati na bilo koji način: dijeleći stranice ili biti paralelne s njima, kao i sijeći uglove ili ne raditi. Osi simetrije se obično označavaju kao L.

Primjeri uključuju jednakokračne i U prvom slučaju, postojat će vertikalna os simetrije, na čijem su obje strane jednake strane, au drugom će linije sjeći svaki kut i podudarati se sa svim simetralama, medijanama i visinama. Obični trouglovi to nemaju.

Inače, ukupnost svih gore navedenih elemenata u kristalografiji i stereometriji naziva se stepenom simetrije. Ovaj indikator ovisi o broju osa, ravnina i centara.

Primjeri iz geometrije

Uobičajeno, možemo podijeliti cijeli skup predmeta matematičara na figure koje imaju os simetrije i one koje nemaju. Svi krugovi, ovali, kao i neki posebni slučajevi automatski spadaju u prvu kategoriju, dok ostali spadaju u drugu grupu.

Kao iu slučaju kada smo govorili o osi simetrije trougla, ovaj element ne postoji uvijek za četverokut. Za kvadrat, pravougaonik, romb ili paralelogram jeste, ali za nepravilan lik, prema tome, nije. Za kružnicu, osa simetrije je skup pravih linija koje prolaze kroz njegovo središte.

Osim toga, zanimljivo je razmotriti trodimenzionalne figure sa ove tačke gledišta. Pored svih pravilnih poligona i lopte, neki čunjevi, kao i piramide, paralelogrami i neki drugi, imat će barem jednu os simetrije. Svaki slučaj se mora razmatrati posebno.

Primjeri u prirodi

U životu se to zove bilateralno, najčešće se javlja
često. Svaka osoba i mnoge životinje su primjeri za to. Aksijalni se naziva radijalnim i u pravilu se mnogo rjeđe nalazi u biljnom svijetu. A ipak postoje. Na primjer, vrijedi razmisliti o tome koliko osi simetrije ima zvijezda i ima li ih uopće? Naravno, govorimo o morskom životu, a ne o predmetu proučavanja astronoma. A tačan odgovor bi bio: zavisi od broja zraka zvijezde, na primjer pet, ako je petokraka.

Osim toga, radijalna simetrija se uočava u mnogim cvjetovima: tratinčicama, različkama, suncokretima itd. Postoji ogroman broj primjera, bukvalno su posvuda.

Aritmija

Ovaj pojam, prije svega, najviše podsjeća na medicinu i kardiologiju, ali u početku ima nešto drugačije značenje. U ovom slučaju, sinonim će biti "asimetrija", odnosno odsustvo ili kršenje pravilnosti u ovom ili onom obliku. Može se naći kao nesreća, a ponekad može postati i divna tehnika, na primjer u odjeći ili arhitekturi. Na kraju krajeva, ima dosta simetričnih zgrada, ali je ona poznata blago nagnuta, i iako nije jedina, ona je najpoznatiji primjerak. Poznato je da se to dogodilo slučajno, ali to ima svoju draž.

Osim toga, očito je da ni lica i tijela ljudi i životinja nisu potpuno simetrična. Postoje čak i studije koje pokazuju da se "ispravna" lica procjenjuju kao beživotna ili jednostavno neprivlačna. Ipak, percepcija simetrije i ovaj fenomen sam po sebi su nevjerovatni i još uvijek nisu u potpunosti proučeni, pa su stoga izuzetno zanimljivi.

TROUGLI.

§ 17. SIMETRIJA U ODNOSU NA DESNU PRAVU.

1. Figure koje su simetrične jedna drugoj.

Nacrtajmo neku figuru na listu papira mastilom, a olovkom izvan njega - proizvoljnu ravnu liniju. Zatim, ne dopuštajući da se tinta osuši, savijamo list papira duž ove prave linije tako da jedan dio lista preklapa drugi. Ovaj drugi dio lista će tako proizvesti otisak ove figure.

Ako zatim ponovo poravnate list papira, tada će na njemu biti dvije figure koje se zovu simetrično u odnosu na datu pravu liniju (Sl. 128).

Dvije figure se nazivaju simetričnima u odnosu na određenu pravu liniju ako su pri savijanju ravni crteža duž ove prave linije poravnate.

Prava linija u odnosu na koju su ove figure simetrične naziva se njihova osa simetrije.

