Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci prvog dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici

Bočno rebro- je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme- ovo je segment okomit na osnove prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravnina- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su jednake i paralelne jedna drugoj
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina - zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočne ivice su jednake jedna drugoj
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi svojstva pravilne četvorougaone prizme iznad) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (stereometrija presjeka - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol√ .

Zadatak.

Dijagonala pravilne prizme sa dijagonalom osnove i visinom prizme formira pravougaoni trokut. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četverougaone prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, nalazimo stranu baze (označenu kao a) koristeći Pitagorinu teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina će biti jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine osnove

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Bočna površina prizme. Zdravo! U ovoj publikaciji analiziraćemo grupu problema u stereometriji. Razmotrimo kombinaciju tijela - prizme i cilindra. U ovom trenutku, ovaj članak završava čitav niz članaka vezanih za razmatranje vrsta zadataka u stereometriji.

Ako se novi pojave u banci zadataka, onda će, naravno, biti dodataka blogu u budućnosti. Ali ono što već postoji, sasvim je dovoljno da naučite kako riješiti sve probleme kratkim odgovorom u sklopu ispita. Biće dovoljno materijala za godine (program matematike je statičan).

Prikazani zadaci uključuju izračunavanje površine prizme. Napominjem da u nastavku razmatramo ravnu prizmu (i, shodno tome, pravi cilindar).

Bez poznavanja formule, shvatamo da su bočna površina prizme sve njene bočne strane. Prava prizma ima pravougaone bočne strane.

Površina bočne površine takve prizme jednaka je zbroju površina svih njenih bočnih strana (odnosno pravokutnika). Ako govorimo o pravilnoj prizmi u koju je upisan cilindar, onda je jasno da su sva lica ove prizme JEDNAKI pravokutnici.

Formalno, bočna površina pravilne prizme može se odraziti na sljedeći način:

27064. Pravilna četvorougaona prizma opisana je oko cilindra čiji su poluprečnik osnove i visina jednaki 1. Nađite bočnu površinu prizme.

Bočna površina ove prizme sastoji se od četiri pravougaonika jednake površine. Visina lica je 1, ivica osnove prizme je 2 (ovo su dva poluprečnika cilindra), stoga je površina bočne strane jednaka:

Bočna površina:

73023. Nađi površinu bočne površine pravilne trouglaste prizme opisane oko cilindra čiji je polumjer osnove √0,12, a visina 3.

Površina bočne površine date prizme jednaka je zbiru površina triju bočnih strana (pravokutnika). Da biste pronašli područje bočne strane, morate znati njegovu visinu i dužinu ruba baze. Visina je tri. Nađimo dužinu osnovne ivice. Uzmite u obzir projekciju (pogled odozgo):

Imamo pravilan trougao u koji je upisana kružnica poluprečnika √0,12. Iz pravouglog trougla AOC možemo pronaći AC. I onda AD (AD=2AC). Po definiciji tangente:

To znači AD = 2AC = 1,2 Dakle, bočna površina je jednaka:

27066. Nađi površinu bočne površine pravilne šesterokutne prizme opisane oko cilindra čiji je polumjer osnove √75, a visina 1.

Tražena površina jednaka je zbroju površina svih bočnih strana. Pravilna šestougaona prizma ima bočne površine koje su jednaki pravokutnici.

Da biste pronašli područje lica, morate znati njegovu visinu i dužinu osnovne ivice. Visina je poznata, jednaka je 1.

Nađimo dužinu osnovne ivice. Uzmite u obzir projekciju (pogled odozgo):

Imamo pravilan šestougao, u koji je upisan krug poluprečnika √75.

Razmotrimo pravougli trougao ABO. Znamo krak OB (ovo je polumjer cilindra). Možemo odrediti i ugao AOB, on je jednak 300 (trougao AOC je jednakostraničan, OB je simetrala).

Koristimo definiciju tangente u pravokutnom trokutu:

AC = 2AB, pošto je OB medijan, odnosno dijeli AC na pola, što znači AC = 10.

Dakle, površina bočne površine je 1∙10=10, a površina bočne površine je:

76485. Nađi površinu bočne površine pravilne trouglaste prizme upisane u cilindar čiji je polumjer osnove 8√3, a visina 6.

Površina bočne površine navedene prizme tri lica jednake veličine (pravokutnika). Da biste pronašli površinu, morate znati dužinu ruba osnove prizme (znamo visinu). Ako uzmemo u obzir projekciju (pogled odozgo), imamo pravilan trokut upisan u krug. Strana ovog trougla se izražava u terminima radijusa kao:

Detalji ovog odnosa. Tako da će biti jednako

Tada je površina bočne strane: 24∙6=144. I potrebna površina:

245354. Pravilna četverokutna prizma opisana je oko cilindra čiji je polumjer osnove 2. Bočna površina prizme je 48. Nađite visinu cilindra.

U prostornoj geometriji, kada se rješavaju problemi s prizmama, često se javlja problem s izračunavanjem površine stranica ili lica koja formiraju ove volumetrijske figure. Ovaj članak je posvećen pitanju određivanja površine osnove prizme i njene bočne površine.

Figura prizme

Prije nego što pređete na razmatranje formula za osnovnu površinu i površinu prizme jedne ili druge vrste, trebali biste razumjeti o kakvoj figuri govorimo.

