Tudjuk, hogy az egyenes vonalú mozgás során a sebességvektor iránya mindig egybeesik a mozgás irányával. Mit mondhatunk a sebesség és az elmozdulás irányáról görbe mozgás közben? A kérdés megválaszolásához ugyanazt a technikát alkalmazzuk, amelyet az előző fejezetben használtunk az egyenes vonalú mozgás pillanatnyi sebességének vizsgálatakor.

Az 56. ábra egy bizonyos görbe pályát mutat. Tételezzük fel, hogy egy test halad rajta A pontból B pontba.

Ebben az esetben a test által megtett út egy A B ív, az elmozdulása pedig egy vektor Természetesen nem feltételezhetjük, hogy a test mozgási sebessége az elmozdulásvektor mentén irányul. Rajzoljunk egy sor húrt az A és B pontok közé (57. ábra), és képzeljük el, hogy a test mozgása pontosan ezen akkordok mentén történik. Mindegyiken a test egyenes vonalúan mozog, és a sebességvektor az akkord mentén irányul.

Most rövidítsük le egyenes szakaszainkat (akkordjainkat) (58. ábra). Mint korábban, mindegyiken a sebességvektor az akkord mentén van irányítva. De jól látható, hogy az 58. ábra szaggatott vonala már jobban hasonlít egy sima görbére.

Nyilvánvaló tehát, hogy az egyenes szakaszok hosszának csökkentésével mintegy pontokba húzzuk őket, és a szaggatott vonal sima görbévé válik. A görbe minden egyes pontjában a sebesség érintőlegesen irányul a görbére ezen a ponton (59. ábra).

Egy test mozgási sebessége egy görbe vonalú pálya bármely pontjában érintőlegesen irányul az adott pontban lévő pályára.

Arról, hogy a görbe vonalú mozgás során egy pont sebessége valóban egy érintő mentén irányul, meggyőződik például a fegyver működésének megfigyelésével (60. ábra). Ha egy acélrúd végeit egy forgó köszörűkőhöz nyomja, a kőről leszálló forró részecskék szikrák formájában láthatóak lesznek. Ezek a részecskék olyan sebességgel repülnek, amellyel

a kőtől való elválás pillanatában birtokolták. Jól látható, hogy a szikrák iránya mindig egybeesik a kör érintőjével azon a ponton, ahol a rúd a követ érinti. A csúszó autó kerekeinek fröccsenései is érintőlegesen mozognak a kör felé (61. ábra).

Így egy test pillanatnyi sebességének egy görbe pálya különböző pontjain különböző irányai vannak, amint az a 62. ábrán látható. A sebesség nagysága lehet azonos a pálya minden pontján (lásd 62. ábra), vagy pontról pontra változhat. pontban, egyik pillanatról a másikra (63. ábra).

A sebesség és a gyorsulás fogalma természetesen általánosítható egy anyagi pont mentén haladva görbe vonalú pálya. A mozgópont helyzetét a pályán a sugárvektor adja meg r valamilyen fix pontból húzott idáig RÓL RŐL, például a koordináták origója (1.2. ábra). Hadd egy pillanatra t az anyagi pont a helyén van M sugárvektorral r = r (t). Rövid idő után D t, pozícióba fog mozdulni M 1 sugárral - vektor r 1 = r (t+ D t). Sugár - az anyagi pont vektora a D geometriai különbség által meghatározott növekményt kap r = r 1 - r . Átlagsebesség idővel D t mennyiségnek nevezzük

Átlagsebesség iránya V Házasodik mérkőzések D vektor iránnyal r .

Átlagsebesség korlátozás a D-nél t® 0, azaz a sugár deriváltja - vektor r idő szerint

(1.9)

hívott igaz vagy azonnali egy anyagi pont sebessége. Vektor V irányította érintőlegesen egy mozgó pont pályájára.

Gyorsulás A a sebességvektor első deriváltjával egyenlő vektornak nevezzük V vagy a sugár második deriváltja - vektor r idő szerint:

(1.10)

(1.11)

Figyeljük meg a sebesség és a gyorsulás következő formai analógiáját. Egy tetszőleges O 1 fix pontból ábrázoljuk a sebességvektort V mozgópont minden lehetséges időpontban (1.3. ábra).