Iz definicije simetričnih figura proizilazi da su sve simetrične figure jednake.

Simetrične figure možete dobiti bez savijanja ravnine, već uz pomoć geometrijske konstrukcije. Neka je potrebno konstruisati tačku C" simetričnu datoj tački C u odnosu na pravu AB. Ispustimo okomicu iz tačke C
CD na pravu AB i kao njen nastavak položićemo odsječak DC" = DC. Ako ravan crteža savijemo duž AB, tada će se tačka C poravnati sa tačkom C": tačke C i C" su simetrične (Sl. 129). ).

Pretpostavimo da sada treba da konstruišemo segment C "D", simetričan datom segmentu CD u odnosu na pravu liniju AB. Konstruirajmo tačke C" i D", simetrične tačkama C i D. Ako savijemo ravan crteža duž AB, tada će se tačke C" i D" poklopiti sa tačkama C" i D" (crtež 130). CD i C "D" će se poklopiti, biće simetrični.

Konstruirajmo sada figuru simetričnu datom poligonu ABCDE u odnosu na datu osu simetrije MN (slika 131).

Da bismo riješili ovaj problem, ispustimo okomite A A, IN b, WITH With, D d i E e na os simetrije MN. Zatim, na produžecima ovih okomita, crtamo segmente
A A" = A A, b B" = B b, With C" = Cs; d D"" =D d I e E" = E e.

Poligon A"B"C"D"E" će biti simetričan poligonu ABCDE. Zaista, ako savijete crtež duž prave linije MN, tada će se odgovarajući vrhovi oba poligona poravnati, a samim tim i sami poligoni će se poravnati ovo dokazuje da su poligoni ABCDE i A" B"C"D"E" simetrični u odnosu na pravu MN.

2. Figure koje se sastoje od simetričnih dijelova.

Često postoje geometrijske figure koje su nekom pravom linijom podijeljene na dva simetrična dijela. Takve brojke se zovu simetrično.

Tako je, na primjer, ugao simetrična figura, a simetrala ugla je njegova osa simetrije, jer kada se savije duž njega, jedan dio ugla se kombinuje s drugim (Sl. 132).

U krugu je osa simetrije njegov promjer, jer se pri savijanju duž nje jedan polukrug kombinira s drugim (slika 133). Slike na crtežima 134, a, b su tačno simetrične.

Simetrične figure se često nalaze u prirodi, konstrukciji i nakitu. Slike postavljene na crtežima 135 i 136 su simetrične.

Treba napomenuti da se simetrične figure mogu kombinirati jednostavnim kretanjem duž ravnine samo u nekim slučajevima. Za kombiniranje simetričnih figura, u pravilu je potrebno jednu od njih okrenuti suprotnom stranom,

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: kombinovano.

Ciljevi lekcije:

Razmotrite aksijalne, centralne i zrcalne simetrije kao svojstva nekih geometrijskih figura.
Naučite da konstruišete simetrične tačke i prepoznate figure sa aksijalnom i centralnom simetrijom.
Poboljšajte vještine rješavanja problema.

Ciljevi lekcije:

Formiranje prostornih predstava učenika.
Razvijanje sposobnosti zapažanja i zaključivanja; razvijanje interesa za predmet korištenjem informacionih tehnologija.
Odgajati osobu koja zna cijeniti ljepotu.

Oprema za nastavu:

Upotreba informacionih tehnologija (prezentacija).
Crteži.
Kartice za domaći zadatak.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Informišite temu lekcije, formulišite ciljeve lekcije.

II. Uvod.

Šta je simetrija?

Izvanredni matematičar Hermann Weyl visoko je cijenio ulogu simetrije u modernoj nauci: „Simetrija, koliko god široko ili usko shvatili ovu riječ, ideja je uz pomoć koje je čovjek pokušao objasniti i stvoriti red, ljepotu i savršenstvo.

Živimo u veoma lepom i harmoničnom svetu. Okruženi smo predmetima koji prijaju oku. Na primjer, leptir, javorov list, pahulja. Pogledaj kako su lepe. Da li ste obratili pažnju na njih? Danas ćemo se dotaknuti ovog divnog matematičkog fenomena - simetrije. Hajde da se upoznamo sa konceptom aksijalnog, centralne i zrcalne simetrije. Naučit ćemo graditi i identificirati figure koje su simetrične u odnosu na osu, centar i ravan.

