Kalkulačka na nájdenie 3 čísel. Hľadanie najmenšieho spoločného násobku, metódy, príklady hľadania LCM

Zanechať komentár 6,950

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia 2

Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a $a$ sa nazýva násobok $b$.

Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ $a$ a $b$.

Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je jeden najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a označuje sa nasledujúcim zápisom:

$GCD\(a;b)\ alebo \D\(a;b)$

Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel potrebujete:

  1. Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 1

Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

    $GCD=2\cdot 11=22$

Príklad 2

Nájdite gcd monomiálií $ 63 $ a $ 81 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:

    Zoberme si čísla do prvočiniteľov

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

    $GCD=3\cdot 3=9$

Gcd dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.

Príklad 3

Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.

Riešenie:

Nájdite množinu deliteľov čísla $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz nájdime množinu deliteľov čísla $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. To znamená, že najväčší spoločný deliteľ čísel $48$ a $60$ je $12$.

Definícia NPL

Definícia 3

Spoločné násobky prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.

Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné pôvodnými číslami Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločné násobky čísla $50,100,150,200 $ atď.

Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a bude označený LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$

Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, musíte:

  1. Rozdeľte čísla na prvočísla
  2. Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nie sú súčasťou prvého

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to

    Rozdeľte čísla na prvočísla

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom

    pridajte k nim multiplikátory, ktoré sú súčasťou druhého a nie sú súčasťou prvého

    Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často veľmi pracná úloha. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidovský algoritmus.

    Tvrdenia, na ktorých je založený euklidovský algoritmus:

    Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$

    Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b

Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne zmenšovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

  1. Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
  2. Ak $a\vdots b$ , potom К$(a;b)=a$

    3. Ak K$(a;b)=k$ a $m$ je prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$

    Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$

    Pre ľubovoľné prirodzené čísla $a$ a $b$ platí rovnosť

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    Akýkoľvek spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ je deliteľom čísla $D(a;b)$

Pokračujme v rozhovore o najmenšom spoločnom násobku, ktorý sme začali v časti „LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady“. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, a pozrieme sa na otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako určiť LCM pomocou GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Príklad 1

Musíte nájsť LCM čísel 126 a 70.

Riešenie

Zoberme si a = 126, b = 70. Dosaďte hodnoty do vzorca na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde gcd čísel 70 a 126. Na to potrebujeme euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, teda GCD (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odpoveď: LCM(126,70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

Riešenie

GCD in v tomto prípade Nie je to ťažké, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajme najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, LCM týchto čísel sa bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Teraz sa pozrime na metódu hľadania LCM, ktorá je založená na rozklade čísel na prvočiniteľa.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

  • skladáme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
  • z ich výsledných produktov vylučujeme všetky hlavné faktory;
  • produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Táto metóda hľadania najmenšieho spoločného násobku je založená na rovnosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozklade týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa gcd dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch daných dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210. Môžeme ich rozpočítať takto: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Ak poskladáte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 A 700 , pričom obe čísla sa rozdelia na prvočísla.

Riešenie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7.

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozklade týchto čísel, bude mať tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto je číslo 7. Vylúčme to z celkového produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LOC(441, 700) = 44 100.

Uveďme inú formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

  • Zoberme obe čísla do prvočiniteľov:
  • doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
  • získame súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210, pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3, 5 a 5 čísla 75 doplniť chýbajúce faktory 2 A 7 čísla 210. Dostaneme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

Riešenie

Rozložme čísla z podmienky do jednoduchých faktorov: 84 = 2 2 3 7 A 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajme k súčinu faktory 2, 2, 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2, 3, 3 a
3 čísla 648. Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM(84,648) = 4,536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k tieto čísla sa zistia postupným výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta použiť na riešenie konkrétnych problémov.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140, 9, 54 a 250 .

Riešenie

Zavedme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Aplikujme euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme pomocou rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Pri výpočtoch dostaneme m 3 = 3 780.

Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.

odpoveď: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť náročné na prácu. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

  • všetky čísla rozložíme na prvočiniteľa;
  • k súčinu činiteľov prvého čísla pripočítame chýbajúce činitele súčinu druhého čísla;
  • k produktu získanému v predchádzajúcej fáze pridáme chýbajúce faktory tretieho čísla atď.;
  • výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Musíte nájsť LCM piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz vezmeme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pridáme k nim chýbajúce faktory druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Prejdime k číslu 48, z ktorého súčinu prvočiniteľov vezmeme 2 a 2. Potom pridáme prvočíslo 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je najmenší spoločný násobok pôvodných piatich čísel.

odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby bolo možné nájsť najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia byť tieto čísla najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom je potrebné vykonať výpočty pomocou vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM ( - 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak to prijmeme a A − a- opačné čísla,
potom množina násobkov čísla a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 A − 45 .

