Как найти смежный угол?
Математика - древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.
Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.
Определение и свойства смежных углов
Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.
К основным свойствам смежных углов относят
- Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
- Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
- Синусы смежных углов всегда равны;
- Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.
Как найти смежные углы
Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов
- Дана величина основного угла;
- Дано соотношение основного и смежного угла;
- Дана величина вертикального угла.
Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.
Дана величина основного угла
Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла - сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.
Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.
Дано соотношение основного и смежного угла
В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:
- Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
- Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
- Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
- Общая формула будет выглядеть так - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
- Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
- Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.
Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.
Дана величина вертикального угла
Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.
Вертикальный угол - это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.
Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.
Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
Сумма смежных углов равна 180°
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Вертикальные углы равны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
АН - перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Чертежный угольник
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
Решение.
Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
Решение.
Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение.
Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.
Известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.
Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым.
Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180.
Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам).
Источники:
- Большой Энциклопедический Словарь - Смежные углы
- угол 180 градусов
Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.
Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.
В качестве единицы измерения углов принят – 1/180 развернутого угла. Величина угла – это число, показывающее, во раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в рассматриваемой фигуре.
Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла считается равной сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом на плоскости, ограниченной его сторонами.
От любого луча в заданную плоскость можно отложить угол с некоторой градусной мерой, не превышающей 180 . Причем такой угол будет только один. Мерой плоского угла, который является частью полуплоскости, считается градусная мера угла с аналогичными сторонами. Мерой плоскости угла, содержащего полуплоскость, является значение 360 – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла.
Градусная мера угла дает возможность перейти от геометрического их описания к числовому. Так, под прямым углом понимается угол, равный 90 градусам, тупой угол – это угол, меньше 180 градусов, но больше 90, острый угол не превышает 90 градусов.
Помимо градусной, существует радианная мера угла. В планиметрии длина как L, радиус – r, а соответствующий центральный угол – α. Причем эти параметры связаны соотношением α = L/r. Эта лежит в основе радианной меры измерения углов. Если L=r, то угол α будет равен одному радиану. Итак, радианная мера угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к радиусу дуги. Полный оборот в градусном измерении (360 градусов) соответствует 2π в радианном. Один 57,2958 градусам.
Видео по теме
Источники:
- градусная мера углов формула
Два угла размещнные на одной прямой и имеющие одну вершину называются смежными.
Иначе - если сумма двух углов на одной прямой равна 180 градусам и одна сторона у них общая, то это смежные углы.
1 смежный угол + 1 смежный угол = 180 градусов.
Смежные углы -это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны в целом образуют прямую линию.
Сумма двух смежных углов всегда равна 180 градусам. К примеру, если один угол 60 градусов, то второй обязательно будет равен 120 градусам (180-60).
Углы АОС и ВОС являются смежными углами, потому что соблюдается все условия характеристики смежных углов:
1.ОС -общая сторона двух углов
2.АО -сторона угла АОС, ОВ -сторона угла ВОС. Вместе эти стороны образуют прямую линию АОВ.
3.Угла два и сумма их равна 180 градусов.
Вспоминая школьный курс геометрии, про смежные углы мы можем сказать следующее:
у смежных углов - одна сторона общая, а другие две стороны принадлежат одной прямой, то есть находятся на одной прямой. Если по рисунку, то углы СОВ и ВОА - это смежные углы, сумма которых всегда равна 180 , так как они разделяют развернутый угол, а развернутый угол всегда равен 180 .
Смежные углы понятие легкое в геометрии. Смежные углы, угол плюс угол дают 180 градусов в общей сумме.
Два смежных угла - это будет один развернутый угол.
Есть еще несколько свойств. Со смежными углами задачи решать и теоремы доказывать легко.