Riječ "simetrija" prevedena s grčkog zvuči kao "harmonija", što znači ljepota, proporcionalnost, proporcionalnost, ujednačenost u rasporedu dijelova. Čovjek je dugo koristio simetriju u arhitekturi. Daje harmoniju i potpunost antičkim hramovima, kulama srednjovjekovnih dvoraca i modernim građevinama.

U najopštijem obliku, "simetrija" se u matematici shvata kao takva transformacija prostora (ravan), u kojoj svaka tačka M ide u drugu tačku M" u odnosu na neku ravan (ili pravu) a, kada je segment MM" okomita na ravan (ili pravu) a i dijeli je na pola. Ravan (prava) a naziva se ravan (ili osa) simetrije. Osnovni koncepti simetrije uključuju ravan simetrije, os simetrije, centar simetrije. Ravan simetrije P je ravan koja dijeli figuru na dva jednaka dijela poput zrcala, smještena jedan u odnosu na drugi na isti način kao predmet i njegova zrcalna slika.

III. Glavni dio. Vrste simetrije.

Centralna simetrija

Simetrija oko tačke ili centralna simetrija je svojstvo geometrijske figure kada bilo koja tačka koja se nalazi na jednoj strani centra simetrije odgovara drugoj tački koja se nalazi na drugoj strani centra. U ovom slučaju, tačke se nalaze na segmentu prave linije koja prolazi kroz centar, dijeleći segment na pola.

Praktični zadatak.

Poeni dati A, IN I M M u odnosu na sredinu segmenta AB.
Koja od sljedećih slova imaju centar simetrije: A, O, M, X, K?
Da li imaju centar simetrije: a) segment; b) greda; c) par linija koje se seku; d) kvadrat?

Aksijalna simetrija

Simetrija oko prave (ili aksijalna simetrija) je svojstvo geometrijske figure kada će bilo koja tačka koja se nalazi na jednoj strani prave uvek odgovarati tački koja se nalazi na drugoj strani prave, a segmenti koji povezuju ove tačke biće okomiti. na os simetrije i podijeljen s njom na pola.

Praktični zadatak.

S obzirom na dva boda A I IN, simetrično u odnosu na neku pravu i tačku M. Konstruirajte tačku simetričnu tački M u odnosu na istu liniju.
Koja od sljedećih slova imaju os simetrije: A, B, D, E, O?
Koliko osi simetrije ima: a) segment? b) ravno; c) greda?
Koliko osi simetrije ima crtež? (vidi sliku 1)

Zrcalna simetrija

Poeni A I IN nazivaju se simetričnim u odnosu na ravan α (ravninu simetrije) ako ravan α prolazi kroz sredinu segmenta AB i okomito na ovaj segment. Svaka tačka α ravni se smatra simetričnom za sebe.

Praktični zadatak.

Pronađite koordinate tačaka do kojih idu tačke A (0; 1; 2), B (3; -1; 4), C (1; 0; -2) sa: a) centralnom simetrijom u odnosu na ishodište; b) aksijalna simetrija u odnosu na koordinatne ose; c) zrcalna simetrija u odnosu na koordinatne ravni.
Da li desna rukavica ide u desnu ili lijevu rukavicu sa zrcalno simetrijom? aksijalna simetrija? centralna simetrija?
Na slici je prikazano kako se broj 4 odražava u dva ogledala. Šta će biti vidljivo umjesto upitnika ako se isto uradi sa brojem 5? (vidi sliku 2)
Na slici je prikazano kako se reč KENGAR reflektuje u dva ogledala. Šta se dešava ako isto uradite sa brojem 2011? (vidi sliku 3)

Rice. 2

Ovo je zanimljivo.

Simetrija u živoj prirodi.

Gotovo sva živa bića izgrađena su prema zakonima simetrije, nije uzalud riječ "simetrija" u prijevodu s grčkog.

Među cvijećem, na primjer, postoji rotacijska simetrija. Mnogi cvjetovi se mogu rotirati tako da svaka latica zauzme poziciju svog susjeda, cvijet se poravna sa samim sobom. Minimalni ugao takve rotacije nije isti za različite boje. Za iris je 120°, za zvončić – 72°, za narcis – 60°.