A vektor vége V hívott sebességpont. A sebességpontok geometriai helye egy görbe ún sebességhodográf. Amikor egy anyagi pont leír egy pályát, a megfelelő sebességpont a hodográf mentén mozog.

Rizs. Az 1.2 eltér az ábrától. 1.3 csak jelöléssel. Sugár – vektor r sebességvektor váltja fel V , az anyagi pont - a sebességponthoz, a pálya - a hodográfhoz. Matematikai műveletek vektoron r a sebesség megtalálásakor és a vektor felett V megtalálásakor a gyorsulások teljesen azonosak.

Sebesség V érintőleges pálya mentén irányítva. Ezért gyorsulása érintőlegesen a speed hodográfra lesz irányítva. Azt lehet mondani a gyorsulás a sebességpont mozgásának sebessége a hodográf mentén. Ennélfogva,

Figyelembe véve a test görbe vonalú mozgását, látni fogjuk, hogy sebessége különböző pillanatokban eltérő. Még abban az esetben is, ha a sebesség nagysága nem változik, akkor is változik a sebesség iránya. Általános esetben a sebesség nagysága és iránya egyaránt változik.

Így a görbe vonalú mozgás során a sebesség folyamatosan változik, így ez a mozgás gyorsulással történik. Ennek a gyorsulásnak a meghatározásához (nagyságban és irányban) meg kell találni a sebesség változását mint vektort, azaz meg kell találni a sebesség nagyságának növekedését és irányának változását.

Rizs. 49. Sebességváltozás ívelt mozgás közben

Legyen például egy görbe vonalúan mozgó pont (49. ábra) bizonyos pillanatban sebességgel, rövid idő múlva pedig sebességgel. A sebességnövekedés az és a vektorok különbsége. Mivel ezeknek a vektoroknak különböző irányai vannak, figyelembe kell venni a vektorkülönbségüket. A sebességnövekedést az a vektor fejezi ki, amelyet a paralelogramma átlós oldala és a másik oldala ábrázol. A gyorsulás a sebesség növekedésének és annak az időtartamnak az aránya, amely alatt ez a növekedés bekövetkezett. Ez gyorsulást jelent

Az irány egybeesik a vektorral.

Elég kicsikét választva eljutunk a pillanatnyi gyorsulás fogalmához (vö. 16. §); ha tetszőleges, akkor a vektor az átlagos gyorsulást fogja reprezentálni egy időintervallumban.

A görbe vonalú mozgás során a gyorsulás iránya nem esik egybe a sebesség irányával, míg egyenes vonalú mozgásnál ezek az irányok egybeesnek (vagy ellentétesek). A görbe vonalú mozgás során a gyorsulás irányának meghatározásához elegendő a sebesség irányait összehasonlítani a pálya két közeli pontjában. Mivel a sebességek a pályát érintően irányulnak, ezért magából a pálya alakjából következtethetünk arra, hogy a pályából melyik irányba irányul a gyorsulás. Valójában, mivel a pálya két közeli pontjában a sebességkülönbség mindig abba az irányba mutat, ahol a pálya görbült, ez azt jelenti, hogy a gyorsulás mindig a pálya konkávsága felé irányul. Például, amikor egy golyó egy ívelt csúszdán gördül (50. ábra), a gyorsulása szakaszonként és a nyilak szerint irányul, és ez nem függ attól, hogy a labda elgurul-e vagy az ellenkező irányba.

Rizs. 50. A görbe vonalú mozgás során a gyorsulások mindig a pálya konkávsága felé irányulnak

