Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B , где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.
Навигация по странице.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: , 
.
Нам известны правила, по которым выполняются . По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:
Обоснование правил
Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:
- дробная черта - это по сути знак деления,
- деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
- свойств действий с действительными числами ,
- и его обобщенном понимании ,
Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:
Примеры
Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.
Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби и . Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем . Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: 
. Итак, 
.
Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем 
.
Теперь вычтем из дроби 
дробь 
. Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю . Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.
Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.
Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей и 1/2
. Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2
. После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид . А для второй дроби дополнительным множителем является выражение . С его помощью дробь 1/2
приводится к виду . Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:
В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей и произведение 
. Здесь в качестве общего знаменателя можно взять .
Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби и . Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем 
. Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: 
.
Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: 
. Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):
Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1
, поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении 
корень из трех дробью , мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: 
.
Выполнение действий с дробями, содержащими переменные
Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.
Докажем, что для любых выражений A
, C
и D
(D
тождественно не равно нулю) имеет место равенство 
на его области допустимых значений переменных.
Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A
, C
и D
принимают значения a 0
, c 0
и d 0
. Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида , которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна . Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.
Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, 
и , или и . А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.
Пример.
, б) 
, в) 
.
Решение.
а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем 
. Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые : 
.
б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: . Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2) 2
(смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: 
.
в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.
Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: 
. Таким образом, . Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 
.
Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на (это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x
из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Пример.
Выполнить действия с дробями: а) 
, б) , в) 
.
Решение.
а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение 
. В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение , а для второй дроби – число 3
. Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем
б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, 
. Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x 4
, а для второй – ln(x+1)
. Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:
в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению 
. Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю 
. При таком подходе решение будет иметь следующий вид:
Ответ:
а)
б)
в)
Примеры умножения дробей с переменными
Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.
В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !
Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.
Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:
В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.
Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.
Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.
Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.
Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.
Например, 5 целых 3/4.
Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.
Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.
- Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
- Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
- Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.
Как решать дроби. Примеры.
К дробям применимы самые разные арифметические операции.
Приведение дроби к общему знаменателю
Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.
Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей
Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20
Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю
Ответ: 15/20
Сложение и вычитание дробей
Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.
Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3
Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4
Умножение и деление дробей
Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:
- Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
- Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.
Например:
На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.
Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия - в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
- Сначала выполняется возведение в степень - избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
- Затем - деление и умножение;
- Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется - все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем - деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:
Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень - их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
- В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе - дробь 12/5;
- В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе - отдельное число 5.
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно - в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок - пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем - частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
496. Найти х , если:
497. 1) Если к 3 / 10 неизвестного числа прибавить 10 1 / 2 , то получится 13 1 / 2 . Найти неизвестное число.
2) Если от 7 / 10 неизвестного числа вычесть 10 1 / 2 , то получится 15 2 / 5 . Найти неизвестное число.
498 *. Если из 3 / 4 неизвестного числа вычесть 10 и полученную разность умножить на 5, то получится 100. Найти число.
499 *. Если неизвестное число увеличить на 2 / 3 его, то получится 60. Какое это число?
500 *. Если к неизвестному числу прибавить столько же, да ещё 20 1 / 3 , то получится 105 2 / 5 . Найти неизвестное число.
501. 1) Урожай картофеля при квадратно-гнездовой посадке составляет в среднем 150 ц с 1 га, а при обычной посадке 3 / 5 этого количества. На сколько больше можно собрать картофеля с площади в 15 га, если посадку картофеля производить квадратно-гнездовым способом?
2) Опытный рабочий изготовил за 1 час 18 деталей, а малоопытный 2 / 3 этого количества. На сколько больше деталей изготовит опытный рабочий за 7-часовой рабочий день?
502. 1) Пионеры собрали в течение трёх дней 56 кг разных семян. В первый день было собрано 3 / 14 всего количества, во второй- в полтора раза больше, а в третий день-остальное зерно. Сколько килограммов семян собрали пионеры в третий день?
2) При размоле пшеницы получилось: муки 4 / 5 всего количества пшеницы, манной крупы - в 40 раз меньше, чем муки, а остальное- отруби. Сколько муки, манной крупы и отрубей в отдельности получилось при размоле 3 т пшеницы?
503. 1) В трёх гаражах помещается 460 машин. Число машин, помещающихся в первом гараже, составляет 3 / 4 числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1 1 / 2 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?
2) На заводе, имеющем три цеха, работает 6 000 рабочих. Во втором цехе работает в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а число рабочих третьего цеха составляет 5 / 6 числа рабочих второго цеха. Сколько рабочих в каждом цехе?