Riešenie

Nahradíme čísla − 145 A − 45 na ich opačné čísla 145 A 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou euklidovského algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel je − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Definícia. Najväčšie prirodzené číslo, ktoré možno bezo zvyšku deliť číslami a a b, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ (GCD) tieto čísla.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 24 a 35.
Deliteľmi 24 sú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 sú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú vzájomne prvotriedne.

Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú vzájomne prvotriedne, ak ich najväčší spoločný deliteľ (GCD) je 1.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.

Vynásobme čísla 48 a 36 a získame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vyčiarkneme tie, ktoré sa do rozšírenia druhého čísla nezarátajú (t. j. dve dvojky).
Zostávajúce faktory sú 2 * 2 * 3. Ich súčin sa rovná 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.

Nájsť najväčší spoločný deliteľ

2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.

Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčším spoločným deliteľom čísel 15, 45, 75 a 180 je číslo 15, pretože ním sú deliteľné všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a aj b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez zapísania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to urobili, rozpočítajme 75 a 60 na hlavné faktory: 75 = 3 * 5 * 5 a 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapíšme si faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a pripočítajme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (t. j. faktory skombinujeme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Tiež nájdu najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.

Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) zahrnúť ich do hlavných faktorov;
2) zapíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.

Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok čísel 12, 15, 20 a 60 je 60, pretože je deliteľný všetkými týmito číslami.

Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali otázku deliteľnosti čísel. Číslo rovnajúce sa súčtu všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla) nazvali dokonalým číslom. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pythagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Vedci však stále nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla alebo či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla je spôsobený skutočnosťou, že každé číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, t.j. prvočísla sú ako tehly, z ktorých sú postavené ostatné prirodzené čísla.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej sa v číselnom rade pohybujeme, tým menej časté sú prvočísla. Vynára sa otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euklides (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Prvky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, t.j. za každým prvočíslom je ešte väčšie prvočíslo. číslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s touto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 do nejakého čísla a potom prečiarkol jedno, ktoré nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo, potom prečiarkol cez jednotku všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke prečiarkli všetky čísla, ktoré nasledovali po 3 (čísla, ktoré boli násobkom 3, t.j. 6, 9, 12 atď.). nakoniec zostali neprečiarknuté len prvočísla.

Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým číslom v skupine bez zanechania zvyšku. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť prvočísla daných čísel. LCM možno vypočítať aj pomocou množstva iných metód, ktoré sa vzťahujú na skupiny dvoch alebo viacerých čísel.

Kroky

Séria násobkov

    Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je menšie ako 10. Ak sú uvedené väčšie čísla, použite inú metódu.

    • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok 5 a 8. Sú to malé čísla, takže môžete použiť túto metódu.

  1. Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Násobky nájdete v tabuľke násobenia.

    • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dve sady čísel.

    • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

  3. Nájdite najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov. Možno budete musieť napísať dlhé série násobkov, aby ste našli celkové číslo. Najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov, je najmenší spoločný násobok.

    • Napríklad najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v rade násobkov 5 a 8, je číslo 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.

    Prvotná faktorizácia

    1. Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je väčšie ako 10. Ak sú zadané menšie čísla, použite inú metódu.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, takže môžete použiť túto metódu.

    2. Rozdeľte prvé číslo na prvočísla. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, ktoré po vynásobení dajú dané číslo. Keď nájdete hlavné faktory, napíšte ich ako rovnosti.

      • Napríklad, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) A 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísla čísla 20 sú teda čísla 2, 2 a 5. Napíšte ich ako výraz: .

    3. Faktor druhé číslo do prvočiniteľov. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite také prvočísla, ktoré po vynásobení dajú dané číslo.

      • Napríklad, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) A 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísla čísla 84 sú teda čísla 2, 7, 3 a 2. Napíšte ich ako výraz: .

    4. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte také faktory ako operáciu násobenia. Pri písaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré popisujú rozklad čísel na prvočísla).

      • Napríklad obe čísla majú spoločný faktor 2, tak napíšte 2 × (\displaystyle 2\times ) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
      • Čo majú obe čísla spoločné, je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) a prečiarknite druhé 2 v oboch výrazoch.

    5. Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.

      • Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) Obidve dvojky (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obe dvojky (2) sú tiež prečiarknuté. Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

    6. Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v písomnej operácii násobenia.