Rizs. 51. Levezetni a centripetális gyorsulás képletét

Tekintsük egy pont egyenletes mozgását görbe úton. Azt már tudjuk, hogy ez egy felgyorsított mozgás. Keressük a gyorsulást. Ehhez elegendő a gyorsulást figyelembe venni a körben történő egyenletes mozgás speciális esetére. Vegyünk két közeli pozíciót és egy mozgó pontot, amelyeket rövid idő választ el egymástól (51. ábra, a). A és a mozgó pont sebessége egyenlő nagyságú, de iránya eltérő. Határozzuk meg ezen sebességek közötti különbséget a háromszögszabály segítségével (51. ábra, b). Háromszögek és hasonlóak, mint az egyenlő szárú háromszögek, amelyek csúcsszögei egyenlők. A sebességnövekedést ábrázoló oldal hossza egy idő alatt egyenlő értékkel állítható be, ahol a kívánt gyorsulás modulusa. A hozzá hasonló oldal az ív húrja; Az ív kicsinysége miatt húrjának hossza megközelítőleg megegyezhet az ív hosszával, azaz. . További, ; , ahol a pálya sugara. A háromszögek hasonlóságából az következik, hogy a hasonló oldalak aránya bennük egyenlő:

ahonnan megtaláljuk a kívánt gyorsulás modulusát:

A gyorsulás iránya merőleges a húrra. Megfelelően rövid időintervallumok esetén feltételezhetjük, hogy az ív érintője gyakorlatilag egybeesik a húrjával. Ez azt jelenti, hogy a gyorsulást a pálya érintőjére merőlegesen (normál esetben) irányítottnak tekinthetjük, vagyis a kör középpontjának sugár mentén. Ezért az ilyen gyorsulást normál vagy centripetális gyorsulásnak nevezik.

Ha a pálya nem kör, hanem tetszőleges görbe vonal, akkor a (27.1) képletben egy adott pontban a görbéhez legközelebb eső kör sugarát kell venni. A normál gyorsulás iránya ebben az esetben is merőleges lesz egy adott pontban a pálya érintőjére. Ha görbe vonalú mozgás során a gyorsulás nagysága és iránya állandó, akkor azt a sebességnövekedés és az az időtartam arányaként találhatjuk meg, amely alatt ez a növekedés bekövetkezett, bármilyen legyen is ez az időtartam. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a gyorsulás a képlet segítségével határozható meg

hasonló a (17.1) képlethez az egyenes vonalú mozgáshoz állandó gyorsulással. Itt a test sebessége a kezdeti pillanatban, a a sebesség az időpillanatban.

Tudjuk, hogy minden görbe vonalú mozgás a sebességgel szöget bezáró erő hatására következik be. Egy kör körüli egyenletes mozgás esetén ez a szög megfelelő lesz. Valójában, ha például egy kötélhez kötött labdát forgat, akkor a labda sebességének iránya bármely pillanatban merőleges a kötélre.

A labdát a körön tartó kötél feszítőereje a kötél mentén a forgásközép felé irányul.

Newton második törvénye szerint ez az erő hatására a test ugyanabban az irányban gyorsul. A sugárirányban a forgásközéppont felé irányuló gyorsulást nevezzük centripetális gyorsulás .

Vezessünk egy képletet a centripetális gyorsulás nagyságának meghatározására.

Először is vegye figyelembe, hogy a körkörös mozgás összetett mozgás. A centripetális erő hatására a test a forgásközéppont felé mozdul, és ezzel egyidejűleg a tehetetlenség hatására ettől a középponttól érintőlegesen távolodik a körhöz.

Tegyük fel, hogy t idő alatt egy egyenletesen, v sebességgel mozgó test D-ből E-be mozdult. Tegyük fel, hogy abban a pillanatban, amikor a test a D pontban van, a centripetális erő megszűnne rá hatni. Ekkor t időben a DL érintőn fekvő K pontba kerülne. Ha a test a kezdeti pillanatban csak egy centripetális erő hatása alatt állna (nem tehetetlenségtől mozgó), akkor a t időben egyenletesen gyorsulva haladna a DC egyenesen fekvő F pontba. Ennek a két mozgásnak a t idő alatti összeadása eredményeként a DE ív mentén kapott mozgást kapjuk.

Centripetális erő

Azt az erőt, amely a forgó testet a körön tartja, és a forgás középpontja felé irányul, ún centripetális erő .

Ahhoz, hogy képletet kapjunk a centripetális erő nagyságának kiszámításához, Newton második törvényét kell használni, amely minden görbe vonalú mozgásra vonatkozik.

Az a = v 2 / R centripetális gyorsulás értékét behelyettesítve az F = ma képletbe, megkapjuk a centripetális erő képletét:

F = mv 2 / R

A centripetális erő nagysága egyenlő a test tömegének és a lineáris sebesség négyzetének szorzatával osztva a sugárral.