504. 1) Из резервуара с керосином отлили вначале 2 / 5 , потом 1 / 3 всего керосина и после этого в резервуаре осталось 8 т керосина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?
2) Велосипедисты вели гонку в течение трёх дней. В первый день они проехали 4 / 15 всего пути, во второй - 2 / 5 , а в третий день оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велосипедисты за три дня?
505. 1) Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день он прошел 1 / 2 всего пути, во второй день 3 / 5 оставшегося пути и в третий день остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.
2) Три отряда школьников производили посадку деревьев по озеленению села. Первый отряд посадил 7 / 20 всех деревьев, второй 5 / 8 оставшихся деревьев, а третий остальные 195 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три отряда?
506. 1) Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за три дня. В первый день он убрал урожай с 5 / 18 всей площади участка, во второй день с 7 / 13 оставшейся площади и в третий день - с остальной площади в 30 1 / 2 га. В среднем с каждого гектара собрано 20 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано на всём участке?
2) Участники автопробега в первый день прошли 3 / 11 всего пути, во второй день 7 / 20 оставшегося пути, в третий день 5 / 13 нового остатка, а в четвёртый день-остальные 320 км. Как велик путь автопробега?
507. 1) Автомобиль прошёл в первый день 3 / 8 всего пути, во второй 15 / 17 того, что прошел в первый, и в третий день остальные 200 км. Сколько бензина было израсходовано, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 3 / 5 кг бензина?
2) Город состоит из четырёх районов. И первом районе живёт 4 / 13 всех жителей города, во втором 5 / 6 числа жителей первого района, в третьем 4 / 11 числа жителей первых; двух районов вместе взятых, а в четвёртом районе живет 18 тысяч человек. Сколько хлеба требуется всему населению города на 3 дня, если в среднем один человек потребляет 500 г в день?
508. 1) Турист прошёл в первый день 10 / 31 всего пути, во второй 9 / 10 того, что прошёл в первый день, а в третий остальную часть пути, причём в третий день он прошёл на 12 км больше, чем во второй день. Сколько километров прошёл турист в каждый из трёх дней?
2) Весь путь от города А до города Б автомобиль прошёл за три дня. В первый день автомобиль прошёл 7 / 20 всего пути, во второй 8 / 13 оставшегося пути, а в третий день автомобиль прошёл на 72 км меньше, чем в первый день. Каково расстояние между городами А и Б?
509. 1) Исполком отвёл землю рабочим трёх заводов под садовые участки. Первому заводу было отведено 9 / 25 всего количества участков, второму заводу 5 / 9 числа участков, отведённых для первого, а третьему - остальные участки. Сколько всего участков было отведено рабочим трёх заводов, если первому заводу было отведено на 50 участков меньше, чем третьему?
2) Самолёт доставил смену зимовщиков на полярную станцию из Москвы за три дня. В первый день он пролетел 2 / 5 всего пути, во второй - 5 / 6 пути, пройденного им за первый день, а в третий день он пролетел на 500 км меньше, чем во второй день. Какое расстояние пролетел самолёт за три дня?
510. 1) Завод имел три цеха. Число рабочих первого цеха составляет 2 / 5 всех рабочих завода; во втором цехе рабочих в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 100 рабочих больше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?
2) В колхоз входят жители трёх соседних сёл. Число семей первого села составляет 3 / 10 всех семей колхоза; во втором селе число семей в 1 1 / 2 раза больше, чем в первом, а в третьем селе число семей на 420 меньше, чем во втором. Сколько всего семей в колхозе?
511. 1) Артель израсходовала в первую неделю 1 / 3 имевшегося у неё запаса сырья, а во вторую 1 / 3 остатка. Сколько сырья осталось в артели, если в первую неделю расход сырья был на 3 / 5 т больше, чем во вторую неделю?
2) Из завезённого угля для отопления дома в первый месяц было израсходовано 1 / 6 его часть, а во второй месяц - 3 / 8 остатка. Сколько угля осталось для отопления дома, если во второй месяц было израсходовано на 1 3 / 4 больше, чем в первый месяц?
512. 3 / 5 всей земли колхоза отведено под посев зерна, 13 / 36 остатка занято огородами и лугом, остальная земля - лесом, причём посевная площадь колхоза на 217 га больше площади леса, 1 / 3 земли, отведенной под посевы зерна, засеяна рожью, а остальная-пшеницей. Сколько гектаров земли засеял колхоз пшеницей и сколько рожью?
513. 1) Трамвайный маршрут имеет в длину 14 3 / 8 км. На протяжении этого маршрута трамвай делает 18 остановок, затрачивая в среднем на каждую остановку до 1 1 / 6 мин. Средняя скорость движения трамвая на всём маршруте 12 1 / 2 км в час. Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса?