Postoji spiralna simetrija u rasporedu listova na stabljikama biljaka. Postavljeni poput šrafa duž stabljike, listovi kao da su rašireni u različitim smjerovima i ne zaklanjaju jedno drugo od svjetlosti, iako sami listovi također imaju os simetrije. S obzirom na opći plan građe bilo koje životinje, obično uočavamo određenu pravilnost u rasporedu dijelova tijela ili organa koji se ponavljaju oko određene ose ili zauzimaju isti položaj u odnosu na određenu ravan. Ova pravilnost se naziva simetrija tijela. Fenomeni simetrije su toliko rasprostranjeni u životinjskom svijetu da je vrlo teško naznačiti grupu u kojoj se ne može primijetiti simetrija tijela. I mali insekti i velike životinje imaju simetriju.

Simetrija u neživoj prirodi.

Među beskrajnom raznolikošću oblika nežive prirode, takvih savršenih slika ima u izobilju, čiji izgled uvijek privlači našu pažnju. Posmatrajući ljepotu prirode, možete primijetiti da kada se objekti reflektiraju u lokvama i jezerima, pojavljuje se zrcalna simetrija (vidi sliku 4).

Kristali unose šarm simetrije u svijet nežive prirode. Svaka pahulja je mali kristal smrznute vode. Oblik snježnih pahulja može biti vrlo raznolik, ali sve imaju rotirajuću simetriju i, osim toga, simetriju ogledala.

Ne može se ne vidjeti simetrija u fasetiranom dragom kamenju. Mnogi rezači pokušavaju dati dijamantima oblik tetraedra, kocke, oktaedra ili ikosaedra. Budući da granat ima iste elemente kao i kocka, poznavaoci dragog kamenja ga visoko cijene. Umjetnički predmeti napravljeni od granata otkriveni su u grobovima starog Egipta koji datiraju iz preddinastičkog perioda (preko dva milenijuma prije nove ere) (vidi sliku 5).

U kolekcijama Ermitaža posebnu pažnju posvećuje zlatni nakit starih Skita. Umjetnički rad zlatnih vijenaca, tijara, drveta i ukrašenih dragocjenim crvenoljubičastim granatima je neobično lijep.

Jedna od najočitijih upotreba zakona simetrije u životu je u arhitektonskim strukturama. To je ono što najčešće vidimo. U arhitekturi se ose simetrije koriste kao sredstva za izražavanje arhitektonskog dizajna (vidi sliku 6). U većini slučajeva, uzorci na tepisima, tkaninama i unutrašnjim tapetama su simetrični u odnosu na os ili centar.

Drugi primjer osobe koja koristi simetriju u svojoj praksi je tehnologija. U inženjerstvu su osi simetrije najjasnije označene tamo gdje je potrebno procijeniti odstupanje od nulte pozicije, na primjer, na upravljaču kamiona ili na upravljaču broda. Ili jedan od najvažnijih izuma čovječanstva koji ima centar simetrije je točak i druga tehnička sredstva također imaju centar simetrije.

"Pogledaj se u ogledalo!"

Trebamo li misliti da sebe vidimo samo u „ogledalu“? Ili, u najboljem slučaju, možemo samo na fotografijama i snimanju saznati kako „stvarno“ izgledamo? Naravno da ne: dovoljno je da odrazite sliku u ogledalu drugi put u ogledalu da vidite svoje pravo lice. Trellis priskače u pomoć. Imaju jedno veliko glavno ogledalo u sredini i dva manja ogledala sa strane. Ako takvo bočno ogledalo postavite pod pravim uglom u odnosu na srednje, tada se možete vidjeti upravo u onom obliku u kojem vas drugi vide. Zatvorite lijevo oko i vaš odraz u drugom ogledalu će ponoviti vaš pokret s vašim lijevim okom. Prije rešetke možete odabrati želite li sebe vidjeti u zrcalnoj ili direktnoj slici.

Lako je zamisliti kakva bi zabuna zavladala na Zemlji kada bi se simetrija u prirodi narušila!


Rice. 4	Rice. 5	Rice. 6

IV. Minut fizičkog vaspitanja.

« Lazy Eights» – aktiviraju strukture koje osiguravaju pamćenje, povećavaju stabilnost pažnje.
Nacrtajte broj osam u zraku u horizontalnoj ravni tri puta, prvo jednom rukom, a zatim objema rukama odjednom.
« Simetrični crteži » – poboljšati koordinaciju ruku i očiju i olakšati proces pisanja.
Nacrtajte simetrične uzorke u zraku s obje ruke.