      • Napríklad, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.

    Hľadanie spoločných faktorov

    1. Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s ďalšími dvoma rovnobežnými čiarami. Získate tak tri riadky a tri stĺpce (mriežka sa veľmi podobá na ikonu #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadku a tretieho stĺpca.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 18 a 30. Do prvého riadka a druhého stĺpca napíšte číslo 18 a do prvého riadka a tretieho stĺpca napíšte číslo 30.

    2. Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to do prvého riadku a prvého stĺpca. Je lepšie hľadať hlavné faktory, ale nie je to podmienkou.

      • Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný činiteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.

    3. Vydeľte každé číslo prvým deliteľom. Každý podiel napíšte pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.

      • Napríklad, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napíšte 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napíšte 15 pod 30.

    4. Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade napíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.

      • Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.

    5. Vydeľte každý podiel jeho druhým deliteľom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný podiel.

      • Napríklad, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napíšte 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napíšte 5 pod 15.

    6. V prípade potreby pridajte do mriežky ďalšie bunky. Opakujte opísané kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.

    7. Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte vybrané čísla ako operáciu násobenia.

      • Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

    8. Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.

      • Napríklad, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.

    Euklidov algoritmus

    1. Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo, ktorým sa delí. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zvyšok je číslo, ktoré zostane po delení dvoch čísel.

      • Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je deliteľ
        2 je kvocient
        3 je zvyšok.

Aby ste pochopili, ako vypočítať LCM, musíte najprv určiť význam výrazu „viacnásobný“.


Násobok A je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslom A bezo zvyšku. Za čísla, ktoré sú násobkami 5, možno teda považovať 15, 20, 25 atď.


Môže existovať obmedzený počet deliteľov konkrétneho čísla, ale existuje nekonečný počet násobkov.


Spoločný násobok prirodzených čísel je číslo, ktoré je nimi deliteľné bez zanechania zvyšku.

Ako nájsť najmenší spoločný násobok čísel

Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel (dve, tri alebo viac) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými týmito číslami.


Na nájdenie LOC môžete použiť niekoľko metód.


Pri malých číslach je vhodné zapísať všetky násobky týchto čísel na riadok, kým medzi nimi nenájdete niečo spoločné. Násobky sa označujú veľkým písmenom K.


Napríklad násobky 4 možno zapísať takto:


K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K (6) = (12, 18, 24, ...)


Môžete teda vidieť, že najmenší spoločný násobok čísel 4 a 6 je číslo 24. Tento zápis sa robí takto:


LCM(4,6) = 24


Ak sú čísla veľké, nájdite spoločný násobok troch alebo viacerých čísel, potom je lepšie použiť iný spôsob výpočtu LCM.


Na dokončenie úlohy musíte započítať dané čísla do prvočiniteľov.


Najprv musíte zapísať rozklad najväčšieho čísla na riadok a pod ním - zvyšok.


Rozklad každého čísla môže obsahovať rôzny počet faktorov.


Zoberme si napríklad čísla 50 a 20 do prvočísel.




Pri rozšírení menšieho čísla by ste mali zvýrazniť faktory, ktoré pri rozšírení prvého najväčšieho čísla chýbajú, a potom ich k nemu pridať. V prezentovanom príklade chýba dvojka.


Teraz môžete vypočítať najmenší spoločný násobok 20 a 50.


LCM(20; 50) = 2*5*5*2 = 100


Čiže súčin prvočiniteľov väčšieho čísla a činiteľov druhého čísla, ktoré neboli zahrnuté do rozšírenia väčšieho čísla, bude najmenší spoločný násobok.


Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, mali by ste ich všetky zahrnúť do prvočísel, ako v predchádzajúcom prípade.


Ako príklad môžete nájsť najmenší spoločný násobok čísel 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Do faktorizácie väčšieho čísla teda neboli zahrnuté len dve dvojky z rozšírenia šestnásť (jedna je v expanzii dvadsaťštyri).


Preto ich treba pridať do rozšírenia väčšieho počtu.


LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Existujú špeciálne prípady určenia najmenšieho spoločného násobku. Takže, ak je možné jedno z čísel deliť bezo zvyšku iným, potom väčšie z týchto čísel bude najmenší spoločný násobok.


Napríklad LCM dvanásť a dvadsaťštyri je dvadsaťštyri.


Ak je potrebné nájsť najmenší spoločný násobok prvočísel, ktoré nemajú rovnakých deliteľov, potom sa ich LCM bude rovnať ich súčinu.


Napríklad LCM (10, 11) = 110.

© Copyright 2024, https://trans-klimat.ru