2) Маршрут автобуса 16 км. На протяжении этого маршрута автобус делает 36 остановок по 3 / 4 мин. в среднем каждая. Средняя скорость автобуса 30 км в час. Сколько времени требуется автобусу на один маршрут?
514*. 1) Сейчас 6 час. вечера. Какую часть составляет оставшаяся часть суток от прошедшей и какая часть суток осталась?
2) Пароход по течению проходит расстояние между двумя городами за 3 сут. и обратно это же расстояние за 4 сут. Сколько суток будут плыть по течению плоты от одного города до другого?
515. 1) Сколько досок пойдёт на настилку пола в комнате, длина которой 6 2 / 3 м, ширин.ч 5 1 / 4 м, если длина каждой доски 6 2 / 3 м, а ее ширина составляет 3 / 80 длины?
2) Площадка прямоугольной формы имеет длину 45 1 / 2 м, а её ширина составляет 5 / 13 длины. Эту площадку окаймляет дорожка шириной 4 / 5 м. Найти площадь дорожки.
516. Найти среднее арифметическое чисел:
517. 1) Среднее арифметическое двух чисел 6 1 / 6 . Одно из чисел 3 3 / 4 . Найти другое число.
2) Среднее арифметическое двух чисел 14 1 / 4 . Одно из этих чисел 15 5 / 6 . Найти другое число.
518. 1) Товарный поезд был в пути три часа. За первый час он прошёл 36 1 / 2 км, за второй 40 км и за третий 39 3 / 4 км. Найти среднюю скорость поезда.
2) Автомобиль за первых два часа прошёл 81 1 / 2 км, а за следующие 2 1 / 2 часа 95 км. Сколько километров в среднем он проходил в час?
519. 1) Тракторист выполнил задание по вспашке земли за три дня. В первый день он вспахал 12 1 / 2 га, во второй день 15 3 / 4 га и в третий день 14 1 / 2 га. Сколько в среднем гектаров земли вспахал тракторист за день?
2) Отряд школьников, совершая туристский трёхдневный поход, находился в пути в первый день 6 1 / 3 часа, во второй 7 час. и в третий день - 4 2 / 3 часа. Сколько часов в среднем находились ежедневно в пути школьники?
520. 1) В доме живут три семьи. Первая семья для освещения квартиры имеет 3 электрические лампочки, вторая 4 и третья 5 лампочек. Сколько должна заплатить каждая семья за электроэнергию, если все лампы были одинаковы, а общий счет (на весь дом) оплаты электроэнергии был 7 1 / 5 руб.?
2) Полотёр натирал полы в квартире, где жили три семьи. Первая семья имела жилую площадь в 36 1 / 2 кв. м, вторая в 24 1 / 2 кв. м, а третья - в 43 кв. м. За всю работу было уплачено 2 руб. 08 коп. Сколько уплатила каждая семья?
521. 1) На огородном участке собрано картофеля с 50 кустов по 1 1 / 10 кг с одного куста, с 70 кустов по 4 / 5 кг с одного куста, с 80 кустов по 9 / 10 кг с одного куста. Сколько килограммов картофеля в среднем собрано с каждого куста?
2) Полеводческая бригада на площади в 300 га получила урожай по 20 1 / 2 ц озимой пшеницы с 1 га, с 80 га по 24 ц с 1 га и с 20 га - по 28 1 / 2 ц с 1 га. Чему равен средний урожай в бригаде с 1 га?
522. 1) Сумма двух чисел 7 1 / 2 . Одно число больше другого нa 4 4 / 5 . Найти эти числа.
2) Если сложить числа, выражающие ширину Татарского и ширину Керченского проливов вместе, то получим 11 7 / 10 км. Татарский пролив на 3 1 / 10 км шире Керченского. Какова ширина каждого пролива?
523. 1) Сумма трёх чисел 35 2 / 3 . Первое число больше второго на 5 1 / 3 и больше третьего на 3 5 / 6 . Найти эти числа.
2) Острова Новая Земля, Сахалин и Северная Земля вместе занимают площадь 196 7 / 10 тыс. кв. км. Площадь Новой Земли на 44 1 / 10 тыс. кв. км больше площади Северной Земли и на 5 1 / 5 тыс. кв. км больше площади Сахалина. Какова площадь каждого из перечисленных островов?
