а x = b - простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.
Решение показательных уравнений
Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b
Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a
больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0
Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c . Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Представим 25 как 5 2 , получим: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Или что равносильно: x 2 - 2*x - 1 = 2. Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1. Ответ: 3;-1. Решим уравнение 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение: t 2 - 5*t + 4 = 0. Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4. Ответ: 0;2. Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел. Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 - 3*x) < 4. Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Получим: 7 - 3*x>-2. Отсюда: х<3. Ответ: х<3. Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно. Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе. Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике. Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств
, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится. Функцию вида y
= a x
, где a
> 0 и a
≠ 1, называют показательной функцией
. Основные свойства показательной функции
y
= a x
: Графиком показательной функции является экспонента
: Графики показательных функций (экспоненты) Показательными
называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только
в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений
требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Теорема 1.
Показательное уравнение a
f
(x
) = a
g
(x
) (где a
> 0, a
≠ 1) равносильно уравнению f
(x
) = g
(x
). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Пример 1.
Решите уравнение: Решение:
используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их: Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе: С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x
= 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ:
x
= 3. Пример 2.
Решите уравнение: Решение:
ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x
(показательная функция y
= 9 4 -x
положительна и не равна нулю). Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней: Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1. Ответ:
x
= 6.
Пример 3.
Решите уравнение: Решение:
обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x
. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x
(показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ:
x
= 0. Пример 4.
Решите уравнение: Решение:
упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней: Деление обеих частей уравнения на 4 x
, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x
. Ответ:
x
= 0. Пример 5.
Решите уравнение: Решение:
функция y
= 3 x
, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y
= —x
-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x
= -1. Других корней не будет. Ответ:
x
= -1. Пример 6.
Решите уравнение: Решение:
упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x
и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи: Ответ:
x
= 2. Показательными
называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только
в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств
требуется знание следующей теоремы: Теорема 2.
Если a
> 1, то неравенство a
f
(x
) > a
g
(x
) равносильно неравенству того же смысла: f
(x
) > g
(x
). Если 0 < a
< 1, то показательное неравенство a
f
(x
) > a
g
(x
) равносильно неравенству противоположного смысла: f
(x
) < g
(x
). Пример 7.
Решите неравенство: Решение:
представим исходное неравенство в виде: Разделим обе части этого неравенства на 3 2x
, при этом (в силу положительности функции y
= 3 2x
) знак неравенства не изменится: Воспользуемся подстановкой: Тогда неравенство примет вид: Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8.
Решите неравенство: Решение:
используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде: Введем новую переменную: С учетом этой подстановки неравенство принимает вид: Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство: Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t
: Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем: Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству: Окончательно получаем ответ:
Пример 9.
Решите неравенство: Решение:
Делим обе части неравенства на выражение: Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем: t
, находящиеся в промежутке: Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая: Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе: Пример 10.
Решите неравенство: Решение:
Ветви параболы y
= 2x
+2-x
2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине: Ветви параболы y
= x
2 -2x
+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине: Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y
= 3 x
2 -2x
+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x
= 1. Ответ:
x
= 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства,
необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене. P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно. белгородский государственный университет
КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии
Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работа
студента физико-математического факультета Научный руководитель: ______________________________
Рецензент: _______________________________ ________________________
Белгород. 2006 г.
Тогда очевидно, что с
будет являться решением уравнения a x = a c .
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4Решение показательных неравенств
Показательная функция
Что такое показательная функция?
График показательной функции
Решение показательных уравнений
Решение показательных неравенств
Сергей Валерьевич
Введение | 3 | ||
Тема I. | Анализ литературы по теме исследования. | ||
Тема II. | Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. | ||
I.1. | Степенная функция и ее свойства. | ||
I.2. | Показательная функция и ее свойства. | ||
Тема III. | Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры. | ||
Тема IV. | Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры. | ||
Тема V. | Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств». | ||
V. 1. | Обучающий материал. | ||
V. 2. | Задачи для самостоятельного решения. | ||
Заключение. | Выводы и предложения. | ||
Список используемой литературы. | |||
Приложения |
Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию - человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше - не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта - учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда - с необходимостью - и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема , моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1.Обучающий материал.