Ha a test szögsebessége adott, akkor kényelmesebb a centripetális erő kiszámítása a következő képlettel: F = m? 2 R, hol? 2 R – centripetális gyorsulás.

Az első képletből jól látható, hogy azonos sebesség mellett minél kisebb a kör sugara, annál nagyobb a centripetális erő. Tehát az útkanyarokban egy mozgó testnek (vonat, autó, kerékpár) az ív közepe felé kell hatnia, minél nagyobb az erő, annál élesebb a kanyar, azaz minél kisebb az ív sugara.

A centripetális erő a lineáris sebességtől függ: a sebesség növekedésével nő. Ezt minden korcsolyázó, síelő és kerékpáros jól tudja: minél gyorsabban mozogsz, annál nehezebb a kanyarodás. A sofőrök nagyon jól tudják, milyen veszélyes nagy sebességgel élesen kanyarodni egy autóval.

Lineáris sebesség

Centrifugális mechanizmusok

A vízszinteshez képest szögben bedobott test mozgása

Dobjunk egy testet szögben a horizonthoz. Mozgását figyelve azt fogjuk észrevenni, hogy a test először felemelkedik, görbe mentén haladva, majd egy ív mentén le is esik.

Ha egy vízáramot különböző szögben irányítasz a horizont felé, láthatod, hogy eleinte a szög növekedésével a patak egyre messzebbre üt. A horizonthoz képest 45°-os szögben (ha nem veszi figyelembe a légellenállást) a hatótáv a legnagyobb. Ahogy a szög tovább nő, a hatótávolság csökken.

A horizonttal szögben bedobott test pályájának megszerkesztéséhez egy OA vízszintes egyenest és egy adott szögben OS egyenest húzunk.

Az OS vonalon a kiválasztott skálán olyan szakaszokat helyezünk el, amelyek számszerűen megegyeznek a dobásirányban megtett utakkal (0–1, 1–2, 2–3, 3–4). Az 1-es, 2-es, 3-as stb. pontokból merőlegeseket engedünk le az OA-ra, és olyan szakaszokat rakunk ki rájuk, amelyek számszerűen megegyeznek a szabadon eső test által 1 másodpercig (1–I), 2 másodpercig (2–II) megtett pályákkal. ), 3 mp (3–III) stb. Sima görbével összekötjük a 0, I, II, III, IV stb. pontokat.

A test pályája szimmetrikus a IV ponton áthaladó függőleges egyeneshez képest.

A légellenállás csökkenti mind a repülési távolságot, mind a maximális repülési magasságot, és a pálya aszimmetrikussá válik. Ilyenek például a lövedékek és golyók röppályái. Az ábrán a tömörgörbe sematikusan egy lövedék röppályáját mutatja a levegőben, a pontozott görbe pedig levegőtlen térben. Hogy a légellenállás mennyire változtatja meg a repülési távolságot, az a következő példából látható. Légellenállás hiányában a látóhatárhoz képest 20°-os szögben kilőtt 76 mm-es lövedék 24 km-re repülne. A levegőben ez a lövedék körülbelül 7 km-t repül.

Newton harmadik törvénye

Vízszintesen eldobott test mozgása

A mozgások függetlensége

Bármely görbe vonalú mozgás összetett mozgás, amely tehetetlenségi mozgásból és a test sebességéhez képest szöget bezárt erő hatására történő mozgásból áll. Ezt a következő példában láthatjuk.

Tegyük fel, hogy a labda egyenletesen és egyenes vonalban mozog az asztal mentén. Amikor a labda legurul az asztalról, súlyát már nem egyensúlyozza ki az asztal nyomóereje, és a tehetetlenség folytán egyenletes és lineáris mozgást tartva egyidejűleg zuhanni kezd. A mozgások hozzáadásának eredményeként - egyenletesen egyenes tehetetlenséggel és egyenletesen gyorsulva a gravitáció hatására - a labda egy görbe vonal mentén mozog.

Kísérletileg kimutatható, hogy ezek a mozgások függetlenek egymástól.