524. 1) Квартира состоит из трех комнат. Площадь первой комнаты 24 3 / 8 кв. м и составляет 13 / 36 всей площади квартиры. Площадь второй комнаты на 8 1 / 8 кв. м больше, чем площадь третьей. Какова площадь второй комнаты?
2) Велосипедист во время трёхдневных соревнований в первый день был в пути 3 1 / 4 часа, что составляло 13 / 43 всего времени в пути. Во второй день он ехал на 1 1 / 2 часа больше, чем в третий день. Сколько часов велосипедист был в пути во второй день соревнований?
525. Три куска железа весят вместе 17 1 / 4 кг. Если вес первого куска уменьшить на 1 1 / 2 кг, вес второго на 2 1 / 4 кг, то все три куска будут иметь одинаковый вес. Сколько весил каждый кусок железа?
526. 1) Сумма двух чисел 15 1 / 5 . Если первое число уменьшить на 3 1 / 10 , а второе увеличить на 3 1 / 10 , то эти числа будут равны. Чему равно каждое число?
2) В двух ящиках было 38 1 / 4 кг крупы. Если из одного ящика пересыпать в другой 4 3 / 4 кг крупы, то в обоих ящиках станет крупы поровну. Сколько крупы в каждом ящике?
527 . 1) Сумма двух чисел равна 17 17 / 30 . Если от первого числа вычесть 5 1 / 2 и прибавить ко второму, то первое будет всё-таки больше второго на 2 17 / 30 . Найти оба числа.
2) В двух ящиках 24 1 / 4 кг яблок. Если из первого ящика переложить во второй 3 1 / 2 кг, то в первом всё-таки будет яблок на 3 / 5 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок в каждом ящике?
528 *. 1) Сумма двух чисел 8 11 / 14 , а разность их 2 3 / 7 . Найти эти числа.
2) Катер по течению реки шёл со скоростью 15 1 / 2 км в час, а против течения 8 1 / 4 км в час. Какова скорость течения реки?
529. 1) В двух гаражах 110 машин, причём в одном из них в 1 1 / 5 раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом гараже?
2) Жилая площадь квартиры, состоящей из двух комнат, равна 47 1 / 2 кв. м. Площадь одной комнаты составляет 8 / 11 площади другой. Найти площадь каждой комнаты.
530. 1) Сплав, состоящий из меди и серебра, весит 330 г. Вес меди в этом сплаве составляет 5 / 28 веса серебра. Сколько в сплаве серебра и сколько меди?
2) Сумма двух чисел 6 3 / 4 , а частное 3 1 / 2 . Найти эти числа.
531. Сумма трёх чисел 22 1 / 2 . Второе число в 3 1 / 2 раза, а третье в 2 1 / 4 раза больше первого. Найти эти числа.
532. 1) Разность двух чисел 7; частное от деления большего числа на меньшее 5 2 / 3 . Найти эти числа.
2) Разность двух чисел 29 3 / 8 , а кратное отношение их равно 8 5 / 6 . Найти эти числа.
533. В классе число отсутствующих учеников равно 3 / 13 числа присутствующих. Сколько учеников в классе по списку, если присутствует на 20 человек больше, чем отсутствует?
534. 1) Разность двух чисел 3 1 / 5 . Одно число составляет 5 / 7 другого. Найти эти числа.
2) Отец старше сына на 24 года. Число лет сына равно 5 / 13 числа лет отца. Сколько лет отцу и сколько сыну?
535. Знаменатель дроби на 11 единиц больше её числителя. Чему равна дробь, если её знаменатель в 3 3 / 4 раза больше числителя?
№ 536 - 537 устно.
536. 1) Первое число составляет 1 / 2 второго. Во сколько раз второе число больше первого?
2) Первое число составляет 3 / 2 второго. Какую часть первого числа составляет второе число?
537. 1) 1 / 2 первого числа равна 1 / 3 второго числа. Какую часть первого числа составляет второе число?
2) 2 / 3 первого числа равны 3 / 4 второго числа. Какую часть первого числа составляет второе число? Какую часть второго числа составляет первое?
538. 1) Сумма двух чисел равна 16. Найти эти числа, если 1 / 3 второго числа равна 1 / 5 первого.
2) Сумма двух чисел равна 38. Найти эти числа, если 2 / 3 первого числа равны 3 / 5 второго.
539 *. 1) Два мальчика собрали вместе 100 грибов. 3 / 8 числа грибов, собранных первым мальчиком, численно равны 1 / 4 числа грибов, собранных вторым мальчиком. Сколько грибов собрал каждый мальчик?
2) В учреждении работает 27 человек. Сколько работает мужчин и сколько женщин, если 2 / 5 числа всех мужчин равны 3 / 5 числа всех женщин?