Смежные углы образуются при проведении луча из произвольной точки прямой. Тогда эта произвольная точка оказывается вершиной угла, луч - общей стороной смежных углов, а прямая от которой проведен луч - двумя оставшимися сторонами смежных углов. Смежные углы могут быть как одинаковыми в случае перпендикуляра, так и отличатся при наклонном луче. Легко понять, что сумма смежных углов равна 180 градусов или попросту прямой линии. По другому этот угол можно объяснить простым примером - вы сперва шли в одном направлении по прямой, потом передумали, решили вернуться назад и развернувшись на 180 градусов отправились по той же прямой в обратном направлении.
Итак, что же такое смежный угол? Определение:
Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.
И небольшой видео урок, где толково показано про смежные углы, вертикальные углы, плюс про перпендикулярные прямые, которые являются частным случаем смежных и вертикальных углов
Смежные углы - это углы, у которых одна сторона общая, а вторая является одной линией.
Смежные углы - это углы, зависящие друг от друга. То есть если общую строну слегка повернуть, то один угол уменьшится на сколько-то градусов и автоматически второй угол увеличится на столько же градусов. Это свойство смежных углов позволяет в Геометрии решать различные задачи и осуществлять доказательства различных теорем.
Общая же сумма смежных углов всегда равна 180 градусов.
Из курса геометрии, (насколько я помню за 6 класс) смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами, сумма смежных углов равна 180. Каждый из двух смежных углов, дополняет другой до развернутого угла. Пример смежных углов:
Смежные углы это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам. А вообще все это очень легко находится в гугле или учебнике геометрии.
Два угла называются смежными, если у них есть общие вершина и одна сторона, а две другие стороны составляют прямую линию. Сумма смежных углов равна 180 градусам.
На рисунке углы АОВ и ВОС являются смежными.
Смежными называются углы имеющие общую вершину, одну общую сторону, а другие стороны являются продолжением друг друга и образуют развернутый угол. Замечательным свойством смежных углов является - сумма этих углов всегда равна 180 градусам.
Углы с общей вершиной и одной общей стороной в геометрии называются смежными
Сумма смежных углов равна 180 градусов
Нужно отметить тот факт, что у смежных углов синусы равны
Что бы узнать больше про смежные углы - читайте вот здесь
Начальные сведения об углах
Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда
Определение 1
Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.
Определение 2
Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.
Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).
Определим теперь, что такое величина угла.
Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.
Существуют 4 вида углов:
Определение 3
Угол называется острым, если он меньше $90^0$.
Определение 4
Угол называется тупым, если он больше $90^0$.
Определение 5
Угол называется развернутым, если он равен $180^0$.
Определение 6
Угол называется прямым, если он равен $90^0$.
Помимо таких видов углов, которые описаны выше, можно выделять виды углов по отношению их друг к другу, а именно вертикальные и смежные углы.
Смежные углы
Рассмотрим развернутый угол $COB$. Из его вершины проведем луч $OA$. Этот луч разделит первоначальный на два угла. Тогда
Определение 7
Два угла будем называть смежными, если одна пара их сторон является развернутым углом, а другая пара совпадает (рис. 2).
В данном случае углы $COA$ и $BOA$ являются смежными.
Теорема 1
Сумма смежных углов равняется $180^0$.
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 2.
По определению 7, в нем угол $COB$ будет равняться $180^0$. Так как вторая пара сторон смежных углов совпадает, то луч $OA$ будет разделять развернутый угол на 2, следовательно
$∠COA+∠BOA=180^0$
Теорема доказана.
Рассмотрим решение задачи с помощью данного понятия.
Пример 1
Найти угол $C$ из рисунка ниже
По определению 7 получаем, что углы $BDA$ и $ADC$ являются смежными. Следовательно, по теореме 1, получим
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
По теореме о сумме углов в треугольнике, будем иметь
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Ответ: $40^0$.
Вертикальные углы
Рассмотрим развернутые углы $AOB$ и $MOC$. Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку $O"$ на точку $O$) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда
Определение 8
Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).
В данном случае углы $MOA$ и $BOC$ являются вертикальными и углы $MOB$ и $AOC$ также вертикальные.
Теорема 2
Вертикальные углы равняются между собой.
Доказательство.
Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол $MOA$ равняется углу $BOC$.