Az ábrán egy rugó látható, amely egy kalapácsütés hatására meghajlítva az egyik golyót vízszintes irányban mozgásba tudja hozni, és egyben elengedi a másik golyót úgy, hogy mindkettő ugyanabban a pillanatban kezd el mozogni. : az első görbe mentén, a második függőlegesen lefelé. Mindkét labda egyszerre éri el a padlót; ezért mindkét golyó esési ideje azonos. Ebből arra következtethetünk, hogy a labda gravitációs hatása alatti mozgása nem függ attól, hogy a labda a kezdeti pillanatban nyugalomban volt, vagy vízszintes irányban mozgott.

Ez a kísérlet szemlélteti a mechanika egy nagyon fontos pontját, az ún a mozgások függetlenségének elve.

Egységes mozgás egy körben

A görbe vonalú mozgások egyik legegyszerűbb és legelterjedtebb fajtája a test egyenletes körben történő mozgása. Például a lendkerekek részei, a Föld felszínén lévő pontok egy kör mentén mozognak a Föld napi forgása során stb.

Vezessünk be olyan mennyiségeket, amelyek ezt a mozgást jellemzik. Nézzük a rajzot. Tegyük fel, hogy amikor egy test forog, az egyik pontja elmozdul A-ból B-be t idő alatt. Az A pontot a kör középpontjával összekötő sugár elfordul egy szöget? (görögül „phi”). Egy pont forgási sebessége jellemezhető a szögarány nagyságával? t időpontra, azaz ? /t.

Szögsebesség

A mozgó pontot a forgás középpontjával összekötő sugár forgási szögének és az elfordulás időtartamának arányát ún. szögsebesség.

Görög betűvel jelöljük a szögsebességet? ("omega"), a következőket írhatja:

? = ? /t

A szögsebesség számszerűen megegyezik az egységnyi idő alatti forgásszöggel.

Egyenletes körmozgás esetén a szögsebesség állandó mennyiség.

A szögsebesség kiszámításakor a forgásszöget általában radiánban mérik. A radián olyan központi szög, amelynek ívhossza megegyezik az ív sugarával.

A testek mozgása a sebességgel szöget bezáró erő hatására

Az egyenes vonalú mozgásnál ismertté vált, hogy ha egy testre a mozgás irányában ható erő hat, akkor a test mozgása egyenes vonalú marad. Csak a sebesség változik. Sőt, ha az erő iránya egybeesik a sebesség irányával, a mozgás egyenes vonalú és gyorsuló lesz. Ellentétes irányú erő esetén a mozgás egyenes és lassú lesz. Ilyen például a függőlegesen lefelé dobott test és a függőlegesen felfelé dobott test mozgása.

Nézzük most meg, hogyan fog egy test mozogni a sebesség irányával szöget bezárt erő hatására.

Nézzük először a tapasztalatokat. Készítsünk egy acélgolyó mozgási pályáját mágnes közelében. Azonnal észrevesszük, hogy a mágnestől távol a labda egyenes vonalban mozgott, de a mágneshez közeledve a labda röppályája meggörbült és a labda egy ívben mozgott. Sebességének iránya folyamatosan változott. Ennek oka a mágnesnek a labdára gyakorolt ​​hatása volt.

Egy egyenes vonalúan mozgó testet görbe mentén mozgathatunk meg, ha megnyomjuk, rákötött szálat húzunk és így tovább, mindaddig, amíg az erő a test mozgási sebességéhez képest szöget zár be.

Tehát egy test görbe vonalú mozgása olyan erő hatására következik be, amely a test sebességének irányával szöget zár be.

A testre ható erő irányától és nagyságától függően a görbe vonalú mozgások nagyon változatosak lehetnek. A görbe vonalú mozgások legegyszerűbb típusai a körben, parabolában és ellipszisben történő mozgások.

Példák a centripetális erő hatására

Egyes esetekben a centripetális erő a körben mozgó testre ható két erő eredménye.

Nézzünk néhány ilyen példát.

1. Egy gépkocsi v sebességgel halad egy homorú hídon, a kocsi tömege t, a híd görbületi sugara pedig R. Mekkora nyomást fejt ki az autó a hídra a legalacsonyabb pontján?