540 *. Три мальчика купили волейбольный мяч. Определить взнос каждого мальчика, зная, что 1 / 2 взноса первого мальчика равна 1 / 3 взноса второго, или 1 / 4 взноса третьего, и что взнос третьего мальчика больше взноса первого на 64 коп.
541 *. 1) Одно число больше другого на 6. Найти эти числа, если 2 / 5 одного числа равны 2 / 3 другого.
2) Разность двух чисел равна 35. Найти эти числа, если 1 / 3 первого числа равна 3 / 4 второго числа.
542. 1) Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая за 45 дней. За сколько дней обе бригады, работая вместе, выполнят эту работу?
2) Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 час, а товарный это расстояние проходит за 15 час. Оба поезда вышли одновременно из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
543. 1) Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за 6 1 / 4 часа, а пассажирский за 7 1 / 2 часа. Через сколько часов встретятся эти поезда, если они выйдут из обоих городов одновременно навстречу друг другу? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)
2) Два мотоциклиста выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу. Один мотоциклист может проехать всё расстояние между этими городами за 6 час, а другой за 5 час. Через сколько часов после выезда встретятся мотоциклисты? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)
544. 1) Три автомобиля различной грузоподъёмности могут перевезти некоторый груз, работая отдельно: первый за 10 час, второй за 12 час. и третий за 15 час За сколько часов они могут перевезти тот же груз, работая совместно?
2) Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда: первый поезд проходит расстояние между этими станциями за 12 1 / 2 часа, а второй за 18 3 / 4 часа. Через сколько часов после выхода поезда встретятся?
545. 1) К ванне подведены два крана. Через один из них ванна может наполниться за 12 мин., через другой в 1 1 / 2 раза быстрее. За сколько минут наполнится 5 / 6 всей ванны, если открыть сразу оба крана?
2) Две машинистки должны перепечатать рукопись. Первая ашинистка может выполнить эту работу зa 3 1 / 3 дня, а вторая в 1 1 / 2 раза быстрее. Во сколько дней выполнят работу обе машинистки, если они будут работать одновременно?
546. 1) Бассейн наполняется первой трубой за 5 час, а через вторую трубу он может быть опорожнен за 6 час Через сколько часов будет наполнен весь бассейн, если одновременно открыть обе трубы?
Указание. За час бассейн наполняется на (1 / 5 - 1 / 6 своей ёмкости.)
2) Два трактора вспахали поле за 6 час. Первый трактор, работая один, мог бы вспахать это поле за 15 час За сколько часов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?
547 *. Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда и встречаются через 18 час. после своего выхода. За сколько времени второй поезд проходит расстояние между станциями, если первый поезд проходит это расстояние за 1 сутки 21 час?
548 *. Бассейн наполняется двумя трубами. Сначала открыли первую трубу, а затем через 3 3 / 4 часа, когда наполнилась половина бассейна, открыли вторую трубу. Через 2 1 / 2 часа совместной работы бассейн наполнился. Определить вместимость бассейна, если через вторую трубу вливалось 200 вёдер воды в час.
549. 1) Из Ленинграда в Москву вышел курьерский поезд, который проходит 1 км за 3 / 4 мин. Через 1 / 2 часа после выхода этого поезда из Москвы в Ленинград вышел скорый поезд, скорость которого была равна 3 / 4 скорости курьерского. На каком расстоянии будут поезда друг от друга через 2 1 / 2 часа после выхода курьерского поезда, если расстояние между Москвой и Ленинградом 650 км?
2) От колхоза до города 24 км. Из колхоза выехала грузовая машина, которая проходит 1 км за 2 1 / 2 мин. Через 15 мин. после выезда этой машины из города в колхоз выехал велосипедист, со скоростью вдвое меньшей, чем скорость грузовой машины. Через сколько времени после своего выезда велосипедист встретится с грузовой машиной?
550. 1) Из одного селения вышел пешеход. Через 4 1 / 2 часа после выхода пешехода по тому же направлению выехал велосипедист, скорость которого в 2 1 / 2 раза больше скорости пешехода. Через сколько часов после выхода пешехода его догонит велосипедист?
2) Скорый поезд проходит 187 1 / 2 км за 3 часа, а товарный поезд 288 км за 6 час. Через 7 1 / 4 часа после выхода товарного поезда по тому же направлению отправляется скорый. Через сколько времени скорый поезд догонит товарный?