2.Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература
Урок и презентация на тему: "Показательные уравнения и показательные неравенства"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Определение показательных уравнений
Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.Определение. Уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ называются показательными уравнениями.
Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме "Показательная функция", можно ввести новую теорему:
Теорема. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Примеры показательных уравнений
Пример.Решить уравнения:
а) $3^{3x-3}=27$.
б) ${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
в) $5^{x^2-6x}=5^{-3x+18}$.
Решение.
а) Мы хорошо знаем, что $27=3^3$.
Перепишем наше уравнение: $3^{3x-3}=3^3$.
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению $3х-3=3$, решив это уравнение, получим $х=2$.
Ответ: $х=2$.
Б) $\sqrt{\frac{2}{3}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}$.
Тогда наше уравнение можно переписать:
${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}={(\frac{2}{3})}^{0,2}$.
$2х+0,2=0,2$.
$х=0$.
Ответ: $х=0$.
В) Исходное уравнение равносильно уравнению:
$x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Ответ: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Пример.
Решить уравнение: $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=16*{(0,0625)}^{x+1}$.
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) ${(0,25)}^{x-0,5}={(\frac{1}{4})}^{x-0,5}$.
2) $\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$.
3) $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=\frac{{(\frac{1}{4})}^{x-0,5}}{4^{\frac{1}{2}}}=
\frac{1}{4^{x-0,5+0,5}}=\frac{1}{4^x}={(\frac{1}{4})}^x$.
Перейдем к правой части:
4) $16=4^2$.
5) ${(0,0625)}^{x+1}=\frac{1}{{16}^{x+1}}=\frac{1}{4^{2x+2}}$.
6) $16*{(0,0625)}^{x+1}=\frac{4^2}{4^{2x+2}}=4^{2-2x-2}=4^{-2x}=\frac{1}{4^{2x}}={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
${(\frac{1}{4})}^x={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
$x=2x$.
$x=0$.
Ответ: $х=0$.
Пример.
Решить уравнение: $9^x+3^{x+2}-36=0$.
Решение:
Перепишем наше уравнение:
${(3^2)}^x+9*3^x-36=0$.
${(3^x)}^2+9*3^x-36=0$.
Давайте сделаем замену переменных, пусть $a=3^x$.
В новых переменных уравнение примет вид:
$a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Выполним обратную замену переменных: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: $х=1$.
Ответ: $х=1$.
Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений:
1. Графический метод.
Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей.
Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований.
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод замены переменных.
Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.
Пример.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} {27}^y*3^x=1, \\ 4^{x+y}-2^{x+y}=12. \end {cases}$.
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
$27^y*3^x=1$.
$3^{3y}*3^x=3^0$.
$3^{3y+x}=3^0$.
$x+3y=0$.
Рассмотрим второе уравнение:
$4^{x+y}-2^{x+y}=12$.
$2^{2(x+y)}-2^{x+y}=12$.
Воспользуемся методом замены переменных, пусть $y=2^{x+y}$.
Тогда уравнение примет вид:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем $x+y=2$. Второе уравнение не имеет решений.
Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: $\begin {cases} x+3y=0, \\ x+y=2. \end {cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
$\begin {cases} 2y=-2, \\ x+y=2. \end {cases}$.
$\begin {cases} y=-1, \\ x=3. \end {cases}$.
Ответ: $(3;-1)$.
Показательные неравенства
Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.Теорема. Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$.
Если $0a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)
Пример.
Решить неравенства:
а) $3^{2x+3}>81$.
б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
в) ${0,3}^{x^2+6x}≤{0,3}^{4x+15}$.
Решение.
а) $3^{2x+3}>81$.
$3^{2x+3}>3^4$.
Наше неравенство равносильно неравенству:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
Б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак.
$2x-4>2$.
$x>3$.
В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: $(-∞;-5]U}