Először nézzük meg, milyen erők hatnak az autóra. Két ilyen erő létezik: az autó súlya és a híd nyomóereje az autóra. (A súrlódási erőt ebben és az összes későbbi nyertesben kizárjuk a számításból).

Amikor az autó áll, ezek az egyenlő nagyságú és ellentétes irányba ható erők kiegyensúlyozzák egymást.

Ha egy autó egy hídon halad, akkor, mint minden körben mozgó testet, centripetális erő hat rá. Mi ennek az erőnek a forrása? Ennek az erőnek a forrása csak a hídnak az autóra gyakorolt ​​hatása lehet. Az a Q erő, amellyel a híd rányom egy mozgó autót, nem csak egyensúlyba kell hoznia a P autó súlyát, hanem egy körben történő mozgásra is kényszeríti, ami az ehhez szükséges F centripetális erőt csak ennek eredője lehet a P és Q erőket, mivel ez egy mozgó jármű és egy híd közötti kölcsönhatás eredménye.

A kinematika a mozgást vizsgálja anélkül, hogy azonosítaná a mozgást okozó okokat. A kinematika a mechanika egyik ága. A kinematika fő feladata a pontok vagy testek időbeni mozgásának helyzetének és jellemzőinek matematikai meghatározása.

Alapvető kinematikai mennyiségek:

- Mozgás () - a kezdő- és végpontot összekötő vektor.

r – sugárvektor, meghatározza az MT helyzetét a térben.

- Sebesség– az út és az idő aránya .

- Pálya- azon pontok halmaza, amelyeken a test áthaladt.

- Gyorsulás - a sebesség változásának mértéke, vagyis a sebesség első deriváltja.

2. Gyorsulás görbe mozgás közben: normál és érintőleges gyorsulás. Lapos forgás. Szögsebesség, gyorsulás.

Görbe vonalú mozgás olyan mozgás, amelynek pályája egy görbe vonal. A görbe vonalú mozgásra példa a bolygók mozgása, az óramutató vége egy számlap mentén stb.

Görbe vonalú mozgás- ez mindig gyorsított mozgás. Azaz a görbe vonalú mozgás közbeni gyorsulás mindig jelen van, még akkor is, ha a sebességmodul nem változik, hanem csak a sebesség iránya változik.

A sebesség változása egységnyi idő alatt – ez a tangenciális gyorsulás:

Ahol 𝛖 τ , 𝛖 0 a sebességértékek t 0 + Δt és t 0 időpontban. Tangenciális gyorsulás a pálya adott pontjában az irány egybeesik a test sebességének irányával, vagy ellentétes azzal.

Normál gyorsulás a sebesség irányváltozása egységnyi idő alatt:

Normál gyorsulás a pálya görbületi sugara mentén (a forgástengely felé) irányítva. A normál gyorsulás merőleges a sebesség irányára.

Teljes gyorsulás a test egyenletesen változó görbe vonalú mozgásával egyenlő:

-szögsebesség azt a szöget mutatja, amelyen belül egy pont elfordul egyenletes körben, egységnyi idő alatt. Az SI mértékegysége rad/s.

Lapos forgás a testpontok összes sebességvektorának egy síkban való forgása.

3. Egy anyagi pont sebesség- és szögsebesség-vektorai közötti kapcsolat. Normál, érintőleges és teljes gyorsulás.

Érintő (tangenciális) gyorsulás– ez a gyorsulásvektor azon komponense, amely a mozgáspálya adott pontjában a pálya érintője mentén irányul. A tangenciális gyorsulás jellemzi a sebesség modulo változását a görbe vonalú mozgás során.

Normál (centripetális) gyorsulás a gyorsulásvektor azon komponense, amely a test pályájának egy adott pontjában a mozgási pályára irányul. Azaz a normál gyorsulásvektor merőleges a lineáris mozgási sebességre (lásd 1.10. ábra). A normál gyorsulás a sebesség irányváltozását jellemzi, és n betűvel jelöljük. A normál gyorsulási vektor a pálya görbületi sugara mentén irányul.

Teljes gyorsulás görbe vonalú mozgásnál érintőleges és normál gyorsulásokból áll a vektorösszeadás szabálya szerint, és a képlet határozza meg.