551. 1) Из двух колхозов, через которые проходит дорога в районный центр, выехали одновременно в район на лошадях два колхозника. Первый из них проезжал в час по 8 3 / 4 км, а второй в 1 1 / 7 раза больше первого. Второй колхозник нагнал первого через 3 4 / 5 часа. Определить расстояние между колхозами.
2) Через 26 1 / 3 часа после выхода поезда Москва-Владивосток, средняя скорость которого 60 км в час, вылетел по тому же направлению самолёт ТУ-104, со скоростью в 14 1 / 6 раза большей скорости поезда. Через сколько часов после своего вылета самолёт нагонит поезд?
552. 1) Расстояние между городами по реке 264 км. Это расстояние пароход прошёл по течению за 18 час, затратив 1 / 12 этого времени на остановки. Скорость течения реки 1 1 / 2 км в час. За сколько времени прошёл бы пароход без остановок 87 км в стоячей воде?
2) Моторная лодка прошла 207 км по течению реки за 13 1 / 2 часа, затратив 1 / 9 этого времени на остановки. Скорость течения реки 1 3 / 4 км в час. Сколько километров может пройти эта лодка в стоячей воде за 2 1 / 2 часа?
553. Катер по водохранилищу прошёл расстояние в 52 км без остановок за 3 часа 15 мин. Далее, идя по реке против течения, скорость которого 1 3 / 4 км в час, этот катер прошел 28 1 / 2 км за 2 1 / 4 часа, сделав при этом 3 равные по времени остановки. Сколько минут стоял катер на каждой остановке?
554. Из Ленинграда в Кронштадт в 12 час. дня вышел пароход и прошёл всё расстояние между этими городами за 1 1 / 2 часа. По дороге он встретил другой пароход, вышедший из Кронштадта в Ленинград в 12 час 18 мин. и шедший со скоростью в 1 1 / 4 раза большей, чем первый. В котором часу произошла встреча обоих пароходов?
555. Поезд должен был пройти расстояние в 630 км за 14 час. Пройдя 2 / 3 этого расстояния, он был задержан на 1 час 10 мин. С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти к месту назначения без опоздания?
556. В 4 часа 20 мин. утра из Киева в Одессу вышел товарный поезд со средней скоростью 31 1 / 5 км в час. Через некоторое время навстречу ему из Одессы вышел почтовый поезд, скорость которого в 1 17 / 39 Раза больше скорости товарного, ивстретился с товарным поездом через 6 1 / 2 часа после своего выхода. В котором часу вышел из Одессы почтовый поезд, если расстояние между Киевом и Одессой 663 км?
557*. Часы показывают полдень. Через сколько времени часовая и минутная стрелки совпадут?
558. 1) Завод имеет три цеха. Число, рабочих первого цеха составляет 9 / 20 всех рабочих завода, во втором цехе рабочих в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 300 рабочих меньше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?
2) В городе три средние школы. Число учащихся первой школы составляет 3 / 10 всех учащихся этих трех школ; во второй школе учащихся в 1 1 / 2 раза больше, чем в первой, а в третьей школе на 420 учащихся меньше, чем во второй. Сколько всего учащихся в трёх школах?
559. 1) Два комбайнера работали на одном участке. После того как один комбайнер убрал 9 / 16 всего участка, а второй 3 / 8 того же участка, оказалось, что первый комбайнер убрал на 97 1 / 2 га больше, чем второй. В среднем с каждого гектара намолачивали по 32 1 / 2 ц зерна. Сколько центнеров зерна намолотил каждый комбайнер?
2) Два брата купили фотоаппарат. У одного было 5 / 8 , а у второго 4 / 7 стоимости фотоаппарата, причём у первого было на 2 руб. 25 коп. больше, чем у второго. Каждый уплатил половину стоимости аппарата. Сколько денег осталось у каждого?
560. 1) Из города А в город Б, расстояние между которыми 215 км, вышел легковой автомобиль со скоростью 50 км в час. Одновременно с ним из города Б в город А вышел грузовой автомобиль. Сколько километров прошёл легковой автомобиль до встречи с грузовым, если скорость движения грузового в час составляла 18 / 25 скорости легкового автомобиля?
2) Между городами А и Б 210 км. Из города А в город Б вышла легковая машина. Одновременно с ней из города Б в город А вышла грузовая машина. Сколько километров прошла грузовая машина до встречи с легковой, если легковая машина шла со скоростью 48 км в час, а скорость грузовой машины в час составляла 3 / 4 от скорости легковой машины?