V. Samostalni ispitni rad.

Ι opcija

ΙΙ opcija

U pravougaoniku MPKH O je tačka presjeka dijagonala, RA i BH su okomite povučene iz vrhova P i H na pravu MK. Poznato je da je MA = OB. Pronađite ugao POM.
U rombu MPKH dijagonale se sijeku u tački O. Na stranama MK, KH, PH uzimaju se tačke A, B, C, respektivno, AK = KV = RS. Dokazati da je OA = OB i naći zbir uglova POC i MOA.
Konstruirajte kvadrat duž date dijagonale tako da dva suprotna vrha ovog kvadrata leže na suprotnim stranama datog oštrog ugla.

VI. Sumiranje lekcije. Procjena.

O kojim vrstama simetrije ste učili na času?
Koje dvije tačke se nazivaju simetričnima u odnosu na datu pravu?
Koja se figura naziva simetričnom u odnosu na datu pravu?
Za koje dvije tačke se kaže da su simetrične u odnosu na datu tačku?
Koja se figura naziva simetričnom u odnosu na datu tačku?
Šta je zrcalna simetrija?
Navedite primjere figura koje imaju: a) aksijalnu simetriju; b) centralna simetrija; c) i aksijalna i centralna simetrija.
Navedite primjere simetrije u živoj i neživoj prirodi.

VII. Zadaća.

1. Pojedinačno: dovršite strukturu koristeći aksijalnu simetriju (vidi sliku 7).

Rice. 7

2. Konstruisati figuru simetričnu datoj u odnosu na: a) tačku; b) ravno (vidi Sl. 8, 9).


Rice. 8	Rice. 9

3. Kreativni zadatak: “U životinjskom svijetu.” Nacrtajte predstavnika iz životinjskog svijeta i pokažite os simetrije.

VIII. Refleksija.

Šta vam se svidjelo na lekciji?
Koji materijal je bio najzanimljiviji?
Na koje ste poteškoće nailazili prilikom izvršavanja ovog ili onog zadatka?
Šta biste promijenili tokom lekcije?

Centralna simetrija
Aksijalna simetrija
Zaključak

Definicija

Simetrija (od grčkog Symmetria - proporcionalnost), u širem smislu, je nepromjenjivost strukture materijalnog objekta u odnosu na njegove transformacije. Simetrija igra veliku ulogu u umjetnosti i arhitekturi. Ali to se može videti i u muzici i u poeziji. Simetrija je široko rasprostranjena u prirodi, posebno u kristalima, biljkama i životinjama. Simetrija se može naći iu drugim oblastima matematike, na primjer, kada se konstruiraju grafovi funkcija.

Centralna simetrija

Dva poena A I A 1 se nazivaju simetričnim u odnosu na tačku O, Ako O - midpoint aa 1. tačka O smatra se simetričnim prema sebi.

Konstruisanje tačke centralno simetrične datoj tački

Izgradite AO zrak
Izmjerite dužinu segmenta AO
Tačka A1 je simetrična tački A u odnosu na centar O.

A 1

Konstrukcija segmenta centralno simetričnog prema datom

Izgradite AO zrak
Izmjerite dužinu segmenta AO
Stavite segment OA 1 na zraku AO na drugoj strani tačke O, jednak segmentu OA.
Napravite VO zrak
Izmjerite dužinu segmenta VO
Stavite segment OB 1 na zraku BO sa druge strane tačke O, jednak segmentu OB.
Povežite tačke A 1 i B 1 segmentom

A 1

IN 1

A 1

WITH 1

IN 1

Centralno simetrične figure su jednake

Konstrukcija figure centralno simetrične datoj

Rotirajte tačku A oko centra rotacije O za 90 °

A 1

90 °

Rotiranje tačaka pod različitim uglovima

A 1

135 °

45 °

A 2

90 °

A 3

Aksijalna simetrija

Transformacija oblika F u formi F 1, u kojem svaka njegova točka ide u tačku simetričnu u odnosu na datu pravu, naziva se transformacija simetrije u odnosu na pravu A. Pravo A nazvana osa simetrije.

Konstruisanje tačke simetrične datoj

2. AO=OA '

Konstrukcija segmenta simetričnog prema datom