Prizma u geometriji je prostorna figura koja se sastoji od dva paralelna poligona koji su međusobno jednaki i nekoliko četverouglova ili paralelograma. Broj ovih potonjih uvijek je jednak broju vrhova jednog poligona. Na primjer, ako je lik formiran od dva paralelna n-ugla, tada će broj paralelograma biti n.

Paralelogrami koji povezuju n-kute nazivaju se bočne strane prizme, a njihova ukupna površina je površina bočne površine figure. Sami n-uglovi se nazivaju bazama.

Na gornjoj slici prikazan je primjer prizme napravljene od papira. Žuti pravougaonik je njegova gornja osnova. Figura stoji na drugoj sličnoj bazi. Crveni i zeleni pravougaonici su bočne strane.

Koje vrste prizmi postoje?

Postoji nekoliko vrsta prizmi. Svi se međusobno razlikuju po samo dva parametra:

• tip n-ugla koji formira bazu;
• ugao između n-ugla i bočnih strana.

Na primjer, ako su osnovice trokuti, tada se prizma naziva trokutasta, ako je četverokutna, kao na prethodnoj slici, tada se figura naziva četverokutna prizma i tako dalje. Osim toga, n-ugao može biti konveksan ili konkavan, tada se ovo svojstvo dodaje i nazivu prizme.

Ugao između bočnih strana i osnove može biti ravan, oštar ili tup. U prvom slučaju govore o pravokutnoj prizmi, u drugom - o nagnutoj ili kosoj.

Pravilne prizme se svrstavaju u posebnu vrstu figura. Imaju najveću simetriju među ostalim prizmama. On će biti pravilan samo ako je pravougaonik i ako mu je osnova pravilan n-ugao. Slika ispod prikazuje skup pravilnih prizmi u kojima broj strana n-ugla varira od tri do osam.

Površina prizme

Pod površinom figure proizvoljnog tipa koja se razmatra podrazumijeva se skup svih tačaka koje pripadaju plohama prizme. Pogodno je proučavati površinu prizme ispitivanjem njenog razvoja. Ispod je primjer takvog razvoja za trokutastu prizmu.

Može se vidjeti da cijelu površinu čine dva trokuta i tri pravokutnika.

U slučaju opće prizme, njena površina će se sastojati od dvije n-ugaone baze i n četverouglova.

Razmotrimo detaljnije pitanje izračunavanja površine prizmi različitih tipova.

Površina osnove pravilne prizme

Možda je najjednostavniji problem pri radu s prizmama problem pronalaženja površine osnove pravilne figure. Pošto je formiran od n-ugla čiji su uglovi i dužine stranica isti, uvek se može podeliti na identične trouglove čiji su uglovi i stranice poznati. Ukupna površina trokuta će biti površina n-ugla.

Drugi način za određivanje dijela površine prizme (baze) je korištenje dobro poznate formule. izgleda ovako:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

To jest, površina S n n-ugla je jedinstveno određena na osnovu znanja o dužini njegove stranice a. Određena poteškoća pri izračunavanju pomoću formule može biti izračunavanje kotangensa, posebno kada je n>4 (za n≤4 vrijednosti kotangensa su tabelarni podaci). Za određivanje ove trigonometrijske funkcije preporučuje se korištenje kalkulatora.

Kada postavljate geometrijski problem, trebali biste biti oprezni, jer ćete možda morati pronaći površinu baze prizme. Tada vrijednost dobijenu iz formule treba pomnožiti sa dva.

Površina osnove trouglaste prizme

Koristeći primjer trokutaste prizme, pogledajmo kako možete pronaći površinu osnove ove figure.

Razmotrimo prvo jednostavan slučaj - pravilnu prizmu. Površina baze se izračunava pomoću formule date u gornjem pasusu, u nju morate zamijeniti n=3. Dobijamo:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Ostaje da se određene vrijednosti dužine stranice a jednakostraničnog trokuta zamijene u izraz kako bi se dobila površina jedne baze.

Pretpostavimo sada da postoji prizma čija je osnova proizvoljan trougao. Poznate su njegove dvije strane a i b i ugao između njih α. Ova slika je prikazana ispod.

Kako u ovom slučaju pronaći površinu osnove trokutaste prizme? Potrebno je zapamtiti da je površina bilo kojeg trokuta jednaka polovini umnoška stranice i visine spuštene na ovu stranu. Na slici je visina h povučena na stranu b. Dužina h odgovara proizvodu sinusa ugla alfa i dužine stranice a. Tada je površina cijelog trokuta:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Ovo je osnovna površina prikazane trokutaste prizme.

Bočna površina

Pogledali smo kako pronaći površinu osnove prizme. Bočna površina ove figure uvijek se sastoji od paralelograma. Za ravne prizme, paralelogrami postaju pravokutnici, pa je njihovu ukupnu površinu lako izračunati:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Ovdje je b dužina bočne ivice, a i je dužina stranice i-tog pravougaonika, koja se poklapa sa dužinom stranice n-ugla. U slučaju pravilne n-gonalne prizme, dobijamo jednostavan izraz:

Ako je prizma nagnuta, tada za određivanje površine njene bočne površine treba napraviti okomit rez, izračunati njen obim P sr i pomnožiti ga s dužinom bočne ivice.

Gornja slika pokazuje kako treba napraviti ovaj rez za nagnutu peterokutnu prizmu.