561. Колхоз собрал урожай пшеницы и ржи. Пшеницей было засеяно на 20 га больше, чем рожью. Общий сбор ржи составил 5 / 6 всего сбора пшеницы при урожайности в 20 ц с 1 га как для пшеницы, так и для ржи. 7 / 11 всего сбора пшеницы и ржи колхоз продал государству, а остальной хлеб оставил для удовлетворения своих нужд. Сколько потребовалось совершить рейсов двухтонным машинам для вывоза проданного государству хлеба?
562. На хлебозавод привезли ржаную и пшеничную муку. Вес пшеничной муки составил 3 / 5 веса ржаной муки, причём ржаной муки было привезено на 4 т больше, чем пшеничной. Сколько пшеничного и сколько ржаного хлеба будет выпечено хлебозаводом из этой муки, если припёк составляет 2 / 5 всей муки?
563. В течение трёх дней бригада рабочих выполнила 3 / 4 всей работы по ремонту шоссе между двумя колхозами. В первый день было отремонтировано 2 2 / 5 км этого шоссе, во второй день в 1 1 / 2 раза больше, чем в первый, а в третий день 5 / 8 того, что было отремонтировано в первые два дня вместе. Найти длину шоссе между колхозами.
564. Заполнить свободные места в таблице, где S - площадь прямоугольника, а - основание прямоугольника, a h -высота (ширина) прямоугольника.
565. 1) Длина прямоугольного участка земли 120 м, а ширина участка - 2 / 5 его длины. Найти периметр и площадь участка.
2) Ширина прямоугольного участка 250 м, а длина его в 1 1 / 2 раза больше ширины. Найти периметр и площадь участка.
566. 1) Периметр прямоугольника 6 1 / 2 дм, основание его на 1 / 4 дм больше высоты. Найти площадь этого прямоугольника.
2) Периметр прямоугольника 18 см, высота его на 2 1 / 2 см меньше основания. Найти площадь прямоугольника.
567. Вычислить площади фигур, изображённых на рисунке 30, разбив их на прямоугольники и найдя измерением размеры прямоугольника.
568. 1) Сколько листов сухой штукатурки потребуется для обивки потолка комнаты, длина которой 4 1 / 2 м, а ширина 4 м, если размеры листа штукатурки 2 м х l 1 / 2 м?
2) Сколько досок длиной в 4 1 / 2 л и шириной в 1 / 4 м потребуется для настила пола, длина которого 4 1 / 2 м, а ширина 3 1 / 2 м?
569. 1) Участок прямоугольной формы длиной 560 м, а шириной 3 / 4 его длины, засеяли фасолью. Сколько семян потребовалось для засева участка, если на 1 га высевали 1 ц?
2) С поля прямоугольной формы собрали урожай пшеницы по 25 ц с 1 га. Сколько было собрано пшеницы со всего поля, если длина поля 800 м, а ширина равна 3 / 8 его длины?
570 . 1) Прямоугольный участок земли, имеющий в длину 78 3 / 4 м и в ширину 56 4 / 5 м, застроен так, что 4 / 5 его площади занято строениями. Определить площадь земли под строениями.
2) На прямоугольном участке земли, длина которого 9 / 20 км, а ширина составляет 4 / 9 его длины, колхоз предполагает разбить сад. Сколько деревьев будет посажено в этом саду, если под каждое дерево в среднем нужно отвести площадь в 36 кв.м?
571. 1) Для нормального освещения дневным светом комнаты необходимо, чтобы площадь всех окон была не менее 1 / 5 части площади пола. Определить, достаточно ли света в комнате, длина которой 5 1 / 2 м и ширина 4 м. Комната имеет одно окно размером 1 1 / 2 м х 2м?
2) Используя условие предыдущей задачи, выясните, достаточно ли света в вашем классе.
572. 1) Сарай имеет размеры 5 1 / 2 м х 4 1 / 2 м х 2 1 / 2 м. Сколько сена (по весу) поместится в этом сарае, если его наполнить на 3 / 4 его высоты и если 1 куб. м сена весит 82 кг?
2) Поленница дров имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого 2 1 / 2 м х 3 1 / 2 м х 1 1 / 2 м. Каков вес поленницы, если 1 куб. м дров весит 600 кг?
573. 1) Аквариум прямоугольной формы наполнен водой до 3 / 5 высоты. Длина аквариума 1 1 / 2 м, ширина 4 / 5 м, высота 3 / 4 м. Сколько литров воды налито в аквариум?
2) Бассейн, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, имеет длину 6 1 / 2 м, ширину 4м и высоту 2 м. Бассейн наполнен водой до 3 / 4 его высоты. Вычислить количество воды, налитой в бассейн.
574. Вокруг прямоугольного участка земли, длина которого 75 м и ширина 45 м, надо построить забор. Сколько кубометров досок должно пойти на его устройство, если толщина доски 2 1 / 2 см, а высота забора должна быть 2 1 / 4 м?
575. 1) Какой угол составляет минутная и часовая стрелка в 13 час? в 15 час? в 17 час? в 21 час? в 23 часа 30 мин.?
2) На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2 часа? 5 час? 8 час? 30 мин.?
3) Сколько градусов содержит дуга, равная половине окружности? 1 / 4 окружности? 1 / 24 окружности? 5 / 24 окружности?
576. 1) Начертите с помощью транспортира: а) прямой угол; б) угол в 30°; в) угол в 60°; г) угол в 150°; д) угол в 55°.
2) Измерьте с помощью транспортира углы фигуры и найдите сумму всех углов каждой фигуры (рис. 31).
577. Выполнить действия:
578. 1) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 100° больше другой. Найти величину каждой дуги.
2) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 15° меньше другой. Найти величину каждой дуги.
3) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в два раза больше другой. Найти величину каждой дуги.
4) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в 5 раз меньше другой. Найти величину каждой дуги.
579. 1) На диаграмме «Грамотность населения в СССР» (рис. 32) изображено число грамотных, приходящихся на сто человек населения. По данным диаграммы и её масштабу определить число грамотных мужчин и женщин для каждого из указанных годов.
Результаты записать в таблицу:
2) Используя данные диаграммы «Советские посланцы в Космос» (рис. 33), составить задачи.
580. 1) По данным секторной диаграммы «Режим дня для ученика V класса» (рис. 34) заполнить таблицу и ответить на вопросы: какая часть суток отводится на сон? на домашние занятия? на занятия в школе?
2) Построить секторную диаграмму о режиме своего дня.
Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.
Как решать примеры с дробями – общие правила
Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:
- Для того чтобы сложить дробные выражения с одинаковым знаменателем (знаменатель – число, находящееся в нижней части дроби, числитель – в верхней), нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
- Для того чтобы вычесть от одного дробного выражения второе (с одинаковым знаменателем), нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
- Для того чтобы сложить или вычесть дробные выражения с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель.
- Для того чтобы найти дробное произведение, нужно перемножить числители и знаменатели, при этом, если есть возможность, сократить.
- Для того чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.
Как решать примеры с дробями – практика
Правило 1, пример 1:
Вычислить 3/4 +1/4.
Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.
Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Правило 2, пример 1:
Вычислить: 3/4 – 1/4
Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.
Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Правило 3, Пример 1
Вычислить: 3/4 + 1/6
Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.
Ответ: 11/12
Правило 3, Пример 2:
Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Ответ: 7/12
Правило 4, Пример 1:
Вычислить: 3/4 * 1/4
Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.
Ответ: 3/16
Правило 4, Пример 2:
Вычислить 2/5 * 10/4.
Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.
2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Ответ: 2/5 * 10/4 = 1
Правило 5, Пример 1:
Вычислить: 3/4: 5/6
Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.
Ответ: 9/10.
Как решать примеры с дробями – дробные уравнения
Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.
Рассмотрим пример:
Решить уравнение 15/3x+5 = 3
Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).
Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.
Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:
- Умножаем 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Раскрываем скобки: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- То же самое проделываем с правой частью уравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Приравниваем левую и правую часть: 45x + 75 = 9x +15
- Переносим иксы влево, числа вправо: 36x = – 50
- Находим x: x = -50/36.
- Сокращаем: -50/36 = -25/18
Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.
Как решать примеры с дробями – дробные неравенства
Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.
Последовательность действий:
- Приравниваем числитель и знаменатель к нулю: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Чертим числовую ось, расписывая на ней получившиеся значения.
- Под значение рисуем кружок. Кружок бывает двух типов – заполненный и пустой. Заполненный кружок означает, что данное значение входит в ареал решений. Пустой круг говорит о том, что данное значение не входит в ареал решений.
- Так как знаменатель не может быть равным нулю, под 2-ой будет пустой круг.
- Чтобы определить знаки, подставляем в уравнение любое число больше двух, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значение отрицательное, значит над областью после двойки пишем минус. Затем подставляем вместо икса любое значение интервала от 5/3 до 2, например 1. Значение опять отрицательное. Пишем минус. То же самое повторяем с областью, находящейся до 5/3. Подставляем любое число, меньшее чем 5/3, например 1. Опять минус.
- Так как нас интересуют значения икса, при котором выражение будет больше или равно 0, а таких значений нет (везде минусы), это неравенство не имеет решения, то есть x = Ø (пустое множество).
Ответ: x = Ø
